Как найти знаки коэффициентов параболы по графику

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

   – Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

   

   – Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

   

   – Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

   

   – Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

   

   – Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

   

2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

   

3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:

   (x_в=-frac{b}{2a})
   (b=-x_вcdot 2a)
   

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:

   

2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

   Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

   (begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})

3. Решаем систему.
   Пример:

   (begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

   Вычтем из второго уравнения первое:

   (0=9a-b)
   (b=9a)

   Подставим (9a) вместо (b):

   (begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
   (begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

   Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

   (2=-2a)
   (a=-1)

   Найдем (b):

   (b=-9)

   Подставим в первое уравнение (a):

   (5=20+c)
   (c=-15).

   Получается квадратичная функция:   (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ:   (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

   

2. – Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
   – Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

   

3. – График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
   – График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. 

   

4. График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
   График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

   

У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

1. Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

   

2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).

5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Алгоритм

нахождения 
значений коэффициентов a,
b,
c

 по
графику квадратичной функции

у=ax²
+bx+c.

Автор: Храмова Ирина Михайловна

МБОУ Луговская ООШ

Источники : алгебра 9 класс, Ю.Н.
Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под редакцией А.С.Теляковского,

 Москва «Просвещение», 2013г.

I.
Нахождение коэффициента a
:

1) по графику
параболы  определяем координаты вершины (m,
n)

2) по графику
параболы  определяем координаты любой точки  А(х₁;у₁)

3) подставляем эти
значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом  виде:

y=a(х-m)²+n

4) решаем
полученное уравнение.

II.
Нахождение коэффициента b:

1) Сначала
находим значение коэффициента a(шаг
I,
смотри выше)

2) В
формулу для абсциссы параболы m=
–b/2a
подставляем значения m и
a

3) Находим
значение коэффициента b.

       III.
Нахождение коэффициента с:

1)    Находим
ординату у точки пересечения параболы с осью Оу, это значение равно
коэффициенту с, т.е. точка (0;с) – точка пересечения параболы с
осью Оу.

2)    Если
по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I,
II (находим
коэффициенты a,
b)

3)    Подставляем
найденные значения a,
b
, А(х_{1 ;}у₁) в  уравнение у=ax²
+bx+c            и находим с.

Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax² + bx +c

I Нахождение коэффициента а :

1. по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

1. решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b: b= – (х₁ + х₂) это для приведённого уравнения

1. Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

1. Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с: с = х₁ ∙ х₂ это для приведённого уравнения

1. Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,Ь)

3. Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

I Нахождение коэффициента а :

1. по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

2. по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

y=а(х-m)²+n

1. решаем полученное уравнение.

II. нахождение коэффициента b:

1. Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а

1. Вычисляем значение коэффициента b.

III. нахождение коэффициента с:

1. Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2. Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II {находим коэффициенты а,b)

3. Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах² +bх+с и находим с.

Рассмотрим задачу: где невозможно по графику найти точно m и n необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:

Найти все коэффициенты по графику функции

Подставляем в уравнение: координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Найти все коэффициенты по графику функции

Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):

Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:

Найти все коэффициенты по графику функции

Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и  (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

– Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a 1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим (9a) вместо (b):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение (a):

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
– График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.

График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

Алгоритм нахождения коэффициентов a, b, c квадратичной функции по графику

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

нахождения значений коэффициентов a , b , c

по графику квадратичной функции

Автор: Храмова Ирина Михайловна

МБОУ Луговская ООШ

Источники : алгебра 9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под редакцией А.С.Теляковского,

Москва «Просвещение», 2013г.

I . Нахождение коэффициента a :

1) по графику параболы определяем координаты вершины ( m , n )

2) по графику параболы определяем координаты любой точки А(х₁;у₁)

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) решаем полученное уравнение.

Сначала находим значение коэффициента a (шаг I , смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = – b /2 a подставляем значения m и a

Находим значение коэффициента b .

III . Нахождение коэффициента с:

Находим ординату у точки пересечения параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;с) – точка пересечения параболы с осью Оу.

Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I , II (находим коэффициенты a , b )

Краткое описание документа:

В модуле «Алгебра» ГИА – 2013 есть задание на нахождение коэффициентов квадратичной функции с помощью графика – параболы. Но в материалах учебника «Алгебра – 9» Ю.Н. Макарычева под редакцией С.А. Теляковского таких заданий нет и нет объяснения этого. Поэтому тему «Алгоритм нахождения коэффициентов а, в и с квадратичной функции» я включила в программу кружка по математике для учащихся 8 – 9 классов. Это позволяет учащимся научиться определять коэффициенты. Кружок посещают все учащиеся 9 класса и часть учащихся 8 класса. Программа кружка рассчитана на 68 часов, то есть 2 часа в неделю.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 647 материалов в базе

Другие материалы

• 15.02.2015
• 1849
• 2

• 15.02.2015
• 15245
• 43

• 15.02.2015
• 1461
• 0

• 15.02.2015
• 1312
• 1

• 15.02.2015
• 1037
• 0

• 15.02.2015
• 1000
• 0

• 15.02.2015
• 666
• 1

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 15.02.2015 56328
• DOCX 34.5 кбайт
• 375 скачиваний
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Храмова Ирина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 61664
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Подготовка к ОГЭ по математике. Квадратичная функция. Нахождение коэффициентов квадратичной функции

Сергей Бабенко
Подготовка к ОГЭ по математике. Квадратичная функция. Нахождение коэффициентов квадратичной функции

Квадратичная функция – это функция вида y = ax2 + bx + c = 0, где (а не равен 0, (b) и (c) – любые числа (они и называются коэффициентами). Число (a) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, (b) – вторым коэффициентом, а (c) – свободным членом, x – переменная. Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Графиком квадратичной функции является парабола – ГМТ точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой. Эту кривую математики открыли и назвали параболой раньше, до этапа подробного изучения свойств и графика квадратичной функции.

Определение знаков коэффициентов квадратичной функции.

Коэффициент (а) можно найти с помощью следующих фактов:

Если коэффициент (а) больше нуля, то ветви параболы направленных вверх, если коэффициент (а) меньше нуля то ветви параболы направлены вниз.

Знак коэффициента (с) определяется знаком ординаты точки пересечения графика с осью ординат.

Знак коэффициента (b) можно определить с помощью формулы абсциссы (m) вершины параболы:

m = – b/2a, тогда b = – m 2a

Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax2 + bx +c

I. Нахождение коэффициента а:

1) по графику параболы определяем координаты вершины (m;n)

2) по графику параболы определяем координаты любой точки A (х;у)

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) решаем полученное уравнение.

II. Нахождение коэффициента b:

b = – (х1 + х2) это для приведённого уравнения

1)Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)

2)В формулу для абсциссы параболы m = – b/2a подставляем значения m и а

3)Вычисляем значение коэффициента b = -m 2a.

III. Нахождение коэффициента с:

с = х1 х^2 это для приведённого уравнения

1)Находим координату точки пересечения графика параболы с осью ординат, это значение равно коэффициенту с, т. е. точка (0;С)-точка пересечения графика параболы с осью ординат.

2)Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью ординат, то выполняем шаги I, II (находим коэффициенты а и b)

3)Подставляем найденные значения а, b, А (х ; у) в уравнение

у=ах^2 + bх + с и находим с.

Ещё один способ найти коэффициенты квадратичной функции.

(Этот способ применяется, если невозможно по графику найти точно координаты вершины параболы)

1)Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.

2)Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции.

Получится система, состоящая из трёх уравнений с тремя неизвестными.

3)Решая её найдём коэффициенты (a, b, c)

[spoiler title=”источники:”]

http://infourok.ru/algoritm_nahozhdeniya_koefficientov_a_b_c_kvadratichnoy_funkcii_po_grafiku-389899.htm

http://www.maam.ru/detskijsad/podgotovka-k-ogye-po-matematike-kvadratichnaja-funkcija-nahozhdenie-koyeficientov-kvadratichnoi-funkci.html

[/spoiler]

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции , нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение   стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение . Для него справедливы соотношения:

И эти же соотношения справедливы для уравнения  

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента   – если ветви параболы направлены вверх, то ,  а если вниз, то .

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   – это абсциссы точек пересечения графика функции  с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то .

Если оба корня отрицательны, то .

Если корень с большим модулем положителен, то .

Если корень с большим модулем отрицателен, то .

Если корни имеют одинаковые знаки, то .

Если корни имеют разные знаки, то .

Во всех случаях, определив знак коэффициента  по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов  и

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, .

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: . Так как , следовательно, .

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, .

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: . Так как , следовательно, .

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

Замечание: – ордината точки пересечения параболы с осью , поэтому знак можно определить сразу.