Как нашли косинус 45 градусов - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Поскольку угол 45º в геометрических задачах встречается регулярно, важно помнить, чему равен косинус 45 градусов.

Утверждение:

$[cos {45^o} = frac{{sqrt 2 }}{2}]$

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45º:

∠C=90º, ∠A=45º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
∠B=90º —∠A=45º.

Таким образом, в треугольнике два угла равны: ∠A=∠B=45º. Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку равнобедренного треугольника).

Значит, его боковые стороны равны: AC=BC.

Примем длину каждой из них за a.

По теореме Пифагора:

$[A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}]$

$[A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}]$

$[AB = sqrt {2{a^2}} = asqrt 2 .]$

Так как косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

$[cos angle A = frac{{AC}}{{AB}},]$

$[cos {45^o} = frac{a}{{asqrt 2 }} = frac{1}{{sqrt 2 }}.]$

Поскольку от иррациональности в знаменателе принято избавляться, умножим и числитель, и знаменатель дроби на квадратный корень из двух:

$[cos {45^o} = frac{{1 cdot sqrt 2 }}{{sqrt 2 cdot sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{2}.]$

Что и требовалось доказать.

Переведем 45º в радианы:

$[{45^o} = frac{pi }{4}]$

Отсюда, косинус пи на четыре равен

$[cos frac{pi }{4} = frac{{sqrt 2 }}{2}.]$

Источник

Косинус 45 градусов можно представить в виде числа. Путем определенных вычислений получили число корень из двух, поделенное на 2. Округленное значение равняется 0.7.

Вычисления косинусов и синусов привязаны к дуге окружности. Для косинуса 45° берется соответствующее количество градусов дуги.

Для быстрого получения значений косинусов/синусов перед глазами должна быть таблица Брадиса. Там все наглядно и без лишних вычислений.

модератор выбрал этот ответ лучшим

джулька
[15.7K]

8 лет назад

ой, я никогда в школе не любила все эти синусы, косинусы, тангенсы.

для меня они давались с огромным трудом. поэтому для того чтобы ответить на ваш вопрос, могу предложить вот такую табличку, такая табличка, часто меня выручала в школьные годы.

Знаете ответ?

Источник

Многих девятиклассников и восьмиклассников кидает в дрожь, когда учитель спрашивает чему равен косинус 60 градусов и строго наказывает учить “табличку”. А для того чтобы ее выучить, достаточно один раз понять, откуда берутся эти значения в табличке.

Начнем с определений. Без них конечно вообще невозможно понять, что такое синус, косинус и тангенс. На то они и определения…

Вспомним как называются стороны прямоугольного треугольника, а также понятия противолежащая и прилежащая стороны.

Что такое синусы и косинусы. Откуда взялись табличные значения синусов и косинусов для 30°, 60° и 45°

Выходит, что синус и косинус это отношения, т.е. безразмерный числовой коэффициент. Этот числовой коэффициент является связующим звеном между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Аналогично, тангенс является отношением сторон прямоугольного треугольника, а также отношением синуса к косинусу одного и того же угла.

Из определений синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника можно заметить:

Это нам понадобится для вывода синуса и косинуса углов 30 и 60 градусов.

А теперь посмотрим, откуда берутся значения синуса и косинуса для углов 30, 60, 45 градусов…

Итак, во-первых, вспоминаем, что против угла 30° в прямоугольном треугольнике лежит катет равный половине гипотенузы (1/2с). Далее выражаем второй катет через “с” по теореме Пифагора. Найденные значения подставляем в определение синуса и косинуса. “с” сокращается и остаются числовые значения.

Угол 60° является вторым острым углом прямоугольного треугольника с углом 30°, а значит его косинус равен синусу 30°, аналогично синус 60° равен косинусу 30°.

Далее по определению находим тангенс этих углов.

Не трудно догадаться, если синус и косинус 45° равны, то тангенс 45° равен 1 🙂

Вывод этих формул поможет не только запомнить значения синуса и косинуса основных углов, но и научит решать простейшие задачи.

Сами задачи посмотрим в следующей статье завтра

А пока…

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

canva.com

Источник

Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций других углов.

Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны ниже. Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.

45 градусов – это π/4 радиан. Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны).
То есть, например, tg π/4 = tg 45 градусов

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?

Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол ∠В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.

Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С – прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

∠А + ∠В + ∠С = 180°
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
∠А = 180° –∠С – ∠В = 180° – 90° – 45° = 45°

Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

По теореме Пифагора: АВ²=АС²+ВС²Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим:

АВ²= а²+ а²= 2а²,

тогда АВ=а√2.

В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла α = 45 градусов:

sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC – катет, AB – гипотенуза)

cos α = AC / AB (согласно определению косинуса – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC – катет, AB – гипотенуза)

tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)

Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.

Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45) получаем:

Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45 (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.

Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

Таким образом:

тангенс 45 градусов равен единице
синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)

Как видно из вычислений, приведенных выше, для вычисления значений соответствующей тригонометрической функции важны не длины сторон треугольника, а их соотношение, которое всегда одно и то же для одинаковых углов, независимо от размеров конкретного треугольника.

Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

В задачах, предлагаемых для решения в старших классах и на ЗНО/ЕГЭ вместо градусной меры угла часто встречается указание на его величину, измеренную в радианах. Мера угла, выраженная в радианах, базируется на числе пи, которое выражает зависимость длины окружности от ее диаметра.

Для простоты понимания, рекомендую запомнить простой принцип перевода градусов в радианы. Диаметр окружности охватывает дугу, равную 180 градусам. Таким образом, пи радиан будет равно 180 градусам. Откуда легко пересчитать любую градусную меру угла в радианы и обратно.

Учтем, что угол 45 градусов, выраженный в радианах, равен (180 / 45 = 4) π/4 ( пи на четыре). Поэтому найденные нами значения верны для той же самой градусной меры угла, выраженной в радианах:

тангенс π/4 ( пи на четыре) равен единице
синус π/4 ( пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам

Для удобства зрительного восприятия эти значения приведены на рисунке ниже.

Примечание. В поисковых запросах часто встречается нечто типа “тангенс р/4 или p/4”. Это неграмотно. Используйте запрос, например “тангенс пи/4”.

Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций остальных углов.

Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) – таблица значений |

Описание курса

| Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60)

Источник

Значение косинуса 45 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Косинус 45 градусов равен
(
frac{sqrt{2}}{2}
) , то есть
(
cos 45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}
)

В радианах (
45^{circ}
) равно (
frac{pi}{4}
), тогда
(
cos frac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2}
)

На единичной окружности косинус 45 градусов расположен следующим образом, как показано на рисунке 1.

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Преобразовать в сумму выражение (
cos left(45^{circ}-xright)
)

Решение

Применим к заданному выражению формулу косинуса разности углов, получим:
(
cos left(45^{circ}-xright)=cos 45^{circ} cos x+sin 45^{circ} sin x
)

Учитывая, что (
cos 45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}
) и (
sin 45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}
) имеем
(
cos left(45^{circ}-xright)=frac{sqrt{2}}{2} cos x+frac{sqrt{2}}{2} sin x
)

Ответ
(
cos left(45^{circ}-xright)=frac{sqrt{2}}{2} cos x+frac{sqrt{2}}{2} sin x
)

ПРИМЕР 2

Задание

Стороны параллелограмма равны 5 и (
2 sqrt{2}
) см, а один из его углов равен (
135^{circ}
) . Найти длину меньшей диагонали параллелограмма.

Решение

Сделаем рисунок (рис. 1).

Рис. 1

По условию (
B C=A D=5
); (
A B=C D=2 sqrt{2}
); (
angle B=135^{circ}
) Меньшая диагональ (
mathrm{BD}
) лежит против острого угла параллелограмма. Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна (
180^{circ}
) , то острый угол (
angle A
) параллелограмма равен:
(
angle A=180^{circ}-angle B quad Rightarrow quad angle A=180^{circ}-135^{circ} quad Rightarrow quad angle A=45^{circ}
)

Рассмотрим (
Delta A B C
) . Из него по теореме косинусов найдем (
mathrm{BD}
):
(
B D^{2}=A B^{2}+A D^{2}-2 cdot A B cdot A D cdot cos angle A
);
(
B D^{2}=(2 sqrt{2})^{2}+5^{2}-2 cdot 2 sqrt{2} cdot 5 cdot cos 45^{circ}
)

учитывая, что (
cos 45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}
) , получим:
(
B D^{2}=8+25-20 sqrt{2} cdot frac{sqrt{2}}{2}
);
(
B D^{2}=13 ; quad Rightarrow quad B D=sqrt{13}(см)
)

Ответ

(
B D=sqrt{13}
)

Источник

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

Вам также может понравиться

Обливион как найти дорожные святилища

Как найти экваториальный радиус звезды

Как найти точки пересечения графиков без построения

Добавить комментарий Отменить ответ