Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.
НОД — это наибольший общий делитель.
НОК — это наименьшее общее кратное.
Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.
Наибольший общий делитель
Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.
Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.
Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.
Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.
Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.
12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)
12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)
12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)
12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)
12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)
12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)
12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)
12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)
12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)
12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)
12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)
12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)
Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9
9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)
9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)
9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)
9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)
9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)
9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)
9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)
9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)
9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)
Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:
Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.
Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3
И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:
12 : 3 = 4
9 : 3 = 3
Значит НОД (12 и 9) = 3
Второй способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.
Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18
Сначала разложим оба числа на простые множители:
Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:
Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.
Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.
Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:
Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:
2 × 3 = 6
Значит НОД (24 и 18) = 6
Третий способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.
Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.
В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:
Получили два разложения: 
и 
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:
Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:
Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:
28 : 4 = 7
16 : 4 = 4
НОД (28 и 16) = 4
Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40
Раскладываем на множители число 100
Раскладываем на множители число 40
Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:
100 : 20 = 5
40 : 20 = 2
НОД (100 и 40) = 20.
Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128
Раскладываем на множители число 72
Раскладываем на множители число 128
Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:
72 : 8 = 9
128 : 8 = 16
НОД (72 и 128) = 8
Нахождение НОД для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.
Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36
Разложим на множители число 18
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Получили три разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:
18 : 6 = 3
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
НОД (18, 24 и 36) = 6
Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42
Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.
Разложим на множители число 12
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Разложим на множители число 42
Получили четыре разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:
12 : 6 = 2
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
42 : 6 = 7
НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6
Наименьшее общее кратное
Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.
Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.
Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.
Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.
Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.
В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.
Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:
Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:
Теперь выпишем кратные обоих чисел:
Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:
Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.
Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Второй способ нахождения НОК
Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.
Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.
Разложим на множители число 9
Разложим на множители число 12
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.
Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12
Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180
Разложим на множители число 50
Разложим на множители число 180
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:
900 : 50 = 18
900 : 180 = 5
НОК (50 и 180) = 900
Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33
Разложим на множители число 8
Разложим на множители число 15
Разложим на множители число 33
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:
1320 : 8 = 165
1320 : 15 = 88
1320 : 33 = 40
НОК (8, 15 и 33) = 1320
Третий способ нахождения НОК
Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.
Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.
К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:
Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.
Итак, перемножим числа 24 и 12
Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12
Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24
НОК (24 и 12) = 24
Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48
Найдем НОД чисел 36 и 48
Перемножим числа 36 и 48
Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48
Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144
НОК (36 и 48) = 144
Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144
Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16
Решение:
Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16
Решение:
Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32
Решение:
Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32
Решение:
Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86
Решение:
Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86
Решение:
Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35
Решение:
Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35
Решение:
Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82
Решение:
Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82
Решение:
Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76
Решение:
Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Математика
5 класс
Урок № 44
Наименьшее общее кратное (НОК)
Перечень рассматриваемых вопросов:
– делители числа;
– кратные числа;
– признаки делимости;
– разложение на простые множители;
– НОК.
Тезаурус
Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Составные числа – это непростые натуральные числа, большие 1.
Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ранее мы узнали, что такое кратное, ввели понятие делителя, научились находить наибольший общий делитель, а можно ли каким-либо способом найти общее кратное нескольких чисел? Оказывается, можно, этим сегодня мы и будем заниматься. Но находить не просто общее кратное нескольких чисел, а их наименьшее общее кратное – НОК.
Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральное число без остатка.
Теперь найдём, например, общие кратные чисел 12 и 15. Для этого выпишем все кратные чисел 12 и 15.
12 – его кратные 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
15 – его кратные 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …
Из представленных чисел общие кратные – это числа 60 и 120. Меньшее из них – 60. Это и есть наименьшее общее кратное чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел можно использовать несколько способов. Один из них мы рассмотрели на примере нахождения НОК 12 и 15. Этот способ заключается в том, что выписываются все кратные двух чисел и затем находится наименьший общий из них.
Узнаем ещё одно правило нахождения НОК.
Во-первых, разложим числа на простые множители. Далее подчеркнём одинаковые множители этих чисел. Затем перемножим общие множители одного из чисел и добавим произведение всех остальных множителей от каждого числа. Это и будет НОК заданных чисел.
Найдём НОК (15; 16). Разложим числа на простые множители:
Видно, что из всех множителей общий лишь единица, значит, это взаимно простые числа.
НОК взаимно простых чисел – это произведение всех их множителей или произведение этих чисел.
В данном случае НОК равен 240.
Т. е. НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.
Найдём НОК (10; 100). Разложим числа на простые множители:
Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.
Умножим их, а результат умножим ещё на оставшиеся простые множители от чисел 100 и 10.
НОК (10; 100) = 2 · 5 · 2 · 5 = 100
Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10, и НОК тоже равен 100. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.
Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу.
Девочка решила купить несколько плиток шоколада по 38 руб. , но у неё только 5-рублёвые монеты, а в магазине нет сдачи. Какое наименьшее количество плиток шоколада она сможет купить?
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5;38).
Разложим числа на множители:
Мы видим, что НОК (5; 38) = 5 · 38 = 190 – это будет сумма покупки за шоколад.
Теперь найдём, сколько девочка купит плиток.
Для этого сумму покупки разделим на стоимость одной плитки шоколада.
190 : 38 руб. = 5 – наименьшее количество плиток шоколада, которые сможет купить девочка.
Ответ: 5 плиток.
Тренировочные задания
№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОК (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОК = 21?
Варианты ответов: 1; 2; 3.
Решение: для решения этой задачи, надо разложить на множители оба числа, при этом вместо пропуска нужно подставить по порядку все цифры. А далее найти подходящий НОК этих чисел, равный 21.
Из всех разложений на множители под НОК (7; 2_) = 21 подходит только число 21.
НОК (7; 21) =21
НОК (7; 22) =154
НОК (7; 23) =161
Ответ: искомая цифра – 1.
№ 2. Какой наименьшей длины должен быть рулон ткани, чтобы от него без остатка можно было отрезать куски по 3 м и 7 м?
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наименьшей длиной рулона ткани.
НОД (3; 7) = 7 · 3 = 21 м
Ответ: 21 м.
Делимость
До того как начать разбирать эти две аббревиатуры, рассмотрим сначала понятие делимости. Что значит фраза “число А делится на число Б”? Например, 24 делится на 6. И что значит “не делится”? Например, 27 не делится на 2.
Когда мы говорим о делимости, то речь идет о целочисленном делении целых чисел. И делимость означает, что число делится на делитель нацело, без остатка.
24 делится на 6, частное равно 4, а остаток нулю.
27 не делится на 2, частное равно 13, а остаток равен одному.
Признаки делимости
Проверить, делится ли одно число на заданное, можно просто выполнив деление. Но если число большое, а результат самого деления нам не так чтобы нужен? Можно ли не находя частное, определить, делится ли число?
Существуют несколько признаков делимости, когда по внешнему вида числа мы можем определить, делится ли оно на заданное. Рассмотрим только некоторые из них, те, которые легко проверяются.
По последней цифре
Число делится на 2, если его последняя цифра – четная.
Число делится на 5, если его последняя цифра – 5 или 0.
Число делится на 10, если его последняя цифра – 0.
Например, 234 делится на 2, так как 4 – четная.
235 делится на 5, так как последняя цифра – 5.
190 делится на 10 и на 5, так как последняя цифра – 0.
По сумме цифр числа
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.
Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9.
Например, 393 делится на 3, так как сумма цифр этого числа 3+9+3=15 делится на 3.
180 делится на 9, так как сумма цифр этого числа 1+8+0=9 делится на 9.
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.
Например, 36 делится на 2 (6 четная) и на 3 (3+6=9 – делится на 3), поэтому оно делится на 6.
Простые и составные числа
Среди натуральных чисел выделяют такие числа, которые делятся только на 1 и на самого себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа, имеющие больше двух делителей, называют составными. Отдельно выделяют 1, у нее только один делитель.
Пример простого числа – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. Существуют специальные таблицы простых чисел, но многие проблемы простых чисел до сих пор не решены.
Разложение на простые множители
Для составных чисел можно найти такие множители, которые будут только простыми числами, а произведение этих множителей будет равно исходному числу.
Например, 24=2*2*2*3.
Это произведение и называется разложением на простые множители. Если множители отсортированы по возрастанию, то для каждого конкретного числа это разложение будет единственным.
Для построения такого разложения существует четкий алгоритм.
- Записываем в левый столбец исходное число, проводим вертикальную черту, отделяя правый столбец.
- Проверяем, делится ли число на 2. Если да, то записываем 2 в правый столбец, в левый столбец в следующей строке записываем кратное исходного числа и 2.
- Проверяем, делится ли полученное число на 2, если да, то действуем как в пункте 2.
- Если нет, то проверяем, делится ли наше число на 3. Если да, то 3 записываем в правый столбец, а в левый столбец строчкой ниже пишем кратное от деления на 3 и переходим к пункту 3.
- Если число не делится на 3, то переходим к следующему числу в списке простых чисел – 5.
- Каждый раз начинаем проверку делимости с 2, постепенно переходя к все большим и большим простым числам, если это необходимо.
- Так действуем до тех пор, пока число в левом столбце не станет равно 1. Тогда останавливаемся.
- В правом столбце у нас записаны все простые множители числа.
Наибольший общий делитель
НОД или наибольший общий делитель для нескольких чисел – это такое наибольшее число, на которое делятся все эти числа.
Например, НОД(12, 18)=6.
Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОД. Выписываем совпадающие множители, их произведение и даст нам НОД.
Наименьшее общее кратное
НОК или наименьшее общее кратное нескольких чисел – это такое наименьшее число, которое делится на все эти числа.
Например, НОК(4, 6)=12.
Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОК. К множителям меньшего числа дописываем несовпадающие множители. Это произведение и даст нам НОК.
Взаимно простые числа
Если у двух составных чисел нет общих простых множителей, то такие числа называются взаимно простыми. НОК таких чисел равен их произведению, а НОД равен 1.
Дети часто путают понятия НОД и НОК.
На самом деле — все очень просто.
Наибольший общий делитель (НОД) — самое большое число. Делим на него все числа.
Для чисел 15 и 20 — это 5.
Записываем так: НОД (20,15)=5.
Когда мы научились представлять число в виде произведения других чисел, то легко можем найти их НОД. Выписываем одинаковые числа, умножаем их друг на друга и получим — НОД.
Это используется при сокращении дробей и приведении к одинаковому знаменателю.
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее число. Его делим на все числа.
Для чисел 4 и 6 — это 12.
Записывается это так: НОК (4,6)=12.
Когда мы научились представлять число в виде произведения других чисел, то легко можем найти их НОК. Удобнее к множителям большего числа дописать неодинаковые числа. Результат и будет их НОК.
Похожие статьи
С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и
наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся
средней школы, встречаются в шестом классе.
Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети
часто путают эти понятия, не понимают, зачем их
нужно изучать. В последнее время и в
научно-популярной литературе встречаются
отдельные высказывания о том, что данный
материал нужно исключить из школьной программы.
Думаю, что это не совсем верно, и изучать его
нужно если не на уроках, то во внеурочное время на
занятиях школьного компонента обязательно, так
как это способствует развитию логического
мышления школьников, повышению скорости
вычислительных операций , умению решать задачи
красивыми методами.
При изучении темы “Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями” мы учим детей находить
общий знаменатель двух или более чисел. Например,
нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда
находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это
число 15. Действительно , если числа небольшие, то
их общий знаменатель найти легко, зная хорошо
таблицу умножения . Кто-то из ребят замечает, что
это число является произведением чисел 3 и 5. У
детей складывается мнение, что всегда таким
образом можно найти общий знаменатель для чисел.
К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем
произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили
уже большое число, а если дальше нужно
производить какие-то вычисления(особенно это
касается примеров на все действия), то
вероятность ошибки возрастает. А вот найденное
наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом
случае равнозначно наименьшему общему
знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит
вычисления и приведет к более быстрому решению
примера, а тем самым сэкономит время, отведенное
на выполнение данного задания, что играет
немаловажную роль при выполнении итоговых
тестовых, контрольных работ, особенно во время
итоговой аттестации.
При изучении темы “Сокращение дробей” можно
двигаться последовательно деля числитель и
знаменатель дроби на одно и то же натуральное
число, используя при этом признаки делимости
чисел, получив в конечном итоге несократимую
дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344.
Разделим сначала числитель и знаменатель дроби
на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим
числитель и знаменатель полученной дроби на 2,
получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и
знаменатель дроби на 2 , получим несократимую
дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить
гораздо проще , если мы найдем наибольший общий
делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив
числитель и знаменатель дроби на это число,
получим сразу несократимую дробь.
Нужно показать детям разные способы нахождения
наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего
общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях
удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и
наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем
простого перебора. Когда числа становятся
больше, можно использовать разложение чисел на
простые множители. В учебнике шестого класса
(автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ
нахождения наибольшего общего делителя
(НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Затем из множителей, входящих в разложение
одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не
входят в разложение другого числа. Произведение
оставшихся множителей и будет являться
наибольшим общим делителем этих чисел. В данном
случае это число 8. На своем опыте убедилась в том,
что детям более понятно, если мы подчеркиваем
одинаковые множители в разложениях чисел , а
затем в одном из разложений находим произведение
подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший
общий делитель данных чисел. В шестом классе дети
активны и любознательны. Можно поставить перед
ними следующую задачу: попробуйте описанным
способом найти наибольший общий делитель чисел
343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые
множители. И вот здесь можно рассказать им про
замечательный способ, придуманный древними
греками, позволяющий искать наибольший общий
делитель(НОД)без разложения на простые
множители. Этот метод отыскания наибольшего
общего делителя впервые описан в книге Евклида
“Начала”. Его называют алгоритмом Евклида.
Заключается он в следующем : Вначале делят
большее число на меньшее. Если получается
остаток, то делят меньшее число на остаток. Если
снова получается остаток, то делят первый
остаток на второй. Так продолжают делить до тех
пор, пока в остатке не получится нуль. Последний
делитель и есть наибольший общий делитель
(НОД)данных чисел.
Вернемся к нашему примеру и для наглядности
запишем решение в виде таблицы.
| Делимое | Делитель | Частное | Остаток |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Итак, НОД(344,287) = 7
А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех
же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь
способа, не требующего предварительного
разложения этих чисел на простые множители?
Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно
перемножить эти числа и разделить произведение
на найденный нами наибольший общий делитель(НОД).
В данном примере произведение чисел равно 98441.
Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.
Одной из трудных тем в математике является
решение текстовых задач. Нужно показать учащимся
, как с помощью понятий “Наибольший общий
делитель (НОД)” и “Наименьшее общее кратное
(НОК)” можно решать задачи, которые порой трудно
решить обычным способом. Здесь уместно
рассмотреть с учащимися наряду с задачами,
предложенными авторами школьного учебника ,
старинные и занимательные задачи, развивающие
любознательность детей и повышающие интерес к
изучению данной темы. Умелое владение этими
понятиями позволяет учащимся увидеть красивое
решение нестандартной задачи. А если у ребенка
после решения хорошей задачи поднимается
настроение-это признак успешной работы.
Таким образом, изучение в школе таких понятий ,
как “Наибольший общий делитель(НОД)” и
“Наименьшее общее кратное (НОК)”чисел
– позволяет экономить время, отводимое на
выполнение работы, что приводит к значительному
увеличению объема выполненных заданий;
– повышает скорость и точность выполнения
арифметических операций, что ведет к
значительному уменьшению количества
допускаемых вычислительных ошибок;
– позволяет находить красивые способы решения
нестандартных текстовых задач;
– развивает любознательность учащихся,
расширяет их кругозор;
– создает предпосылки для воспитания
разносторонней творческой личности.
