Как найти значок по форме - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

2) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы в любом базисе (с учетом их кратности).

Теорема (закон инерции). Число слагаемых с положительными (отрицательными) каноническими коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы

кканоническому виду.

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любого ненулевого

элемента	x = (x ,…, x	n	) Rn	выполняется неравенство	f ( x) > 0
	1
(соответственно	f ( x) < 0 ).
Определение. Квадратичная	форма называется неотрицательно

определенной (неположительно определенной), если для любого

ненулевого элемента

x = (x ,…, x

) Rn

выполняется неравенство

f ( x) ≥ 0

(соответственно

f ( x) ≤ 0 ),

существует

такой

ненулевой

элемент

x = (x ,…, x

) Rn , для которого

f ( x) = 0.

называется знакопеременной,

Определение.

Квадратичная форма

если существуют такие элементы x , y Rn , что

f ( x) > 0, а

f ( y) < 0 .

Примеры. Квадратичная

форма

f ( x) = f (x , x

) =3x2 + x2

является

) =3x2

положительно определенной;

квадратичная форма

f ( x) = f (x , x

является

неотрицательно определенной,

т.к. существует ненулевой элемент

x = (0,1) R2 :

f ( x) = 0; квадратичная

форма

f ( x) = f (x , x

) =3x2

− x2

знакопеременная, т.к.

f ( x) = f (1,0) =3 > 0 , а

f ( y) = f (0,1) = −1 < 0 .

Утверждение. Пусть

A – матрица квадратичной формы в некотором

базисе, λi , i =1,2,…, n ,

собственные значения матрицы A.

Квадратичная форма

f ( x) является

положительно

(отрицательно)

определенной тогда и только тогда, когда λi

> 0 i =1,2,…, n

(соответственно

λi < 0

i =1,2,…,n ).

2)Квадратичная форма f ( x) является неотрицательно (неположительно)

определенной тогда и только тогда, когда λi ≥ 0 i =1,2,…, n (соответственно λi ≤ 0 i =1,2,…,n ) и хотя бы одно собственное значение равно нулю.

3)Квадратичная форма f ( x) является знакопеременной тогда и только

тогда, когда существуют собственные значения разных знаков.

Замечание. Невырожденная квадратичная форма ( det A ≠ 0 ) может быть либо положительно определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной.

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
Действительно, если det A ≠ 0 , то λ = 0 не может	быть	корнем
характеристическое уравнение		A − λE	= 0 , следовательно,	λ = 0	не может

быть собственным значением матрицы A .

Тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы. Пусть A – матрица квадратичной формы размера n ×n в произвольном базисе. Рассмотрим угловые миноры матрицы A: 1 = a11 ,

		a11	a12	,…,	n =	a11	…	a1n	.

2	=		… … …
		a21	a22			an1	…	ann

		Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма
от	n переменных	была	положительно определенной, необходимо и

достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы в произвольном базисе

были положительными:	1 > 0 , 2 > 0 ,…, n > 0.
Следствие из критерия Сильвестра. Для того чтобы квадратичная
форма от n переменных	была отрицательно определенной, необходимо и

достаточно, чтобы знаки угловых миноров ее матрицы в произвольном

базисе	чередовались,	начиная	с минуса:	1 < 0 ,	2 > 0 ,	3 < 0,…,
(−1)n	n > 0 .
Задача 1.	Исследовать знакоопределенность квадратичной	формы
f ( x) = f (x , x	2	) = x2 +10x x	2	+26x2 .
	1		1	1		2

Решение. Рассмотрим матрицу квадратичной формы и найдем ее угловые

миноры:	1	5		,	=1,	=		1	5	=1	. Поскольку все угловые миноры

A =			1	2
	5	26				5	26

матрицы A положительные, по критерию Сильвестра квадратичная форма является положительно определенной.

Задача 2. Исследовать знакоопределенность квадратичной формы

f ( x) = f (x , x	2	, x	3	) = −11x2	− 6x2	− 6x2	+12x x	2	−12x x + 6x	2	x .
Решение.	1						1	2	3	1		1	3	3
Рассмотрим матрицу квадратичной формы и найдем ее угловые
						−11	6	− 6
миноры:					6	− 6	3		,	1 = −11 < 0 ,		2 =		−11	6	=30 > 0 ,
	A =
							− 6	3	− 6								6	− 6

3 =		−11		6		− 6		= −81 < 0 . Поскольку знаки угловых миноров чередуются,

	6	− 6		3
		− 6		3		− 6

начиная с минуса, квадратичная форма является отрицательно определенной по следствию из критерия Сильвестра.

Задача 3. Исследовать знакоопределенность квадратичной формы в

зависимости			от	значения	параметра	λ :
f ( x) = f (x , x	2	) = 2λx2	+ (2λ +8)x x	2	+(λ +1)x2 .
1	1	1			2

Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.

Решение. Рассмотрим матрицу квадратичной формы и найдем ее угловые

миноры:

2λ λ + 4

= 2λ,

2λ λ + 4

= λ2 − 6λ −16 .

A =

λ +

4 λ +1

λ + 4 λ +1

а) Найдем

все

λ ,

при

которых

квадратичная форма

является

невырожденной.

det A ≠ 0

при всех

λ ≠8 , λ ≠ −2 . Применяя

критерий

Сильвестра и следствие из него, получим, что квадратичная форма является

положительно	определенной, если		1 = 2λ > 0		, т.е. при
				> 0
		2 = λ2 − 6λ −16
λ (8, + ∞); отрицательно определенной, если		1	= 2λ < 0			, т.е. при
		−16 > 0
λ (− ∞, − 2).			2 = λ2 − 6λ
Невырожденная квадратичная форма может быть только либо

положительно определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной. Поэтому при λ (−2,8) квадратичная форма является

знакопеременной.

б) При λ =8 и λ = −2 квадратичная форма является вырожденной. Рассмотрим квадратичную форму при λ =8 :

f ( x) = f (x , x

) =16x2

+ 24x x

+9x2

= (4x

+ 3x

)2 ≥ 0 .

Квадратичная

форма

является неотрицательно определенной при

λ =8 ,

т.к. существует такой

ненулевой элемент

x = (3,− 4) :

f ( x) = 0.

в) Рассмотрим квадратичную форму при

λ = −2 :

f ( x) = f (x , x

) = −4x2

+ 4x x

−x2 = −(2x

− x

)2 ≤ 0 .

Квадратичная

форма

является неположительно определенной при

λ = −2,

т.к. существует такой

ненулевой элемент

x = (1,2) :

f ( x) = 0.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Исследовать знакоопределенность квадратичной формы в зависимости от значения параметра α .

1)αx2 +12xy +(α −5)y2 .

2)(α −3)x2 + 4αxy +αy2 .

3)αx2 +αy2 +(α −6)z2 + 4xy −8xz +8yz .

2.Даны два многочлена p1 и p2 от переменных x1 , x2 и x3 . Возможно ли равенство p12 + p22 = x12 + x22 + x32 ?

Указание. Равенство p12 + p22 = x12 + x22 + x32 возможно только в случае, если многочлены p1 и p2 имеют первую степень и нулевой свободный член.

Далее нужно применить закон инерции.

3. Доказать, что если квадратичная форма распадается в произведение двух линейных сомножителей, то ее ранг не превосходит 2.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание:

Квадратичные формы и их определение
Квадратичные формы

Квадратичные формы и их определение

Определение. Квадратичной формой L (x₁, x₂, …, x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из переменных, или произведением двух различных переменных, взятых с некоторым коэффициентом, то есть
(2.44)

Допускаем, что в квадратичной форме (2.44) a_ij — действительные числа. Распишем квадратичную форму (2.44), разбив слагаемые, содержащие произведения переменных, на две равные части:

Матрица
(2.45)

или A = {a_ij} (i, j = 1, 2, …, n) является симметричной, так как a_ij = a_ji, называется матрицей квадратичной формы (2.44).

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная.
Если то квадратичную форму можно переписать в матричном виде L (x₁, x₂, …, x_n) = X^T AX.

Выражение X^T AX представляет собой квадратичную форму в матричном виде.

Пример 1. Записать в матричном виде квадратичную форму

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид

А =

Значит,

Квадратичная форма называется канонической (или другими словами, имеет канонический вид), если все a_ij = 0, когда i ≠ j. Тогда квадратичная форма будет иметь вид

Рассмотрим следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Произвольная квадратичная форма приводится к каноническому виду.

Доказательство. Пусть задана квадратичная форма (2.44) с матрицей (2.45) в базисе . Так как A — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица B такая, что.

Матрица B является матрицей перехода от базиса
(2.46)
к некоторому базису
. (2.47)

Примечание. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов из двух разных столбцов равна нулю. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы В является условие В^T ⋅ B = Е.

Пусть X и Y являются векторами-столбцами из координат вектора соответственно в базисах (2.46) и (2.47). Тогда X = BY и

или
(2.48)

Примечание. При доказательстве данной теоремы использовали транспонирование произведения матриц по формуле (СY)^T = Y^T ⋅ C^T.

Заметим, что в канонической форме (2.48) λ₁, λ₂, …, λ_n являются собственными числами матрицы A.

Пример 2. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти ее.

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид . Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов
(2.49)
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
или (2 – λ) (5 – λ) – 4 = 0.
Решив данное уравнение, находим λ₁= 6, λ₂= 1. Значит канонический вид данной квадратичной формы является .
Найдем ортогональную матрицу.

Столбцами ортогональной матрицы, которая приводит квадратичную форму к каноническому виду, является ортонормированный собственные вектор-столбец матрицы A.

Сначала найдем нормированный собственный вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₁= 6. Для этого из системы (2.49) имеем систему для нахождения координат вектора:

Из данной системы находим x₂ = 2x₁ или u₂ = 2u₁. Значит, при произвольном u₁, отличном от нуля, столбец является собственным вектором-столбиком матрицы A, а столбец является нормированным собственным вектором-столбиком матрицы A. Здесь использовано, что .
Аналогично находим вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₂= 1, а именно из системы:

Находим x₁ = –2x₂ или при произвольном s, отличном от нуля, столбец является собственным вектором матрицы A. Столбец является нормированным собственным вектором матрицы A. Значит, искомая матрица имеет вид:

Замечание. Легко проверить, что для данного примера 2.
Рассмотрим на примере еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в последовательном выделении полных квадратов.

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа. Сначала выделим полный квадрат при переменной x₁, коэффициент при которой отличен от нуля.

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные разными способами квадратичные формы имеют ряд общих свойств.

Сформулируем одно из этих свойств, которое выражает закон инерции квадратичных форм, и заключается в следующем: все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, имеют:
1) одно и то же число нулевых коэффициентов;
2) одно и то же число положительных коэффициентов;
3) одно и то же число отрицательных коэффициентов.

Определение 1. Квадратичная форма L (x₁, x₂, …, x_n) называется положительно определенной, если для всех действительных значений x₁, x₂, …, x_n используется неравенство L (x₁, x₂, …, x_n) > 0.

Определение 2. Если L (x₁, x₂, …, x_n) является положительно определенной формой, то квадратичная формаL (x₁, x₂, …, x_n) < 0 называется отрицательно определенной.

Необходимые и достаточные условия положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы квадратичная форма L = X^T AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ_i (i = 1, 2, …, n) матрицы A были положительными (отрицательными).

Данную теорему приводим без доказательства.

Во многих случаях для установления знакоопределенности квадратичной формы удобно применять критерии Сильвестра.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными, то есть
где
Следует заметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака “минус” для минора первого порядка.

Например, квадратичная форма L в примере 2 является положительно определенной на основании теоремы 2, так как корни характеристического уравнения λ₁ = 6 и λ₂ = 1 являются положительными.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы A
являются положительными, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.

Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных

называется квадратичной формой от этих переменных. Если взять то квадратическую форму (1.26) можно записать в виде:

или

где

Выражение (1.28), а следует и квадратичная форма (1.26) полностью определяется матрицей которая называется матрицей квадратичной формы (1.26).

Выполняя замену базиса, квадратичную форму (1.26) можно привести к виду:

где – новые переменные, что линейно выражаются через (1.28), – собственные значения матрицы

Выражение (1.29) называется каноническим видом квадратичной формы (1.26).

Рассмотрим квадратичную форму где – матрица коэффициентов

Тогда квадратичную форму можно записать так:

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех действительных значений выполняется неравенство и отрицательной, если для всех действительных значений выполняется неравенство

Если положительно определена, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Решение примеров:

Пример 1.99

Квадратичная форма

положительно определенной.

Квадратичная форма

отрицательно определенная.

Квадратичная форма

неопределенной.

Квадратичная форма

является отрицательно определенной.

Пример 1.100

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнения линии второго порядка

Решение. Уравнение линии запишем в виде в котором

Сложим характеристическое уравнение матрицы и найдем ее собственные значения.

или

Корни уравнения являются собственными значениями. Следует, уравнение линии преобразуется в вид или Полученная линия – гипербола.

Свойства квадратичной формы (1.30) связаны с собственными числами матрицы

Пример 1.101

Привести к каноническому виду уравнения линии

Решение. Группа старших членов этого уравнения квадратическую форму Ее матрица

Собственными значениями будут числа Следует квадратичная форма преобразуется к виду а данное уравнение – к виду или Это эллипс.

Лекции:

Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма
Метод неопределенных коэффициентов
Несобственный интеграл первого рода
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость
Производные тригонометрических функций
Интегралы, зависящие от параметра
Умножение логарифмов: пример решения
Вычислить определитель матрицы
Геометрический и физический смысл производной
Найти фундаментальную систему решений

Источник

Закон инерции и знакоопределенность квадратичных форм

Закон инерции вещественных квадратичных форм

Рассмотрим вещественные (действительные) квадратичные формы, коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимают действительные значения. Любую вещественную форму q(x)=x^TAx можно привести к каноническому виду

$widetilde{q}(y)=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+ldots+lambda_ny_n^2$

(6.18)

при помощи линейной невырожденной замены переменных x=Sy с действительной матрицей (см. теорему 6.1 и п.2 замечаний 6.4). Коэффициенты lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n квадратичной формы являются действительными числами.

Количество положительных (отрицательных) коэффициентов в каноническом виде (6.18) называется положительным (отрицательным) индексом квадратичной формы, а разность положительного и отрицательного индексов называется сигнатурой квадратичной формы. В примере 6.10 квадратичная форма была приведена к каноническому виду $widetilde{q}(y)=y_1^2+frac{3}{4}y_2^2-frac{1}{3}y_3^2$ . Её положительный индекс p=2 , отрицательный индекс равен 1, а сигнатура sigma=2-1=1 .

Замечания 6.7

1. Согласно пункту 2 замечаний 6.5 количество ненулевых коэффициентов в (6.18) равно рангу r=operatorname{rg}A квадратичной формы. Перенумеруем переменные так, чтобы в сумме (6.18) первыми были слагаемых с положительными коэффициентами, затем (r-p) слагаемых с отрицательными коэффициентами, а остальные слагаемые с нулевыми коэффициентами. Всего будет отличных от нуля слагаемых (lambda_ine0,~i=1,ldots,r) . Если сделать невырожденную замену переменных

$y_i=begin{cases}dfrac{z_i}{sqrt{|lambda_i|}},&ileqslant r,\ z_i,&i>r.end{cases}$

то получим нормальный вид квадратичной формы

$widetilde{widetilde{q}}(z)=z_1^2+z_2^2+ldots+z_p^2-z_{p+1}^2-z_{p+2}^2-ldots-z_r^2,$

(6.19)

в котором коэффициенты равны либо единице, либо минус единице (переменные $z_{r+1},ldots,z_n$ входят с нулевыми коэффициентами).

2. Из четырех величин: ранта, положительного и отрицательного индексов и сигнатуры, достаточно знать любые две, чтобы вычислить остальные. Например, если известны ранг и положительный индекс (см. форму (6.19)), то отрицательный индекс равен (r-p) , а сигнатура sigma=p-(r-p)=2p-r .

Теорема 6.3 о законе инерции квадратичных форм. Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.

Из теоремы 6.3 следует, что два канонических вида одной и той же квадратичной формы имеют:

а) одинаковое количество ненулевых слагаемых (которое определяется рангом квадратичной формы);

б) одинаковое количество слагаемых одного знака.

В самом деле, пусть квадратичная форма q(x)=x^TAx ранга приведена к нормальному виду (6.19)

$widetilde{q}=y_1^2+y_2^2+ldots+y_m^2-y_{m+1}^2-y_{m+2}^2-ldots-y_{r}^2,$

невырожденной заменой переменных x=Ty , а невырожденной заменой переменных x=Sz — к другому нормальному виду:

$widetilde{widetilde{q}}(z)=z_1^2+z_2^2+ldots+z_p^2-z_{p+1}^2-z_{p+2}^2-ldots-z_r^2,$

причем число r=operatorname{rg}A в этих формулах одно и то же (см. пункт 1 замечаний 6.5). Докажем, что положительные индексы и равны. Предположим противное. Пусть p>m . Поскольку замены переменных невырожденные, то $T^{-1}x=y$ и $S^{-1}x=z$ . Рассматривая последние равенства как неоднородные системы уравнений относительно неизвестных x_1,x_2,ldots,x_n , подберем такое ее решение x^O , чтобы выполнялись условия y_1=0,ldots,y_m=0 $z_{p+1}=0,ldots,z_n=0$ . Для этого составим однородную систему, выбрав первые уравнений из системы $T^{-1}x=y$ и последние (n-p) уравнений системы $S^{-1}x=zcolon$

$begin{cases}(E_mmid O)T^{-1}x=o,\ (Omid E_{n-p})S^{-1}x=o. end{cases}$

Получили однородную систему (m+n-p) уравнений с неизвестными. Так как p>m , то число уравнений меньше количества неизвестных. Поэтому система имеет нетривиальное решение x^One o . Вычислим значение квадратичной формы для этого столбца x^O значений переменных. Для ненулевых столбцов

$begin{gathered}y^O=T^{-1}cdot x^O= begin{pmatrix}underbrace{0~,cdots~,0}_{m}& y_{m+1}&cdots&y_n end{pmatrix}^T,\[5pt] z^O=S^{-1}cdot x^O= begin{pmatrix}z_1&cdots&z_p& underbrace{0~,cdots~,0}_{n-p}end{pmatrix}^T,end{gathered}$

получаем

$q(x^O)=widetilde{q}(y^O)=-y_{m+1}^2-ldots-y_r^2leqslant0$ и $q(x^O)=widetilde{widetilde{q}}(z^O)=z_1^2+ldots+z_p^2>0$ ,

т.е. q(x^0)leqslant0 и q(x^O)>0 одновременно, чего не может быть. Заметим, что при m=0 и p=n оба неравенства выполняются для любого ненулевого вектора x^O . Следовательно, предположение p>m приводит к противоречию. К аналогичному противоречию приводит предположение p<m . Значит, p=m . Другими словами, положительный индекс квадратичной формы не зависит от способа ее приведения к каноническому виду. Ранг формы также не зависит от выбора невырожденной замены переменных. В силу пункта 2 замечаний 6.7 делаем аналогичный вывод для отрицательного индекса и сигнатуры.

Знакоопределенность вещественных квадратичных форм

Вещественная квадратичная форма q(x)=x^TAx называется положительно (отрицательно) определенной, если q(x)>0 (q(x)<0) для любых xne o . Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются определенными (знакоопределенными). Если неравенство q(x)geqslant0 (q(x)leqslant0) выполняется для любых значений , то квадратичная форма называется неотрицательно (неположительно) определенной. В этом случае говорят, что квадратичная форма полуопределенная. Если же квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то она называется неопределенной (знакопеременной). Определенность, полуопределенность и неопределенность квадратичных форм обозначается неравенствами

q(x)>0,~~q(x)<0,~~ q(x)geqslant0,~~ q(x)leqslant0,~~ q(x)gtrless0 соответственно.

Поскольку каждой вещественной квадратичной форме соответствует ее матрица, то эта терминология переносится на действительные симметрические матрицы. Например, симметрическая матрица называется положительно определенной, если такой является квадратичная форма x^TAx . Определенность, полуопределенность и неопределенность симметрической матрицы обозначаются неравенствами

A>0,~~A<0,~~Ageqslant0,~~Aleqslant0,~~Agtrless0 соответственно.

Пример 6.11. Исследовать знакоопределенность квадратичных форм

$mathsf{1)}~q(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+2x_2^2;quad mathsf{2)}~q(x_1,x_2)=x_2^2;quad mathsf{3)}~2x_1x_2.$

Решение. 1) Выделим полный квадрат по переменной x_1:

q(x_1,x_2)=(x_1-x_2)^2+x_2^2>0 для любого xne o .

Следовательно, данная форма положительно определенная.

2) Квадратичная форма q(x_1,x_2)=x_2^2 не является положительно определенной, так как q(1;0)=0 для x=(1~,0)^Tne o . В силу неравенства q(x_1,x_2)=x_2^2geqslant0 эта форма неотрицательно определенная.

3) Квадратичная форма q(x_1,x_2)=2x_1x_2 неопределенная, так как она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, q(1;1)=2>0,~ q(1;-1)=-2<0 .

Замечания 6.8

1. Положительно определенная квадратичная форма приводится к нормальному виду (6.19) $widetilde{widetilde{q}}(z)=z_1^2+z_2^2+ldots+z_n^2$ , т.е. p=r=sigma=n — положительный индекс (p) , ранг (r) и сигнатура (sigma) равны количеству (n) ее переменных. Отрицательный индекс равен нулю. Согласно теореме 6.3, они не изменяются при невырожденной замене переменных.

2. Дискриминант положительно определенной квадратичной формы больше нуля, т.е. det{A}>0 .

Действительно, матрица нормального вида положительно определенной квадратичной формы — единичная (см. пункт 1). Следовательно, матрица положительно определенной квадратичной формы конгруэнтна единичной матрице E=S^TAS . Следовательно, $det{A}cdotdet!^{2}S=1$ , т.е. det{A}>0 .

3. Неотрицательно определенная квадратичная форма приводится к нормальному виду (6.19) $widetilde{widetilde{q}}(z)=z_1^2+z_2^2+ldots+z_r^2$ , то есть p=r=sigma<n — положительный индекс (p) , ранг (r) и сигнатура (sigma) равны, но меньше количества переменных. Отрицательный индекс равен нулю.

4. Для отрицательно (неположительно) определенных квадратичных форм справедливы утверждения аналогичные пунктам 1-3, так как знаки форм q(x) и [-q(x)] противоположные.

Критерий Сильвестра

Теорема 6.4 (критерий Сильвестра). Для того чтобы вещественная квадратичная форма q(x)=x^TAx была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:

$Delta_1=a_{11}>0,quad Delta_2=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\ a_{21}&a_{22} end{vmatrix}>0,quad ldots,quad Delta_n=det{A}>0.$

(6.20)

Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров ее матрицы чередовались, начиная с отрицательного:

$Delta_1=a_{11}<0,quad Delta_2=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\ a_{21}&a_{22} end{vmatrix}>0,quad ldots,quad (-1)^nDelta_n=(-1)^ndet{A}>0.$

(6.20)

В самом деле, рассмотрим первое утверждение теоремы (о положительной определенности). Достаточность условий (6.20) следует из теоремы 6.3 (теоремы Якоби), так как при выполнении этих неравенств квадратичная форма приводится к каноническому виду

$widetilde{q}(y)= frac{Delta_1}{Delta_0},y_1^2+ frac{Delta_2}{Delta_1},y_2^2+ldots+ frac{Delta_n}{Delta_{n-1}},y_n^2$

с положительными коэффициентами при квадратах переменных (Delta_0=1) . Ясно, что widetilde{q}(y)>0 для всех yne o , т.е. $q(x)=widetilde{q}(S^{-1}x) >0$ для всех xne o .

Для доказательства необходимости рассмотрим квадратичную форму q_k(x_1,ldots,x_k)=q(x_1,ldots,x_k,0,ldots,0) переменных (1leqslant kleqslant n) . Матрица A_k этой формы представляет собой левый верхний блок матрицы $A=begin{pmatrix}A_k!!&vline!!&ast\hline ast!!&vline!!&astend{pmatrix}$ данной квадратичной формы (звездочкой (ast) , как обычно, обозначены блоки, не существенные для рассуждений). Из положительной определенности q(x) следует положительная определенность формы q_k(x_1,ldots,x_k) . Тогда из пункта 2 замечаний 6.8 следует, что $det{A_k}>0$ , но $Delta_k=det{A_k}$ — угловой минор k-го порядка матрицы . Таким образом, Delta_k>0 для 1leqslant kleqslant n , что и требовалось доказать. Второе утверждение сводится к первому, если рассмотреть квадратичную форму [-q(x)] (см. пункт 4 замечаний 6.8).

Критерий полуопределенности квадратичной формы

Теорема 6.5 (критерий полуопределенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма q(x)=x^TAx была неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны.

Для неположительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы удовлетворяли условиям:

$(-1)^kM_{j_1,j_2,ldots,j_k}^{i_1,i_2,ldots,i_k}geqslant 0$

(6.22)

для 1leqslant i_1<i_2<leqslant i_kleqslant n,~ 1leqslant j_1<j_2<leqslant j_kleqslant n,~ 1leqslant kleqslant n .

Условия (6.22) означают, что главные миноры четного порядка должны быть неотрицательны, а нечетного порядка — неположительны. Для доказательства теоремы используется критерий Сильвестра.

Пример 6.12. Выяснить знакоопределенность квадратичных форм с матрицами

$A=begin{pmatrix}1&1\1&2end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}-1&1\ 1&-1 end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&-1end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица — положительно определенная (A>0) , так как ее угловые миноры положительны Delta_1=Delta_2=1>0 . Следовательно, квадратичная форма q(x)=x^TAx=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2 положительно определенная (см. теорему 6.4). Этот вывод подтверждается выделением полных квадратов: q(x)=(x_1+x_2)^2+x_2^2 , т.е. квадратичная форма знакоопределенная.

Матрица не является положительно или отрицательно определенной, так как ее угловые миноры не удовлетворяют критерию Сильвестра: Delta_1=-1<9,~Delta_2=0 . Проверим условия (6.22):

$(-1)^1M_{{}_1}^{{}^1}=(-1)^1Delta_1=1geqslant0,quad (-1)^1M_{{}_2}^{{}^2}= (-1)^1cdot(-1)=1geqslant0,quad (-1)^2M_{{}_{1,2}}^{{}^{1,2}}=(-1)^2Delta_2=0.$

Условия выполняются, значит, матрица В является неположительно определенной (Bleqslant0) . Следовательно, квадратичная форма q(x)=x^TBx неположительно определенная. Этот вывод подтверждается выделением полного квадрата:

q(x)=x^Tcdot Bcdot x=-x_1^2+2x_1x_2-x_2^2= -(x_1-x_2)^2,

т.е. для всех x,,y которых x_1=x_2 , справедливо равенство q(x)=0 , а для остальных выполняется неравенство q(x)<0 .

Матрица не является положительно или отрицательно определенной, так как ее угловые миноры не удовлетворяют критерию Сильвестра: Delta_1=0, Delta_2=-1<0, Delta_2=1>0 . Кроме того, эти миноры не удовлетворяют критерию полуопределенности (см. теорему 6.5). Следовательно, матрица неопределенная (Cgtrless0) . Тогда и квадратичная форма q(x)=x^TCx=2x_1x_2-x_3^2 неопределенная. Действительно, выпишем

главные миноры первого порядка: $M_{1}^{1}=0,~ M_{2}^{2}=0,~ M_{3}^{3}=-1$ ;

главные миноры второго порядка: $M_{1,2}^{1,2}=-1,~ M_{1,3}^{1,3}=0,~ M_{2,3}^{2,3}=0$ ;

главный минор третьего порядка: $M_{1,2,3}^{1,2,3}=1$ .

Так как среди них есть хотя бы один отрицательный, то квадратичная форма не является неотрицательно определенной. Поскольку среди главных миноров четного порядка есть отрицательный (среди главных миноров нечетного порядка есть положительный), то квадратичная форма не является неположительно определенной. Нетрудно заметить, что при x_1=x_2=0, x_3=1 q(x)=-1<0 , а при x_1=x_2=1, x_3=0 q(x)=2>0 , т.е. квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, следовательно, является знакопеременной (неопределенной).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 сентября 2021 года; проверки требуют 3 правки.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение[править | править код]

Пусть есть векторное пространство над полем и $e_{1},e_{2},dots ,e_{n}$ — базис в .

Функция Q:Lto K называется квадратичной формой,
если её можно представить в виде

$Q(x)=sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j},$

где $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+cdots +x_{n}e_{n}$ , а $a_{{ij}}$ — некоторые элементы поля .

Связанные определения и свойства[править | править код]

${displaystyle Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}}$

${displaystyle A'=C^{T}A,C,}$

где

— матрица квадратичной формы в новом базисе.

Из формулы ${displaystyle A'=C^{T}A,C}$ следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг , то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма , такая, что . Билинейную форму называют полярной к , если она может быть вычислена по формуле

$B(x,y)={frac {1}{2}},(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы[править | править код]

В случае, когда (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид[править | править код]

Вещественный случай[править | править код]

В случае, когда (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

${displaystyle Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^{2}-cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},quad 0leq p,qleq r,quad p+q=r,qquad (*)}$

где — ранг квадратичной формы. . В этом случае коэффициенты $a_{{i}}$ называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы , а в случае вырожденной — .

Существует также нормальный вид квадратичной формы:
${displaystyle Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2},quad 0leq p,qleq r,quad p+q=r,qquad (*)}$ .

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p-q (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p,q) . Числа являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай[править | править код]

В случае, когда (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

${displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+cdots +x_{r}^{2},qquad (**)}$

где — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Теорема Витта
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Источник

Примеры решений. Квадратичные формы

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Решения задач: квадратичные формы

Задача 1. Дано уравнение кривой второго порядка. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы соответствующей квадратичной формы и использовать их для приведения уравнения кривой к каноническому виду.

$$3x^2+3y^2-4xy+6x-4y-7=0$$

Задача 2. Линейным преобразованием координат привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой.

$$ x^2-4xy+y^2+4x-2y+1=0. $$

Задача 3. Привести квадратичную форму к каноническому виду: а) методом Якоби, б) методом Лагранжа. Найти канонический базис и матрицу перехода к каноническому базису.

$$k(x)=4x_1^2+8x_2^2+x_3^2+8x_1x_2+4x_1x_3+8x_2x_3.$$

Задача 4. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Найти это преобразование, канонический базис, матрицу перехода к каноническому базису, убедиться, что в этом базисе матрица квадратичной формы является диагональной.

$$k(x)=-2x_1^2+2x_2^2-2x_3^2-4x_1x_2+5sqrt{2}x_1x_3+sqrt{2}x_2x_3.$$

Задача 5. Используя теорию квадратичных форм, исследовать кривую второго порядка заданную общим уравнением и построить ее.

$$
-4xy-x+4y=6=0.
$$

Задача 6. Найти линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичные формы, заданные своими матрицами, к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.

$$
begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\
-1 & 2 & -1\
0 & -1 & 1\
end{pmatrix}
$$

Не получаются задачи? Решим быстро и недорого!

Источник

Квадратичные формы и их определение

Квадратичные формы

Закон инерции и знакоопределенность квадратичных форм

Закон инерции вещественных квадратичных форм

Знакоопределенность вещественных квадратичных форм

Критерий Сильвестра

Критерий полуопределенности квадратичной формы

Определение[править | править код]

Связанные определения и свойства[править | править код]

Знакоопределённые и знакопеременные формы[править | править код]

Канонический вид[править | править код]

Вещественный случай[править | править код]

Комплексный случай[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Примеры решений. Квадратичные формы

Решения задач: квадратичные формы

Вам также может понравиться

Как найти кос числа

Как можно найти человека жди меня

Как найти нок чисел онлайн калькулятор

Добавить комментарий Отменить ответ