Как нашли производную синуса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Производная синуса

Определение

Производная синуса равна положительному косинусу одно и того же аргумента: $$ (sin x)’ = cos x $$

Если же аргумент синуса представляе собой функцию $ f(x) $, то производная синуса сложной функции находится по формуле: $$ (sin f(x))’ = cos f(x) cdot ( f(x) )’ = f'(x) cos f(x) $$

Пример 1

Найти производную синуса двойного угла: $ y = sin 2x $

Решение

Так как аргумент синуса представляет собой сложную функцию $ f(x)=2x $, то используем вторую формулу.

Находим производную $ f(x) $:

$$ f'(x) = (2x)’ = 2 $$

Теперь подставляем всё в формулу и записываем:

$$ y’ = (sin 2x)’ = cos 2x cdot (2x)’ = 2cos 2x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 2cos 2x $$

Пример 2

Чему равна производная синуса в квадрате? $ y = sin^2 x $

Решение

В этом примере синус представляет собой степенную функцию. Поэтому сначала берем производную по правилу: $ (x^p)’=px^{p-1} $, а затем производную от $ sin x $.

Записываем:

$$ y’=(sin^2 x)’ = 2sin^2 x cdot (sin x)’ = 2sin^2 x cdot cos x $$

Ответ

$$ y’ = 2sin^2 x cos x $$

Пример 3

Найти производную синуса в кубе: $ y = sin^3 x $

Решение

Это задание полностью аналогичное предыдущему, только вместо квадрата стоит куб:

$$ y’ = (sin^3 x)’ = 3sin^2 x cdot (sin x)’ = 3sin^2 x cdot cos x $$

Ответ

$$ y’ = 3sin^2 x cos x $$

Пример 4

Чему равна производная сложной функции синус корень икс? $ y = sin sqrt{x} $

Решение

Формула производной квадратного корня: $$ (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$

Возвращаемся к заданию и находим производную:

$$ y’ = (sin sqrt{x})’ = cos sqrt{x} cdot (sqrt{x})’ = cos sqrt{x} cdot frac{1}{2sqrt{x}} = frac{cos sqrt{x}}{2sqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{cos sqrt{x}}{2sqrt{x}} $$

Источник

Производные тригонометрических функций

Производная синуса
Производная косинуса
Производная тангенса и котангенса
Примеры

п.1. Производная синуса

Найдем производную функции (f(x)=sin⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=sin⁡(x+triangle x)-sin⁡x=\ =2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}cosfrac{x+triangle x+x}{2}=2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1 end{gather*} Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}cosfrac{2x+triangle x}{2}=\ =1cdot cosfrac{2x+0}{2}=cos x end{gather*} Или: ((sinx)’=cos x)

Для любого действительного x: $$ (sinx)’=cos x $$

Например:
((x^2sinx)’=(x^2)’cdot sinx+x^2cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx)

п.2. Производная косинуса

Найдем производную функции (f(x)=cos⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=cos⁡(x+triangle x)-cos⁡x=\ =-2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}sin{x+triangle x+x}{2}=-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{-left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}sinfrac{2x+triangle x}{2}=\ =-1cdot sinfrac{2x+0}{2}=-sinx end{gather*} Или: ((cosx)’=-sinx)

Для любого действительного x: $$ (cosx)’=-sinx $$

Например:
((sqrt{x}cosx)’=(sqrt{x})’cdot cosx+sqrt{x}cdot (cosx)’=frac{1}{2sqrt{x}}cosx-sqrt{x}sinx )

п.3. Производная тангенса и котангенса

Производные от тангенса и котангенса найдем с помощью формулы производной частного двух функций (см. §43 данного справочника). begin{gather*} (tgx)’=left(frac{sinx}{cosx}right)’=frac{(sinx)’cosx-sinx(cosx)’}{cos^2x}=\ =frac{cosxcosx-sinx(-sinx)}{cos^2x}=frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x} end{gather*} Аналогично: begin{gather*} (ctgx)’=left(frac{cosx}{sinx}right)’=frac{(cosx)’sinx-cosx(sinx)’}{sin^2x}=\ =frac{sinx(-sinx)-cosxcosx}{sin^2x}=frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=-frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}=-frac{1}{sin^2x} end{gather*}
Как видно из результатов, производные тангенса и котангенса имеют те же ограничения по ОДЗ, что и сами функции.

begin{gather*} (tgx)’=frac{1}{cos^2x}, xnefracpi 2+pi k\ (ctgx)’=-frac{1}{sin^2x}, xnepi k end{gather*}

Например:
( left(frac{tgx}{x}right)’=frac{(tgx)’cdot x-tgxcdot(x)’}{x^2}=frac{frac{x}{cos^2x}-tgx}{x^2}=frac{x-tgxcdot cos^2x}{x^2cos^2x}=frac{x-sinxcosx}{x^2cos^2x} )

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите производную:
a) ( f(x)=2sinx-5x ) begin{gather*} f'(x)=2cdot sin’x-5cdot x’=2cosx-5 end{gather*}

б) ( f(x)=3sqrt{x}ctgx ) begin{gather*} f'(x)=3left((sqrt{x})’cdot ctgx+sqrt{x}(ctgx)’right)=3left(frac{ctgx}{2sqrt{x}}-frac{sqrt{x}}{sin^2x}right) end{gather*}

в) ( f(x)=9cosx-3tgx ) begin{gather*} f'(x)=9cdot cos’x-3cdot tg’x=-9sinx-frac{3}{cos^2x} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{2x}{sinx} ) begin{gather*} f'(x)=2frac{(x)’cdot sinx-xcdot sin’x}{sin^2x}=frac{2(sinx-xcosx)}{sin^2x} end{gather*}

Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
a) ( f(x)=sinx+cosx, x_0=fracpi 4 ) begin{gather*} f'(x)=sin’x+cos’x=cosx-sinx\ f'(fracpi 4)=cosfracpi 4-sinfracpi 4=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}=0 end{gather*}

б) ( f(x)=tgx-5cosx, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=tg’x-5cos’x=frac{1}{cos^2x}+5sinx\ f'(pi)=frac{1}{cos^2pi}+5sinpi=1+0=1 end{gather*}

в) ( f(x)=sinxcosx, x_0=frac{pi}{12} ) begin{gather*} f'(x)=sin’xcosx+sinxcos’x=cos^2x-sin^2x=cos2x\ f’left(frac{pi}{12}right)=cosleft(2cdotfrac{pi}{12}right)=cosfracpi 6=frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{x}{cosx}, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=frac{x’cdot cosx-xcos’x}{cos^2x}=frac{cosx+xsinx}{cos^2x}\ f'(pi)=frac{cospi+pi sinpi}{cos^2pi}=frac{-1+picdot 0}{(-1)^2}=-1 end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение:
a) ( y’cdot y+y^2=0), если (y=3cosx)
(y’=3cdot cos’x=-3sinx)
Подставляем: begin{gather*} -3sinxcdot 3cosx+(3cosx)^2=0\ -9sincosx+9cos^2x=0\ 9cosx(cosx-sinx)=0 end{gather*} Уравнение: begin{gather*} left[ begin{array}{l} cosx=0\ cosx-sinx=0 |:cosx end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ 1-tgx=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ tgx=1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ x=fracpi 4+pi k end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{fracpi 2+pi k; x=fracpi 4+pi kright})

б) ( (y’)^2+y^2=1), если (y=1-cosx)
(y’=1′-cos’x=0+sinx=sinx)
Подставляем: begin{gather*} sin^2x+(1-cosx)^2=1\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\ 1-2cosx=0\ cosx=frac12\ x=pmfracpi 3+2pi k end{gather*} Ответ: (left{pmfracpi 3+2pi kright})

Рейтинг пользователей

Источник

Производная синуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная синуса равна косинусу того же аргумента. (
(sin x)^{prime}=cos x
)

То есть синус просто «заменяется» на косинус. Заметим, что производная от косинуса равна минус синус того же аргумента: (
(cos x)^{prime}=-sin x
)

Чтобы не запутаться, мне принадлежит мнемоническое правило:

Синий косяк

Косяк – синий

Первая строка показывает, что производная от синуса равна косинусу (если вы смотрите на выбранные буквы), а вторая строка дает понять, что производная от косинуса представляет собой минус синус (выбранные буквы и тире)

Примеры решения проблем на тему «Синусовая производная»

ПРИМЕР 1

Задача

Найдите производную от функции (
y(x)=sin sqrt{x}
)

Решение

Требуемая производная
(
y^{prime}(x)=(sin sqrt{x})^{prime}
)

Аргумент sine не просто x («X»), поэтому невозможно просто применить приведенную выше формулу, поскольку задана сложная функция. Следовательно, производная от синуса – косинус того же аргумента, найденный по приведенной выше формуле, должна быть умножена на производную от аргумента:
(
y^{prime}(x)=(sin sqrt{x})^{prime}=cos sqrt{x} cdot(sqrt{x})^{prime}
)

Производная от корня делится на два одинаковых корня. Тогда мы имеем: (
y^{prime}(x)=cos sqrt{x} cdot(sqrt{x})^{prime}=cos sqrt{x} cdot frac{1}{2 sqrt{x}}=frac{cos sqrt{x}}{2 sqrt{x}}
)

Ответ (
y^{prime}(x)=frac{cos sqrt{x}}{2 sqrt{x}}
)

ПРИМЕР 2

Задача

Найдите производную от функции (
y(x)=2 sin (3 x+4)
)

Решение

Требуемая производная:
(
y^{prime}(x)=(2 sin (3 x+4))^{prime}
)

На первом шаге решения мы используем правила дифференцирования, а именно, что константу можно взять из знака производной:
(
y^{prime}(x)=(2 sin (3 x+4))^{prime}=2(sin (3 x+4))^{prime}
)

Затем мы найдем производную от синуса – это косинус того же аргумента. И поскольку аргумент является выражением, более сложным, чем просто x, мы имеем дело со сложной функцией и поэтому все еще нужно умножить на производную от аргумента, то есть:
(
y^{prime}(x)=2(sin (3 x+4))^{prime}=2 cdot cos (3 x+4) cdot(3 x+4)^{prime}
)

Производная суммы равна сумме производных, тогда:
(
y^{prime}(x)=2 cdot cos (3 x+4) cdot(3 x+4)^{prime}=2 cdot cos (3 x+4) cdotleft[(3 x)^{prime}+(4)^{prime}right]
)

Производные (
(3 x)^{prime}
), как производная от константы, умноженной на х, равны 3; и производная (
(4)^{prime}
), производная от константы, равна 0.

Таким образом, мы имеем:
(
y^{prime}(x)=2 cdot cos (3 x+4) cdotleft[(3 x)^{prime}+(4)^{prime}right]=2 cos (3 x+4)[3+0]=6 cos (3 x+4)
)

Ответ (
y^{prime}(x)=6 cos (3 x+4)
)

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления производной синуса

Формула

$$(sin x)^{prime}=cos x$$

Производная синуса равна косинусу того же аргумента.

Заметим, что если аргумент у синуса есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто
$x$), то производную нужно находить по следующей формуле:

$$(sin u)^{prime}=cos u cdot u^{prime}$$

Примеры вычисления производной синуса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 sin x$

Решение. Запишем искомую производную:

$$y^{prime}(x)=(2 sin x)^{prime}$$

По правилам дифференцирования выносим двойку за знак производной:

$$y^{prime}(x)=2 cdot(sin x)^{prime}$$

и производная от синуса равна косинусу:

$$y^{prime}(x)=2 cdot cos x=2 cos x$$

Ответ. $y^{prime}(x)=2 cos x$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Продифференцировать функцию $y(x)=sin 2 x$

Решение. Искомая производная

$$y^{prime}(x)=(sin 2 x)^{prime}$$

Так как аргумент синуса является сложной функцией (там вместо просто $x$
стоит $2x$), то находим
производную сложной функции,
то есть находим производную синуса и умножаем на производную аргумента:

$$y^{prime}(x)=cos 2 x cdot(2 x)^{prime}$$

Константу выносим за знак производной, а производная от независимой переменной
$x$ равна единице:

$$y^{prime}(x)=cos 2 x cdot 2 cdot(x)^{prime}=2 cos 2 x cdot 1=2 cos 2 x$$

Ответ. $y^{prime}(x)==2 cos 2 x$

Читать дальше: производная косинуса (cosx)’.

Источник

Функция синуса и косинуса в единичном круге

Функция	Производная


	${displaystyle sec ^{2}(x)}$
	${displaystyle -csc ^{2}(x)}$


	${frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$
	$-{frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$
	${displaystyle {frac {1}{x^{2}+1}}}$
	${displaystyle -{frac {1}{x^{2}+1}}}$
	${displaystyle {frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$
	${displaystyle -{frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Дифференцирование тригонометрических функций — это математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin′(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла.

Все производные круговых тригонометрических функций могут быть найдены из производных sin(x) и cos(x) с помощью правила частного^[en], применяемого к таким функциям, как tan(x) = sin(x)/cos(x). Зная эти производные, можно производные от обратных тригонометрических функций найти с помощью неявного дифференцирования.

Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения^[1].

Доказательства производных тригонометрических функций[править | править код]

Предел sin(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Круг с центром O и радиусом r

(r = OK = OA)

На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OK образуют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ — это небольшое положительное число, скажем, 0 < θ < ½ π в первом квадранте.

На схеме пусть R₁ будет треугольником OAK, R₂ — круговым сектором OAK и R₃ — треугольником OAL. Тогда площадь треугольника OAK:

${displaystyle mathrm {Area} (R_{1})={tfrac {1}{2}} |OA| |OB|sin theta ={tfrac {1}{2}}sin theta ,.}$

Площадь кругового сектора OAK — это ${displaystyle mathrm {Area} (R_{2})={tfrac {1}{2}}theta }$ , а площадь треугольника OAL определяется как

${displaystyle mathrm {Area} (R_{3})={tfrac {1}{2}} |OA| |AC|={tfrac {1}{2}}tan theta ,.}$

Поскольку каждый объект содержится в следующем, мы имеем:

${displaystyle {text{Area}}(R_{1})<{text{Area}}(R_{2})<{text{Area}}(R_{3})iff {tfrac {1}{2}}sin theta <{tfrac {1}{2}}theta <{tfrac {1}{2}}tan theta ,.}$

Более того, поскольку sin θ > 0 в первом квадранте, мы можем разделить на ½ sin θ, получив:

${displaystyle 1<{frac {theta }{sin theta }}<{frac {1}{cos theta }}implies 1>{frac {sin theta }{theta }}>cos theta ,.}$

На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство.

Мы пришли к выводу, что для 0 < θ < ½ π выражение sin(θ)/θ будет всегда меньше 1 и всегда больше cos(θ). Таким образом, чем ближе θ к 0, тем сильнее sin(θ)/θ становится “сжатым” между потолком на высоте 1 и полом на высоте cos θ, который стремится к 1; следовательно, sin(θ)/θ стремится к 1, когда θ стремится к 0 с положительной стороны:

${displaystyle lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}$

Для случая, когда θ — это небольшое отрицательное число -½ π <θ <0, мы используем тот факт, что синус — это нечётная функция:

${displaystyle lim _{theta to 0^{-}}!{frac {sin theta }{theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {sin(-theta )}{-theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {-sin theta }{-theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {sin theta }{theta }} = 1,.}$

Предел (cos(θ)-1)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Последний раздел позволяет нам относительно легко рассчитать этот новый предел. Это делается простым трюком. В этом расчёте знак θ неважен.

${displaystyle lim _{theta to 0},{frac {cos theta -1}{theta }} = lim _{theta to 0}left({frac {cos theta -1}{theta }}right)!!left({frac {cos theta +1}{cos theta +1}}right) = lim _{theta to 0},{frac {cos ^{2}!theta -1}{theta ,(cos theta +1)}}.}$

С использованием cos²θ – 1 = –sin²θ, факт, что предел произведения является произведением пределов, а предельный результат из предыдущего раздела, мы находим, что:

${displaystyle lim _{theta to 0},{frac {cos theta -1}{theta }} = lim _{theta to 0},{frac {-sin ^{2}theta }{theta (cos theta +1)}} = left(-lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}right)!left(lim _{theta to 0},{frac {sin theta }{cos theta +1}}right) = (-1)left({frac {0}{2}}right)=0,.}$

Предел tan(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Используя предел для функции синуса и то, что функция тангенс нечётна и предел произведения является произведением пределов, мы находим:

${displaystyle lim _{theta to 0}{frac {tan theta }{theta }} = left(lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}right)!left(lim _{theta to 0}{frac {1}{cos theta }}right) = (1)(1) = 1,.}$

Производная функции синуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Мы рассчитываем производную функции синуса из определения предела:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}{frac {sin(theta +delta )-sin theta }{delta }}.}$

Используя формулы сложения углов sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, мы имеем:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}{frac {sin theta cos delta +sin delta cos theta -sin theta }{delta }}=lim _{delta to 0}left({frac {sin delta }{delta }}cos theta +{frac {cos delta -1}{delta }}sin theta right).}$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =(1)cos theta +(0)sin theta =cos theta ,.}$

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

т.к.

Производная функции косинуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Мы снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}{frac {cos(theta +delta )-cos theta }{delta }}.}$

Используя формулу сложения углов cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, мы имеем:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}{frac {cos theta cos delta -sin theta sin delta -cos theta }{delta }}=lim _{delta to 0}left({frac {cos delta -1}{delta }}cos theta ,-,{frac {sin delta }{delta }}sin theta right).}$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =(0)cos theta -(1)sin theta =-sin theta ,.}$

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

{displaystyle {d over dx}cos(x)={d over dx}ioperatorname {ch} (ix)=ioperatorname {sh} (ix)=-sin(x)}

Из цепного правила[править | править код]

Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на три следующих факта:

${displaystyle cos theta =sin left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

${displaystyle sin theta =cos left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}sin theta =cos theta }$

Первое и второе — это тригонометрические тождества, а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}cos theta ={tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}sin left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило. Положив ${displaystyle f(x)=sin x, g(theta )={tfrac {pi }{2}}-theta }$ , мы имеем:

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}f!left(g!left(theta right)right)=f^{prime }!left(g!left(theta right)right)cdot g^{prime }!left(theta right)=cos left({tfrac {pi }{2}}-theta right)cdot (0-1)=-sin theta }$

Таким образом, мы доказали, что

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}cos theta =-sin theta }$

Производная функции тангенса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Чтобы вычислить производную функции тангенса tan θ, мы используем первые принципы. По определению:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =lim _{delta to 0}left({frac {tan(theta +delta )-tan theta }{delta }}right).}$

Используя известную формулу угла tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), мы имеем:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =lim _{delta to 0}left[{frac {{frac {tan theta +tan delta }{1-tan theta tan delta }}-tan theta }{delta }}right]=lim _{delta to 0}left[{frac {tan theta +tan delta -tan theta +tan ^{2}theta tan delta }{delta left(1-tan theta tan delta right)}}right].}$

Используя тот факт, что предел произведения является произведением пределов:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =lim _{delta to 0}{frac {tan delta }{delta }}times lim _{delta to 0}left({frac {1+tan ^{2}theta }{1-tan theta tan delta }}right).}$

Используя предел для функции тангенса и тот факт, что tan δ стремится к 0, поскольку δ стремится к 0:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =1times {frac {1+tan ^{2}theta }{1-0}}=1+tan ^{2}theta .}$

Сразу видим, что:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =1+{frac {sin ^{2}theta }{cos ^{2}theta }}={frac {cos ^{2}theta +sin ^{2}theta }{cos ^{2}theta }}={frac {1}{cos ^{2}theta }}=sec ^{2}theta ,.}$

Из производной гиперболических функций[править | править код]

${displaystyle {d over dx}tan(x)=-i{d over dx}operatorname {th} (ix)=-i{i over operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 over operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 over cos ^{2}(x)}}$

Из правила частного[править | править код]

Также можно вычислить производную функции тангенса, используя правило частного:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}tan theta ={frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}{frac {sin theta }{cos theta }}={frac {left(sin theta right)^{prime }cdot cos theta -sin theta cdot left(cos theta right)^{prime }}{cos ^{2}theta }}={frac {cos ^{2}theta +sin ^{2}theta }{cos ^{2}theta }}}$

Числитель можно упростить до 1 с помощью пифагорового тождества, что даёт нам:

${displaystyle {frac {1}{cos ^{2}theta }}=sec ^{2}theta }$

Следовательно,

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}tan theta =sec ^{2}theta }$

Доказательства производных обратных тригонометрических функций[править | править код]

Следующие производные можно найти, установив переменную y равной обратной тригонометрической функции, от которой мы хотим взять производную. Используя неявное дифференцирование и затем решая для dy/dx, производная обратной функции будет найдена в терминах y. Чтобы преобразовать dy/dx обратно в термины x, мы можем нарисовать эталонный треугольник на единичной окружности, положив θ равным y. Используя теорему Пифагора и определение обычных тригонометрических функций, мы наконец можем выразить dy/dx через x.

Дифференцирование функции арксинуса[править | править код]

Пусть

где

${displaystyle -{frac {pi }{2}}leq yleq {frac {pi }{2}}.}$

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

{displaystyle {d over dx}sin y={d over dx}x,}

{displaystyle cos ycdot {dy over dx}=1 .}

Подставляя сверху ${displaystyle cos y={sqrt {1-sin ^{2}y}}}$ , имеем:

${displaystyle {sqrt {1-sin ^{2}y}}cdot {dy over dx}=1}$

Подставляя сверху , имеем:

${displaystyle {sqrt {1-x^{2}}}cdot {dy over dx}=1}$

${displaystyle {dy over dx}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}arcsin(x)=-i{d over dx}operatorname {arsh} (ix)=-i{i over {sqrt {1+i^{2}x^{2}}}}={1 over {sqrt {1-x^{2}}}}}$

Дифференцирование функции арккосинуса[править | править код]

Пусть

где

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

{displaystyle {d over dx}cos y={d over dx}x}

{displaystyle -sin ycdot {dy over dx}=1}

Подставляя сверху ${displaystyle sin y={sqrt {1-cos ^{2}y}},!}$ , получаем:

${displaystyle -{sqrt {1-cos ^{2}y}}cdot {dy over dx}=1}$

Подставляя сверху , получаем:

${displaystyle -{sqrt {1-x^{2}}}cdot {dy over dx}=1}$

${displaystyle {dy over dx}=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

В качестве альтернативы, как только производная от установлена, производная от сразу следует путём дифференцирования тождества так, что .

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}arccos(x)=-i{d over dx}operatorname {arch} (ix)=-i{i over {sqrt {i^{2}x^{2}-1}}}=-{1 over {sqrt {1-x^{2}}}}}$

Дифференцирование функции арктангенса[править | править код]

Пусть

где

${displaystyle -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}}$

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

{displaystyle {d over dx}tan y={d over dx}x}

Левая сторона:

${displaystyle {d over dx}tan y=sec ^{2}ycdot {dy over dx}=(1+tan ^{2}y){dy over dx}}$

, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

Следовательно,

${displaystyle (1+tan ^{2}y){dy over dx}=1}$

Подставляя сверху , получаем:

${displaystyle (1+x^{2}){dy over dx}=1}$

${displaystyle {dy over dx}={frac {1}{1+x^{2}}}}$

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}arctan(x)=-i{d over dx}operatorname {arth} (ix)=-i{i over 1-i^{2}x^{2}}={1 over 1+x^{2}}}$

Дифференцирование функции арккотангенса[править | править код]

Пусть

{displaystyle y=operatorname {arccot} x}

где

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

${displaystyle {frac {d}{dx}}cot y={frac {d}{dx}}x}$

Левая сторона:

${displaystyle {d over dx}cot y=-csc ^{2}ycdot {dy over dx}=-(1+cot ^{2}y){dy over dx}}$

, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

Следовательно,

${displaystyle -(1+cot ^{2}y){frac {dy}{dx}}=1}$

Подставляя , получаем:

${displaystyle -(1+x^{2}){frac {dy}{dx}}=1}$

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {1}{1+x^{2}}}}$

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}operatorname {arccot}(x)=i{d over dx}operatorname {arcth} (ix)=i{i over 1-i^{2}x^{2}}=-{1 over 1+x^{2}}}$

Дифференцирование функции арксеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Пусть

{displaystyle y=operatorname {arcsec} x |x|geq 1}

Тогда

${displaystyle x=sec y yin left[0,{frac {pi }{2}}right)cup left({frac {pi }{2}},pi right]}$

${displaystyle {frac {dx}{dy}}=sec ytan y=|x|{sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секанса и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${displaystyle {sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Использование цепного правила[править | править код]

В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила.

Пусть

${displaystyle y=operatorname {arcsec} x=arccos left({frac {1}{x}}right)}$

где

and ${displaystyle yin left[0,{frac {pi }{2}}right)cup left({frac {pi }{2}},pi right]}$

Тогда, применяя цепное правило к ${displaystyle arccos left({frac {1}{x}}right)}$ , имеем:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {1}{sqrt {1-({frac {1}{x}})^{2}}}}cdot left(-{frac {1}{x^{2}}}right)={frac {1}{x^{2}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}}={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{sqrt {x^{2}}}}}}={frac {1}{{sqrt {x^{2}}}{sqrt {x^{2}-1}}}}={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Дифференцирование функции арккосеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Пусть

{displaystyle y=operatorname {arccsc} x |x|geq 1}

Тогда

${displaystyle x=csc y yin left[-{frac {pi }{2}},0right)cup left(0,{frac {pi }{2}}right]}$

${displaystyle {frac {dx}{dy}}=-csc ycot y=-|x|{sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${displaystyle {sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {-1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Использование цепного правила[править | править код]

В качестве альтернативы, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила.

Пусть

${displaystyle y=operatorname {arccsc} x=arcsin left({frac {1}{x}}right)}$

где

and ${displaystyle yin left[-{frac {pi }{2}},0right)cup left(0,{frac {pi }{2}}right]}$

Тогда, применяя цепное правило к ${displaystyle arcsin left({frac {1}{x}}right)}$ , имеем:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{sqrt {1-({frac {1}{x}})^{2}}}}cdot left(-{frac {1}{x^{2}}}right)=-{frac {1}{x^{2}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{sqrt {x^{2}}}}}}=-{frac {1}{{sqrt {x^{2}}}{sqrt {x^{2}-1}}}}=-{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

См. также[править | править код]

Тригонометрия
Математический анализ
Производная функции
Таблица производных

Примечания[править | править код]

↑ Производные тригонометрических функций. math24.ru. Math24. Дата обращения: 7 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.

Литература[править | править код]

Справочник по математическим функциям^[en], Под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, Серия по прикладной математике, 55 (1964)
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 4. — Москва: Наука, 1970. — Т. 1. — 672 с.

Источник

Производная синуса

Производные тригонометрических функций

п.1. Производная синуса

п.2. Производная косинуса

п.3. Производная тангенса и котангенса

п.4. Примеры

Рейтинг пользователей

Производная синуса

Формула

Примеры вычисления производной синуса

Доказательства производных тригонометрических функций[править | править код]

Предел sin(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Предел (cos(θ)-1)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Предел tan(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Производная функции синуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Производная функции косинуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Из цепного правила[править | править код]

Производная функции тангенса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Из правила частного[править | править код]

Доказательства производных обратных тригонометрических функций[править | править код]

Дифференцирование функции арксинуса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арккосинуса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арктангенса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арккотангенса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арксеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Использование цепного правила[править | править код]

Дифференцирование функции арккосеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Использование цепного правила[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Вам также может понравиться

Как исправить путь к диску

Как составить художественного стиля пример

Как найти синус через тангенс формула

Добавить комментарий Отменить ответ