Как он трогателен произнося этот монолог исправить ошибку в употреблении деепричастного оборота

Глагол в предложении выражает основное действие, а деепричастие – добавочное. Оба эти действия должны относиться к одному и тому же лицу, которое их выполняет (производит, делает). В первом предложении два действующих лица: выпускники и те, кто их направляет. Как только мы изменим это, получим правильное предложение, составленное по тем грамматическим нормам, которые существуют в русском языке.

Кроме тех вариантов (или вместо тех вариантов), которые предложила Украшалочка, я бы добавила вот ещё какой: “Выпускники института (тут желательно указать название) получили направления в московские школы”.

Если мы остановимся на этом варианте, тогда избежим ещё и лексических оплошностей, допущенных в первом предложении – речевой избыточности (выпускники – это лица закончившие институт, поэтому в одном предложении слово “выпускники” и словосочетание “закончили институт” излишне) и фактической неточности (отправились на работу в школы – это не то же самое, что получили направления). При большом желании можно придраться к грамматическому несовершенству фразы “… на работу (ед. число) в школы (множ. число)”.

Второе предложение нам с вами не нравится тем, что сказуемое в нём является составным именным, т.е. к нему не может относиться деепричастный оборот. Нужно либо изменить сказуемое, либо оборот.

Вариант Украшалочки подходит. Можно и так: “Как трогательно он произнёс этот монолог!”