Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 декабря 2022 года; проверки требуют 37 правок.
У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.
Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел 
, 
, 
, 
(члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на фиксированное число 
(знаменатель прогрессии). При этом 
[1].
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.
Произведением первых 
членов геометрической прогрессии 
называется произведение от до 
, то есть выражение вида 
Обозначение: 
.
Описание[править | править код]
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле
Если 
и 
, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 
, — убывающей последовательностью, а при 
— знакочередующейся[3], при 
— стационарной (постоянной).
Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:
то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов[4].
Примеры[править | править код]
Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов
- Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[5]:8—9.
- Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
- 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
- 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
- 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
, , , — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).- 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
- 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.
Свойства[править | править код]
Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]
Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:
Доказательство
По определению геометрической прогрессии.
![{displaystyle q={sqrt[{n-k}]{dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb495b3245f5a775c4432d11c0f5008f819b5d72)
Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]
- Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:
Доказательство
По определению геометрической прогрессии.
- Формула общего (-го) члена:
- Обобщённая формула общего члена:
Доказательство
- Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.
Доказательство
Формула общего члена арифметической прогрессии:
.
В нашем случае
,
.
Доказательство
Пусть
- Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
Доказательство
- Сумма всех членов убывающей прогрессии:
-
- , то при , и
- при .
Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]
где 
— сумма обратных величин, т. е. 
.
Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]
См. также[править | править код]
- Арифметическая прогрессия
- Арифметико-геометрическая прогрессия
- Числа Фибоначчи
- Показательная функция
- Сумма ряда
Примечания[править | править код]
- ↑ Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
- ↑ Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей, только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны.
- ↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
- ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивная копия от 19 мая 2017 на Wayback Machine
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего умножением его на постоянное число, не равное нулю.
Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой (q).
Например, последовательность (3); (6); (12); (24); (48)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):
Как и любую последовательность, геометрическую прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой, что и геометрическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, геометрическая прогрессия (b_n = {3; 6; 12; 24; 48…}) состоит из элементов (b_1=3); (b_2=6); (b_3=12) и так далее. Иными словами:
|
порядковый номер элемента |
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
… |
|
обозначение элемента |
(b_1) |
(b_2) |
(b_3) |
(b_4) |
(b_5) |
… |
|
значение элемента |
(3) |
(6) |
(12) |
(24) |
(48) |
… |
Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.
Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями (b_1=-2); (q=7). Найдите (b_4).
Решение:
|
|
Зная первый член и знаменатель, последовательно вычисляем элементы, пока не дойдем до нужного. |
|
|
Можно писать ответ. |
Ответ: (-686).
Пример (ОГЭ): Даны первые три члена прогрессии (324); (-108); (36)…. Найдите (b_5).
Решение:
|
|
Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить (324), чтоб получилось (-108)? |
|
(324·q=-108) |
Отсюда без проблем вычисляем знаменатель. |
|
(q=-) (frac{108}{324})(=-) (frac{1}{3}) |
Теперь мы легко находим нужный нам элемент. |
|
|
Готов ответ. |
Ответ: (4).
Пример: Прогрессия задана условием (b_n=0,8·5^n). Какое из чисел является членом этой прогрессии:
а) (-5) б) (100) в) (25) г) (0,8) ?
Решение: Из формулировки задания очевидно, что одно из этих чисел точно есть в нашей прогрессии. Поэтому мы можем просто вычислять ее члены по очереди, пока не найдем нужное нам значение. Так как у нас прогрессия задана формулой n-го члена, то вычисляем значения элементов, подставляя разные (n):
(n=1); (b_1=0,8·5^1=0,8·5=4) – такого числа в списке нет. Продолжаем.
(n=2); (b_2=0,8·5^2=0,8·25=20) – и этого тоже нет.
(n=3); (b_3=0,8·5^3=0,8·125=100) – а вот и наш чемпион!
Ответ: (100).
Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …(8); (x); (50); (-125)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой (x).
Решение:
|
|
Найти (x), можно, например, умножив (8) на знаменатель прогрессии. Однако мы его не знаем, поэтому сначала найдем знаменатель из двух известных соседних членов. |
|
(50·q=-125) |
|
|
(q=-) (frac{125}{50})(=-)(2,5) |
Теперь вычисляем икс, умножая (8) на (-2,5). |
|
|
Задача решена. |
Ответ: (-20).
Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями (b_1=7), (b_{n+1}=2b_n). Найдите сумму первых (4) членов этой прогрессии.
Решение:
|
(b_1=7), |
Мы знаем первый элемент и имеем рекуррентное соотношение – формулу для вычисления следующего элемента по предыдущему. |
|
|
(n=1); (b_{1+1}=2b_1 :: ⇔ :: b_2=2·7=14) |
Теперь найдем сумму. |
|
|
(S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=) |
Ответ готов. |
Ответ: (105).
Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии (b_6=-11), (b_9=704). Найдите знаменатель (q).
Решение:
|
|
Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из (b_6) в (b_9) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем (b_6) на знаменатель прогрессии. Иными словами (b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3). |
|
(b_9=b_6·q^3) |
Подставим известные нам значения. |
|
(704=(-11)·q^3) |
«Перевернем» уравнение и разделим его на ((-11)). |
|
(q^3=) (frac{704}{-11})(::: ⇔ ::: )(q^3=-) (64) |
Какое число в кубе даст (-64)? |
|
(q=-4) |
Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от (-11) до (704). |
|
|
Все сошлось – ответ верен. |
Ответ: (-4).
Важнейшие формулы
Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.
Формула (n)-го члена: (b_n=b_1·q^{n-1}), где (b_1) – первый член прогрессии; (n) – номер искомого элемента; (q) – знаменатель прогрессии; (b_n) – член прогрессии с номером (n).
С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.
Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями (b_1=-2); (q=7). Найдите (b_4).
Решение:
|
(b_4=b_1·q^3) |
Нам нужен четвертый член, вот и вычисляем его сразу, напрямую, не находя всех промежуточных. |
|
|
(b_4=(-2)·7^3=(-2)·343=-686). |
Готов. |
Ответ: (-686).
Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.
Пример: Геометрическая прогрессия задана условиями (b_1=20480); (q=frac{1}{2}). Найдите (b_{12}).
Решение:
|
(b_{12}=b_1·q^{11}) |
Действуем как в предыдущей задаче. |
|
|
(b_4=20480·(frac{1}{2})^{11}=20480·frac{1}{2048}=10.) |
Есть ответ. |
Ответ: (10).
Конечно, возводить (frac{1}{2}) в (11)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем (11) раз делить (20480) на два.
Сумма (n) первых членов: (S_n=)( frac{b_1·(q^n-1)}{q-1}), где (b_1) – первый член прогрессии; (n) – количество суммируемых элементов; (q) – знаменатель прогрессии; (S_n) – сумма (n) первых членов прогрессии.
Пример (ОГЭ): Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен (5), а первый член (b_1=frac{2}{5}). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
|
(S_6=)( frac{b_1·(q^6-1)}{q-1}) |
Все данные есть, сразу вычисляем ответ. |
|
(S_6=)( frac{frac{2}{5}·(5^6-1)}{5-1})(=)( frac{frac{2}{5}·15624}{4})(=) |
Ответ готов. |
Ответ: (1562,4).
И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.
Для геометрической прогрессии есть еще несколько формул, которые мы не стали рассматривать тут из-за их низкой практической пользы. Вы можете найти эти формулы здесь.
Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии
У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии (b_n = {3; 6; 12; 24; 48…}) знаменатель (q) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.
Если же (q) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии (4); (2); (1); (0,5); (0,25)… знаменатель (q) равен (frac{1}{2}).
Эти прогрессии называются убывающими. Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».
Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например, у прогрессии (5); (-15); (45); (-135); (675)… знаменатель (q) равен (-3), и из-за этого знаки элементов «мигают».
Смотрите также:
Числовая последовательность
Арифметическая прогрессия
Формулы геометрической прогрессии с примерами
Геометрическая прогрессия
- Понятие геометрической прогрессии
- Формула n-го члена геометрической прогрессии
- Свойства геометрической прогрессии
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
- Примеры
п.1. Понятие геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой bn, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена bn-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.
2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm{q=-frac13}).
п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии
По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:
b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q2, b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3,…
Получаем:
bn = b1qn-1
Например:
Найдём b5, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})
п.3. Свойства геометрической прогрессии
Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение
Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqn: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$
При b1 > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт
При b1 > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает
Свойство 2. Признак геометрической прогрессии
Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} – text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$
Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})
Свойство 3. Равенство сумм индексов
Если {bn} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$
Например:
Найдём b6, если известно, что b2 = 5, b4 = 10, b8 = 40
По равенству сумм индексов b2b8 = b4b6
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})
п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$
Если учесть, что bn = b1qn-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$
Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 22 + 23 + … + 210
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm{3280frac49})
б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069
Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8
Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b4=b2q2, b5=b3q2. Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b7 = b1q6 = 0,1 · 26 = 6,4
Ответ: b1 = 0,1; b7 = 6,4
Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b3 = b1q2, b_4=b_2q2. Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6
Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти
N = N0 · 2n, где N0 = 1
N = 272 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 1021
Ответ: 4,7 · 1021 бактерий
|
Знаменатель геометрической прогрессии-это число равное отношению второго или любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Его обычно обозначат q.Например, если геометрическая прогрессия следующая 2, 6 ,18, 54, 162,то при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получим 3. Число 3 является знаменателем геометрической прогрессии. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
moreljuba 6 лет назад Знаменатель геометрической прогрессии найти несложно. Для этого вам необходимо просто разделить следующее число на предыдущее. В качестве примера можно представить ряд геометрической прогрессии: 1;2;4;8… Делим 8 на в и получаем 2 – это и есть знаменатель.
Антон75 8 лет назад По формуле: b6=b1*q^5 q^5=486/2 q^5=243 q=3 Или можешь просто последующий разделить на предыдущий q=b2/b1 Знаете ответ? |
Формула знаменателя геометрической прогрессии
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, каждая из которых, начиная со второй, получается из предыдущей, умножая на то же число q, которое называется знаменателем прогрессии.
Пусть (
B=left{b_{1}, b_{2}, ldots, b_{n}, ldotsright}
) – геометрическая прогрессия, (
b_{n}
) – n-й член прогрессии, тогда знаменатель этой прогрессии может быть рассчитан по формуле:
(
q=frac{b_{n+1}}{b_{n}}
)
Если разность геометрической прогрессии (
mathrm{q}>1
), то прогрессия будет возрастать, если (
|q|<1
), то прогрессия уменьшается.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти знаменатель геометрической прогрессии (
left(b_{n}right)
) , если (
b_{5}=-6, b_{7}=-54
)
Express (
b_{7}-b_{5}
) с использованием знаменателя прогрессии q:
(
b_{7}=b_{6} cdot q=left(b_{5} cdot qright) cdot q=b_{5} cdot q^{2}
)
отсюда
(
q^{2}=frac{b_{7}}{b_{5}}=frac{-54}{-6}=9 Rightarrow q=pm 3
)
q=pm 3
)
ПРИМЕР 2
состоит в том, чтобы найти знаменатель прогрессии. Геометрическая прогрессия определяется следующими соотношениями:
(
left{begin{array}{l}{b_{1}+b_{3}=50} \ {b_{2}+b_{4}=150}end{array}right.
)
Выразите все члены прогрессии через первый член (
b_{2}=b_{1} q, b_{3}=b_{1} q^{2}, b_{4}=b_{1} q^{3}
) и знаменатель q:
(
left{begin{array}{l}{b_{1}+b_{1} q^{2}=50} \ {b_{1} q+b_{1} q^{3}=150}end{array}right.
)
Замените полученные выражения в данной системе:
(
frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{b_{1} q+b_{1} q^{3}}=frac{50}{150} Rightarrow frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{qleft(b_{1}+b_{1} q^{2}right)}=frac{1}{3} Rightarrow q=3
)
Мы делим первое уравнение на второе и выражаем знаменатель q:
(
frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{b_{1} q+b_{1} q^{3}}=frac{50}{150} Rightarrow frac{b_{1}+b_{1} q^{2}}{qleft(b_{1}+b_{1} q^{2}right)}=frac{1}{3} Rightarrow q=3
)
q=3
)
