При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.
Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей
Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”
Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции
Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)
Пример 3. Найти наименьшее общее кратное
Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно несократимая дробь.
Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.
Общий знаменатель и дополнительный множитель.
У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:
(frac{17}{5}, frac{1}{5})
Пример разных знаменателей у дробей:
(frac{8}{3}, frac{2}{13})
Как привести к общему знаменателю дроби?
У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.
Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.
(frac{8}{3} = frac{8 times color{red} {13}}{3 times color{red} {13}} = frac{104}{39})
Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.
(frac{2}{13} = frac{2 times color{red} {3}}{13 times color{red} {3}} = frac{6}{39})
Мы привели к общему знаменателю дроби:
(frac{8}{3} = frac{104}{39}, frac{2}{13} = frac{6}{39})
Наименьший общий знаменатель.
Рассмотрим еще пример:
Приведем дроби (frac{5}{8}) и (frac{7}{12}) к общему знаменателю.
Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.
(begin{align}&frac{5}{8} = frac{5 times color{red} {3}}{8 times color{red} {3}} = frac{15}{24}\\&frac{7}{12} = frac{7 times color{red} {2}}{12 times color{red} {2}} = frac{14}{24}\\ end{align})
Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ сократить.
Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.
Например:
Приведите дроби (frac{1}{4}) и (frac{9}{16}) к наименьшему общему знаменателю.
Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:
(begin{align}&frac{1}{4} = frac{1 times color{red} {4}}{4 times color{red} {4}} = frac{4}{16}\\&frac{9}{16} = frac{9 times color{red} {1}}{16 times color{red} {1}} = frac{9}{16}\\ end{align})
Вопросы по теме:
Любые ли две дроби можно привести к одному общему знаменателю?
Ответ: да.
К какому знаменателю принято приводить дроби?
Ответ: к наименьшему общему знаменателю.
Пример №1:
Для дроби (frac{1}{2}) запишите равную дробь со знаменателем: а) 12 б) 18 в) 50?
Решение:
а) Число 2 нужно умножить на 6, чтобы получить 12. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 6.
(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {6}}{2 times color{red} {6}} = frac{6}{12})
б) Число 2 нужно умножить на 9, чтобы получить 18. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 9.
(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {9}}{2 times color{red} {9}} = frac{9}{18})
в) Число 2 нужно умножить на 25, чтобы получить 50. Следовательно мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 25.
(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {25}}{2 times color{red} {25}} = frac{25}{50})
Общий знаменатель
Самый простой способ, как привести дробь к общему знаменателю, — верхнюю и нижнюю части первой дроби умножить на значение в знаменателе второй, а верхнюю и нижнюю часть второго дробного числа — на значение в знаменателе первой. Проверочное правило, действующее в этом случае: дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Даны две дроби: 3/13 и 3/7. После выполнения необходимых действий получится: 3/13*7 = 21/91, 3/7*13 =39/91.
Общий знаменатель (ОЗ) — это любое натуральное число, которое является всеобщим кратным всех данных дробей. Иными словами, это значит, что ОЗ может быть любое число из натуральных, которое обязательно будет делиться на знаменатель каждого дробного числа. Допустим, есть две обычных дробных соотношения 4/8 и 5/10. ОЗ в этом случае может быть любым значением, кратным 8 и 10. А конкретно, это значения: 80, 160, 240, 320, 400 и так далее.
Дано 3 дробных значения: 1/5, 3/10 и 9/15. Вопрос: может ли ОЗ быть числом 330? Ответ: да, потому что оно делится на знаменатель каждого соотношения без остатка: 330/5 = 66, 330/10 = 33, 330/15 = 22.
НОЗ и НОК
При работе с дробями используются наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее натуральное число среди всех ОЗ ряда дробных чисел и наименьшее общее кратное (НОК) — это самый меньший общий делитель данного ряда чисел.
Наименьшее общее кратное — это НОЗ этого ряда. К нему можно прийти поиском НОК.
Например, необходимо провести следующую операцию для двух дробных значений: 7/16, 19/6. Нужно узнать, какой НОК у 16 и 6. Простые множители этих чисел:
16=8*2; 6= 3*2
НОК (16, 6) =8*2*3= 48.
Число 48 и есть искомый НОЗ.
Существует простое правило о том, как перевести дробное число к НОЗ. Вычисления проводятся по порядку:
- Найти НОК.
- Для каждого дробного числа из ряда определить дополнительный множитель. Определить его можно с помощью деления НОЗ на знаменатель каждой из дробей.
- Умножить обе части каждой дроби на их дополнительные множители.
Пример. Есть 2 дробных значения: 3/14 и 18/30. Теперь можно воспользоваться правилом, для того чтобы найти НОЗ:
- Найти НОК: 14 = 2*7; 30 = 5*2*3; НОК (14,32) = 5*2*7*3 = 210;
- Найти дополнительные множители: 210/14 = 15; 210/30 = 7;
- Перемножить верхнюю и нижнюю части с дополнительными множителями: 3*15/14*15 = 45/210; 18*7/30*7 = 126/210.
Примеры с несколькими дробями
Правило поиска ОЗ и НОЗ действует также и в отношении нескольких дробных чисел в ряде. Есть три значения: 3/9, 8/11 и 10/12. Для того чтобы переводить их, нужно совершать те же действия, которые представлены в правиле:
НОК (9; 11) = 99; НОК (99; 12) = 39; НОК (9; 11; 12) = 396;
396/9 = 44; 396/11 = 36; 396/12 = 33;
3*44/9*44 = 132/396; 8*36/11*36 =288/396; 10*33/12*33 =330/396;
НОЗ найден.
Приводить дробные соотношения к ОЗ требуется во многих случаях. Вычисление этой величины необходимо, чтобы получить разность дробей, провести их сложение, умножение или деление, а также при решении задач на доли и проценты, так как процентные соотношения — это обыкновенные выражения, которые содержат дробные соотношения.
Приведение дробей к общему знаменателю
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 174.
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 174.
Зачастую выясняется, что действия с дробями не вызывают сложностей у учеников. Основной проблемой становится нахождение общего знаменателя. Чтобы разобраться с этим вопросом, нужно запомнить правило приведения дробей к общему знаменателю и понимать, зачем вообще этот общий знаменатель нужен.
Что такое дробь?
В 5 классе ученикам объясняют, что дробь это разделенное на кусочки целое. Причем знаменатель обозначает количество частей, на которое разделили какой-то предмет, а числитель количество этих частей, которое взяли для расчета.
Но в математике существует другое определение: дробью зовут незавершенную операцию деления. Это значит, что как любую дробь можно превратить в деление, так и любое деление можно превратить в дробь. Например:
$${5over{7}}=5:7$$
$$7:13={7over{13}}$$
$$12:9={12over{9}}$$
Можно бесконечно приводить примеры, но смысл от этого не изменится: черта дроби заменяет знак деления.
Зачем нужно находить общий знаменатель?
Для того, чтобы сложить или вычесть две дроби, нужно превратить две операции деления в одну. Это возможно только при условии одинакового делителя. В виде формул это выглядит так:
а:в-с:е=(а*е):(в*е)-(с*в):(в*е)=((а*е)-(с*в)):(в*е)
То есть для того, чтобы сложить или вычесть дроби, потребуется привести их к общему знаменателю. Иначе просто не получится правильно решить пример.
Для умножения и деления дробей, приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Для этих операций существует другое теоретическое обоснование, которое предполагает другой порядок действий.
Как найти общий знаменатель дробей
Для того, чтобы найти общий знаменатель дробей, нужно найти наибольшее общее кратное знаменателей. Приведем пример, решим небольшое выражение:
$${3over{5}}+{7over{15}}$$
Найдем НОК знаменателей. Число 15 делится на число 5, значит
НОК(5,15)=15
$${3over{5}}+{7over{15}}={{3*3}over{15}}+{7over{15}}={9over{15}}+{7over{15}}={16over{15}}=1 {1over{15}}$$- обратите внимание, что при увеличении числителя, так же увеличился и знаменатель. В конце решения примера с дробями при возможности следует выделять целую часть выражения.
Привести дроби к общему знаменателю можно только пользуясь основным свойством дроби. Формулировка этого свойства звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Это значит, что при приведении дроби к общему знаменателю, требуется учитывать и увеличение числителя.
НОК можно найти аналитически, как мы это сделали в примере. Но чаще всего приходится прибегать к разложению на простые множители. Для того, чтобы найти НОК двух чисел следует:
- Разложить эти числа на простые множители
- Проверить, каких простых множителей не хватает в разложении.
- Берется число с наименьшим количеством множителей и к его разложению добавляют числа, которое есть в других разложениях, но отсутствуют в основном. При этом учитывается и количество чисел. Это значит, что если в основном разложении одно число 3, а в других разложениях два числа 3, то нужно домножить основное разложение на две тройки.
Что мы узнали?
Мы поговорили о приведении дробей к общему знаменателю. Рассказали, зачем это нужно, и какие операции с дробями можно выполнять без приведения к общему знаменателю. Привели пример и рассказали, как меняется числитель при приведении дробей к общему знаменателю.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Вика Кравченко
4/5
-
Елена Васильева
5/5
-
Людовик Дорофеева
2/5
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 174.
А какая ваша оценка?
В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Обыкновенные дроби состоят из числителя – верхней части, и знаменателя – нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 1114, 1714, 914 имеют одинаковый знаменатель 14. Другими словами, они приведены к общему знаменателю.
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Очевидно, что дроби 45 и 34 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 45 на 4, а числитель и знаменатель дроби 34 умножим на 5. Вместо дробей 45 и 34 получим соответственно 1620 и 1520.
Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Общий знаменатель дробей – это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 16 и 35. Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5. Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.
Рассмотрим пример.
Можно ди дроби 13, 216, 512 привести к общему знаменателю, который равен 150?
Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3, 6, 12. Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3, 6, 12. Проверим:
150÷3=50, 150÷6=25, 150÷12=12,5
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель дробей – это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.
Наименьший общий делитель данного набора чисел – это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 110 и 12728.
Ищем НОК чисел 10 и 28. Разложим их на простые множители и получим:
10=2·528=2·2·7НОК(15, 28)=2·2·5·7=140
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
- Найти наименьший общий знаменатель дробей.
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
- Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Есть дроби 314 и 518. Приведем их к наименьшему общему знаменателю.
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
14=2·718=2·3·3НОК(14, 18)=2·3·3·7=126
Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 314 дополнительный множитель находится как 126÷14=9, а для дроби 518 дополнительный множитель будет равен 126÷18=7.
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
3·914·9=27126, 5·718·7=35126.
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Привести дроби 32, 56,38 и 1718 к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
НОК(2, 6)=6НОК(6, 8)=24НОК(24, 18)=72НОК(2, 6, 8, 18)=72
Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.
Для 32 дополнительный множитель равен 72÷2= 36, для 56 дополнительный множитель равен 72÷6= 12, для 38 дополнительный множитель равен 72÷8= 9, наконец, для 1718 дополнительный множитель равен 72÷18= 4.
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
32·36=1087256·12=607238·9=27721718·4=6872
Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю (пример)
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
