Как найти знак разности

Вычесть значит отнять одно число от другого. Вычитание есть такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. При вычитании целых чисел большее число уменьшается на столько единиц, сколько их содержится в меньшем.

Вычесть одно число из другого значит убавить одно число другим, поэтому вычитание есть действие обратное сложению.

Вычитание

В вычитании два данных числа называются уменьшаемым и вычитаемым, а искомое — разностью.

Уменьшаемым называют большее число, от которого отнимают другое. Оно уменьшается от вычитания.

Вычитаемым называют меньшее число, которое отнимают от большего.

Разностью называют вывод, полученный от вычитания. Разность определяет, чем одно число больше другого или показывает разницу между двумя числами.

Знак вычитания. Действие вычитания обозначается знаком — (минус).

Вычитание однозначных чисел

Чтобы обозначить, что из 9 нужно вычесть 6, пишут эти числа рядом, отделяя их знаком — (минус):

• 9 6.

Разность между этими числами будет 3, и ход вычисления выражают словесно:

девять без шести равно трем.

Письменно:

• 9 6 = 3.

Большее число 9 будет уменьшаемым, меньшее 6 вычитаемым, число 3 остатком.

Способы вычитания

Можно двумя способами вычесть одно число из другого:

1. или можно отнять от большего числа столько единиц, сколько их содержится в меньшем. Так, из 9 вычесть 6 значит от 9 отнять 6. Число 3 будет искомый остаток,
2. или можно к меньшему числу прибавлять по единице до тех пор, пока не получим большее число. Так, вычитая 6 из 9, мы к 6 прибавляем 3 единицы.

Число единиц, которое нужно прибавить к меньшему числу, чтобы уравнять его с большим, определяет разность.

Меньшее число с разностью должно равняться большему числу, следовательно, меньшее число и разность суть слагаемые, а большее — их сумма. На этом основано другое определение вычитания:

• Вычитание есть такое действие, в котором по данной сумме и одному слагаемому отыскивается другое слагаемое.

В этом случае данная сумма есть уменьшаемое, данное слагаемое — вычитаемое, а искомаяразность — другое слагаемое.

Вычитание многозначных чисел

Вычитание многозначных чисел основывается на том свойстве чисел, по которому вычесть число все-равно, что вычесть все его части. Из этого свойства видно, что вычесть какое-нибудь число все-равно, что вычесть последовательно все его единицы, десятки, сотни и т. д. Чтобы обозначить, что из числа 7228 нужно вычесть 3517, пишут:

• 7228 3517 и вычитают отдельно единицы из единиц, десятки из десятков и т. д.

Чтобы облегчить вычитание, подписывают меньшее число под большим так, чтобы единицы одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, проводят черту, слева ставят знак вычитания и под чертою подписывают разность.

Ход вычисления выражают словесно:

1. Начинаем вычитание с простых единиц: 8 без 7 составляют 1, подписывают под единицами 1.
2. Вычитаем десятки: 2 без 1 дают 1, подписываем под десятками 1.
3. Вычитаем сотни. Пять нельзя вычесть из 2, поэтому занимаем у следующего высшего порядка (тысяч) единицу, что и обозначаем тем, что над 7 ставим точку. Единица каждого порядка содержит 10 единиц следующего меньшего порядка. Присоединяя эти 10 единиц к 2, получим 12, 12 без 5 составляют 7, подписываем под сотнями 7. Когда занимают единицу у высшего порядка, обозначают это тем, что ставят точку над порядком, у которого занимают.
4. Вычитаем тысячи. Тысяч осталось вместо 7 только 6, ибо одна была взята. 6 без 3 составляют 3, подписываем под тысячами 3.

Ход вычисления выражают письменно:

Пример. Из 17004 вычесть 6025.

Из 4 нельзя вычесть 5. Занимаем единицу у десятков, следующего высшего порядка, но в этом порядке единиц нет, занимаем у сотен, и сотен нет, занимаем у тысяч и обозначаем это точкой над цифрой 7.

Единица четвертого имеет 10 единиц третьего порядка. Взяв из них одну для десятков, оставляем их в сотнях только 9. Присоединив 10 к 4, имеем 14.

Производя вычитание, получим:

• для единиц 14 5 = 9
• для десятков 9 2 = 7
• для сотен 9 0 = 9
• для тысяч 6 6 = 0

Для десятков тысяч имеем 1, ибо эту цифру уменьшаемого переносим в разность без изменения.

Ход вычисления выразится письменно:

Из предыдущих примеров выводим правила вычитания:

1. Чтобы сделать вычитание целых чисел, нужно вычитаемое подписать под уменьшаемым так, чтобы единицы одинаковых порядков стояли в одном вертикальном столбце, провести черту, под которою и подписать разность.
2. Вычитание нужно начинать с простых единиц, то есть с первого столбца, и затем, переходя к следующим столбцам от правой руки к левой, вычитают десятки из десятков, сотни из сотен и т. д.
3. Если цифра вычитаемого меньше цифры уменьшаемого, разность подписывают в том же столбце, если цифры равны, разность будет нуль.
4. Если же цифра вычитаемого больше соответствующей цифры уменьшаемого, занимают единицу у следующего порядка уменьшаемого, отмечая это точкой, поставленной над цифрой, у которой занимают, прикладывают 10 к цифре уменьшаемого и производят вычитание. Цифру же с точкой считают на единицу меньше.
5. Если при вычитании цифра уменьшаемого, у которого занимают, будет 0, за которым в уменьшаемом следуют тоже нули, то занимают у первой значащей цифры, ставя над нею и всеми промежуточными нулями точки. Цифру с точкой считают на единицу меньше, а нули с точкой считают за 9.
6. Вычитание продолжают до тех пор, пока не получат полной разности.
7. Лишние цифры уменьшаемого переносят в разность.

Зависимость между данными и искомыми вычитания

Из примера 9 6 = 3 видно, что

1. Уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с разностью: 9 = 6 + 3.
2. Вычитаемое равно уменьшаемому без разности: 6 = 9 3.
3. Разность равна уменьшаемому без вычитаемого: 3 = 9 6.

Арифметическое дополнение. Разность между числом и ближайшей большей единицей называется арифметическим дополнением. Так, арифметическими дополнениями чисел 7, 79, 983 будут числа:

• 10 7 = 3
• 100 79 = 21
• 1000 983 = 17

Арифметическим дополнением иногда пользуются для облегчения арифметических вычислений.

Вычитание чисел

Вычитание – это арифметическое действие обратное сложению, посредством которого из одного числа вычитают (отнимают) столько единиц, сколько их содержится в другом числе.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, число, которое указывает сколько единиц будет вычтено из первого числа, называется вычитаемым. Число, получаемое в результате вычитания, называется разностью (или остатком).

Рассмотрим вычитание на примере. На столе лежит 9 конфет, если съесть 5 конфет, то их останется 4. Число 9 является уменьшаемым, 5 – вычитаемым, а 4 – остатком (разностью):

Для записи вычитания используется знак (минус). Он ставится между уменьшаемым и вычитаемым, при этом уменьшаемое записывается слева от знака минус, а вычитаемое – справа. Например, запись 9  5 означает, что из числа 9 вычитается число 5. Справа от записи вычитания ставят знак = (равно), после которого записывают результат вычитания. Таким образом, полная запись вычитания выглядит так:

Эта запись читается так: разность девяти и пяти равняется четырём или девять минус пять равно четыре.

Чтобы в результате вычитания получить натуральное число или 0, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равно ему.

Рассмотрим, как, используя натуральный ряд, можно выполнить вычитание и найти разность двух натуральных чисел. Например, нам необходимо вычислить разность чисел 9 и 6, отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево 6 чисел. Получим число 3:

9 6 = 3

Вычитание также можно использовать для сравнения двух чисел. Желая сравнить между собой два числа, мы задаёмся вопросом, на сколько единиц одно число больше или меньше другого.

Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее. Например, чтобы узнать, на сколько 10 меньше 25 (или на сколько 25 больше 10), надо из 25 вычесть 10.

Тогда найдём, что 10 меньше 25 (или 25 больше 10) на 15 единиц.

Проверка вычитания

Рассмотрим выражение

15 7 = 8

где 15 – это уменьшаемое, 7 – это вычитаемое, а 8 – разность. Чтобы узнать правильно ли было выполнено вычитание, можно:

1. вычитаемое сложить с разностью, если получится уменьшаемое, то вычитание было выполнено верно:7 + 8 = 15
2. от уменьшаемого отнять разность, если получится вычитаемое, то вычитание было выполнено верно:15 8 = 7

Что такое разность чисел в математике?

Для многих точные науки, вроде математики, воспринимаются как нечто более простое, чем сферы, требующие рассуждений, предполагающие большую вариативность. Однако все предметы имеют свои сложности, в том числе и технические.

Вычитание

Для того, чтобы понять, чем является разность, необходимо разобраться в ряде математической терминологии. В первую очередь, нужно выяснить, чем является вычитание.

По-другому это понятие называют убавлением, и по такому названию понять смысл процесса несколько проще. По своей сути вычитание является одной из математических операций.

Что же это за операции? Как правило, под ними понимают определенные арифметические или логические действия. Встает логичный вопрос – в чем же суть арифметических действий?

Понятие арифметики появилось достаточно давно. Оно зародилось в древнегреческом языке, где переводилось как «число». Сегодня это раздел математики, который изучает числа, их отношения друг к другу, а также свойства.

Итак, вычитание – это операции с числами, относящиеся к бинарным. Суть бинарных операций в том, что в них используются два аргумента (параметра), и получается один результат.

Стоит рассмотреть, как найти разность какого-то числа. В первую очередь, необходимы два аргумента, то есть два числа. Затем необходимо уменьшить значение первого числа на значение второго.

Когда данная операция выражается письменно, используется знак «минус». Это выглядит так: а – б = с, где а является первым числовым значением, б – вторым, а с – разностью чисел.

Как правило, у учеников возникает гораздо больше проблем именно с вычитанием, нежели со сложением. Отчасти это связано со свойствами данных математических операций.

Всем известно, что от перемены мест слагаемых значение суммы не меняется. В вычитании же всё гораздо сложней. Если поменять числа местами, получится совершенно другой результат.

Схожим свойством в прибавлении и убавлении является то, что нулевой элемент не меняет исходное число.

В вычитании всё относительно просто, если первое число больше второго, однако в школе будут рассматриваться и противоположные примеры. В этом случае возникает понятие отрицательного числа.

Например, если нужно вычесть из 5 число 2, то всё несложно. 5-2=3, таким образом разность числа составит 3. Однако, что делать, если необходимо посчитать, сколько будет два минус пять?

В выражении 2-5 разность уйдет в минус, то есть в отрицательное значение. Из двойки легко можно вычесть двойку, получив таким образом ноль, однако от пятерки остается ещё три. Таким образом, результатом данного выражения будет отрицательное число три. То есть, 2-5=-3.

Что такое разность чисел: уменьшаемое, вычитаемое, разность — правило

Статья познакомит читателя с понятиями «разность чисел», «вычитаемое» и «уменьшаемое».

В арифметике существует всего четыре основных действия, которые мы называем сложением, умножением, вычитанием и делением.

Такие действия являются основой всей математики – они позволяют нам осуществлять все вычисления: как простые, так и самые сложные.

Самыми простыми действиями считаются сложение и вычитание, которые противоположны друг другу. Правда, слово «сложение» мы также используем и в обычной жизни.

Мы можем встретить фразу «сложить усилия, например, когда нам нужно сделать какую-нибудь работу всем вместе. Но вот с термином «вычитание» дело обстоит немного сложнее, и в разговоре оно встречается реже.

Мы редко услышим такие выражения, как «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность». Но в сегодняшней статье мы подробно поговорим о них с точки зрения математики.

Что значит число уменьшаемое, число вычитаемое и разность чисел?

Что значит число уменьшаемое, число вычитаемое и разность чисел? Как известно, многие научные термины и выражения взяты из других языков, чаще греческого и латинского. Но те слова, которые будут рассмотрены ниже, имеют русское происхождение, потому нам будет проще их разобрать.

Например, что можно сказать о разности чисел? Если мы обратим внимание на корень слова «разность», то нам представится, например, его однокоренное слово «разница».

А если речь идет о математике, то тут и думать нечего – слово «разность» означает разницу между какими-то цифрами, а точнее, двумя числами.

Разница нам показывает, насколько одна величина больше другой или, наоборот, вторая меньше первой. Строго в математике это выглядит как результат вычитания.

Сразу же приведем пример. Допустим, буфетчица несет на подносе восемь пирожков. Пять из них она раздала посетителям. Сколько пирожков останется у буфетчицы на подносе? Если из 8 вычесть 5, то получится — 3. Теперь запишем это математически:

То есть разница между восемью и пятью – это три. Теперь нам понятно, что такое термин «разница».

Внимание: Если два числа равны друг другу, то разницы между ними не существует, она равна нулю (8 – 8 = 0).

Теперь нам следует выяснить, что такое вычитаемое и уменьшаемое. Снова представим значение слов по их смыслу. Чем может являться число уменьшаемое? Уменьшаемое – это то число, которое уменьшается при вычитании. От этого числа отнимают другое число. А что такое вычитаемое? Вычитаемым как раз и является том числом, которые мы отнимаем от уменьшаемого.

Вернемся к примеру с буфетчицей. Мы помним, как от восьми отнимали пять, и у нас получилось три. Мы выяснили, что тройка является разницей между двумя этими числами. Теперь нам уже не сложно понять, что 8 – это число уменьшаемое, а 5 – это число вычитаемое.

Как найти уменьшаемое и вычитаемое число?

Как в математике найти разницу чисел мы уже разобрались. Это довольно просто. Но сможем ли мы найти уменьшаемое и вычитаемое число, если одно число неизвестно? Конечно можем, так как нам будут известны два других числа. Например, как мы можем найти уменьшаемое число? Если мы знаем значение разницы и вычитаемого, то сумма этих двух чисел равняется уменьшаемому:

• Y – 10 = 18, где Y – число уменьшаемое
• Значит, Y = 18 + 10
• 18 + 10 = 28
• Y = 28

Вычитаемое находится так же просто. Если мы знаем разницу и уменьшаемое, значит вычитаемое мы получим, отняв от уменьшаемого числа разность:

• 28 – B = 10, где B – число вычитаемое
• Значит, B = 28 – 10
• 28 – 10 = 18
• B = 18

Что такое разность чисел в математике и как найти разность чисел

В этой статье мы рассмотрим, что такое разность чисел в математике, и как человеку, интересующемуся этой наукой, найти разность чисел.

Что такое разность чисел в математике

Вычитание является одной из 4 арифметических операций. Для его обозначения служит математический знак «−» (минус). Вычитание противоположно по смыслу операции сложения.

Операция вычитания в общем случае записывается следующим образом:

A − B = C

Число Математическое название

A	Уменьшаемое
B	Вычитаемое
C	Разность чисел

Пример: 6 − 2 =4

Здесь разностью чисел будет являться число 4. Следовательно, разность между любыми числами A и B это такое число C, которое при прибавлении к B даст в сумме A (4 при прибавлении к 2 дает 6 — значит, 4 это разность 6 и 2).

Как найти разность чисел

Уже из самого определения следует, как вычислить разность между двумя числами. При небольших числах можно делать это в уме. Детей в начальной школе учат следующим образом. Представьте, что у Вас есть 5 яблок, и 3 из них забрали. Сколько у Вас осталось? Правильно — 2 яблока. Постепенно Вы доведете вычисления до автоматизма и будете сразу выдавать ответ.

Однако для чисел выше 50 такое наглядное представление перестает работать. Большое количество предметов тяжело представить в уме, поэтому здесь на помощь приходит другой способ:

Вычисление разности в столбик

Школьники изучают этот способ в рамках курса математики, обычно во втором или третьем классе. Взрослые люди, пользующиеся калькулятором, зачастую забывают, как считать в столбик. Однако калькулятор не всегда бывает под рукой. Освежите в памяти школьные знания, посмотрев это видео.

Вычисление разности в столбик – видео

Этот способ применим и тогда, когда Вам нужно вычесть большее число из меньшего. В реальной жизни такое обычно не требуется, но может пригодиться при решении математических задач.

Допустим, в примере A − B = C B больше, чем A. Тогда C будет отрицательным. Чтобы вычислить разность, «разверните» пример: посчитайте значение B − A.

Когда Вы закончите считать эту разность, у вас получится число C, только с противоположным знаком: оно будет больше нуля. Чтобы завершить вычисления, припишите к нему спереди знак минус.

Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность)^[1], получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: . Вычитание — операция обратная сложению.

В общем виде можно записать: , где и . То есть каждой паре элементов из множества ставится в соответствие элемент , называемый разностью и .
Вычитание возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).

При наличии отрицательных чисел, вычитание удобно рассматривать (и определять) как разновидность сложения — сложение с отрицательным числом^[2]. К примеру, можно рассматривать как сложение: .

На множестве вещественных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

У вычитания есть несколько важных свойств (например для ):

Антикоммутативность:

Неассоциативность:

Дистрибутивность:

Вычитание (нулевого элемента) даёт число равное исходному:

В качестве примера, на картинке справа запись обозначает пять яблок вычесть два яблока, что в результате дает три яблока. Заметим, что нельзя вычесть например из 5 яблок 2 груши. Помимо счета яблок, вычитание также может представлять разность других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.

Формы записи и терминология[править | править код]

Вычитание записывается с использованием символа «минус»: «» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте символ «минус» является бинарным оператором. Результат записывается с использованием знака равенства «», например:

 ;

(«шесть минус три равно три») ;

(«шестьдесят четыре минус тридцать пять равно двадцать девять») .

На письме символ «минус» очень похож на другие письменные символы «дефис», «тире» и другие. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочного истолкования символа.

Свойства[править | править код]

Операция вычитание на числовых множествах имеет следующие основные свойства:

• Вычитание антикоммутативно — от перемены мест аргументов разность изменяется:

Антикоммутативность:

• Вычитание антиассоциативно — при последовательном выполнении вычитания трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:

Антиассоциативность:

• Вычитание дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон^[4] .

Дистрибутивность:

• Относительно вычитания в множестве существует единственный нейтральный элемент, вычитание из числа нулевого (или нейтрального элемента) даёт число равное исходному:

Нулевой элемент:

• Вычитание нуля идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

Идемпотентность: ;

• Вычитание противоположного элемента даёт удвоенное число:

Результат вычитания не всегда является определённым для множества натуральных чисел : чтобы получить натуральное число в результате вычитания, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Невозможно в рамках натуральных чисел вычесть из меньшего числа большее.

Операция вычитания чисел определённых на множествах даёт число (разность) принадлежащее этому же множеству, следовательно операция вычитание относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел образуют кольца относительно операции вычитания.

Выполнение вычитания[править | править код]

Операцию вычитания можно представить, как некий «черный ящик» с уменьшаемым и вычитаемым на входе и одним выходом — разностью:

При практическом решении задачи вычитания двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое вычитание», заём, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы вычитания, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного вычитания. При этом следует рассматривать вычитание как процедуру (в отличие от операции).

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при вычитании больших чисел может занять продолжительное время.

«Простое вычитание» — в данном контексте обозначает операцию вычитания чисел меньше двадцати, которая может быть легко сведена к декрементированию. Является гипероператором декрементирования:

где:  — последовательность операций инкрементирования, выполненная раз;
 — последовательность операция декрементирования, выполненная раз.

Чтобы упростить и ускорить процесс вычитания используют табличный метод «простого вычитания», для этого заранее вычисляют все комбинации разностей чисел от 18 до 0 и берут готовый результат из этой таблицы ^[5]:

Данная процедура применима к вычитанию натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Вычитание чисел[править | править код]

Натуральные числа[править | править код]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «вычитание» определяется следующим образом:

где  — разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на отрезок можно понимать как нумерацию элементов множества . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для вычитания натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм вычитания. Если даны два натуральных числа и  такие, что:

где ;  — количество цифр в числе ;  — порядковый номером разряда (позиции), ;  — основание системы счисления; множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: , , ; тогда:

вычитая поразрядно, получаем:

• 
• 
• 
• 

Таким образом операция вычитания сводится к процедуре последовательного простого вычитания натуральных чисел , с формированием заёма при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо декрементированием (счетом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания, соответствующей данному основанию системы счисления.

Пример вычитания натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, знак заёма пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

Целые числа[править | править код]

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел ^[6] вида . Множество целых чисел обозначается Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Наличие отрицательных чисел позволяет рассматривать (и определять) «вычитание» как разновидность «сложения» — сложение с отрицательным числом. Однако рассмотрим в рамках данной статьи «вычитание», как операцию определённую на множестве целых чисел, это также относится и к следующим числовым множествам. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру вычитания. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного вычитания (сложения). Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел и разные знаки, то выносим минус за скобки: , вычисляя далее получим ответ: .

Рациональные числа[править | править код]

Множество рациональных чисел обозначается (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

Для вычитания рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем вычесть полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби не сокращаемые), тогда:

^[7]

Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: .
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на .
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве любое другое общее кратное.

Пример вычитания:

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

Если знаменатели кратны какому-либо числу, то преобразуем только одну дробь:

Арифметическая операция «вычитание» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа[править | править код]

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[8] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их разностью называют число , определённое разностью последовательностей и :

;

вещественное число , удовлетворяет следующему условию:

.

Таким образом разностью двух вещественных чисел и  является такое вещественное число  которое содержится между всеми разностями вида  с одной стороны и всеми разностями вида  с другой стороны^[9].

На практике для того, чтобы вычесть два числа и , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение разности чисел берут разность указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и . Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При вычитании приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность разности заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей аргументов; на практике принимается наибольшее значение . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример вычитания , с точностью до 3-го знака после запятой:

График[править | править код]

На множестве вещественных чисел область значений функции вычитания графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

Так как , то и для этих множеств область значений функции вычитания будет принадлежать этой плоскости.

Комплексные числа[править | править код]

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом .

Комплексные числа вычитаются друг с другом путём вычитания действительных и мнимых частей^[10]. Это значит, что:

Где: ,  — мнимая единица. Используя представление комплексных чисел как векторов на комплексной плоскости, можно дать вычитанию комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: разностью комплексных чисел и , представленных векторами на комплексной плоскости, будет вектор, соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, он является разностью векторов и соответственно разностью комплексных чисел (аналогично будет если к уменьшаемому вектору прибавить вектор обратный вычитаемому вектору).

Аналогично для комплексных чисел n-ой размерности:

Экспоненциальная запись[править | править код]

В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где  — мантисса,  — характеристика числа,  — основание системы счисления. Для вычитания двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: согласно свойству дистрибутивности.

Например:

Вычитание произвольных чисел[править | править код]

При вычитании чисел принадлежащих разным множествам необходимо произвести расширение числа из множества с меньшей мощностью в сторону числа из множества с большей мощностью, либо оба числа расширить до уравнивания множеств, если существует такая возможность. Например, если нужно вычесть из рационального числа натуральное число , то воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число до рационального числа и вычитаем два рациональных числа . Аналогично, пользуясь тем, что: можно вычитать числа из различных множеств между собой.

Особенности обучения вычитанию школьников[править | править код]

Практика показывает, что школьников легче научить вычислять разность чисел, чем научить их принимать решение о применимости операции вычитания в той или иной задаче. Это связано с тем, что вычитание, в отличие, например, от сложения, — некоммутативная операция, её аргументы играют разные роли, и ситуации задач на вычитание, которые должен разрешить ученик, существенно разнообразней, чем при сложении. В связи с этим детям, решившим задачу на вычитание одного вида, может быть затруднительно решить задачу на вычитание другого вида, даже с такими же числовыми данными. Педагог, работающий с ребёнком, должен убедиться, что его ученик уверенно чувствует себя и находит решение задач на вычитание следующих видов:

Виды задач	Примеры задач
Задачи на нахождение результата действия или процесса, приводящих к уменьшению (расходу) начального количества	У Васи было 5 яблок, 3 из них он раздал друзьям. Сколько яблок у него осталось?
Задачи на сравнение чисел и величин, нахождение разницы, превышения, избытка	На участке дороги максимальная разрешённая скорость — 60 км/ч. Автомобиль едет по ней со скоростью 85 км/ч. На сколько водитель превышает допустимую скорость?
Задачи на измерение интервалов — временных и пространственных (как особый cлучай предыдущего вида задач)	В школе уроки заканчиваются в 13 часов 05 минут. Сейчас 10 часов 42 минуты. Сколько ещё ждать до конца уроков?
Задачи на нахождение неизвестной части совокупности (объёма) как дополнения к известной части.	В классе 25 учеников. У двоих из них — рыжий цвет волос, у восьми — каштановый, шестеро — блондинов, остальные — брюнеты. Сколько в классе брюнетов?
Задачи на обращение операции сложения. Восстановление первого операнда	Маша положила в копилку 25 рублей и всего у неё стало 583 рубля. Сколько денег было у Маши до этого?
Задачи на обращение операции сложения. Восстановление второго операнда	Одна ручка стоит 20 рублей, а ручка и блокнот стоят 50 рублей. Сколько стоит блокнот?
Задачи на обращение операции вычитания. Восстановление второго операнда (вычитаемого)	На дереве сидело 16 ворон. Несколько ворон улетело, а осталось 5. Сколько ворон улетело?

См. также[править | править код]

• Сумма
• Сложение
• Умножение
• Деление

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (неопр.). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
• Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. (неопр.). — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. (неопр.). — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. (неопр.). — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (неопр.). — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• В.И. Игошин. КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
• Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования. (неопр.). — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.
• Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики : [арх. 24 августа 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 2003. — § 97 (15 января).
• Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3.

Вычесть значит отнять одно число от другого. Вычитание есть такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. При вычитании целых чисел большее число уменьшается на столько единиц, сколько их содержится в меньшем.

Вычесть одно число из другого значит убавить одно число другим, поэтому вычитание есть действие обратное сложению.

Вычитание

В вычитании два данных числа называются уменьшаемым и вычитаемым, а искомое — разностью.

Уменьшаемым называют большее число, от которого отнимают другое. Оно уменьшается от вычитания.

Вычитаемым называют меньшее число, которое отнимают от большего.

Разностью называют вывод, полученный от вычитания. Разность определяет, чем одно число больше другого или показывает разницу между двумя числами.

Знак вычитания. Действие вычитания обозначается знаком — (минус).

Вычитание однозначных чисел

Чтобы обозначить, что из 9 нужно вычесть 6, пишут эти числа рядом, отделяя их знаком — (минус):

• 9 — 6.

Разность между этими числами будет 3, и ход вычисления выражают словесно:

девять без шести равно трем.

Письменно:

• 9 — 6 = 3.

Большее число 9 будет уменьшаемым, меньшее 6 вычитаемым, число 3 остатком.

Способы вычитания

Можно двумя способами вычесть одно число из другого:

1. или можно отнять от большего числа столько единиц, сколько их содержится в меньшем. Так, из 9 вычесть 6 значит от 9 отнять 6. Число 3 будет искомый остаток;
2. или можно к меньшему числу прибавлять по единице до тех пор, пока не получим большее число. Так, вычитая 6 из 9, мы к 6 прибавляем 3 единицы.

Число единиц, которое нужно прибавить к меньшему числу, чтобы уравнять его с большим, определяет разность.

Меньшее число с разностью должно равняться большему числу, следовательно, меньшее число и разность суть слагаемые, а большее — их сумма. На этом основано другое определение вычитания:

В этом случае данная сумма есть уменьшаемое, данное слагаемое — вычитаемое, а искомаяразность — другое слагаемое.

Вычитание многозначных чисел

Вычитание многозначных чисел основывается на том свойстве чисел, по которому вычесть число все-равно, что вычесть все его части. Из этого свойства видно, что вычесть какое-нибудь число все-равно, что вычесть последовательно все его единицы, десятки, сотни и т. д. Чтобы обозначить, что из числа 7228 нужно вычесть 3517, пишут:

• 7228 — 3517 и вычитают отдельно единицы из единиц, десятки из десятков и т. д.

Чтобы облегчить вычитание, подписывают меньшее число под большим так, чтобы единицы одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, проводят черту, слева ставят знак вычитания — и под чертою подписывают разность.

Ход вычисления выражают словесно:

1. Начинаем вычитание с простых единиц: 8 без 7 составляют 1; подписывают под единицами 1.
2. Вычитаем десятки: 2 без 1 дают 1, подписываем под десятками 1.
3. Вычитаем сотни. Пять нельзя вычесть из 2, поэтому занимаем у следующего высшего порядка (тысяч) единицу, что и обозначаем тем, что над 7 ставим точку. Единица каждого порядка содержит 10 единиц следующего меньшего порядка. Присоединяя эти 10 единиц к 2, получим 12; 12 без 5 составляют 7, подписываем под сотнями 7. Когда занимают единицу у высшего порядка, обозначают это тем, что ставят точку над порядком, у которого занимают.
4. Вычитаем тысячи. Тысяч осталось вместо 7 только 6, ибо одна была взята. 6 без 3 составляют 3; подписываем под тысячами 3.

Ход вычисления выражают письменно:

Пример. Из 17004 вычесть 6025.

Из 4 нельзя вычесть 5. Занимаем единицу у десятков, следующего высшего порядка, но в этом порядке единиц нет; занимаем у сотен, — и сотен нет; занимаем у тысяч и обозначаем это точкой над цифрой 7.

Единица четвертого имеет 10 единиц третьего порядка. Взяв из них одну для десятков, оставляем их в сотнях только 9. Присоединив 10 к 4, имеем 14.

Производя вычитание, получим:

• для единиц 14 — 5 = 9
• для десятков 9 — 2 = 7
• для сотен 9 — 0 = 9
• для тысяч 6 — 6 = 0

Для десятков тысяч имеем 1, ибо эту цифру уменьшаемого переносим в разность без изменения.

Ход вычисления выразится письменно:

Из предыдущих примеров выводим правила вычитания:

1. Чтобы сделать вычитание целых чисел, нужно вычитаемое подписать под уменьшаемым так, чтобы единицы одинаковых порядков стояли в одном вертикальном столбце, провести черту, под которою и подписать разность.
2. Вычитание нужно начинать с простых единиц, то есть с первого столбца, и затем, переходя к следующим столбцам от правой руки к левой, вычитают десятки из десятков, сотни из сотен и т. д.
3. Если цифра вычитаемого меньше цифры уменьшаемого, разность подписывают в том же столбце; если цифры равны, разность будет нуль.
4. Если же цифра вычитаемого больше соответствующей цифры уменьшаемого, занимают единицу у следующего порядка уменьшаемого, отмечая это точкой, поставленной над цифрой, у которой занимают, прикладывают 10 к цифре уменьшаемого и производят вычитание. Цифру же с точкой считают на единицу меньше.
5. Если при вычитании цифра уменьшаемого, у которого занимают, будет 0, за которым в уменьшаемом следуют тоже нули, то занимают у первой значащей цифры, ставя над нею и всеми промежуточными нулями точки. Цифру с точкой считают на единицу меньше, а нули с точкой считают за 9.
6. Вычитание продолжают до тех пор, пока не получат полной разности.
7. Лишние цифры уменьшаемого переносят в разность.

Зависимость между данными и искомыми вычитания

Из примера 9 — 6 = 3 видно, что

1. Уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с разностью: 9 = 6 + 3.
2. Вычитаемое равно уменьшаемому без разности: 6 = 9 — 3.
3. Разность равна уменьшаемому без вычитаемого: 3 = 9 — 6.

Арифметическое дополнение. Разность между числом и ближайшей большей единицей называется арифметическим дополнением. Так, арифметическими дополнениями чисел 7, 79, 983 будут числа:

• 10 — 7 = 3
• 100 — 79 = 21
• 1000 — 983 = 17

Арифметическим дополнением иногда пользуются для облегчения арифметических вычислений.

Источник: https://maths-public.ru/arithmetic/subtraction

Вычитание чисел

Вычитание – это арифметическое действие обратное сложению, посредством которого из одного числа вычитают (отнимают) столько единиц, сколько их содержится в другом числе.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, число, которое указывает сколько единиц будет вычтено из первого числа, называется вычитаемым. Число, получаемое в результате вычитания, называется разностью (или остатком).

Рассмотрим вычитание на примере. На столе лежит 9 конфет, если съесть 5 конфет, то их останется 4. Число 9 является уменьшаемым, 5 – вычитаемым, а 4 – остатком (разностью):

Для записи вычитания используется знак — (минус). Он ставится между уменьшаемым и вычитаемым, при этом уменьшаемое записывается слева от знака минус, а вычитаемое – справа. Например, запись 9 — 5 означает, что из числа 9 вычитается число 5. Справа от записи вычитания ставят знак = (равно), после которого записывают результат вычитания. Таким образом, полная запись вычитания выглядит так:

Эта запись читается так: разность девяти и пяти равняется четырём или девять минус пять равно четыре.

Чтобы в результате вычитания получить натуральное число или 0, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равно ему.

Рассмотрим, как, используя натуральный ряд, можно выполнить вычитание и найти разность двух натуральных чисел. Например, нам необходимо вычислить разность чисел 9 и 6, отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево 6 чисел. Получим число 3:

9 — 6 = 3

Вычитание также можно использовать для сравнения двух чисел. Желая сравнить между собой два числа, мы задаёмся вопросом, на сколько единиц одно число больше или меньше другого.

Чтобы узнать это, надо из большего числа вычесть меньшее. Например, чтобы узнать, на сколько 10 меньше 25 (или на сколько 25 больше 10), надо из 25 вычесть 10.

Тогда найдём, что 10 меньше 25 (или 25 больше 10) на 15 единиц.

Проверка вычитания

Рассмотрим выражение

15 — 7 = 8

где 15 – это уменьшаемое, 7 – это вычитаемое, а 8 – разность. Чтобы узнать правильно ли было выполнено вычитание, можно:

1. вычитаемое сложить с разностью, если получится уменьшаемое, то вычитание было выполнено верно:7 + 8 = 15
2. от уменьшаемого отнять разность, если получится вычитаемое, то вычитание было выполнено верно:15 — 8 = 7

Источник: https://naobumium.info/arifmetika/vychitanie.php

Что такое разность чисел в математике?

Для многих точные науки, вроде математики, воспринимаются как нечто более простое, чем сферы, требующие рассуждений, предполагающие большую вариативность. Однако все предметы имеют свои сложности, в том числе и технические.

Вычитание

Для того, чтобы понять, чем является разность, необходимо разобраться в ряде математической терминологии. В первую очередь, нужно выяснить, чем является вычитание.

По-другому это понятие называют убавлением, и по такому названию понять смысл процесса несколько проще. По своей сути вычитание является одной из математических операций.

Что же это за операции? Как правило, под ними понимают определенные арифметические или логические действия. Встает логичный вопрос – в чем же суть арифметических действий?

Понятие арифметики появилось достаточно давно. Оно зародилось в древнегреческом языке, где переводилось как «число». Сегодня это раздел математики, который изучает числа, их отношения друг к другу, а также свойства.

Итак, вычитание – это операции с числами, относящиеся к бинарным. Суть бинарных операций в том, что в них используются два аргумента (параметра), и получается один результат.

Стоит рассмотреть, как найти разность какого-то числа. В первую очередь, необходимы два аргумента, то есть два числа. Затем необходимо уменьшить значение первого числа на значение второго.

Когда данная операция выражается письменно, используется знак «минус». Это выглядит так: а – б = с, где а является первым числовым значением, б – вторым, а с – разностью чисел.

Как правило, у учеников возникает гораздо больше проблем именно с вычитанием, нежели со сложением. Отчасти это связано со свойствами данных математических операций.

Всем известно, что от перемены мест слагаемых значение суммы не меняется. В вычитании же всё гораздо сложней. Если поменять числа местами, получится совершенно другой результат.

Схожим свойством в прибавлении и убавлении является то, что нулевой элемент не меняет исходное число.

В вычитании всё относительно просто, если первое число больше второго, однако в школе будут рассматриваться и противоположные примеры. В этом случае возникает понятие отрицательного числа.

Например, если нужно вычесть из 5 число 2, то всё несложно. 5-2=3, таким образом разность числа составит 3. Однако, что делать, если необходимо посчитать, сколько будет два минус пять?

В выражении 2-5 разность уйдет в минус, то есть в отрицательное значение. Из двойки легко можно вычесть двойку, получив таким образом ноль, однако от пятерки остается ещё три. Таким образом, результатом данного выражения будет отрицательное число три. То есть, 2-5=-3.

Источник: https://topkin.ru/voprosy/nauka-voprosy/chto-takoe-raznost-chisel-v-matematike/

Что такое разность чисел: уменьшаемое, вычитаемое, разность — правило

Статья познакомит читателя с понятиями «разность чисел», «вычитаемое» и «уменьшаемое».

В арифметике существует всего четыре основных действия, которые мы называем сложением, умножением, вычитанием и делением.

Такие действия являются основой всей математики – они позволяют нам осуществлять все вычисления: как простые, так и самые сложные.

Самыми простыми действиями считаются сложение и вычитание, которые противоположны друг другу. Правда, слово «сложение» мы также используем и в обычной жизни.

Мы можем встретить фразу «сложить усилия, например, когда нам нужно сделать какую-нибудь работу всем вместе. Но вот с термином «вычитание» дело обстоит немного сложнее, и в разговоре оно встречается реже.

Мы редко услышим такие выражения, как «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность». Но в сегодняшней статье мы подробно поговорим о них с точки зрения математики.

Что значит число уменьшаемое, число вычитаемое и разность чисел?

Что значит число уменьшаемое, число вычитаемое и разность чисел? Как известно, многие научные термины и выражения взяты из других языков, чаще греческого и латинского. Но те слова, которые будут рассмотрены ниже, имеют русское происхождение, потому нам будет проще их разобрать.

Например, что можно сказать о разности чисел? Если мы обратим внимание на корень слова «разность», то нам представится, например, его однокоренное слово «разница».

А если речь идет о математике, то тут и думать нечего – слово «разность» означает разницу между какими-то цифрами, а точнее, двумя числами.

Разница нам показывает, насколько одна величина больше другой или, наоборот, вторая меньше первой. Строго в математике это выглядит как результат вычитания.

Сразу же приведем пример. Допустим, буфетчица несет на подносе восемь пирожков. Пять из них она раздала посетителям. Сколько пирожков останется у буфетчицы на подносе? Если из 8 вычесть 5, то получится — 3. Теперь запишем это математически:

То есть разница между восемью и пятью – это три. Теперь нам понятно, что такое термин «разница».

Внимание: Если два числа равны друг другу, то разницы между ними не существует, она равна нулю (8 – 8 = 0).

Теперь нам следует выяснить, что такое вычитаемое и уменьшаемое. Снова представим значение слов по их смыслу. Чем может являться число уменьшаемое? Уменьшаемое – это то число, которое уменьшается при вычитании. От этого числа отнимают другое число. А что такое вычитаемое? Вычитаемым как раз и является том числом, которые мы отнимаем от уменьшаемого.

Вернемся к примеру с буфетчицей. Мы помним, как от восьми отнимали пять, и у нас получилось три. Мы выяснили, что тройка является разницей между двумя этими числами. Теперь нам уже не сложно понять, что 8 – это число уменьшаемое, а 5 – это число вычитаемое.

Как найти уменьшаемое и вычитаемое число?

Как в математике найти разницу чисел мы уже разобрались. Это довольно просто. Но сможем ли мы найти уменьшаемое и вычитаемое число, если одно число неизвестно? Конечно можем, так как нам будут известны два других числа. Например, как мы можем найти уменьшаемое число? Если мы знаем значение разницы и вычитаемого, то сумма этих двух чисел равняется уменьшаемому:

• Y – 10 = 18, где Y – число уменьшаемое
• Значит, Y = 18 + 10
• 18 + 10 = 28
• Y = 28

Вычитаемое находится так же просто. Если мы знаем разницу и уменьшаемое, значит вычитаемое мы получим, отняв от уменьшаемого числа разность:

• 28 – B = 10, где B – число вычитаемое
• Значит, B = 28 – 10
• 28 – 10 = 18
• B = 18

Источник: https://heaclub.ru/chto-takoe-raznost-chisel-umenshaemoe-vychitaemoe-raznost-pravilo

Что такое разность чисел в математике и как найти разность чисел

В этой статье мы рассмотрим, что такое разность чисел в математике, и как человеку, интересующемуся этой наукой, найти разность чисел.

Что такое разность чисел в математике

Вычитание является одной из 4 арифметических операций. Для его обозначения служит математический знак «−» (минус). Вычитание противоположно по смыслу операции сложения.

Операция вычитания в общем случае записывается следующим образом:

A − B = C

Число Математическое название

A	Уменьшаемое
B	Вычитаемое
C	Разность чисел

Пример: 6 − 2 =4

Здесь разностью чисел будет являться число 4. Следовательно, разность между любыми числами A и B это такое число C, которое при прибавлении к B даст в сумме A (4 при прибавлении к 2 дает 6 — значит, 4 это разность 6 и 2).

Как найти разность чисел

Уже из самого определения следует, как вычислить разность между двумя числами. При небольших числах можно делать это в уме. Детей в начальной школе учат следующим образом. Представьте, что у Вас есть 5 яблок, и 3 из них забрали. Сколько у Вас осталось? Правильно — 2 яблока. Постепенно Вы доведете вычисления до автоматизма и будете сразу выдавать ответ.

Однако для чисел выше 50 такое наглядное представление перестает работать. Большое количество предметов тяжело представить в уме, поэтому здесь на помощь приходит другой способ:

Вычисление разности в столбик

Школьники изучают этот способ в рамках курса математики, обычно во втором или третьем классе. Взрослые люди, пользующиеся калькулятором, зачастую забывают, как считать в столбик. Однако калькулятор не всегда бывает под рукой. Освежите в памяти школьные знания, посмотрев это видео.

Вычисление разности в столбик – видео

Этот способ применим и тогда, когда Вам нужно вычесть большее число из меньшего. В реальной жизни такое обычно не требуется, но может пригодиться при решении математических задач.

Допустим, в примере «A − B = C» B больше, чем A. Тогда C будет отрицательным. Чтобы вычислить разность, «разверните» пример: посчитайте значение B − A.

Когда Вы закончите считать эту разность, у вас получится число C, только с противоположным знаком: оно будет больше нуля. Чтобы завершить вычисления, припишите к нему спереди знак минус.

Источник: https://www.chto-kak-skolko.ru/index.php/nauki/matematika/chto-takoe-raznost-chisel-v-matematike-i-kak-najti-raznost-chisel

План урока:

Действие сложение. Знак «+». Название компонентов действия сложения. Переместительное свойство сложения

Действие вычитание. Знак «–». Название компонентов действия вычитания

Взаимосвязь между действием сложения и действием вычитания

Действие сложение. Знак +

Название компонентов действия сложения. Переместительное свойство сложения

Добрый день! Готов к новому уроку? Сегодня у нас будет очень важное занятие. Мы получим самые драгоценные и сокровенные знания. Без этих знаний невозможно существование науки математики!

В таком сложном деле нам нужны помощники. Мы их найдем в сказочном лесу.

– Догадался? В этом лесу живут настоящие профессионалы по поиску драгоценностей и сокровищ. Это сказочные гномики.

Посмотри на них, какие они веселые и доброжелательные. Гномики улыбаются тебе и желают хорошего настроения на весь урок. Улыбнись им в ответ и давай приступим к занятию.

Гномики целый день работали в шахте. Они искали драгоценные камни.

Посмотри, сколько камней собрал гном Том и гном Тим. Посчитай.

Гном Том собрал 4 камня.

А гном Тим собрал 3 камня.

Чтобы не нести эту тяжесть в руках, они сложили все свои камни в тачку.

Теперь в тачке лежат и камни, которые собрал Том, и камни, которые собрал Тим. Давай-ка мы их все достанем и пересчитаем.

В тачке оказалось 7 камней.

Ого, как много! Как ты думаешь, почему?

Верно, потому что в тачку сложили камни оба гномика. А это всегда будет больше, чем у каждого по отдельности.

Итак, что сделали гномики?

Точно, они сложили свои камни вместе. В математике такое действие тоже называется сложение. Его суть в том, что элементы двух множеств объединяются в одно целое.

Смотри, множество камней Тома и множество камней Тима объединились в тачке в одно множество. При этом в объединенном множестве количество элементов становится больше.

Чтобы узнать результат сложения чисел, нужно пересчитать все элементы и первого, и второго множества вместе.

Гномики сложили камни вместе. А какие еще действия приводят к тому, что предметов становится больше?

Таких действий довольно много. Например, если в добавок к тому, что уже есть, кто-то:

• еще что-то даст или подарит;
• купит;
• принесет или привезет;
• смастерит еще несколько предметов;
• еще кто-то придет или прилетит.

Любое действие, которое ведет к увеличению количества предметов, подразумевает выполнение действия сложения. Часто это действие еще называют «прибавление».

Чтобы записать действие сложение в виде математического выражения, используется специальный знак. Знак сложения выглядит так.

Посмотри, в этом знаке тоже произошло объединение: две палочки соединились в одно целое. Этот знак называется «плюс».

Посмотри, как знак «плюс» пишется в тетради.

Порядок написания следующий.

1. Начинаем чуть ниже середины верхней границы клетки. Ведем прямую линию вниз и останавливаемся, немного не дописав до середины нижней границы клетки.
2. Вторую линию начинаем писать чуть правее середины левой границы клетки. Ведем ее вправо и останавливаемся, немного не дописав до середины правой границы клетки.

Потренируйся писать знак плюс в тетради.

Теперь разберемся, как именно надо составлять математическое выражение, описывающее действие сложения. Давай вспомним, что было сначала.

Том собрал 4 камня и Тим собрал 3 камня.

Они вместе высыпали свои камни в тачку, т.е. объединили их. Поэтому мы ставим между числами знак «+».

В результате объединения все камни оказались в тачке. Мы их все пересчитали – в тачке 7 камней. Их ровно столько, сколько было у обоих гномиков вместе. Поэтому между левой и правой частью выражения нужно поставить знак равенства «=».

В тетради надо записать так.

Теперь я расскажу, как называются компоненты действия сложения. Числа, которые обозначают количество элементов в каждом отдельном множестве, называются слагаемые. А число, которое обозначает результат, полученный при объединении этих множеств, называется сумма.

Поскольку левая сторона записи равна правой, то и само выражение тоже называют «сумма». Читают так «сумма чисел 4 и 3».

Поэтому, когда говорят «найди сумму», нужно выполнить действие сложение.

Итак, наше выражение можно прочитать несколькими способами:

1. Четыре плюс три равно семь.
2. К четырем прибавить три получим семь.
3. Первое слагаемое – четыре, второе слагаемое – три, а сумма – семь.
4. Сумма чисел четыре и три равна семи.

Идем дальше. Нам нужно выучить очень важное правило для действия сложения. Давай вернемся к нашим гномикам. Ты же помнишь, что каждый из них положил свои камни в тачку и потом мы их посчитали вместе, т.е. нашли сумму. Как ты думаешь, кто из гномиков первый положил камушки в тачку?

Мы записали, что первое слагаемое четыре. Получается, что первым был гномик Том, а потом гномик Тим.

Теперь давай представим, что порядок был другой. Сначала в тачку положил свои камушки Тим, а потом Том. Значит первое слагаемое – это три, а второе – четыре. Изменится ли от этого общее количество камней в тачке, т.е. наша сумма?

Теперь в тачке три камня Тима и четыре камня Тома. Посчитай их вместе.

Всего камней семь. Ровно столько же, сколько был и первый раз.

Получается, что не важно, кто из гномиков положил камушки первый, а кто второй. Их общее количество не меняется. Значит, сумма не меняется.

Посмотри. И четыре плюс три будет семь, и три плюс четыре тоже будет семь.

В математике это называется переместительное свойство сложения. Оно звучит так: от перестановки слагаемых местами сумма не изменяется. Запишем.

Это переместительное свойство очень пригодится тебе при изучении таблиц сложения. Запомни его!

Чтобы закрепить все, что мы узнали о действии сложения, потренируемся составлять примеры по картинкам.

Посчитай, сколько синих фигур на картинке. Запиши.

Правильно, 3.

Теперь посчитай красные фигуры и запиши.

Их 2.

Нам нужно посчитать их вместе. Это подразумевает объединение всех фигур. А значит, надо выполнить действие сложение. Поэтому поставим между нашими числами знак «плюс».

3 + 2

Теперь нужно пересчитать ВСЕ фигуры ВМЕСТЕ. Сколько у тебя получится?

У меня вышло 5. Уверена, у тебя тоже. Запишем это, поставив сначала знак равенства.

3 + 2 = 5

Вот и все. Ничего сложного.

Теперь рассмотрим, как нужно решать примеры на сложение. Давай прочитаем это выражение.

2 + 4

Можно так «два плюс четыре».

Чтобы найти результат, нужно следовать алгоритму выполнения действия сложения.

1. Посмотри, какой знак используется в выражении.

Это знак «плюс», значит нужно объединить, посчитать все вместе.

1. Назови первое слагаемое и положи перед собой нужное количество кружочков (можно взять палочки, спички, кубики или любые другие предметы).

1. Теперь назови второе слагаемое и положи необходимое количество кружочков рядом с предыдущими.

1. Пересчитай все кружочки вместе и запиши полученный результат.

2 + 4 = 6

Вот и все. Теперь ты знаешь, что такое действие сложение, как называются компоненты сложения, а также как составлять и решать примеры, в которых нужно выполнить это действие.

Действие вычитание. Знак-

Название компонентов действия вычитания

Давай продолжим раскрывать тайны науки математики. Ведь есть еще одно очень важное математическое действие, с которым нам обязательно нужно познакомиться.

Итак, гномики закончили свою работу и возвращаются домой.

Дома их ждет Белоснежка. 

Она приготовила для гномиков угощение – испекла пирожные. Посчитай, сколько их получилось.

У тебя тоже получилось девять пирожных? Значит, ты посчитал правильно!

Когда гномики пришли домой, каждый из них съел по пирожному. Помнишь, сколько было гномов у Белоснежки? Точно, семь. Они съели столько же пирожных, т.е. тоже семь.

Давай зачеркнем съеденные пирожные.

Мы видим, что осталось совсем мало – всего два пирожных. Наверное, они достанутся Белоснежке.

В математике действие, которое ведет к уменьшению количества предметов, называется вычитание. Его смысл в следующем. Из целого множества удаляется его часть. В итоге остается меньше элементов, чем их было в целом множестве.

Чтобы узнать результат действия вычитания, нужно пересчитать элементы, которые остались.

Давай подумаем, в каких случаях предметов станет меньше. Пирожных стало меньше, потому что гномики съели часть из них. Еще могут быть такие ситуации:

• отдали;
• забрали;
• улетели (ушли, уехали);
• продали;
• использовали;
• сломали.

Для того, чтобы записать действие вычитания в виде математического выражения используют специальный знак. Знак вычитания выглядит так.

Он называется «минус».

В тетради знак «минус» пишется так.

Порядок написания знака «минус» следующий.

1. Ставим ручку чуть правее середины левой границы клетки.
2. Ведем горизонтальную прямую линию вправо.
3. Останавливаемся, немного не доходя до середины правой границы клетки.

Потренируйся писать знак «минус» в тетради.

А теперь я расскажу, как составлять математическое выражение, которое описывает действие вычитание.

Вспомни, сколько пирожных было сначала?

Правильно, 9. Запиши.

9

Гномики съели пирожные и их стало меньше, поэтому ставим знак «минус».

9 –

Они съели 7 пирожных. Запишем это число.

9 – 7

Ставим знак равенства и запишем количество пирожных, которые остались. Их оставалось 2.

9 – 7 = 2

В тетради запись выглядит так.

Названия компонентов действия вычитания запомнить довольно легко.

1. Первое число в результате вычитания станет меньше. Поэтому его называют уменьшаемое.
2. Второе число показывает, сколько надо вычесть. Значит оно вычитаемое.
3. В результате мы определяем какая разница между тем, что было и тем, что осталось. Поэтому результат действия вычитания называется разность.

Левая сторона этого выражения тоже называется разность.

Если в задании говорится, что нужно «найти разность чисел», значит, следует составить математическое выражение с действием вычитания.

Такое выражение можно прочитать по-разному.

1. Из девяти вычесть семь будет два.
2. Девять минус семь получим два.
3. Уменьшаемое девять, вычитаемое семь, разность два.
4. Разность чисел девять и семь равна двум.

Закрепим все, что ты узнал о действии вычитания и составим математическое выражение по такой картинке.

Посмотри, сколько всего было шариков у гномика сначала? Запиши.

Правильно, пять.

Что случилось с некоторыми шариками? Сколько таких шаров?

Верно, два шарика сдулись и у гномика шариков осталось меньше. Значит нужно написать «минус два».

5 – 2

Ставим знак равенства и пересчитаем, сколько осталось целых шариков.

Их три.

5 – 2 = 3

Вот мы и составили выражение.

А теперь разберемся, как нужно решать примеры на вычитание. Например, посчитаем, сколько будет:

6 – 4

Назови уменьшаемое. Выложи столько же кружочков. Их должно быть 6.

Теперь назови вычитаемое. Убери (отодвинь, зачеркни) четыре кружочка.

Пересчитай кружочки, которые остались, и ты узнаешь ответ. Запиши его после знака равенства.

6 – 4 = 2

Мы решили пример на вычитание. Теперь ты знаешь, что обозначает это математическое действие, как называются компоненты вычитания, и как нужно составлять и решать математические выражения с действием вычитания.

Взаимосвязь между действием сложения и действием вычитания

Итак, ты выучил два математических действия: сложение и вычитание. Одно из них используется при объединении предметов в единое множество, а другое при удалении из целого множества его части.

Ты вспомнил, что обозначает каждое действие?

Эти действия связаны между собой, но имеют противоположное значение. При сложении мы получаем больший результат, а при вычитании предметов становится меньше. Вот, например, представь, что у тебя было несколько конфет и тебе дадут еще пару штук. Что получится?

Правильно, у тебя конфет станет больше.

А если ты съешь несколько конфет? Что у тебя останется?

Правильно, у тебя останется меньше конфет.

А теперь давай проверим, какая именно взаимосвязь между действиями сложения и вычитания. Разберем одну ситуацию и составим по ней математическое выражение.

У Белоснежки День рождения. Гномики решили устроить для нее праздник. Посчитай, сколько их всех на картинке.

Правильно, их трое.

К Белоснежке на День рождения пришли зверята. Посчитай, сколько их.

Верно, пять зверят.

Подумай, какое действие мы должны использовать, чтобы составить выражение?

Ну конечно, действие сложение. Ведь теперь их всех вместе стало больше.

Было три, пришло еще пять. Посчитай, сколько теперь всех вместе.

Правильно, восемь.

Запишем в виде выражения.

3 + 5 = 8

3 – это первое слагаемое, оно показывает, сколько элементов было в первом множестве.

5 – это второе слагаемое, оно показывает, сколько элементов было во втором множестве.

8 – это сумма, она обозначает количество элементов в общем множестве.

Теперь на полянке и гномики с Белоснежкой (это наше первое множество), и зверята (это второе множество). Они все вместе.

Получается, что на празднике веселились 8 друзей. Когда праздник закончился, зверята ушли домой. Как ты думаешь, какое математическое действие надо использовать в этом случае?

Правильно, действие вычитание. Ведь зверята ушли и на полянке останется меньше друзей.

Итак, 5 зверят ушло. Кто остался? Сколько их?

Верно, остались гномики с Белоснежкой. Их 3.

Составим математическое выражение.

8 – 5 = 3

Мы видим, что если из общего множества (суммы) убрать элементы второго множества (второе слагаемое), то останутся только элементы первого множества (первое слагаемое).

А если было наоборот, из 8 друзей первыми с полянки ушли гномики с Белоснежкой (их 3). Кто на ней останется?

Правильно, останутся зверята. Их 5.

Посмотри, как это запишем.

8 – 3 = 5

Теперь мы из общего множества (суммы) убрали элементы первого множества (первое слагаемое) и остались только элементы второго множества (второе слагаемое).

Итак, у нас получается, что мы при сложении два множества объединяем в одно целое. А если из этого общего множества убрать какое-то одно из составляющих множеств, то останется другое. 

В математике это правило взаимосвязи между компонентами сложения звучит так: если из суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.

Мы видим, что в примере на сложение есть два слагаемых. Поэтому можно сделать следующий вывод: из одного математического выражения с действием сложения можно составить два выражения с действием вычитания.

8 – 3 = 5

8 – 5 = 3

Это очень важное правило, которое поможет тебе в дальнейшем быстро и легко учить таблицы вычитания.

А на сегодня все. Гномики помогли нам получить очень важные и ценные знания. Нужно обязательно поблагодарить их за это.

В материалах урока использованы кадры из а/ф “Белоснежка и семь гномов”, 1937