Как не решая уравнение найти значение выражения

8.2.4. Применение теоремы Виета

Часто требуется найти сумму квадратов (x1 2 +x2 2 ) или сумму кубов (x1 3 +x2 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.

Решение.

1) Выражение x1 2 +x2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;

(x1+x2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x1 2 +2x1x2+ x2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x1 2 +x2 2 =p 2 -2x1x2=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

2) Выражение x1 3 +x2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:

Еще одно полезное равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q).

Примеры.

3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x1 2 +x2 2 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q. У нас -p=x1+x2=3 → p 2 =3 2 =9; q=x1x2=-4. Тогда x1 2 +x2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x1 3 +x2 3 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ: x1 3 +x2 3 =32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x1 2 +x2 2 .

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

x1 2 +x2 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x1 2 +x2 2 =13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.

В нашем примере x1+x2=-p=5; x1∙x2=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:

7) x 2 -13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

Неполные квадратные уравнения

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
– с помощью дискриминанта
– с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 – 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac<1> <3>- 5frac<6> <5>z + frac<1><7>z^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+1<,>4=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac<4><9>=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x – переменная, a, b и c – числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 – неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где ( c neq 0 );
2) ax 2 +bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac Rightarrow x_ <1,2>= pm sqrt< -frac> )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac neq 0 )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+fracx +frac=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac<2a>+left( frac<2a>right)^2- left( frac<2a>right)^2 + frac = 0 Rightarrow )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_ <1,2>= frac < -b pm sqrt> <2a>), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac <2a>).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
( left< begin x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end right. )


[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/nepolnye-kvadratnye-uravneniya

http://www.math-solution.ru/math-task/quadr-eq

[/spoiler]

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

  • ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax² + c = 0, при b = 0;
  • ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax² = – c,
  • разделим обе части на a: x² = – c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение – c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если – c/а 0, то корни уравнения x² = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

  • не имеет корней при – c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 9:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
  • Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

    Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

      Перенесем свободный член в правую часть:

    Разделим обе части на -1:

    Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

    Как решить уравнение ax² + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

    Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 2x² – 32x = 0

      Вынести х за скобки
  • Это уравнение равносильно х = 0 и 2x – 32 = 0.
  • Решить линейное уравнение:
  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.
  • Ответ: х = 0 и х = 16.

    Пример 2. Решить уравнение 3x² – 12x = 0

    Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

    Решение задач по математике онлайн

    Не решая уравнение найдите значение выражения



    Ученик

    (132),
    закрыт



    2 года назад

    Только номер шесть. С числителем все понял как можно разложить знаменатель так, чтобы можно было подставить значения из теоремы Виета?

    Наталия Тузина

    Мудрец

    (17270)


    2 года назад

    x^2 – 9x + 11 = 0
    По теореме Виета:
    x^2 + px + q = 0 ——-> x1+x2= -p; x1*x2 = q
    =>
    { x1 + x1 = 9;
    { x1 * x2 = 11
    =>
    1) 1×1 + 1×2 = (x1+x2)x1*x2 = 911
    2) x1^2*x2 + x1*x2^2 =
    = x1*x2*(x1+x2) = 11*9 = 99
    3) x1^2 + x2^2 =
    = x1^2 + (2×1*x2) + x2^2 – (2*x1*x2) =
    = (x1+x2) – 2*x1*x2 =
    = 9 – 2*11 = -13
    4) x1^3 + x2^3 =
    = (x1+x2)(x1^2 – x1*x2 + x2^2) =
    = (x1+x2) * ((x1^2 + x2^2) – x1*x2) = ———> x1^2+x2^2 = -13 (из пункта 3)
    = 9 * ((-13) – 11) = 9 * (-24) = – 216
    5) (x1 – x2^2 =
    = x1^2 – 2xy + x2^2 = (x1^2+x2^2) – 2xy = (-13) – 2*11 = -13 – 22 = – 35
    6) 1×1^2 + 1y1^2 =
    = (x1^2 + y1^2) (x1*x2)^2 =
    = (-13) 11^2 = – 13121

    Тема: Хитрое задание. Не решая уравнения, найдите значение выражения.  (Прочитано 13466 раз)

    0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

    Не решая уравнения ( x^2+4*x-2=0 ), найдите значение выражения 1)( x1^2+x2^2 )
    2)( 1/x1+1/x2 )
    3)( x1^3+x2^3 )  ,
    где ( x1 ) и ( x2 ) – корни заданного уравнения.

    Я пробую решить, используя теорему Виета, но так пока ничего и не получилось. Видимо тут есть подвох :)

    Заранее благодарю за помощь :)

    « Последнее редактирование: 29 Августа 2010, 16:04:26 от Asix »


    здесь действительно нужно использовать теоерму Виета и все очень просто
    ( x_1+x_2=-4 )
    ( x_1x_2=-2 )

    1) ( x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 )
    2) ( frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}=frac{x_1+x_2}{x_1x_2} )
    3) ну а третье по формуле ( x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2) ),
    где ( x_1^2+x_2^2 ) было уже найдено в первом пункте

    « Последнее редактирование: 29 Августа 2010, 16:04:34 от Asix »

    Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
    Формулы пишите в LaTex.


    Содержание:

    Квадратные уравнения

    В предыдущих классах вы уже научились составлять и решать уравнения, но лишь простейшие, к которым сводятся относительно несложные задачи. Для решения более сложных задач используют квадратные уравнения. Изучив эту тему, вы сможете решать прикладные задачи из разных отраслей знаний.

    В этой главе вы узнаете, что такое:

    • неполные квадратные уравнения;
    • формула корней квадратного уравнения;
    • теорема Виета;
    • разложение квадратного трёхчлена на множители.

    Неполные квадратные уравнения

    Пример:

    Одно из двух чисел больше другого на 6, а их произведение равно 112. Найдите эти числа.

    Решение:

    Обозначим меньшее искомое число буквой х. Тогда большее число равно х + 6. Их произведение — 112. Следовательно,

    х(х + 6) = 112, или х2 + 6х- 112 = 0.

    Это уравнение второй степени с одной переменной. Такие уравнения называют также квадратными.

    Квадратным называют уравнение вида ах2 + bх + c = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Числа а, b, с — коэффициенты квадратного уравнения: а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.

    По определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может быть равен нулю. Если хотя бы один коэффициент (b или с) равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

    Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

    1) ах2 = 0; 2) ах2 + bх = 0; 3) ах2 + с = 0.

    1. Уравнение вида ах2 = О равносильно уравнению х2 = 0, и поэтому всегда имеет только один корень х = О.

    2. Уравнение вида ах2 + bх = 0 равносильно уравнению х(ах + b) = 0 и всегда имеет два корня: х1 = 0, х2 =Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решите уравнение 2 + 4х = 0.

    Решение:

    Вынесем переменную х за скобки: х(5х + 4) = 0. Следовательно, х = О, или 5х + 4 = 0,отсюда х = -0,8. О т в е т. х1 = 0, х2 = -0,8.

    3. Квадратное уравнение вида ах2 + с = О равносильно уравнению х2 = Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения . Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения > 0 , то оно имеет два решения: если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения<0 — ни одного решения.

    Пример:

    Решите уравнение 2 -3 = 0.

    Решение:

    Преобразуем данное уравнение: 2 = 3, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, х — число, квадрат которого равен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то есть квадратный корень из числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения . Таких корней два: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Если знаки коэффициентов а и с разные, то число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения положительное, и уравнение имеет два корня. Если знаки коэффициентов а и с одинаковы, то число — отрицательное. Следовательно, уравнение ах2 + с = 0 не имеет корней.

    Хотите знать ещё больше?

    Некоторые квадратные уравнения (полные) можно решать приведением их к неполным квадратным уравнениям. Например, по формуле квадрата двучлена, уравнение х2 – 2х + 1 = 0 можно представить в виде (х – 1)2 = 0 и решить так: (х-1)2 равно нулю лишь в том случае, если х – 1 = 0, то есть х = 1.

    Таким способом можно решить любое квадратное уравнение, выразив его левую часть в виде квадрата двучлена.

    Например, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Выполним вместе!

    Пример:

    Решите квадратное уравнение: а) Зх2 – 6х = 0; б) 2у2 -72 = 0.

    Решение:

    а) Зх2 – 6х = 0; Зх(х – 2) = 0; х1 = 0; х-2 = 0; х2 = 2.

    б) 2 -72 = 0; 2(у2 36)-0; у2– 36 – 0; y1 = 6; y2 = -6. Ответ. a) x1 = 0, х2 = 2; б)у1=6, у2 =-6.

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, отсюда х1 = -20, х2 = 20.

    При этих значениях х знаменатель не равен нулю. Следовательно, х1 = – 20, х2 = 20 — корни уравнения. О т в е т. х1 = – 20, х2 = 20 .

    Формула корней квадратного уравнения

    Решим уравнение х2 + 6х-112=0, которое мы составили по условию задачи.

    Решение:

    Если к выражению х2 + 6х прибавить 9, то получим квадрат двучлена х + 3. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению х2 + 6х + 9-9-112=0, или (х + 3)2 = 121. Следовательно, х + 3 = 11, отсюда х = 8; или х + 3 = -11, отсюда х = -14. Ответ. х1 = 8, х2 = -14.

    Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена.

    Решим этим способом уравнение 5х2 – 2х – 3 = 0.

    Чтобы первый его член стал квадратом одночлена с целым коэффициентом, умножим обе части данного уравнения на 5: 25х2 -10х – 15=0, 25х2-2 . 5х + 1 – 1 – 15 = 0, (5х- 1)2 = 16.

    Следовательно, 5х – 1 = 4, отсюда 5х = 5, х = 1; или 5х – 1 = – 4, отсюда 5х = – 3, х = – 0,6. От в е т. х1 = 1, х2 = -0,6.

    Решим таким способом уравнение ах2 + bх + с = 0.

    Умножим обе части уравнения на 4а (помним, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения):

    2х2 + 4ах.b + 4ас = 0,

    (2ах)2 + 2 . 2ах . b + b2 – b2 + 4ас = 0,

    (2ах + b)2 = b2 – 4ас.

    Выражение b2 — 4ас называют дискриминантом (от латинскогоdiscriminans — различающий) данного квадратного уравнения и обозначают буквой D.

    Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней: не существует такого значения х, при котором значение выражения (2ах + b)2 было бы отрицательным.

    Если D = 0, то 2ах + и = 0, отсюда х = Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – единственный корень. Если D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, отсюда

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    В этом случае уравнение имеет два корня, они отличаются только знаками перед Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения . Кратко их записывают так: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения , где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Это формула корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение.

    Пример:

    Решите уравнение: а) Зх2 – 5х + 2 = 0; б) х2 + 6х + 9 = 0; в) 5х2 – х + 1 = 0.

    Решение:

    a) D = 25 – 24 = 1, D > 0,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения;

    б) D = 36-36 = 0,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения;

    в) D =1 – 20 = -19, D < 0. Уравнение корней не имеет.

    Ответ. а)х1 = 1, х2= Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ; б) х = -3: в) уравнение корней не имеет. Формулу корней квадратного уравнения применяют при решении многих уравнений, которые-сводятся к квадратным.

    Пример:

    Решите уравнение: а) 4х4 – 9х2 +5=0; б) (Зх2 – x – 3)(3х2 – х + 5) = 9.

    Решение:

    Такие уравнения удобно решать путём введения вспомогательной переменной.

    a) 4x4 – 9x2 + 5 = 0. Пусть x2 — t, тогда x4 = t2, получим уравнение относительно переменной t: 4x2 – 9x2+ 5 = 0, D = (-9)2 – 4 .4 .5 = 81 – 80 = 1, D > 0,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения/

    Вернёмся к переменной x: l) x2 = l, xl=-l, x2=l;

    2) Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Уравнение вида ax4 + bx2 + c=0 называют биквадратным. б) (Зх2 – х – 3)(3х2 – х + 5) = 9. Пусть 2 – х = t, тогда относительно переменной t получим уравнение: (t – 3)(t + 5) = 9, t2 + 2t – 15 = 9, t2 + 2t – 24 = 0, D= 4. 4 (-24) = 4 + 96 – 100, D > 0,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    1)3х2-х=-6,Зх2-х + 6-0, D = (-1)2-4. 3. 6=-71, D<0, следовательно, это уравнение корней не имеет. 2 ) Зх2 – х = 4, Зх2 – х – 4 – О, х1 = -1, х2 = Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Ответ. а) х1 = -1, х2 = 1, х3 = Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, х4 = Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения; б) x1 = -1, x2 =Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения .

    Хотите знать ещё больше?

    Формулу корней уравнения ах2 + bх + с = 0 можно записать и в таком виде:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Если второй коэффициент уравнения — чётное число, то есть уравнение имеет вид ах2 + 2kx + с = 0, то

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведённое квадрат ное уравнение имеет вид х2 + рх + q = 0, Формула его корней:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Выведите эти формулы из основной формулы корней квадратного уравнения.

    Выполним вместе!

    Пример:

    Приведите уравнение (х – 4)(2х + 1) = Зх(х – 1) к квадратному и найдите его корни.

    Решение:

    (х- 4)(2х 4-1) = Зх(х-1). Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: 2 – 8х + х – 4 = 3х2 – 3х,

    Зх2 – 2х2 – 3х + 8х – х + 4 = 0, х2 +4х +4 = 0.

    Решим полученное уравнение, принимая во внимание, что в его левой части — квадрат двучлена: х2 + 2 . х . 2 + 22 = (х +2)2. Следовательно, (х +2)2 — 0, отсюда х + 2 = 0, х = -2.

    Ответ. х = -2.

    Пример:

    Решите дробное рациональное уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, х2 – 5х + 6 = 0:

    D=25-4.6=1, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, х1 =2, х2 =3. Данное уравнение эти значения не удовлетворяют, поскольку при х = 2 знаменатель первой дроби равен 0, а при х = 3 знаменатель второй дроби равен 0. Ответ. Уравнение корней не имеет.

    Теорема Виета

    Квадратное уравнение называют приведённым, если первый его коэффициент равен единице. В таблице — примеры трёх приведённых квадратных уравнений, их корни, а также суммы и произведения корней:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Сравните сумму корней каждого приведённого квадратного уравнения с его вторым коэффициентом, а произведение корней — со свободным членом.

    Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

    Доказательство. Если уравнение х2 + рх + q = 0 имеет корни х1 и х2, то их можно найти по формулам:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где D = р2 – 4q — дискриминант уравнения.

    Сложим и перемножим эти корни:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Итак, x1 + х2 =— р, x1 . х2 = q, что и требовалось доказать. Примечание. Если р2 – 4q = 0, то уравнение х2+ рх + q = 0 имеет один корень Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Формулы (*) в этом случае дают Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияи Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета верна и для этого случая, поскольку

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Каждое квадратное уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равносильно приведённому квадратному уравнению Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если такое уравнение имеет корни х1 и х2,то

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема (обратная теореме Виета). Если сумма m и n произведение чисел тип равны соответственно — р и q, то m и n тип — корни уравнения х2 + рх + q =0.

    Доказательство. Пусть m + n =-р и m . n =q. При данных условиях уравнение х2 + рх 4 q = 0 равно сильно уравнению х2 – (m + n)х + m n = 0.

    Подставим в это уравнение вместо переменной х числа m и n:

    m2 – (m +n)m + mn = m2m2nm + mn= 0,

    n2 – (m +n)n+ mn = n2mnn2 +mn = 0.

    Итак, m и n — корни данного уравнения, что и требовалось доказать. Из теоремы Виета следует: если р и q – целые числа, то целые решения уравнения х2 + рх + q= 0 — это делители числа q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, является та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения. Это даёт возможность устно решать такие уравнения.

    Пример:

    Решите уравнение х2 + 12х + 11 = 0.

    Решение:

    Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно 11. Это могут быть числа 1 и 11 либо – 1 и -11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные. Ответ. х1 = -1, х2 = -11.

    Хотите знать ещё?

    Теорема Виета верна не толоко для приведённого квадратного уравнения, но и для уравнений высших степеней Например, если уравнение третьей степени х3+4ах2 +bх + с = 0 имеет корни х1, х2 и х3, то

    x1+x2+x3=-a

    x1x2+x1x3+x2x3=b

    x1x2x3 = – c.

    Если такое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения, то они являются делителями свободного члена.

    Выполним вместе!

    Пример:

    Найдите сумму и произведение корней уравнения:

    а) х2 + х-6 = 0; б)х2 + 2х + 3 = 0.

    Решение:

    а) D=1 +24 >0. Корни существуют, поэтому x1 + х2 = -1; x1 . х2 = -6;

    б) D= 4-12<0. Корней не существует. Ответ. а)х1 + х2 = -1,х1 -х2 = -6; б) корней не существует.

    Пример:

    При каких значениях m произведение корней уравнения х2 + 8х + m – 7 = 0 равно 3?

    Решение:

    m-7 = 3, m = 10. Ответ. m = 10.

    Пример:

    Не решая уравнение х2 – 4х + 1 = 0, найдите сумму квадратов его корней.

    Решение:

    D = 16 – 4 > 0. Корни существуют. x1 + х2 = 4; х1 .х2 = 1;

    (x1 + x2)2 = 16; x21+2x1x2+x22 =16;

    х12 +2. 1+x22 =16; x21 +x22 =16-2, х2122 =14.

    Ответ. x21+x22=14.

    Квадратный трёхчлен

    Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах2 + bх+ с, где х — не ременная, a, b, c — данные числа, причём Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Переменную квадратного трёхчлена можно обозначить любой буквой. Примеры квадратных трёхчленов:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то получим квадратное уравнение. Его корни и дискриминант называют соответственно корнями и дискриминантом данного квадратного трёхчлена. Например, дискриминант и корни квадратного трёхчлена 2 — 7х – 6 равны соответственно 169, 2 и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения , поскольку это дискриминант и корни уравне ния 2 – 7х – 6 = 0.

    Из теоремы Виета следует правило разложения квадратных трёхчленов на множители.

    Если m и n — корни уравнения x2+ рх + q = 0, то х2 + рх + q = (х-m)(х – n).

    Поскольку х2 + рх + q = х2 – (m -n)х 4+mn = х2 – mх – nх 4- mn = (y- m )(х – n).

    Пример:

    Разложите на множители трёхчлен: х2+4х- 21.

    Решение:

    а) Корни уравнения х2+4х- 21=0 равны 3 и -7. Поэтому

    х2+ 4х – 21 =(х- 3)(х +7).

    Ответ.(х- 3)(х +7).

    Верна и такая теорема.

    Если корни квадратного трёхчлена ах2 + bх + с равны m и n, то его можно разложить на множители:

    ах2 +bх + с = а(х — m)(х — n).

    Доказательство:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, корни m и n трёхчлена ах2+bx+c также являются корнями уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. По теореме Виета,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Поэтому

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Например, если нужно разложить на множители трёхчлен Зх2+5х-2, то решаем уравнение Зх2+5х-2-0. Его дискриминант D = 25+24= 49, поэтому

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ можно записать и так;

    Зх2+ 5х 2 = (Зх 1 )(х+ 2).

    Разложение квадратных трёхчленов на множители применяется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и т. д. Например, чтобы сократить дробь Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения сначала следует разложить ее числитель и знаменатель на множители. Поскольку

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Каждый квадратный трёхчлен ах2 + bх + c можно представить в виде а(х-k)2+ р, где k и р некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена. Как выполнить подобное преобразование, покажем на примере. Чтобы выделить из квадратного трёхчлена 2х2 – 12х + 25 квадрат двучлена, сначала вынесем за скобки множитель 2:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Одночлен представим в виде произведения 2 . Зх, прибавим к нему 9 и отнимем 9: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    В результате имеем: 2х2 – 12х + 25 = 2 (х – 3)2 + 7.

    Выделение квадрата двучлена даёт возможность решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратного трёхчлена. Например, чтобы найти, при каком значении х значение выражения 2х2 -12х + 25 наименьшее, выделим из него квадрат двучлена:

    2– 12x+25 =2(х-3)2 + 7.

    Второе слагаемое полученной суммы — число 7, а первое имеет наименьшее значение, если равно 0, то есть х=3. Следовательно, трёхчлен 2– 12x+25 имеет наименьшее значение 7. если х = 3.

    Хотите знать ещё больше?

    Если квадратный трёхчлен имеет дробные корни, го при разложении его на линейные множители желательно первый коэффициент этого трёхчлена “внести в скобки” Например:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Выполним вместе!

    Пример:

    Найдите значение функцииКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения при х = 2008.

    Решение:

    Числитель формулы разложим на множители:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если х = 2008, то у = 2008 – 1 = 2007. О т в е т. у = 2007.

    Решение задач составлением квадратных уравнений

    С помощью квадратных уравнений можно упростить решение многих задач.

    Пример:

    Найдите два числа, произведение и среднее арифметическое которых равны соответственно 108 и 10,5.

    Решение:

    Если среднее арифметическое двух чисел равно 10,5, то их сумма в 2 раза больше, то есть 21. Пусть одно из искомых чисел х, тогда другое равно 21-х.

    Имеем уравнение:

    х(21 – х) = 108, или х2 – 21х + 108 = 0.

    Решим это уравнение: D = 212 – 4. 108 = 9,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если х = 9, то 21 – х = 12; если х = 12, то 21 – х = 9.

    Ответ. 9 и 12.

    Пример:

    Собственная скорость моторной лодки — 18 км/ч. Расстояние 12 км по течению реки она проходит на 9 мин быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.

    Решение:

    9 мин = 0,15 ч. Если скорость течения реки равна х км/ч, то скорость лодки по течению составляет (18 + х) км/ч, а против течения — (18 – х) км/ч. Расстояние 12 км по течению она проходит за Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияч, а против течения — за Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияч. Имеем уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    отсюда 4(18 + х) – 4(18 – х) – 0,05(18 – х)(18 + х) = 0,

    х2 + 160х – 324 = 0, D = 1602 + 4.324 = 26 896.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Задачу удовлетворяет только положительный корень. Ответ. 2 км/ч.

    Пример:

    На плоскости n точек расположены таким образом, что никакие три из них не лежат на одной прямей. Если любую из этих точек соединить отрезком со всеми другими, то получим 351 отрезок. Найдите число n.

    Решение:

    Из одной точки выходит n – 1 отрезков, из всех n данных точек — n(n – 1) отрезков. При этом каждый отрезок повторяется дважды, поскольку имеет два конца. Следовательно, всего отрезков Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Имеем уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решим это уравнение: D = 1 + 4 .702 = 2809, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения отсюда n1= 27, n2 = -26. Отрицательный корень задачу не удовлетворяет.

    Ответ. n = 27

    Хотите знать ещё больше?

    В задачах кроме числовых данных иногда бывают и параметры. В этом случае решение желательно дополнить соответствующими исследованиями — указать, какие значения могут принимать параметры. Например, решим такую задачу.

    Пример:

    Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его неравные высоты равны а и b.

    Решение:

    Обозначим стороны треугольника буквами: АС = АВ = х, СВ = у (рис. 62).

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияРис. 62

    Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для вычисления площади треугольника и составим систему

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Вычислим из второго уравнения с, подставим его в первое и получим:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Следовательно,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Исследование. В полученных значениях x и у под знаком корня имеем разность 2 – b2, которая должна быть положительной, что возможно только при b < 2а.

    Следовательно, данное решение задачи верно не при любых положительных а и b, а лишь при b < 2а.

    Далее. Мы рассмотрели случай, когда на основание y и опущена высота а. Но для этих же значений а и b возможен иной вариант (рис. 63). Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияотсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    В этом случае а < 2b. Ответ. Если a < 2b < 4а, то задача имеет два решения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, тo задача имеет одно решение

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, тo задача имеет также одно решение

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Выполним вместе!

    Пример:

    Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 509.

    Решение:

    Пусть искомые числа: х -1, х, х + 1. Тогда имеем уравнение: (х – 1)2 + х2 + (х + 1)2 =509. Решим его.

    Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: х2 -2х + 1+ х2+ х2+2х+1- 509=0,.

    2-507=0, отсюда х2 =169, х1= 13, х2=- 13

    = 0, отсюда х2 – 169, х, 13, х . = 13. Следовательно, два других числа: 12, 14 или -12, 14. Ответ. 12, 13, 14 или 12. -13, II.

    Следовательно, два других числа: 12,14 или -12, -14.

    Ответ. 12,13,14 или -12, 13, 14.

    ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

    Квадратные уравнения простейших видов вавилонские математики умели решать ещё 4 тыс. лет тому назад. Со временем их решали также в Китае и Греции. Особое внимание квадратным уравнениям уделил Мухаммед аль-Хо-резми (IX в.). Он показал, как решать (при положительных а и b) уравнения видов х2 + ах = b, х2 + а = bх, ах + b = х2, не используя каких-либо выражений, даже числа записывал словами. Например, уравнение х2 + 21 = 10х учил решать так: «Раздели пополам корни, получится пять, и умножь это на равное ему — будет двадцать пять, и отними от этого двадцать один, то останется четыре, добудь из этого корень, будет два, и отними это от половины корней, то есть от пяти, — останется три; это и будет корень, который ты ищешь». Отрицательных корней тогда не вычисляли. Индийские учёные в решении этого вопроса пошли дальше. Они находили также отрицательные корни квадратных уравнений. Например, Бхаскара (1114 -1178), решая уравнение х2 – 45х = 250, находит два корня: 50 и 5. И только после этого делает замечание: «Второе значение в данном случае не следует брать, люди ведь не воспринимают отрицательных абстрактных чисел». Алгебраические задачи на составление уравнений индийские учёные записывали в стихотворной форме и рассматривали их как особый вид искусства. Они объясняли: «Как солнце затмевает звёзды своим светом, так и человек учёный способен затмить славу других на народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их». Формулы корней квадратного уравнения вывел Франсуа Виет (1540—1603). Теорему, впоследствии названную его именем, учёный сформулировал так: «Если (В + В) А -А2 равно BD, то А равно В и равно В». Отрицательных корней он не рассматривал. Современные способы решения квадратных уравнений появились благодаря научным трудам Рене Декарта (1596— 1650) и Исаака Ньютона (1643—1727).

    ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

    Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Числа, удовлетворяющие уравнению, — его решения (или корни). Решить уравнение означает найти все его решения либо показать, что их не существует. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными друг другу. Квадратным называют уравнения вида ах2 + bх + с = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Выражение D = b2 – 4ас — его дискриминант. Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то данное уравнение имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если D — 0, то эти корни равны. Если D < 0, то такое квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если необходимо, например, решить квадратное уравнение 2 + 9х – 5 = 0, то находим его дискриминант: D = 92 – 4.2 .(-5) =121. Поэтому корни уравнения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах2 = 0 имеет единственный корень: х = 0;

    ax2 = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах2 +bх = 0 имеет два корня: х1 = 0, х2=Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения; ах2 + с = 0 имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения , если с : а < 0, и ни одного, если с • а > 0.

    Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х2 + рх + q = 0 имеет два корня, то

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х2 +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

    Квадратные уравнения

    • Изучив материал этого параграфа, вы научитесь решать уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения
    • Ознакомитесь с теоремой Виета для квадратного уравнения.
    • Овладеете приемами решения уравнений, сводящихся к квадратным.

    Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа.

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют уравнением первой степени.

    Например, каждое из линейных уравнений Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не являются уравнениями первой степени.

    Числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют коэффициентами уравнения первой степени Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

    Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют коэффициентами квадратного уравнения. Число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют первым или старшим коэффициентом, число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениявторым коэффициентом, число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениясвободным членом.

    Например, квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет следующие коэффициенты: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

    Например, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — это приведенные квадратные уравнения.

    Поскольку в квадратном уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения старший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получим приведенное квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если в квадратном уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения хотя бы один из коэффициентов Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

    Существует три вида неполных квадратных уравнений.

    1. При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения
    2. При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения
    3. При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

    1. Поскольку Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения
    2. Уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения представим в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Это уравнение имеет два корня Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения один из которых равен нулю, а другой является корнем уравнения первой степени Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения
    3. Уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения представим в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то возможны два случая: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что в первом случае уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения иКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Обобщим полученные результаты:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Но корень Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не удовлетворяет условию Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Последнее уравнение не имеет корней.

    Ответ: 2.

    Формула корней квадратного уравнения

    Зная коэффициенты Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения уравнения первой степени Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения можно найти его корень по формуле Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения находить его корни.

    Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (1)

    Поскольку Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (2)

    Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и обозначают буквой Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то есть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

    Теперь уравнение (2) можно записать так:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (3)

    Возможны три случая: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    1. Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения выражение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения принимает только неотрицательные значения.

    Вывод: если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратное уравнение корней не имеет.

    2. Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение (3) принимает вид

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Вывод: если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратное уравнение имеет один корень Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    3. Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение (3) можно записать в виде

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Вывод: если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратное уравнение имеет два корня Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Применяют также краткую форму записи:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Полученную формулу можно применять и в случае, когда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

    • найти дискриминант Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения квадратного уравнения;
    • если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то в ответе записать, что корней нет;
    • если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

    Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

    Рассмотрим квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Найдем его дискриминант: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Обозначим выражение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения через Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    то есть

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решите уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    1) Для данного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Дискриминант уравнения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2) Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: 2.

    3) Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Уравнение имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ можно записать одним из двух способов: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    4) Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, уравнение не имеет корней.

    Ответ: корней нет.

    5) Представим данное уравнение в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и применим формулу корней для уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решите уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    1) Имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получаем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения которое имеет

    корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получаем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения которое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: —2; 2.

    2) Поскольку Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: 12.

    3) Данное уравнение равносильно системе Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    При каком значении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет единственный корень уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2) При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получаем линейное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеющее один корень.

    При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема Виета

    Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

    Теорема: (теорема Виета). Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не может быть отрицательным.

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В этом случае считают, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следствие. Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни приведенного квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

    Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения таковы, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то эти числа являются корнями квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Преобразуем его в приведенное:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

    Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (*)

    Подставим в левую часть этого уравнения вместо Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения сначала число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а затем число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следствие. Если числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения таковы, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

    Пример:

    Найдите сумму и произведение корней уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, уравнение имеет два корня Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда по теореме Виета Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Найдите коэффициенты Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения если его корнями являются числа —7 и 4.

    Решение:

    По теореме Виета Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения; 2) Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения.

    Решение:

    1) Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения По теореме, обратной теореме Виета, числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются корнями уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2) Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются корнями уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда искомым является уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Известно, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Не решая уравнения, найдите значение выражения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    По теореме Виета Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Число 4 является корнем уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Найдите второй корень уравнения и значение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни данного уравнения, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения По теореме Виета Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни данного уравнения, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни искомого уравнения.

    По условию Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    По теореме Виета Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратный трехчлен

    Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениягде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Заметим, что левая часть квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения является квадратным трехчленом.

    Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

    Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы найти корни квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения надо решить соответствующее квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Значение выражения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют дискриминантом квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратный трехчлен корней не имеет. Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратный трехчлен имеет один корень, если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — то два корня.

    Рассмотрим квадратный трехчлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Разложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

    Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения разложили на линейные множители Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

    Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни квадратного трехчлена.

    Доказательство: Поскольку числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются корнями квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то по теореме Виета

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

    Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения при которых выполняется равенство Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

    Пример:

    Разложите на множители квадратный трехчлен:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    1) Найдем корни данного трехчлена:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2) Решим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    3) Решим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Сократите дробь Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получаем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теперь можно записать:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда получаем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    При каком значении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения разложение на множители трехчленаКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения содержит множитель Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение.

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Подставив в исходное уравнение вместо Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения соответственно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, получим квадратное уравнение с переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решая это уравнение, находим: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Поскольку Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ можно записать двумя способами: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Определение: Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют биквадратным уравнением.

    Заменой Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

    Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Выполним замену Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теперь надо решить следующие два уравнения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: 0; 1.

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получаем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Получаем два уравнения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Поскольку Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

    Ответ: корней нет.

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Данное уравнение равносильно системе Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: —3.

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, данное уравнение равносильно системе

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: 7.

    Решение уравнений методом замены переменной

    В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получаем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Это уравнение равносильно системе

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решите эти уравнения самостоятельно.

    Ответ: —3; —1; 2; 6.

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Преобразуем это уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияперейдем к равносильному уравнению:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Произведем замену: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получаем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    С учетом замены получаем два уравнения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решите эти уравнения самостоятельно.

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решите эти уравнения самостоятельно.

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим уравнение, равносильное исходному:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Замена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения приводит к квадратному уравнению

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Завершите решение самостоятельно.

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

    Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (вы можете убедиться в этом самостоятельно). При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения такое уравнение называют уравнением четвертой степени, при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияуравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

    В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

    Секретное оружие Сципиона дель Ферро

    Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Все они являются частными случаями уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

    Первым изобрел способ решения уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера ученого того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как секретное оружие.

    После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

    Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

    В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

    В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

    Пример:

    Из пункта Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения выехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

    Решение:

    Пусть скорость велосипедиста равна Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения км/ч, тогда скорость грузовика составляет Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ч, а грузовик — за Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ч. Разность Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения показывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

    то есть на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решим это уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решив квадратное уравнение системы, получим Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

    Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

    Пример:

    Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

    Решение:

    Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ч, тогда второй для этого нужно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения часть дороги, а вторая Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Полученное уравнение имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

    Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

    Ответ: 12 ч, 8 ч.

    Пример:

    Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

    Решение:

    Пусть исходный раствор содержал Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения г соли. Тогда его масса была равна Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения г, а концентрация соли составляла Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    в растворе составила Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения г, а масса раствора Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения г. Теперь концентрация соли составляет Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения что на 5 %, то есть на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения больше, чем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда можно записать: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Полученное уравнение имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

    Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

    Ответ: 30 г.

    ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

    Уравнение первой степени

    Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют уравнением первой степени.

    Квадратное уравнение

    Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют квадратным уравнением.

    Приведенное квадратное уравнение

    Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

    Неполное квадратное уравнение

    Если в квадратном уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения хотя бы один из коэффициентов Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

    Решение неполного квадратного уравнения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Дискриминант квадратного уравнения

    Для уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения его дискриминант Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — это значение выражения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение квадратного уравнения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратное уравнение корней не имеет.

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратное уравнение имеет один корень Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратное уравнение имеет два корня Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема Виета:

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    то Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема, обратная теореме Виета

    Если числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения таковы, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения иКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то эти числа являются корнями квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратный трехчлен

    Многочлен вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения— некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют квадратным трехчленом.

    Разложение квадратного трехчлена на множители

    Если дискриминант квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни квадратного трехчлена.

    Биквадратное уравнение

    Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют биквадратным уравнением.

    —–

    Квадратные уравнения

    В этом разделе вы научитесь:

    • решать квадратные уравнения различными способами;
    • применять квадратные уравнения для решения задач;
    • по каким формулам находят площади треугольников и четырёхугольников;
    • применять формулы площадей при решении задач;
    • находить площадь сложных фигур, разделяя их на простые геометрические фигуры.

    Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

    На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

    Это интересно!

    Великий учёный Востока аль – Хорезми в своём труде «Китаб мухтасаб ал-джабр и ва-л-мукабала», что в переводе означает «Книга о восполнении и противопоставлении» показал различные способы решения квадратных уравнений. Одним из них является метод подбора. Хорезми выбирал число и подставлял его в уравнение вместо неизвестного. После чего, становилось понятно, является ли данное число корнем уравнения.

    Например,

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения

    Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называется квадратным уравнением. Здесь Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – постоянные, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – неизвестная. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – первый коэффициент, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – второй коэффициент, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – свободный член.

    Например, в уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то получим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Здесь, обозначив Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения можно записать

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называется приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Неполные квадратные уравнения

    Если в квадратном уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения хотя бы один из коэффициентов Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияили Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

    Уравнения, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются неполными квадратными уравнениями.

    1) Решение уравнений вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Разделив обе части уравнения на число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияполучим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Его корнями является Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 1. Разделим обе части уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2) Решение уравнений вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Для решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияПроизведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияимеет два корня, один из которых всегда равен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 2. Для решения уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения надо левую часть уравнения разложить на множители: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    3) Решение уравнений вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Запишем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 3. Решим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

    Решение уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения методом разложения на множители

    Для разложения левой части уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а сумма Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения. Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются целыми числами, то Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – также целые числа. В этом случае, если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то заданной уравнение можно записать в виде : Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 1. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияположительные числа, то надо найти два положительных числа, чтобы их произведение было равно 8, а сумма – равна 6. Это числа 2 и 4. Зная, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение можно записать в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда находим Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 2. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Так как в уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения отрицательное число, а Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения положительное, то надо найти два отрицательных числа, чтобы их произведение было равно 18, а сумма была равна -9. Зная, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениято уравнение можно записать так Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда находим Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 3. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Корни уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 4. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Корни уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения методом разложения на множители

    Для разложения левой части уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а сумма Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 1. Запишем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения такие , что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 2. Решим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В нём Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а значит оба числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения отрицательные. Найдём два целых отрицательных, числа, произведение которых равно 40, а сумма равна -13. Это числа -5 и -8.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 3. В трёхчлене Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Составим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Метод выделения полного квадрата

    Для выделения полного квадрата из двухчленах Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения его надо дополнить членом Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияПример 1. Запишем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения С обеих сторон дополним данное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример 2. Для решения уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения методом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Для того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение квадратного уравнения графическим методом

    Графический метод

    Запишем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и прямой Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения При этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

    Пример:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

    Пример:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Для построения прямой Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения составим таблицу

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

    Обе части квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения можно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения которое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

    Калькулятор для построения графиков

    Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения построенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

    На рисунке корни уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения записанного в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениянайдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Формула для нахождения корней квадратного уравнения

    Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения методом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения эта формула является формулой корней квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то ее можно записать как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называется дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

    1) Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение не имеет действительных корней.

    2) Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение имеет два равных корня. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    3) Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение имеет два различных корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    В уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    В уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения дискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения При Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения для корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения), то уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения можно записать в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияТогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Обозначим Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениятогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Решим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема Виета

    Решим приведённое квадратное уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения По формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения т.е. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения На самом деле, из уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения с другой стороны Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

    Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство: Известно, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения корни приведённого квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда получим: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, для уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если обе части любого квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения разделить на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, то получим равносильное приведённое квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равна Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а произведение равно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Теорема Виета остаётся в силе, если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

    Найдём корни квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения методом подбора. По теореме Виета Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема, обратная теореме Виета

    Обратная теорема. Если сумма чисел Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равна Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а произведение равно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то эти числа являются корнями уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Эту теорему можно записать так: любые числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются корнями уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство. На самом деле, если принять, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то получим: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения т.е. число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения действительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениятакже является корнем уравнения.

    Пример:

    Составим квадратное уравнение, если известно, что числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются его корнями. Так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение будет выглядеть как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение задач при помощи квадратных уравнений

    Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

    1 этап – составление уравнения

    Обозначим длину одного из катетов через Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения тогда длина другого катета будет Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а гипотенуза будет равна Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2 этап – решение уравнения. Согласно теореме Пифагора получим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    3 этап – решение уравнения. Преобразуем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    4 этап – анализ результата.

    Решению задачи соответствует корень Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения т.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а длина гипотенузы Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Периметр: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

    • Заказать решение задач по высшей математике

    Квадратные уравнения

    Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

    В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

    Пример №256

    Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Найдите ширину участка.

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения м- ширина участка, тогда ее длина – Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения м. По условию задачи площадь участка равна Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получаем уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Такое уравнение называют квадратным.

    Квадратным уравнением называют уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения —переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — некоторые числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Например, уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения также являются квадратными.

    Числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют коэффициентами квадратного уравнения, число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияпервым коэффициентом, число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениявторым коэффициентом, число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениясвободным членом.

    В уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения коэффициенты следующие: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения следующие: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а в уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения следующие: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – приведенное, а уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – не является приведенным.

    Если в квадратном уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения хотя бы один из коэффициентов Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения или Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

    Например, неполным квадратным уравнением, в котором Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения является уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в котором Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения -уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в котором Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Рассмотрим решение каждого из них.

    1.Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения корнем которого является число 0.

    Следовательно, уравнение имеет единственный корень: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2.Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Имеем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то есть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение корней не имеет.

    Пример №257

    Решите уравнение:

    Решение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения 2) корней нет.

    3. Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Значит, уравнение имеет два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №258

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Имеем: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Формула корней квадратного уравнения

    Рассмотрим полное квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и найдем его решения в общем виде.

    Умножим левую и правую части уравнения на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Далее прибавим к обеим частям уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получим:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Выражение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют дискриминантом квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Учитывая, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения запишем уравнение в виде:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и продолжим его решать.

    Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    (при делении на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения учли, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет два различных корня:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Коротко это можно записать так:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Получили формулу корней квадратного уравнения.

    2) Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияТогда имеем уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет один корень: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияЭтот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому можно считать, что уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    3) Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В этом случае уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней, так как не существует такого значения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения при котором значение выражения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения было бы отрицательным.

    Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №259

    Решите уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №260

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Умножим левую и правую части уравнения на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

    Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (для положительных Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и получить их положительные корни.

    Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

    Теорема Виета

    Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения сумму его корней Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения произведение его корней Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

    Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

    Доказательство: Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – корни приведенного квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения дискриминант которого Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение имеет два корня:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет два одинаковых корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Найдем сумму и произведение корней:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

    Эту теорему называют теоремой Виета – в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом:

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни приведенного квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

    Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения разделим обе части уравнения на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим приведенное квадратное уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда по теореме Виета: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — корни неприведенного квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №261

    Не решая уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения найдите сумму и произведение его корней.

    Решение:

    Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения следовательно, уравнение имеет два корня Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    По теореме Виета: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если в уравнении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения коэффициент Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения является целым числом, то из равенства Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №262

    Найдите подбором корни уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – корни данного уравнения. Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. 1; -4.

    Пример №263

    Один из корней уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равен 3. Найдите коэффициент Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и второй корень уравнения.

    Решение:

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения– один из корней уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – второй его корень. По теореме Виета: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №264

    Пусть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – корни уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Не решая уравнения, найдите значение выражения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    По теореме Виета:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда: 1) Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

    Теорема (обратная теореме Виета). Если числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения таковы, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то эти числа являются корнями уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство: По условию Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения можно записать так: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Проверим, является ли число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – корень этого уравнения.

    Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то есть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – также корень этого уравнения.

    Таким образом, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения корни уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения что и требовалось доказать.

    Пример №265

    Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2.

    Решение:

    Искомое квадратное уравнение имеет вид Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения По теореме, обратной теореме Виета:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – искомое уравнение.

    Ответ, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

    В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

    Рассмотрим несколько примеров.

    Пример №266

    Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

    Решение:

    Пусть меньшее из этих чисел равно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения тогда большее равно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения По условию задачи имеем уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Упростим левую часть уравнения.

    Получим: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения По условию задачи Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. 4; 7.

    Пример №267

    В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

    Решение:

    Пусть в кинотеатре Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения рядов, тогда мест в каждом ряду Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Всего мест в зале Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Имеем уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Перепишем уравнение в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    По смыслу задачи значение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, в кинотеатре 18 рядов.

    Ответ. 18 рядов.

    Пример №268

    У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

    Решение:

    Пусть у многоугольника Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения вершин. Из каждой его вершины выходит Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения диагонали. Тогда из всех Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения его вершин выходит Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Получим уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то есть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияОтрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

    Ответ. 12.

    Пример №269

    Тело подбросили вертикально вверх со скоростью Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Высота Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (в м), на которой через Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения с будет тело, вычисляется по формуле Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

    Решение:

    По условию: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, после упрощения имеем уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения решив которое, найдем корни: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз – при падении (это произойдет через 3 с).

    Ответ. 1 с, 3 с.

    Пример №270

    В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Через час из того же лагеря со скоростью Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км? Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

    Пусть расстояние в 17 км между группами будет через Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения км, а вторая – Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения км, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Всего первая группа преодолеет расстояние Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Из Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения тогда имеем уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Учитывая, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получим Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

    Ответ. В 12 часов.

    В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

    Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

    Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики – науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку – прикладную математику.

    Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками – математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским.

    Развитие кибернетики связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова – выдающегося математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г. -Институт кибернетики который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой большой электронно-вычислительной машины. Сегодня Институт кибернетики носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды.

    Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

    Выражения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения являются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

    Квадратным трехчленом называют многочлен вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – числа, причем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Например, выражение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения является квадратным трехчленом, у которого Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №271

    Рассмотрим квадратный трехчлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то его значение равно нулю. Действительно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена.

    Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

    Чтобы найти корни квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения нужно решить уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №272

    Найдите корни квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Решим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения корни квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениято квадратный трехчлен не имеет корней.

    Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

    Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения корни квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то справедливо равенство

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство: Если Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – корни квадратного уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (по теореме Виета).

    Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения что и требовалость доказать.

    Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

    Пример №273

    Разложите на множители квадратный трехчлен:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    1) Корни трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – числа -1 и 2,5. Поэтому Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Это можно записать иначе, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2) Квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на множители не разлагается.

    3) Квадратное уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет два одинаковых корня Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

    Пример №274

    Сократите дробь Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Числа 1 и -0,5 – корни квадратного трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения бывает удобно представить его в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

    Пример №275

    Выделите из трехчлена Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения квадрат двучлена.

    Решение:

    Вынесем за скобки множитель 2: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияпреобразуем выражение в скобках, считая, что Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения поэтому добавим и вычтем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №276

    Дан квадратный трехчлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения При каком значении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения он принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

    Решение:

    Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Выражение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения при любом значении Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения принимает не положительное значение, то есть Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения причем это выражение равно нулю только при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Поэтому при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

    Таким образом, квадратный трехчлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения принимает наибольшее значение, равное 16, при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. 16 при Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение уравнений, сводящихся к квадратным

    Дробные рациональные уравнения

    Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

    Пример №277

    Решите уравнение

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей – выражение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения учитывая ОДЗ: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решенияКвадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. 3.

    Метод разложения многочлена на множители

    Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

    Пример №278

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Вынесем в левой части уравнения общий множитель Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения за скобки. Получим:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения имеет три корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. 0; 3; -5.

    Биквадратные уравнения

    Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а исходное уравнение принимает вид:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

    Пример №279

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Сделаем замену Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения получим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения корнями которого являются числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Вернемся к переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, корни исходного уравнения – числа 2 и -2.

    Ответ. 2; -2.

    Метод замены переменной

    Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

    Пример №280

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения которое является квадратным относительно переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Перепишем его в виде Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Возвращаемся к переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №281

    Решите уравнение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Раскроем скобки в каждой части уравнения:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Заметим, что выражения, содержащие переменную Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Получим уравнение с переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Найдем его корни: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Вернемся к переменной Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

    Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

    Пример №282

    Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

    Решение:

    Пусть скорость грузового автомобиля Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Систематизируем условие задачи в виде таблицы: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Так как значение величины Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на 1 ч меньше значения величины Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения то можем составить уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    У него два корня: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Тогда скорость легкового автомобиля: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №283

    Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

    Решение:

    Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ч, тогда ученику Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения — часть задания, а ученик Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения часть, это и есть их производительности труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 ч, поэтому мастер выполнил Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения часть задания, а ученик Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, что они выполнили все задание, имеем уравнение:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    откуда Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

    Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик – за Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. 12 ч и 24 ч.

    Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

    «Желаю тебе стать вторым Остроградским…»

    Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

    В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

    Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

    Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году – членом Туринской академии, в 1853 – членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук.

    Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нравилась его система преподавания предмета – широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом.

    Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

    Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

    Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

    И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

    На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

    За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

    Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

    И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

    Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

    Десятичные дроби

    Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

    Пример:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Обычные дроби

    Частное от деления числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на число Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения можно записать в виде обычной дроби Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения числитель дроби, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – ее знаменатель.

    Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (сократили дробь Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения на 5);

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения (привели дробь Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения к знаменателю 14).

    Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй – знаменателем:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Положительные и отрицательные числа

    Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

    Модуль положительного числа и числа нуль – само это число, а модуль отрицательного – противоположное ему число:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Уравнение

    Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

    Примеры:

    1) Число 3 является корнем уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    2) Число -2 не является корнем уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения так как Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

    Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

    Примеры:

    1) Уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

    2) Уравнения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не являются равносильными, так как корень первого – число 1, а второго – число 2.

    Для решения уравнений используют следующие свойства:

    1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

    2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

    3) если обе части уравнения

    Уравнение вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения где Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения числа, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

    Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Раскроем скобки: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные – в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения приведем подобные слагаемые: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения решим полученное линейное уравнение: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей – число 6:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Дальше решаем, как в предыдущем примере:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ. Любое число.

    Степень с натуральным показателем

    Степенью числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения с натуральным показателем Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения называют произведение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения множителей, каждый из которых равен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Степенью числа Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения с показателем 1 называют само это число.

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Свойства степени с натуральным показателем

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Одночлен

    Целые выражения – числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами.

    Например Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – одночлены; выражения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Не одночлены.

    Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

    Например, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения – одночлен стандартного вида, а одночлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не является одночленом стандартного вида.

    Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Умножение одночленов

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Возведение одночлена в степень

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Многочлен

    Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

    Многочлен Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Сложение и вычитание многочленов

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Умножение одночлена на многочлен

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Умножение многочлена на многочлен

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Формулы сокращенного умножения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Разложение многочленов на множители

    Вынесение общего множителя за скобки

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Способ группировки

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Использование формул сокращенного умножения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Примеры:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Функция

    Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

    Переменную Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решениязависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

    Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

    Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения независимая переменная, Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения -некоторые числа.

    Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

    Пример:

    Построим график функции Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Составим таблицу для любых двух значений аргумента: Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20). Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    Построим график функции Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Любому значению Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения соответствует одно и то же значение Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения– любое число. Обозначим две любые такие точки, например Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения и проведем через них прямую (рис. 21).

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Системы линейных уравнений с двумя переменными

    Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

    Пример:

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения система уравнений с двумя неизвестными Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

    Пара чисел Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения является решением данной выше системы, поскольку Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Пара чисел Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения не является решением системы. Для этих значений переменных первое уравнение обращается в верное равенство Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения а второе – нет Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

    Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

    Решить систему уравнений Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    Квадратные уравнения - определение и вычисление с примерами решения

    • Неравенства
    • Числовые последовательности
    • Предел числовой последовательности
    • Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
    • Разложение многочленов на множители
    • Системы линейных уравнений с двумя переменными
    • Рациональные выражения
    • Квадратные корни

    Не решая уравнения х ^ 2 + 12х + 6 = 0, найдите значение выражения х(1й) ^ 2 + х(2й) ^ 2, где х(1й) и х(2й) – корни этого уравненя.

    Вы открыли страницу вопроса Не решая уравнения х ^ 2 + 12х + 6 = 0, найдите значение выражения х(1й) ^ 2 + х(2й) ^ 2, где х(1й) и х(2й) – корни этого уравненя?. Он относится к категории
    Алгебра. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 – 9 классов.
    Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие
    ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ,
    можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Алгебра,
    воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других
    пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя
    ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

    Добавить комментарий