Как найти знаменатель прогрессии арифметической прогрессии - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

${displaystyle a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ldots , a_{1}+(n-1)d, ldots ,}$

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

${displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d.}$ ^[1]

Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой^[2]:

${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0 , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_n=d$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства[править | править код]

Общий член арифметической прогрессии[править | править код]

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формулам

${displaystyle a_{n}=a_{m}-(m-n)d}$

где $a_{1}$

— первый член прогрессии,

— её разность, a_m

— член арифметической прогрессии с номером

Доказательство формулы общего члена арифметической прогрессии

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_n+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии, а именно:

Заметив закономерность, делаем предположение, что . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех :

База индукции (n=1) :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что для всех .■

Отметим, что в формулах общего члена -й член прогрессии есть линейная функция. Об этом говорит следующая теорема.

Для того чтобы последовательность ${displaystyle left{a_{n}right}}$ являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы являлась линейной функцией (от )^[3].

Доказательство

Необходимость. Пусть ${displaystyle left{a_{n}right}}$ арифметическая прогрессия. Тогда, как было уже показано, , то есть ${displaystyle a_{n}=nd+a_{1}-d}$ . Так как есть линейная функция и , это значит, что и ${displaystyle b=a_{1}-d}$ , т. е. a_n — линейная функция, где ${displaystyle fleft(nright)=nd+a_{1}-d}$ .

Достаточность. Пусть a_n есть линейная функция, т. е. ${displaystyle a_{n}=acdot x+b}$ . Так как и , то ${displaystyle a_{n}=acdot n+b}$ , тогда ${displaystyle a_{n+1}=acdot left(n+1right)+b}$ .
Рассмотрим ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=left(acdot left(n+1right)+bright)-left(an+bright)}$ .
Отсюда следует, что ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a}$ , где — величина постоянная. Тогда ${displaystyle a_{n+1}=a_{n}+a}$ , а это значит по определению, что ${displaystyle left{a_{n}right}}$ — арифметическая прогрессия.■

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. ${displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}Longleftrightarrow n+m=k+lquad vert ;forall left(n,,m,,k,,lin mathbb {N} right)}$ .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править код]

Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие

${displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2.}$

Доказательство характеристического свойства арифметической прогрессии

Необходимость.

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

$a_n=a_{n-1}+d$

$a_n=a_{n+1}-d$ .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим ${displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$ .

Достаточность.

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

База индукции (n=2) :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$

Но по предположению индукции следует, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Получаем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что $a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n geqslant 2 Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

Обозначим эти разности через . Итак, $a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ , а отсюда имеем $a_{n+1}=a_n+d$ для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение $a_{n+1}=a_n+d$ , то это есть арифметическая прогрессия.■

Тождество арифметической прогрессии[править | править код]

Пусть ${displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}}$ — соответственно -й, -й, -й члены арифметической прогрессии, где . Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство арифметической прогрессии^{[нет в источнике]}, называемое тождеством арифметической прогрессии:

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$

Доказательство тождества арифметической прогрессии

С помощью формулы общего члена выразим -й, -й, -й члены:

${displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d,quad a_{l}=a_{1}+(l-1)d,quad a_{m}=a_{1}+(m-1)d.}$

Вычитая почленно из первого равенства второе, а из второго третьего, получим:

${displaystyle a_{k}-a_{l}=(k-l)d,quad a_{l}-a_{m}=(l-m)d.}$

Выражая из этих равенств и приравнивая полученные выражения, получим:

${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

По основному свойству пропорции:

${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$

Откуда следует доказываемое тождество:

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}$

■

Следствие 1. Всякий член арифметической прогрессии вырази́м^[5] через любую пару других членов.

Доказательство

Преобразовав тождество арифметической прогрессии

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$

к виду

${displaystyle a_{m}={dfrac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}},}$

можно заметить, что -й член есть линейная комбинация двух других членов ( $a_{{k}}$ и ${displaystyle a_{l}}$ ), поскольку оно равносильно

${displaystyle a_{m}={dfrac {l-m}{l-k}}a_{k}+{dfrac {m-k}{l-k}}a_{l}.}$

■

Следствие 2. Для того, чтобы число ${displaystyle a_{m}}$ являлось членом данной арифметической прогрессии с членами $a_{{k}}$ и ${displaystyle a_{l}}$ , необходимо и достаточно, чтобы было натуральным число

${displaystyle m={dfrac {(a_{l}-a_{m})k+(a_{m}-a_{k})l}{a_{l}-a_{k}}}.}$

Формулировка ещё одного признака арифметической прогрессии.

Следствие 3 [критерий]. Числовая последовательность является арифметической прогрессией в том и только в том случае, если выполняется тождество арифметической прогрессии для всех членов данной последовательности. Другими словами, чтобы каждый член был вырази́м через любую пару остальных членов последовательности.

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Longleftrightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}$

Доказательство

Необходимость. Утверждение

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Rightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} }$

очевидно (см. доказательство тождества арифметической прогрессии).

Достаточность. Докажем, что

${displaystyle left{a_{n}right}~-~div Leftarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}$

Равенство

${displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}$

можно преобразовать к виду

${displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}$

Если все три номера различны, тогда

${displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}$

Обозначим выражение, например, в левой части равенства за , то есть

${displaystyle d={dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}.}$

Откуда можно прийти к следующему предложению:

${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d.}$

Наконец, методом математической индукции, например, по нетрудно убедиться, что данное соотношение описывает именно арифметическую прогрессию.

Действительно, при l=1 (база индукции) получаем формулу общего члена арифметической прогрессии:

${displaystyle a_{k}=a_{1}+{left(k-1right)}d.}$

Предположим истинность утверждения (для ): формула ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ характеризует арифметическую прогрессию. Тогда покажем, что и при l+1 формула верна для арифметической прогрессии (переход, или шаг, индукции). Рассмотрим левую часть формулы

${displaystyle a_{k}=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}$

По предположению индукции ( ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ ) заменим $a_{k}$ на выражение ${displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d}$ . Итак, получим следующее:

${displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}$

Методом тождественных преобразований имеем равносильное предложение

${displaystyle a_{l+1}=a_{l}+d.}$

А это, в свою очередь, рекуррентное соотношение для арифметической прогрессии.

Значит, по принципу математической индукции можно утвердать, что для всякого соотношение ${displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}$ верно только и только для членов арифметической прогрессии.

Аналогичные рассуждения проводятся для формулы ${displaystyle d={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}}$ .

Данное следствие целиком и полностью считается доказанным.■

Сумма первых n членов арифметической прогрессии[править | править код]

Сумма первых членов арифметической прогрессии ${displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+ldots +a_{n}}$ может быть найдена по формулам

${displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$

, где $a_{1}$

— первый член прогрессии, a_n

— член с номером

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot ({dfrac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)}$

— где $a_{1}$

— первый член прогрессии, $a_{2}$

— второй член прогрессии ${displaystyle ,a_{n}}$

— член с номером

${displaystyle S_{n}={dfrac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}cdot n}$

, где $a_{1}$

— первый член прогрессии,

— разность прогрессии,

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot n}$

, если

— нечётное натуральное число.

Доказательство
Запишем сумму двумя способами: $S_n=a_1+a_2+a_3+ ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ $S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: $2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$ Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: $a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,ldots,n$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то ${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$ Третья формула для суммы получается подстановкой вместо . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами:

$S_n=a_1+a_2+a_3+ ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$

$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

$a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,ldots,n$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то

${displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}$

Третья формула для суммы получается подстановкой вместо a_1+a_n . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a_1+a_n в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом выполняется равенство:

${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Примечание: $S_{k}$ — сумма первых членов арифметической прогрессии.

Доказательство
1. Очевидно, что ${displaystyle {dfrac {S_{2n}}{2n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{1}+a_{2n}-left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}={dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ Прибавим к обеим частям $S_{n}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$ 2. Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ Это так, поскольку можно написать верное равенство: ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Из него следует, что ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$ 3. Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$ Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии. Значит, действительно ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$ 4. А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$ 5. Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Доказательство

1. Очевидно, что ${displaystyle {dfrac {S_{2n}}{2n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{1}+a_{2n}-left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}={dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},}$ или ${displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$

Прибавим к обеим частям $S_{n}$ и получим, что ${displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}$

2. Покажем, что ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Это так, поскольку можно написать верное равенство:

${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$

Из него следует, что ${displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}$

3. Теперь докажем, что ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$
Перепишем последнее как ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}$

Но гораздо лучше представить это равенство в виде ${displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.}$ Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Значит, действительно ${displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}$

4. А следовательно, ${displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

5. Тем самым, ${displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n},}$ что и требовалось доказать.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных , , выполняется комплементарное свойство сумм:

${displaystyle {dfrac {l-m}{k}}cdot S_{k}+{dfrac {m-k}{l}}cdot S_{l}+{dfrac {k-l}{m}}cdot S_{m}=0.}$

Ещё один признак арифметической прогрессии.

Для того чтобы последовательность ${displaystyle left{a_{n}right}}$ являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы сумма первых членов последовательности была функцией не выше второй степени относительно ^[6].

Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го[править | править код]

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от до ${displaystyle S_{m,n}=sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+ldots +a_{m}}$ может быть найдена по формулам

${displaystyle S_{m,n}={dfrac {a_{m}+a_{n}}{2}}cdot (m-n+1)}$

, где

— член с номером

— член с номером

— количество суммируемых членов.

${displaystyle S_{m,n}={dfrac {2a_{n}+dleft(m-nright)}{2}}cdot left(m-n+1right),}$

где a_n — член с номером , — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.

Произведение членов арифметической прогрессии[править | править код]

Произведением первых членов арифметической прогрессии ${displaystyle left{a_{n}right}}$ называется произведение от $a_{1}$ до a_n , то есть выражение вида ${displaystyle prod limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}cdot a_{2}cdot a_{3}cdot ldots cdot a_{n-2}cdot a_{n-1}cdot a_{n}.}$ Обозначение: $P_{n}$ .

Свойство произведения:

Число множителей-скобок ${displaystyle {left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ равно ${displaystyle {dfrac {n-1}{2}}}$ , а в самом произведении ${displaystyle a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ их составляет ${displaystyle {dfrac {n+1}{2}}}$ «штук».^[10]

Сходимость арифметической прогрессии[править | править код]

Арифметическая прогрессия расходится при dne 0 и сходится при d=0 . Причём

$lim_{nrightarrowinfty} a_n=left{ begin{matrix} +infty, d>0 \ -infty, d<0 \ a_1, d=0 end{matrix} right.$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел $lim_{nrightarrowinfty} (a_1+(n-1)d)$ , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править код]

Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число a>0 . Тогда последовательность вида $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d .

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: $sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, ngeqslant 2$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: $sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}=sqrt{a^{a_1+(n-2)d}cdot a^{a_1+nd}}=sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, ngeqslant 2$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

$sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, ngeqslant 2$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

$sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}=sqrt{a^{a_1+(n-2)d}cdot a^{a_1+nd}}=sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, ngeqslant 2$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков[править | править код]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию

Тетраэдральные числа образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если $left[a_{{i}}right]_{{1}}^{{n}}$ — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен $P_{{m}}(i)=c_{{m}}i^{{m}}+...+c_{{1}}i+c_{{0}}$ , такой, что для всех выполняется равенство $a_{{i}}=P_{{m}}(i)$ ^[11]

Примеры[править | править код]

${displaystyle T_{n}=sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+ldots +n={frac {n(n+1)}{2}}}$

Формула для разности[править | править код]

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

${displaystyle {mathit {d={frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}}$

Сумма чисел от 1 до 100[править | править код]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

$frac{n(n+1)}2$

то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.

См. также[править | править код]

Геометрическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия

Примечания[править | править код]

↑ Такое соотношение называют рекуррентным соотношением первого порядка. Поэтому арифметическая прогрессия есть множество последовательностей, задающихся именно таким образом.
↑ Фильчаков П. Ф. Глава II. Алгебра и элементарные функции. Функции натурального аргумента (§ 75. Арифметическая прогрессия) // Справочник по элементарной математике: для поступающих в вузы : книга / под ред. чл.-кор. АН УССР П. Ф. Фильчакова. — Киев : «Наукова думка», 1972. — С. 303. — 528 с. — 400 000 экз. — УДК 51 (08)^(G).
↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 135. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
↑ Соотношение между любыми тремя членами арифметической прогрессии и их номерами (Мусинов В. А.) // Материалы студенческой научной сессии Института математики и информатики МПГУ. 2021–2022 учебный год : сборник статей / под общ. ред. Е. С. Крупицына. — М.: МПГУ, 2022. — С. 91—93. — 156 с. — ISBN 978-5-4263-1109-1, ББК 22.1я431+32.81я431+22.1р30я431+74.262.21я431+74.263.2я431.
↑ Это означает, что выражаемый член есть комбинация любых двух других членов данной последовательности, причём эта комбинация составлена с помощью арифметических операций и конечного набора символов. Для арифметической последовательности такая комбинация будет линейной.
↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 141. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512^(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
↑ Из доказательства необходимости следует, что ${displaystyle S_{n}=an^{2}+bn}$ , поэтому, если ${displaystyle S_{n}=an^{2}+bn+c}$ , то необходимо сделать проверку. Например, если ${displaystyle S_{n}=2n^{2}-n-6}$ — сумма первых членов последовательности, то такая последовательность НЕ является арифметической прогрессией. А последовательность, заданная суммой ${displaystyle S_{n}=2n^{2}-n}$ первых членов, будет арифметической прогрессией.
↑ При произведение $P_{n}$ равно ${displaystyle a_{frac {1+1}{2}}=a_{1}}$ , что безусловно верно.
↑ Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и -м членом.
↑ Пример применения формулы.
Пусть ${displaystyle div left{a_{n}right}:quad underbrace {27} _{a_{1}},;underbrace {20} _{a_{2}},;underbrace {13} _{a_{3}},;underbrace {6} _{a_{4}},;underbrace {-1} _{a_{5}}}$ , где .

По формуле ${displaystyle P_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}}$ найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться ${displaystyle {dfrac {5+1}{2}}=3}$ . Причём первым сомножителем будет ${displaystyle a_{frac {5+1}{2}}=a_{3}=13}$ .

Далее ${displaystyle prod limits _{i=1}^{frac {5-1}{2}}{left(a_{frac {5+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=prod limits _{i=1}^{2}{left(a_{3}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=}$ ${displaystyle ={left(a_{3}^{2}-{left[dright]}^{2}right)}cdot {left(a_{3}^{2}-{left[2dright]}^{2}right)}={left(169-49right)}cdot {left(169-4cdot 49right)}=}$ .

Наконец, ${displaystyle P_{n}=13cdot 120cdot {left(-27right)}=-42120}$ .
↑ Бронштейн, 1986, с. 139.

Литература[править | править код]

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

Ссылки[править | править код]

Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.

Источник

Как найти знаменатель прогрессии

Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии.

Инструкция

Если известно два соседних члена геометрической прогрессии b(n+1) и b(n), чтобы получить знаменатель, надо число с большим индексом разделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Важным условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, иначе прогрессия считается неопределенной.

Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1•q, b3=b2•q, … , b(n)=b(n-1) •q. По формуле b(n)=b1•q^(n-1) может быть вычислен любой член геометрической прогрессии, в которой известен знаменатель q и первый член b1. Также каждый из членов геометрической прогрессии по модулю равен среднему геометрическому своих соседних членов: |b(n)|=√[b(n-1)•b(n+1)], отсюда прогрессия и получила свое название.

Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где аргумент x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y можно понимать n-й член прогрессии, если аргумент x принять за натуральное число n (счетчик).

Существует формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S(n)=b1•(1-q^n)/(1-q). Данная формула справедлива при q≠1. Если q=1, то сумма первых n членов вычисляется формулой S(n)=n•b1. Кстати, прогрессия будет называться возрастающей при q большем единицы и положительном b1. При знаменателе прогрессии, по модулю не превышающем единицы, прогрессия будет называться убывающей.

Частный случай геометрической прогрессии – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (б.у.г.п.). Дело в том, что члены убывающей геометрической прогрессии будут раз за разом уменьшаться, но никогда не достигнут нуля. Несмотря на это, можно найти сумму всех членов такой прогрессии. Она определяется формулой S=b1/(1-q). Общее количество членов n бесконечно.

Чтобы наглядно представить, как можно сложить бесконечное количество чисел и не получить при этом бесконечность, испеките торт. Отрежьте половину этого торта. Затем отрежьте 1/2 от половины, и так далее. Кусочки, которые у вас будут получаться, являют собой не что иное, как члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Если сложить все эти кусочки, вы получите исходный торт.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Арифметическая прогрессия
- Формула любого члена арифметической прогрессии
- Формула суммы членов арифметической прогрессии
- Формула суммы квадратов чисел натурального ряда
Геометрическая прогрессия
- Сравнение геометрической прогрессии с арифметической прогрессией
- Формула любого члена геометрической прогрессии
- Формула суммы членов геометрической прогрессии
- Пример на геометрическую прогрессию
Бесконечные прогрессии
- Понятие о пределе
- Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
- Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям
Дополнительный материал по прогрессиям
Числовые последовательности
- Арифметическая прогрессия
  - Характеристическое свойство
  - Связь с линейной функцией
  - Формула суммы n первых членов
- Геометрическая прогрессия
  - Характеристическое свойство
  - Формула суммы n первых членов

Прогрессия — это последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметическая прогрессия

Задача:

Рабочему поручили выкопать колодец и условились платить ему за первый метр глубины 3 руб., за второй 5 руб. ит. д., увеличивая плату за каждый следующий метр на 2 руб. Сколько уплатили рабочему, если колодец был вырыт им в 10 м глубины?

Для решения задачи надо найти сумму таких чисел:
3+5+7+9+11+ 13+15+17+19+21.

Сумму эту мы можем найти проще, чем обыкновенным сложением. Обозначив её буквой s, напишем две такие строки:
s = 3+ 5+ 7+ 9+11 + 13 + 15+17 + 19 + 21,
s=21+19+17+15+13+11+ 9+ 7 + 5+ 3.

Вторую строку мы написали, переставив слагаемые первой строки в обратном порядке, от чего, конечно, сумма не изменилась. Сложим теперь все числа, стоящие друг под другом.
2s=24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24,
т. е.
2s=24 ∙ 10 = 240,
и, следовательно,

Таким образом, за всю работу уплатили 120 рублей.

В этой задаче нам пришлось иметь дело с рядом чисел, последовательно возрастающих на одно и то же число. Подобные ряды носят название арифметических прогрессий.

Определение:

Арифметической, или разностной, прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для этого ряда числом (положительным или отрицательным).

Так, два ряда чисел: 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46 и 6, 4, 2, 0, —2, —4, —6 составляют арифметические прогрессии, так как в них каждое число, начиная со второго, равно предыдущему числу, сложенному в первом ряду с положительным числом 4, а во втором—с отрицательным числом —2.

Числа, составляющие прогрессию, называются её членами. Положительное или отрицательное число, которое надо прибавить к предыдущему члену, чтобы получить последующий, называется разностью прогрессии.

Прогрессия называется возрастающей или убывающей, смотря по тому, увеличиваются ли её члены по мере удаления от начала ряда или уменьшаются; разность возрастающей прогрессии есть число положительное, а убывающей — отрицательное.

Для обозначения того, что ряд чисел представляет собой арифметическую прогрессию, иногда ставят в начале ряда знак ÷.

Обыкновенно принято обозначать: первый члена, а последний l, разность d, число всех членов n и сумму их s.

Формула любого члена арифметической прогрессии

Пусть имеем прогрессию: ÷ 10, 14, 18, … (разность 4).
Тогда 2-й член = 10+4 = 14;
3-й „ =10+4+4=10+4∙2=18;
4-й „ =10+4+4+4 = 10+4∙3 = 22 и т. д.
Значит:
10-й член= 10+4∙9=46;
20-й „ =10+4∙19=86 и т. д.

Подобно этому, если имеем прогрессию: ÷ 6, 4, 2,… (разность—2), то
2-й член=6+(—2)=4;
3-й „ =6+(-2)+(-2)=6+(-2)∙2=2 и т. д.

Например:
10-й член=6+(—2) ∙ 9= —12.

Вообще, если прогрессия будет такая: ÷ α, b, с,… (разность d), то
2-й член=а+d;
3-й „ = α+d+d=a+ 2d;
4-й „ =a+2d+d=a+3d и т. д.

Значит, 10-й член окажется a+9d. 15-й член будет a + 14d, вообще m-й член будет a+d(m -1). Таким образом:

Всякий член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому.

В частности, последний член равен первому члену, сложенному с произведением разности на число всех членов, уменьшенное на 1, т. е.:
l=a+d(n-1). (1)

Примеры:

1) Найти 10-й член прогрессии: ÷60, 75, 90,…
Так как разность этой прогрессии равна 15, то 10-й член будет
60 + 15 ∙ 9 = 195.
2) Найти 12-й член прогрессии: ÷40, 37, 34,…
Так как разность равна —3, то 12-й член должен быть
40+(-3) ∙ 11=40-33 = 7.
3) Каким будет n-е число в последовательном ряду нечётных чисел: 1, 3, 5, .. .?

Такое число будет
l+2(n-1) = l+2n-2 — 2n-l.

Следствие. Арифметическую прогрессию, у которой первый член есть а, разность d и число членов п, можно изобразить так:
α, α+b, α+2d, a+3d, …, a+d(n-1).

Формула суммы членов арифметической прогрессии

Предварительно убедимся в следующем свойстве:

Сумма двух членов арифметической прогрессии, равноотстоящих от концов, равна сумме крайних членов.

Например, в прогрессии: ÷ 3, 7, 11, 15, 19, 23 находим:
3+23=26; 7+19=26; 11 + 15=26.

Понятно, почему это так: первые слагаемые этих сумм (т. е. 3, 7, 11) идут, возрастая на 4, а вторые слагаемые (23, 19, 15) идут, убывая на 4; поэтому сумма каждой пары остаётся та же.

Возьмём ещё пример убывающей прогрессии: ÷ 8, 6, 4, 2, 0, —2, —4. В ней
8+(-4) = 4, 6 + (-2) = 4, 4+0=4.

Член 2, отстоящий одинаково от начала и от конца, должен быть сложен сам с собой: 2+2=4. И здесь объяснение то же самое: слагаемые 8, 6, 4, 2 идут, уменьшаясь на 2, а слагаемые —4, —2, 0 и 2 идут, увеличиваясь на 2; от этого сумма каждой пары остаётся без изменения.

Теперь выведем формулу для суммы членов любой арифметической прогрессии. Для этого применим тот способ, посредством которого мы нашли сумму членов арифметической прогрессии в задаче, а именно: сложим почленно два таких равенства:
s=a+b+c+.. ∙+i+k+l
s =l+k+i+.. .+c+b+α
2s=(a+l)+(b+k)+(c+i) + … + (i+c) + (k+b)+(l+α).

Но
α+l = b+k=c+i = …=l+a;
следовательно:
2s = (α+l)n, откуда (2)

Сумма всех членов арифметической прогрессии равна половине произведения суммы крайних членов на число членов.

Таким образом, в задачедля суммы s по этой формуле найдём то число, которое мы нашли ранее другим путём:
s= [(3+21) ∙ 10]: 2=120.

Пример:

Найти сумму натуральных чисел от 1 до n включительно.
Ряд: 1, 2, 3, …, n есть арифметическая прогрессия, у которой первый член 1, разность 1, число членов n и последний член тоже и; поэтому:

Так:

Пример:

Найти сумму первых n нечётных чисел.
Как мы видели, n-е нечётное число равно 2n—1; поэтому

Так:
1 + 3=4=2²; l+3+5=9=3²; 1+3+5+7 = 16=4² и т. д.

Это свойство сумм нечётных чисел наглядно изображается чертежом 25, который составлен так: к квадрату (внизу слева) приставлены 3 таких же квадрата (1 сверху, 1 сбоку и 1 в верхнем углу); к этим квадратам приставлены ещё 5 квадратов (2 сверху, 2 сбоку и 1 в верхнем правом углу). К ним, далее, приложены 7 квадратов, потом 9 квадратов и т. д. Тогда очевидно, что
1 + 3=2² , 1+3+5=3² ,
1 + 3+5 +7 = 4² и т. д.

Черт. 25

Пример:

Найти сумму 10 членов прогрессии: ÷3, , 2,…
Здесь α=3, , поэтому 10-й член прогрессии будет, и потому искомая сумма равна:

Проверка:

77. Замечание. Так как для пяти чисел a, l, d, n и s мы имеем два уравнения:
и

то по данным трём из этих чисел можем находить остальные два. Для примера решим следующую задачу:

Найти число членов прогрессии, у которой первый член 7, разность—2 и сумма всех членов 12.

В этой задаче даны: a=7, d=-2 и s=12; остаются неизвестными l и n. Подставив в формулы (1) и (2) заданные числа, находим:
l =7-2(n-l)=9-2n;

откуда:

Получаются два ответа: число членов или 6, или 2. И действительно, две прогрессии: 7, 5, 3, 1, —1, —3 и 7, 5 имеют одну и ту же сумму 12.

Формула суммы квадратов чисел натурального ряда

Выведем формулу, определяющую сумму квадратов первых n чисел натурального ряда. Для вывода этой формулы рассмотрим n следующих тождеств:
2³=(1+ 1)³=1³∙1²∙1+3∙1∙1²+1³;
3³=(2+1)³ =2³ +3∙2² ∙ 1+3∙2∙ 1²+1³;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n+1)³ =n³ +3n² ∙1+3n∙1²+1³ .

Сложив эти тождества и сократив одинаковые члены в правой и левой частях полученного тождества, будем иметь:
(n+l)³ =1+3(1²+2²+3²+…+n² )+3(1+2+3+…+n)+n.

Но

следовательно:

Упростим правую часть этого равенства:

Итак,

Геометрическая прогрессия

Задача:

По преданию, индийский принц Сирам предложил изобретателю шахматной игры просить у него награду, какую он захочет. Тот попросил, чтобы ему дали за первый квадрат шахматной доски 1 пшеничное зерно, за второй квадрат 2 зерна, за третий 4 и т. д., увеличивая вдвое за каждый из следующих квадратов. Принц согласился. Но когда подсчитали количество зёрен пшеницы, которое следует выдать за все 64 квадрата шахматной доски, то. оказалось, что награда в этом размере не может быть выдана по недостатку пшеницы. Сколько же зёрен пришлось бы выдать изобретателю?

Количество зёрен, которое надлежало бы выдать за все 64 квадрата, равно сумме S следующего ряда чисел:
s = 1+2+2² +2³ +… + 2⁶²+2⁶³.

Мы можем найти эту сумму, не вычисляя отдельно слагаемых, так: умножим обе части написанного равенства на 2:
2s=2+2²+ 2³+2⁴ + …+ 2⁶³+2⁶⁴.

Теперь вычтем из этого равенства предыдущее; тогда в левой части получим s, а в правой 2⁶⁴—1 (числа 2, 2², 2³, …, 2⁶³ все сократятся):
s= 2⁶⁴-1.

Значит, придётся вычислить степень 2⁶⁴, что можно сделать или последовательным умножением на 2 по формуле:
2⁶⁴ =2∙2∙2∙2… (64 множителя),
или по формуле:
2⁶⁴= [(2¹⁶)² ]² =(65 536² )² .

Окончательное число зёрен будет:
s= 2⁶⁴ -l = 118 446 744 073 709 551 615.

Можно вычислить, что если бы такое число зёрен рассыпать равномерно по всей земной суше, то образовался бы слой пшеницы толщиной около 9 мм.

В этой задаче мы имели дело с рядом чисел, из которых каждое начиная со второго равно предыдущему числу, умноженному на одно и то же число. Такие ряды чисел называются геометрическими прогрессиями.

Определение:

Геометрической, или кратной, прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждое число начиная со второго равняется предшествующему, умноженному на одно и то же число, постоянное для этого ряда. Так, три ряда:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … ;
8, -16, 32, -64, 128, -256, 512, . . . ;

составляют геометрические прогрессии, потому что в этих рядах каждое число, начиная со второго, получается из предшествующего умножением в первом ряду на 2, во втором на —2 и в третьем на .

Для обозначения того, что данный ряд есть геометрическая прогрессия, иногда ставят в начале его знак ÷÷.

Как и в арифметической прогрессии, числа, составляющие геометрическую прогрессию, называются её членами; число, на которое надо умножить предыдущий член, чтобы получить последующий, называется знаменателем прогрессии.

Прогрессия называется возрастающей или убывающей, смотря по тому, увеличивается или уменьшается абсолютная величина членов прогрессии по мере удаления от начала ряда; так, из трёх указанных выше прогрессий первая и вторая — возрастающие, а третья — убывающая. В возрастающей прогрессии абсолютная величина знаменателя больше 1, в убывающей она меньше 1.

Обыкновенно знаменатель прогрессии обозначают буквой q, а члены, число их и сумму обозначают также, как это принято для арифметической прогрессии, т. е. a, b, с, … , l (последний член), n (число членов) и s (сумма).

Сравнение геометрической прогрессии с арифметической прогрессией

Разность двух рядом стоящих членов арифметической прогрессии остаётся одна и та же, вследствие чего члены её возрастают (или убывают) равномерно (черт. 26, левый). Посмотрим, какова разность двух соседних членов в геометрической прогрессии:
∺ а, b, с, … (знаменатель q).

Из определения прогрессии следует: b=aq, c=bq, d=cq и т. д.; следовательно,
b — a=aq — a=a (q — 1); с — b=bq — b=b(q — 1) и т. д.

Если прогрессия возрастающая и члены её положительные, то тогда a < b < с < … и т. д.; поэтому и
a(q-1)<b (q-1) <c( q-1 )<…,
т. е.
b — a < c — b < d — c < … и т. д.

Черт. 26

Значит, в возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами разность двух соседних членов увеличивается номере удаления их от начала ряда; вследствие этого члены такой прогрессии по мере их удаления от начала ряда возрастают всё быстрее и быстрее, что наглядно изображено на чертеже 26 (правый). Например:
÷ 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
∺ 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

Формула любого члена геометрической прогрессии

Пусть мы имеем такую геометрическую прогрессию:
∺ 3, 6, 12, 24, … (знаменатель 2).

Тогда:
2-й член=3∙2=6;
3-й „ =3∙2∙2=3∙2² =12;
4-й „ =3∙2∙2∙2=3∙2³ =24 и т. д.

Например: 10-й член=3-2⁹=3∙512=1536.

Подобно этому, если мы имеем прогрессию:

то
2-й член
3-й
4-й

Вообще, если имеем прогрессию в буквенном виде:
∺ а, b, с, … (знаменатель q),
то в ней
2-й член=аq=aq¹;
3-й „ =aq∙q=aq²;
4-й „ = aq² ∙q = aq³ и т. д.

Таким образом, 10-й член=аq⁹, вообще m-й член=. Значит:

Всякий член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени, показатель которой равен числу членов, предшествующих определяемому.

В частности, последний член l, которому предшествует n — 1 членов, выразится формулой:

Пример:

Найти 6-й член прогрессии: ∺ 3, 12, …
Знаменатель такой прогрессии есть 12:3=4; поэтому 6-й член= 3∙45 =3072.

Пример:

Найти 10-й член прогрессии: ∺ 20, 10, …
Так как знаменатель этой прогрессии равен 10 : 20= то 10-й член равен:

Следствие. Геометрическую прогрессию, у которой первый член есть а, знаменатель q и число всех членов n, можно изобразить так:
∺ α, aq, aq², aq³ , …, aqⁿ⁻¹.

Формула суммы членов геометрической прогрессии

Применим тот приём, которым мы раньше нашли сумму l+2+2² +… +2⁶³. Умножим обе части равенства
s=α+b+c+…+k+l (1)
на знаменатель q, тогда получим:
sq=aq+bq+cq+…+kq+lq.
Но
aq=b, bq=c, cq = d, … , kq=l,
следовательно,
sq = b+c+d+…+l+lq. (2)

Вычтя почленно из равенства (2) равенство (1), найдём:
sq — s=lq- а, т. е. (q — 1)s=lq — а,
откуда:

Сумма членов геометрической прогрессии равна дроби, у которой числитель есть разность между произведением последнего члена на знаменатель прогрессии и первым членом её, а знаменатель есть разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Замечания. 1. Так как для убывающей геометрической прогрессии — 1 < q < 1, то для такой прогрессии лучше придать формуле суммы иной вид, умножив числитель и знаменатель дроби на — 1:

2. Если вместо члена l подставим равное ему выражение aqⁿ⁻¹, то формула для суммы примет такой вид:
или

Пример:

Найти сумму восьми членов прогрессии, у которой а=1
и . Тогда:

Пример на геометрическую прогрессию

Найти первый член а и последний l, если q=3, n=5 и s=242.

Сначала находим l по формуле l=aqⁿ⁻¹=α∙3⁴ и затем эту величину и данные числа подставим в формулу для суммы:

откуда:
α = 242 : 121=2.

Теперь находим:
α =2∙3⁴ =162.

Проверка: 2+6+18+54+162=242.

Бесконечные прогрессии

Некоторые свойства бесконечных прогрессий:

Если ряд чисел, составляющих прогрессию, продолжается неограниченно, то прогрессия называется бесконечной. Рассмотрим некоторые свойства таких прогрессий.

а) Возьмём бесконечно возрастающую арифметическую прогрессию, у которой разность очень мала; например, такую:
∺1; 1,01; 1,02; 1,03; 1,04; …

Несмотря на то, что члены этой прогрессии при удалении от начала ряда растут очень медленно, они, однако, при достаточном удалении превзойдут любое данное число, как бы велико оно ни было; например, они сделаются больше 1 000000. Действительно, для того чтобы (n+ 1)-й член такой прогрессии, равной сумме 1+0,01 n, сделался больше 1 000 000, достаточно для n взять такое большое число, которое удовлетворяло бы неравенству: 1+0,01n> 1 000000.
Из него находим:

Так как в бесконечной прогрессии число п может быть как угодно большим, то его можно взять большим 99999 900; тогда 14-0,01 n сделается больше 1 000 000.

Рассуждение это можно повторить о всякой арифметической возрастающей бесконечной прогрессии; поэтому мы можем высказать такое общее заключение:

Члены бесконечно возрастающей арифметической прогрессии при достаточном удалении их от начала ряда превосходят любое данное число, как бы оно велико ни было.

Возьмём бесконечно убывающую арифметическую прогрессию, например: ÷ 1900, 998, 996,… (разность—2). Как бы ни был велик начальный член, начиная с некоторого места, члены прогрессии становятся отрицательными, и при достаточном удалении от начала ряда абсолютная величина их превосходит любое данное число, как бы велико оно ни было.

б) Возьмём теперь бесконечно возрастающую геометрическую прогрессию с положительными членами, например такую:
∺1; 1,01; 1,01²=1,0201; 1,01³ = 1,030301; .. . (знаменатель 1,01), и сравним её с бесконечной арифметической прогрессией:
-:-1; 1,01; 1,02; 1,03,… (разность 0,01),
у которой первые два члена одинаковы со взятой нами геометрической прогрессией.

Как мы видели раньше, члены геометрической прогрессии возрастают быстрее, чем члены арифметической прогрессии.

Но члены возрастающей арифметической прогрессии при достаточном удалении их от начала ряда превосходят любое число; значит, члены нашей геометрической прогрессии и подавно могут сделаться больше всякого данного числа. Таким образом:

Члены бесконечно возрастающей геометрической прогрессии (с положительными членами) при достаточном удалении от начала ряда превосходят любое данное число, как бы оно велико ни было.

Свойство это применимо и к такой возрастающей геометрической прогрессии, у которой члены, все или некоторые, — отрицательные числа (например, —5, —10, —20,… или 5, — 10, 20, —40,…); тогда надо только говорить не о самих членах, а об их абсолютной величине.

в) Возьмём теперь какой-нибудь пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, например такой:

Члены такой прогрессии при удалении их от начала ряда, конечно, уменьшаются, но могут ли они при этом сделаться меньше всякого данного положительного числа, например меньше 0,000001, это сразу не видно. Чтобы обнаружить это, возьмём вспомогательную прогрессию, члены которой обратны членам взятой нами прогрессии:
1, 2, 2², 2³,…, 2ⁿ,… (знаменатель 2).

Прогрессия эта возрастающая, и потому, как мы сейчас видели, члены её при достаточном удалении от начала ряда превосходят любое данное число; значит, они превосходят и 1000 000. Если же окажется, что
2ⁿ > 1 000 000,
то тогда, очевидно:

Применим это рассуждение к какой угодно бесконечно убывающей геометрической прогрессии (с положительными членами):
∺ a, b, c,… (знаменатель q < l).

Чтобы показать, что члены этой прогрессии при достаточном удалении от начала ряда делаются меньше любого данного положительного числа а (как бы мало это число ни было), возьмём вспомогательную геометрическую прогрессию:

Прогрессия эта возрастающая, так как её знаменатель больше 1. Но члены возрастающей геометрической прогрессии могут превзойти всякое данное число; следовательно, они превзойдут и число .

Поэтому при достаточно большом n будет удовлетворено неравенство:

Таким образом:
Члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами при достаточном удалении от начала ряда делаются меньше любого данного положительного числа.

Если в бесконечно убывающей геометрической прогрессии все или некоторые члены отрицательны, то указанное свойство применимо и к этой прогрессии, только надо будет говорить не о самих членах, а об их абсолютных величинах.

Понятие о пределе

Положим, что в бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

мы взяли 10 членов от начала; тогда последний (10-й) член будет , а сумма этих 10 членов (которую обозначим s₁₀) будет:

Подобно этому найдём:

Мы видим, что по мере увеличения числа членов сумма их приближается всё более и более к 2. Так, сумма меньше 2 на дробь , а эта дробь, как мы видели, при достаточно большом n делается меньше любого данного положительного числа.

Если какая-нибудь переменная величина (в нашем примере — сумма членов прогрессии), изменяясь, приближается всё более и более к некоторому постоянному числу (в нашем примере — к числу 2) так, что абсолютная величина разности между этим числом и переменной делается и остаётся меньше любого данного положительного числа, как бы мало оно ни было, то это постоянное число называется пределом переменной величины.

Заметив это, мы можем сказать, что переменная сумма

при неограниченном возрастании п стремится к пределу 2, что записывают так:
если n→∞
( n→∞ читается: „n стремится к бесконечности»), или пишут так:

Здесь „пред.» есть сокращённое слово „предел», а добавление внизу скобки: n→∞ заменяет собой фразу: „когда n неограниченно увеличивается» (когда n стоемится к ∞).

Можно наглядно показать (черт. 27), что рассматриваемая сумма приближается неограниченно близко к 2. Пусть отрезок AA₁ =1 и АВ=2. Тогда ,
и т.д.; ясно, что при увеличении числа членов прогрессии мы неограниченно приближаемся к точке В, и значит, сумма стремится к отрезку АВ=2.

Черт. 27.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Если в бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
a, aq, aq², aq³,… (— 1< q < 1)
возьмём п членов от начала, то n-й член будет aq aqⁿ⁻¹ и сумма n членов будет:

Формулу эту можно представить так (подписав знаменатель под каждым членом числителя):

Предположим, что n неограниченно увеличивается. Тогда число остаётся неизменным, а дробь по абсолютной величине уменьшается и притом неограниченно, так как числитель её по абсолютной величине делается меньше любого данного положительного числа, а знаменатель остаётся неизменным. Значит:

Этот предел и называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий, т. е. сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна частному от деления первого члена прогрессии на разность единицы и знаменателя прогрессии.

Например, сумма членов геометрической прогрессии:

у которой и α=2, равна

Черт. 28.

На прилагаемом чертеже изображён ряд ординат, наглядно изображающих сравнительную величину одного, суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов данной прогрессии. Ординаты эти поочерёдно становятся то больше , то меньше , приближаясь всё более к этому числу (черт. 28).

Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям

Возьмём следующие два примера десятичных чистых периодических дробей (т. е. таких, у которых период начинается тотчас после запятой): 1) 0,999… и 2) 0,232323…

Дроби эти представляют собой суммы:

Слагаемые этих сумм — члены бесконечно убывающих геометрических прогрессий, у которых знаменатели прогрессии: у первой , у второй Суммы эти равны:

Из этих примеров видно, что
чистая периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть период, а знаменатель — число, изображаемое цифрой 9, повторённой столько раз, сколько цифр в периоде.

Возьмём теперь два примера смешанных периодических дробей (т. е. таких, у которых период начинается не тотчас после запятой):
3) 0,2888… и 4) 0,3545454…

Дроби эти можно представить в виде сумм:

Слагаемые этих сумм, начиная со второго, суть члены бесконечных убывающих геометрических прогрессий; в третьей сумме знаменателем служит дробь , в четвёртой сумме — дробь Поэтому эти суммы равны:

Из этих примеров видно, что:
Смешанная периодическая дробь равна такой обыкновенной дроби, у которой числитель есть число, стоящее до второго периода, без числа, стоящего до первого периода, а знаменатель есть число, изображаемое цифрой 9, повторённой столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Дополнительный материал по прогрессиям

Смотрите также:

Решение задач по финансовой математике

Числовые последовательности

Поставим в соответствие каждому натуральному числу квадрат этого числа:

Рассмотренное соответствие является функцией. Обозначим эту функцию буквой тогда:

Областью определения этой функции служит множество N натуральных чисел: множеством ее значений— множество

Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью. Функция, заданная на множестве первых п натуральных чисел, называется конечной последовательностью.

Значения функции называются членами последовательности. Члены последовательности обозначаются также символами где Это равенство называют также формулой общего члена. Последовательность обозначается так:

Так как последовательность—это частный вид функции, то способы задания функции применимы и для задания последовательности. Графический и табличный способы могут быть использованы для задания конечных последовательностей. Для бесконечных же последовательностей особенно важны два следующих способа задания, которые мы сейчас рассмотрим.

Последовательность может быть задана аналитически, т. е. с помощью формулы общего (n-го) члена

Например:

Давая аргументу «значения 1, 2, 3, …, будем получать соответствующие значения последовательности. Так, последовательность имеет вид а последовательность имеет вид

2.Любой член последовательности, начиная с некоторого, часто выражают через предшествующие (один или несколько). Например, последовательность 1; 2; 3; 5; 8; 11; … может быть задана следующим образом:

Действительно,

Такой способ задания последовательности называется рекуррентным. При рекуррентном способе задания последовательности обычно указывают: а) первый член последовательности (или несколько первых членов); б) формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

Примеры:

1. Выписать несколько первых членов последовательности, если известно, что

Решение:

Итак, получаем последовательность 1, 3, 5, 7, 9…..

2.Выписать несколько членов последовательности, если известно, что

Решение:

Итак, получаем последовательность

Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий ее член больше предыдущего, т. е. для любого n. Например, возрастающими являются такие последовательности:

Последовательность называется убывающей, если каждый последующий ее член меньше предыдущего, т. е. Для любого n. Например, убывающими являются такие последовательности:

Последовательность называется монотонной, если она возрастающая или убывающая.

Арифметическая прогрессия

Основные понятия: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией. Число d — называется разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия определяется условиями: для любого

Например, если т. е. получаем последовательность 2, 5, 8, И, 14, 17…..

Очевидно, что при арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, а если — убывающей; если —постоянная последовательность.

Например, прогрессии:

возрастающая,

— убывающая,

— постоянная.

Задание арифметической прогрессии, указанное выше, является по сути дела рекуррентным заданием последовательности. Такое задание во многих случаях неудобно. Действительно, для того чтобы найти какой-нибудь член арифметической прогрессии с достаточно большим номером (например, при рекуррентном задании необходимо знать все предшествующие ему члены (в данном случае число их равно 999). Эту вычислительную работу можно сократить, получив из рекуррентного соотношения формулу n-го (или общего) члена арифметической прогрессии.

Имеем:

Легко сообразить, что

Вообще

Зная по формуле общего члена можно непосредственно (без вычисления предыдущих членов) вычислить любой член арифметической прогрессии.

Например, если то по формуле общего члена имеем

Характеристическое свойство

Арифметическая прогрессия обладает следующим характеристическим свойством: любой член ее, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

Доказательство. Пусть —арифметическая прогрессия. По определению откуда

Справедливо и обратное: если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность—арифметическая прогрессия.

Действительно, пусть для любых трех соседних членов некоторой последовательности справедливо соотношение6

тогда т. е. разность между любым членом последовательности и ему предшествующим равна одному и тому же числу. Значит арифметическая прогрессия. Таким образом, рассматриваемое свойство присуще арифметической прогрессии и только ей.

Связь с линейной функцией

На рис. 81 построен график арифметической прогрессии, у которой и Рассматривая рисунок, замечаем, что точки графика лежат на одной прямой. Покажем, что это не случайно. Запишем формулу общего члена рассматриваемой арифметической прогрессии Мы получили формулу вида а такой формулой, как известно, задается линейная функция.

Таким образом, арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной на множестве натуральных чисел.

Справедливо и обратное: линейная функция, областью определения которой служит множество натуральных чисел, является арифметической прогрессией.

Пример:

Последовательность задана формулой ее n-го члена Доказать, что последовательность есть арифметическая прогрессия и найти ее первый член и разность.

Решение:

Запишем формулу общего члена для члена с номером Имеем тогда Таким образом, разность между последующим и предшествующим членами этой последовательности есть величина постоянная. Следовательно, это арифметическая прогрессия, у которой Сама прогрессия имеет такой вид:

-1; 1; 3; 5; ….

Формула суммы n первых членов

Рассмотрим какую-нибудь конечную арифметическую прогрессию, например

3; 6; 9; 12; 15; 18

и сравним суммы членов, равноудаленных от конца, 3+18; 6+15; 9+12. Легко видеть, что эти суммы равны. Это не случайно, так как можно доказать, что в конечной арифметической прогрессии сумма членов, равноудаленных от конца равна сумме первого и последнего членов, т. е.

Например, докажем, что По формуле общего члена арифметической прогрессии имеем

Подставляя в проверяемое равенство найденные значения для получим т.е. Мы получили верное равенство, что и доказывает сформулированное выше утверждение.

Воспользуемся этим фактом для вывода формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через и выпишем эту сумму дважды, поменяв во втором случае порядок слагаемых на обратный:

Сложим почленно эти равенства:Сумма каждой пары в правой части равенства равна а число таких пар равно n, поэтому

Примеры:

1. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11…..

Решение:

Из условия задачи По формуле общего члена найдем

По формуле суммы n членов имеем

Замечание. Формулу суммы n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, если вместо подставить его значение тогда

Дана конечная арифметическая прогрессия Зная три пяти: найти остальные два:

Решение:

а) По формуле n-го члена найдем Затем по формуле найдем

б) из формулы получим

Далее, имеем

в) воспользуемся формулой Подставляя данные значения, получаем Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно n; решим его:

(не подходит по условию задачи); Зная n, найдем

г) из формулы найдем d:

Теперь можно найти

д) из формулы найдем и подставим найденное значение в формулу тогда

Теперь найдем n:

Если

Выпишем обе прогрессии:

Легко видеть, что в обоих случаях сумма членов равна 330.

Геометрическая прогрессия

Основные понятия:

Определение:

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каоюдый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия определяется условиями:

Например, если т. е. получаем последовательность 1, 2, 4, 8, 16…..

Очевидно, что при геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, а если то убывающей, если же то При геометрическая прогрессия не является монотонной. Примеры прогрессий:

Задание геометрической прогрессии, указанное выше, является рекуррентным заданием последовательности. Такое задание во многих случаях неудобно. Действительно, для того чтобы найти какой-нибудь член геометрической прогрессии с достаточно большим номером, при рекуррентном задании необходимо знать все предшествующие ему члены. Эту вычислительную работу можно сократить, получив из рекуррентного соотношения формулу n-то или общего члена геометрической прогрессии. Имеем:

Легко сообразить, что

Вообще

Зная по формуле общего члена можно непосредственно (без вычисления предыдущих членов) вычислить любой член геометрической прогрессии. Так, если то по формуле общего члена имеем, например,

Характеристическое свойство

Геометрическая прогрессия, все члены которой положительные числа, обладает следующим характеристическим свойством.

Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предшествующего и последующего членов.

Доказательство. Пусть — геометрическая прогрессия. Тогда по определению имеем:

откуда

Справедливо и обратное: если некоторая последовательность положительных чисел такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним геометрическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Действительно, пусть для любых трех соседних членов некоторой последовательности справедливо соотношение тогда

а это и означает, что —геометрическая прогрессия.

Формула суммы n первых членов

В заключение выведем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эту сумму через Можно записать, что

Умножим обе части равенства (1) на q

Но поэтому

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1):

Если положить то

Если то прогрессия имеет вид В этом случае

Для примера найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии

По условию задачи Найдем пятый член прогрессии по формуле

Теперь по формуле суммы n первых членов прогрессии найдем

Замечания 1. Формулу суммы n членов геометрической прогрессии можно записать в другом виде, если вместо подставить его значение тогда

2.В каждой конечной геометрической прогрессии произведение крайних членов прогрессии равно произведению двух членов, одинаково отстоящих от крайних, т. е. в прогрессии справедливы равенства

Например, докажем, что По формуле общего члена геометрической прогрессии имеем:

Подставляя в предполагаемое равенство найденные значения для получаем:

— вернее равенство, что и доказывает сформулированное выше утверждение.

Сводная таблица, иллюстрирующая свойства арифметической и геометрической прогрессий, приведена на стр. 187.

Примеры:

1. Восьмой член геометрической прогрессии равен 256, знаменатель прогрессии 4. Найти первый член этой прогрессии.

Решение:

По условию По формуле общего члена имеем откуда

Определить знаменатель и сумму n членов геометрической прогрессии, в которой

Решение:

По формуле общего члена имеем значит, или

т. е. Далее, по формуле имеем

3.Определить первый и последний члены геометрической прогрессии, в которой

Решение:

Воспользуемся формулой из которой найдем

Теперь по формуле найдем последний член прогрессии:

4.Определить число членов геометрической прогрессии, в которой

Решение:

Прежде всего из формулы найдем q. Имеем:

Затем воспользуемся формулой n-го члена

откуда

т. е.

Определить первый член, знаменатель и число членов геометрической прогрессии, в которой

Решение:

Воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии: Тогда первые два данных уравнения примут вид:

Разделим почленно одно уравнение на другое:

Так как что противоречит условию), то, сократив левую часть уравнения на получим откуда

Теперь из уравнения найдем

Для определения n воспользуемся формулой Подставляя в это выражение найденные и данные значения, получим:

откуда

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Содержание:

Числовая последовательность

В жизни мы часто встречаемся с функциями, областью определения которых является множество натуральных чисел. Например, стоимость проезда в пригородном транспорте зависит от дальности поездки и задается функцией

Функция стоимости проезда задана таблично, областью определения функции является множество натуральных чисел В таком случае говорят, что рассматривается функция натурального аргумента, или числовая последовательность.

Примером числовой последовательности является последовательность положительных четных чисел: 2; 4; 6; 8; … . Число 2 — первый член последовательности, число 4 — второй и т. д. Ясно, что на 5-м месте будет число 10 (пятый член последовательности), а на 100-м — число 200 (сотый член последовательности).

Еще один пример — последовательность чисел, обратных натуральным числам: На месте запишется число которое является членом данной последовательности.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными. Например, последовательность двузначных чисел 10; 11; …; 99 является конечной, так как содержит конечное число членов. А последовательность нечетных натуральных чисел — бесконечная.

Определение числовой последовательности

Определение:

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, т. е. зависимость, при которой каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число.

Числа, образующие последовательность (значения функции), называются членами последовательности. Они записываются буквами с индексами, обозначающими номер члена последовательности: — первый член последовательности, — второй член последовательности, член последовательности. Последовательность с членом обозначается Для обозначения последовательности можно использовать любую букву латинского алфавита. Например, последовательность имеет вид

Если — последовательность нечетных натуральных чисел

Последовательности, так же как и функции, могут быть заданы различными способами.

Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы ее члена. Например, последовательность четных натуральных чисел можно задать с помощью формулы а последовательность чисел, обратных натуральным числам, задается формулой

С помощью формулы члена можно найти любой член последовательности.

Например, пусть последовательность задана формулой тогда

Чтобы найти некоторый член последовательности с помощью формулы члена, нужно вместо п подставить в формулу натуральное число, равное номеру искомого члена (индексу в его обозначении).

Для задания последовательностей часто используется рекуррентный способ (от лат. recurrentis — возвращающийся). Он заключается в вычислении следующих членов последовательности по предыдущим.

Например, условия и определяют бесконечную последовательность: т. е.

Пример №1

Найдите несколько членов последовательности где

Решение:

Запишем несколько членов этой последовательности в ряд: 1; 1; 2; 3; 5; … .

Полученную последовательность чисел называют последовательностью Фибоначчи по имени итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180—1240).

Формула n-го члена последовательности

Пример №2

Последовательность задана формулой члена Найдите:

Решение:

Пример №3

Последовательность задана формулой члена Является ли членом этой последовательности число:

а) -2; б) -7?

Решение:

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, нужно определить, имеет ли натуральные корни уравнение:

а) значит, число -2 не является членом последовательности;

б) значит, число -7 является членом последовательности с номером 5.

Пример №4

Для каких членов последовательности заданной формулой члена выполняется неравенство ?

Решение:

Подставим в неравенство выражение для члена, получим Решение полученного квадратного неравенства есть отрезок [-4; 1], выберем из этого отрезка только натуральные числа, получим . Значит, данное неравенство выполняется только для первого члена последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности

Пример №5

Запишите 5 первых членов последовательности , если

Решение:

Пример №6

Запишите несколько первых членов последовательности , если

Задайте эту последовательность формулой члена.

Решение:

Получим следующую последовательность: 8; -8; 8; -8; …. На нечетных местах этой последовательности стоят члены, равные числу 8, а на четных — числу -8, значит, формула члена имеет вид

Арифметическая прогрессия

Рассмотрим задачу. В горной местности температура воздуха летом при подъеме на каждые 100 м в среднем понижается на 0,7 °С. У подножия горы температура равна 26 °С. Найдите температуру воздуха на высоте 100 м; 200 м; 300 м.

Решение:

Температура воздуха на высоте 100 м равна 26 °С – 0,7 °С = 25,3 °С. На высоте 200 м температура будет равна 25,3 °С – 0,7 °С = 24,6 °С, а на высоте 300 м — 24,6 °С – 0,7 °С = 23,9 °С.

Ответ: 25,3 °С; 24,6 °С; 23,9 °С.

Решая задачу, мы получили последовательность 26; 25,3; 24,6; … . Каждый член этой последовательности равен предыдущему, сложенному с числом -0,7. Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются арифметическими прогрессиями (от лат. progression — движение вперед).

Определение арифметической прогрессией

Определение:

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, т. е.

Число называется разностью арифметической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать арифметическую прогрессию , достаточно задать ее первый член и разность

Например, если то получится арифметическая прогрессия 3; 7; 11; 15; … .

Если то арифметическая прогрессия имеет вид 2; -1; -4; -7; -10; … .

Если то все члены арифметической прогрессии равны между собой: -7; -7; -7; -7; … .

Чтобы вычислить любой член арифметической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена арифметической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — арифметическая прогрессия с разностью то, используя определение, получим верные равенства:

Сложим эти равенства:

После упрощения получим:

Так как число слагаемых равно , то равенство примет вид

Получили формулу члена арифметической прогрессии

Формула члена арифметической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член , номер члена и разность прогрессии

Пример №7

Последовательность — арифметическая прогрессия, Найдите 100-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 249,5.

Пример №8

Последовательность — арифметическая прогрессия, Является ли членом этой прогрессии число: а) 168; б) 201?

Решение:

а) По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение Решив его, получим, что — корень уравнения. Так как 67 — натуральное число, то число 168 является членом этой прогрессии с номером 67.

б) Подставим значения в формулу члена и получим уравнение Решим его: Так как корень уравнения 80,2 — не натуральное число, то число 201 не является членом этой прогрессии.

Ответ: а) число 168 является членом этой прогрессии; б) число 201 не является членом этой прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним)

членов, т. е. при

при

Доказательство. В арифметической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий члены, т. е. и :

Найдем их среднее арифметическое:

Справедливо и обратное утверждение:

если в последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (соседних с ним) членов, то последовательность является арифметической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, т. е. . Тогда ,

значит, разность каждого ее члена с предыдущим членом есть одно и то же число. Обозначим его получим при любом натуральном , следовательно, Значит, по определению последовательность — арифметическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством арифметической прогрессии:

числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Пример №9

Проверьте, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее арифметическое этих членов:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии последовательность является арифметической прогрессией.

Решение арифметической прогрессии

Пример №10

Последовательность 2; 12; 22; … является арифметической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является арифметической прогрессией, то найдем ее разность Тогда каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с числом 10: 2; 12; 22; 32; 42;….

Пример №11

Известны члены арифметической прогрессии: Найдите разность этой прогрессии.

Решение:

Найдем разность арифметической прогрессии:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Пример №12

Последовательность — арифметическая прогрессия. Найдите двадцатый член прогрессии, если

Решение:

По формуле члена арифметической прогрессии получим:

Пример №13

Запишите формулу члена для арифметической прогрессии -15,5; -14,9; -14,3; … и найдите ее двадцатый член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной арифметической прогрессии, подставив в формулу значения для и :

Подставим в формулу члена данной арифметической прогрессии и найдем ее двадцатый член:

Пример №14

В арифметической прогрессии известно, что Число 16 является членом этой прогрессии. Найдите его номер.

Решение:

Так как то По условию Воспользуемся формулой тогда

Пример №15

В арифметической прогрессии Найдите разность прогрессии и ее первый член.

Решение:

По условию

Решим систему уравнений

Вычтем из второго уравнения первое, получим откуда Подставим в первое уравнение системы, получим

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример №16

Найдите восьмой член арифметической прогрессии если

Решение:

По характеристическому свойству арифметической прогрессии т. е.

Пример №17

При каком значении последовательность является арифметической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Рассмотрим задачу. Двое друзей решили улучшить знание английского языка и каждый день учить на 3 новых слова больше, чем в предыдущий. Сколько слов выучит каждый из друзей за 10 дней, если они начнут с одного слова?

Для решения этой задачи нужно найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии у которой

Возникает вопрос: как найти эту сумму, не вычисляя всех десяти членов прогрессии?

В общем виде эта задача приводит к необходимости вывода формулы суммы первых членов арифметической прогрессии:

Для того чтобы вывести эту формулу, докажем свойство: суммы двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, равны между собой и равны сумме первого и последнего ее членов, т. е.

В общем виде:

Доказательство:

Преобразуем слагаемые в левой части равенства, воспользовавшись формулой члена:

Тогда получим:

С помощью доказанного свойства найдем, например, сумму всех натуральных чисел от 1 до 50.

Натуральные числа от 1 до 50 составляют арифметическую прогрессию 1; 2; 3; …; 50. Первый член этой прогрессии равен 1, последний равен 50. Всего в этой прогрессии 50 членов.

Поскольку то и и и (рис. 94), то искомая сумма равна

Выведем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии.

Обозначим через и запишем эту сумму дважды: с первого члена до и с члена до первого:

Сложим эти два равенства и получим:

По свойству заменим каждую сумму в скобках на

Число всех таких пар сумм равно значит, удвоенная искомая сумма равна:

т. е. — формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

Идея такого доказательства принадлежит выдающемуся немецкому математику К. Гауссу (1777—1855).

Формулу суммы первых членов арифметической прогрессии можно записать и в другом виде. Для этого по формуле члена арифметической прогрессии выразим через и и получим:

Если известен первый член прогрессии и разность, то удобно использовать формулу

Применим эту формулу к задаче о количестве выученных иностранных слов и получим: Каждый из друзей выучил по 145 новых слов.

Пример №18

Найдите сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии 3; 7; 11; 15; … .

Решение:

В этой прогрессии первый член равен 3, а разность Применим формулу суммы

для и получим:

Ответ: 5050.

Пример №19

В арифметической прогрессии Найдите сумму 85 первых членов арифметической прогрессии.

Решение:

Применим формулу суммы и получим:

Ответ: 1785.

Пример №20

Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен -2, а разность прогрессии равна 0,4.

Решение:

Воспользуемся формулой

так как то

Пример №21

Найдите сумму 4 + 7 + 10+ … + 100, если ее слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии.

Решение:

Последовательность 4, 7, 10, …, 100 является арифметической прогрессией, в которой По формуле члена арифметической прогрессии найдем количество членов этой прогрессии:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии п и найдем искомую сумму:

Пример №22

Найдите количество членов арифметической прогрессии, зная, что их сумма равна 430, первый член прогрессии равен -7, а разность прогрессии равна 3.

Решение:

Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии Так как ,то составим и решим уравнение:

Так как — натуральное число, то

Пример №23

В арифметической прогрессии Найдите сумму членов этой прогрессии с четвертого по семнадцатый включительно.

Решение:

Найдем и Поскольку то составим систему уравнений

Решим полученную систему способом сложения:

Тогда

Примем четвертый член данной прогрессии за первый член некоторой другой прогрессии, тогда семнадцатый член данной прогрессии станет четырнадцатым (17 – 4 + 1 = 14) членом новой прогрессии. Искомая сумма равна:

Пример №24

Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5.

Решение:

Первое число в последовательности всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают в остатке 5, — это число 18. Каждое следующее число равно предыдущему, сложенному с числом 26. Последнее четное число, которое при делении на 13 дает в остатке 5, — это число 278. Поскольку рассматриваются только четные числа, то разность прогрессии равна 26. Найдем номер числа прогрессии, равного 278: откуда

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим задачу. Вкладчик положил в банк 1000 р. на

депозит, по которому сумма вклада увеличивается ежегодно на 5 %. Какая сумма будет у него через 1 год, 2 года, 6 лет?

Решение:

Начальная сумма в 1000 р. через год увеличится на 5 % и составит 105 % от 1000 р. Найдем 105 % = 1,05 от 1000 р.: 1000 • 1,05 = 1050 (р.).

Через два года сумма вклада станет равной (р.), через три года — (р.) и т. д. Получим числовую последовательность:

Через шесть лет сумма будет равна

Многие практические задачи приводят к последовательностям такого вида. Они называются геометрическими прогрессиями.

Определение геометрической прогрессии

Определение:

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю, т. е.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Из равенства следует, что

Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно задать ее первый член , и знаменатель

Например, если то получится геометрическая прогрессия 3; 6; 12; 24; … .

Если то получится геометрическая прогрессия, знаки членов у которой чередуются, так как знаменатель прогрессии является отрицательным числом: 3; -6; 12; -24; … .

Если то геометрическая прогрессия имеет

вид

Если то все члены геометрической прогрессии равны между собой: 3; 3; 3; 3; … .

Чтобы вычислить любой член геометрической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу члена геометрической прогрессии

Выведем эту формулу. Если — геометрическая прогрессия и — ее знаменатель, то по определению верны равенства:

Перемножим эти равенства между собой:

Разделим обе части равенства на произведение и получим

Так как число множителей равно то равенство примет вид

Получили формулу члена геометрической прогрессии.

Формула члена геометрической прогрессии позволяет вычислить любой член прогрессии, зная ее первый член, номер члена и знаменатель прогрессии.

Пример №25

Последовательность — геометрическая прогрессия, Найдите 8-й член прогрессии.

Решение:

По формуле члена получим:

Ответ: 4374.

Пример №26

Последовательность — геометрическая прогрессия, Является ли число 320 членом этой прогрессии?

Решение:

По условию Подставим эти значения в формулу члена и получим уравнение

Решим это уравнение:

Так как 8 — натуральное число, то число 320 является членом этой прогрессии с номером 8.

Ответ: число 320 является членом этой прогрессии.

Заказать решение задач по высшей математике

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

В геометрической прогрессии модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, т. е. при

или при

Доказательство:

В геометрической прогрессии для члена запишем по формуле члена предыдущий и последующий (соседние) члены, т. е. и :

Найдем среднее пропорциональное (среднее геометрическое) соседних с членов геометрической прогрессии. Для этого перемножим равенства и получим:

Выполним преобразования в правой части равенства:

откуда получим, что

или

Справедливо и обратное утверждение:

если в последовательности чисел, отличных от нуля, модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего (соседних с ним) ее членов, то последовательность является геометрической прогрессией.

Доказательство:

Пусть в некоторой числовой последовательности модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов, т. е. .

Тогда значит, т. е. частное от деления каждого члена последовательности на предшествующий ему член есть одно и то же число, отличное от нуля. Обозначим его получим при любом натуральном следовательно, Значит, по определению последовательность — геометрическая прогрессия.

Оба утверждения можно объединить в одно, которое называется характеристическим свойством геометрической прогрессии:

числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего ее членов:

Пример №27

Проверьте, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой

Решение:

Запишем для предыдущий и последующий члены последовательности:

Найдем среднее пропорциональное этих членов:

По характеристическому свойству геометрической прогрессии последовательность является геометрической прогрессией.

Решение геометрической прогрессии

Пример №28

Последовательность 2; 10; 50; … является геометрической прогрессией. Продолжите последовательность.

Решение:

Так как последовательность является геометрической прогрессией, то найдем ее знаменатель Тогда каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на число 5: 2; 10; 50; 250; 1250; 6250; ….

Пример №29

Известны члены геометрической прогрессии:

Найдите знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Так как знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого ее члена к предыдущему, то

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Пример №30

Последовательность — геометрическая прогрессия. Найдите пятый член этой прогрессии, если

Решение:

По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №31

Запишите формулу члена для геометрической прогрессии -216; 36; -6; … и найдите ее седьмой член.

Решение:

По условию тогда Запишем формулу члена данной геометрической прогрессии, подставив в формулу значения для и

Подставим в формулу члена данной геометрической прогрессии и найдем ее седьмой член:

Пример №32

Найдите номер члена геометрической прогрессии 0,1; 0,3; …, равного 218,7.

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Известно, что По формуле члена геометрической прогрессии получим:

Пример №33

Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии если

Решение:

По условию

Составим систему уравнений

Разделим второе уравнение на первое и получим:

Подставим это значение в первое уравнение системы и получим

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Пример №34

Найдите сорок девятый член геометрической прогрессии, если сорок восьмой ее член равен 4, а пятидесятый ее член равен 9.

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии и получим Тогда или

Пример №35

При каком значении последовательность является геометрической прогрессией?

Решение:

По характеристическому свойству прогрессии последовательность является геометрической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего членов:

Решим полученное уравнение:

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Немало легенд связано с геометрической прогрессией.

Наиболее известная из них рассказывает об изобретателе шахмат.

По легенде, когда создатель шахмат показал свое изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у правителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зерен на каждой следующей клетке (рис. 96).

Правитель быстро согласился и приказал казначею выдать мудрецу нужное количество зерна. Однако когда казначей показал расчеты, то оказалось, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять все пшеницей.

Число зерен, которое попросил мудрец, равно сумме членов геометрической прогрессии т. е.

Выведем формулу, по которой можно находить сумму первых членов геометрической прогрессии.

Обозначим сумму первых членов геометрической прогрессии через тогда:

Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии и получим:

Вычтем из второго равенства первое и получим:

т. e. Выразим из этого равенства при и получим формулу суммы первых членов геометрической прогрессии

Если то все члены прогрессии равны первому члену, и сумму первых прогрессии членов такой геометрической прогрессии можно найти по формуле

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Вычислим по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии число зерен, которое запросил в награду мудрец, т. е. сумму

Первый член геометрической прогрессии знаменатель количество членов прогрессии равно 64.

Тогда

Такого количества пшеницы человечество не собрало за всю свою историю.

Пример №36

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии в которой

Решение:

Применим формулу суммы для

получим

Ответ: 511,5.

Пример №37

Найдите сумму двенадцати первых членов геометрической прогрессии 3; -6; 12; -24; … .

Решение:

Подставим в формулу значения

Ответ. -4095.

Пример №38

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии если

Решение:

Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:

тогда

По формуле найдем

Пример №39

Сумма членов геометрической прогрессии равна 605. Найдите количество членов прогрессии, если

Решение:

Подставим в формулу значения и найдем

Пример №40

В геометрической прогрессии известно, что Найдите

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии:

Подставим в формулу члена геометрической прогрессии и найдем первый член прогрессии:

По формуле найдем сумму трех первых членов геометрической прогрессии:

Пример №41

В геометрической прогрессии известно, что Найдите сумму п первых членов этой прогрессии.

Решение:

Зная, что третий член геометрической прогрессии равен 16, а ее знаменатель равен 2, по формуле найдем первый член прогрессии: Воспользуемся формулой члена геометрической прогрессии и найдем

По формуле суммы первых членов геометрической прогрессии найдем

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной периодической дроби. Например, — конечная десятичная дробь. Бесконечная периодическая десятичная дробь получается в случае, когда деление «не заканчивается», например

Вы рассматривали правило записи конечной десятичной дроби в виде обыкновенной дроби (например, ит. п.).

Выясним, как бесконечную периодическую десятичную дробь записать в виде обыкновенной дроби.

Рассмотрим, например, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) = 0,7777… . Определим, какой обыкновенной дроби равно это число.

Запишем дробь 0,(7) в виде суммы разрядных слагаемых:

В данном случае необходимо найти сумму бесконечного числа слагаемых.

Слагаемые этой суммы являются членами бесконечной

геометрической прогрессии со знаменателем Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Определение. Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель

Например, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессий, так как

Геометрическая прогрессия также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, поскольку

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ее обозначают буквой и находят по формуле

Покажем идею вывода формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию у которой Сумма первых членов данной прогрессии вычисляется по формуле Запишем эту формулу в виде

Представим, что п неограниченно возрастает (говорят, что стремится к бесконечности, и записывают ). Поскольку то при неограниченном увеличении числа степень стремится к нулю, а значение разности стремится к единице. Значит, при неограниченном увеличении числа сумма стремится к числу что можно записать в виде при

Число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии у которой Таким образом,

Обозначим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии буквой и получим формулу:

Вычислим по этой формуле сумму разрядных слагаемых:

Слагаемые этой суммы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию первый член которой равен

а знаменатель равен

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Так как то можем найти сумму этой бесконечной прогрессии. Подставим в формулу и получим:

Значит,

Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(7) можно записать в виде обыкновенной дроби , т. е.

Таким же способом можно любую бесконечную периодическую десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби.

Чтобы записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, нужно:

Представить число в виде суммы разрядных слагаемых.
Выделить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Указать первый член , и найти знаменатель этой прогрессии
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле
Вычислить сумму первых слагаемых и найденного значения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Запишите в виде обыкновенной дроби число

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Пример №42

В бесконечной геометрической прогрессии Является ли эта прогрессия бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии: Так как то данная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №43

Является ли бесконечно убывающей геометрическая прогрессия:

а)

б)

в)

Решение:

а) Каждый член этой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число Так как то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

б) Поскольку, то прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

в) Знаменатель прогрессии Так-как то прогрессия не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример №44

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой

Решение:

По формуле получим:

Пример №45

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии Найдите первый член этой прогрессии.

Решение:

В формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии подставим и получим Решим полученное уравнение:

Пример №46

Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь 15,2(3) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Единичная окружность – в тригонометрии
Определение синуса и косинуса произвольного угла
Определение тангенса и котангенса произвольного угла
Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
Наибольшее и наименьшее значения функции
Раскрытие неопределенностей
Дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональные неравенства

Источник

Как найти знаменатель арифметической прогрессии.

А4 = – 1 ; а7 = 27.

Перед вами страница с вопросом Как найти знаменатель арифметической прогрессии?, который относится к
категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для
учащихся 5 – 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и
сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и
выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется
варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском»,
который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав
кнопку в верхней части страницы.

Источник