Как по координатам линейной функции составить формулу

Инфоурок

›

Алгебра

›Конспекты›Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

С 2022 года в первую часть ЕГЭ было добавлено задание по теме “Графики функций” Для решения задачи нужно сначала составить формулу, задающую функцию, а затем с её помощью вычислить ответ

Начнём с линейной функции, которая изучается в школьном курсе математики с 6 класса.

Линейная функция – функция вида у=кх+в, график линейной функции – прямая.

Для построения прямой (графика линейной функции) достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.

Простое задание:

На рисунке изображён график линейной функции. Напишите формулу, которая задаёт эту линейную функцию

График функции проходит через точку (0;-2), лежащую на оси Оу, значит в=-2 и уравнение прямой у=кх – 2. Осталось найти к (угловой коэффициент)

1 способ: График функции проходит через точку (5; 2), подставляем у-2, х=5 в уравнение у=кх – 2, получаем 2=к*5-2, откуда к=0,8

Таким образом, искомая формула у=0,8х-2

2 способ(для 11 класса), смотрите второе фото в галерее:

построим прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике (на прямой), а вершины треугольника совпадали с “узлами” клеток.

Угловой коэффициент к равен tq a (тангенсу угла наклона а), а тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Считаем по клеточкам и получаем 4/5=0,8

Ответ тот же!

Как вы понимаете, на ЕГЭ это всего лишь половина задания.

Задание 509198 с сайта Решу ЕГЭ (на сайте нет решения этого задания)

На рисунке даны графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков

Чтобы найти точку пересечения, надо знать формулы, которыми задаётся каждая линейная функция

Начнём с синего графика. Он проходит через точку (0;1), значит в уравнении у=кх+в, в=1, осталось найти к (два способа нахождения в галерее

Итак, линейная функция, график которой построен синим цветом, задаётся формулой: у= х+1

теперь займёмся красным графиком. Здесь не видно точки пересечения с осью Оу, поэтому коэффициент в быстро не найти. Начнём с углового коэффициента, к=3/2=1,5, теперь найдём в, например возьмём точку (-2;4)

4=1,5*(-2)+в, откуда в=7, то есть линейная функция, график которой построен красным цветом, задаётся формулой: у=1,5х+7

Коэффииенты к и в можно найти и другим способом:

Это первая половина задания. Во второй находим абсциссу точки пересечения (значение х)

х+1=1,5х+7

-0,5х=7-1

х=-12

Ответ: -12

Остались вопросы? Задавайте!

Как найти формулу линейной функции по графику: шаг за шагом решение

Линейная функция – это математическая функция, которую можно представить в виде y = mx + b, где m – наклон, b – точка пересечения с осью y, x – переменная, а y – результат уравнения. Если дан график линейной функции, можно использовать некоторые методы для определения формулы этой функции.

Шаг 1: Найти наклон (slope) линейной функции

Наклон линейной функции представляет собой изменение y относительно x. Его можно найти, используя точки на графике и формулу:

slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Для этого выберите любые две точки на графике линейной функции и назовите их (x1, y1) и (x2, y2). Подставьте значения координат в формулу и найдите наклон.

Шаг 2: Найти точку пересечения с осью y

Точка пересечения с осью y указывает значение y, когда x = 0. Если точка пересечения с осью y не указана на графике, ее можно найти, заменив x на 0 в формуле линейной функции:

y = mx + b
b = y - mx

Шаг 3: Написать формулу линейной функции

Используя значения наклона и точки пересечения с осью y, формула линейной функции будет выглядеть так:

y = mx + b

Где m – наклон, b – точка пересечения с осью y.

Пример

Рассмотрим пример графика линейной функции:

Шаг 1: Найдем наклон:

Выберем две точки на графике, например (0, 1) и (3, 7):

slope = (7 - 1) / (3 - 0) = 2

Шаг 2: Найдем точку пересечения с осью y:

Заменим x на 0 в формуле линейной функции:

y = mx + b
1 = 2(0) + b
b = 1

Шаг 3: Напишем формулу линейной функции:

y = mx + b
y = 2x + 1

Таким образом, формула линейной функции для данного графика: y = 2x + 1.

Вывод

Найти формулу линейной функции по графику можно, используя шаг за шагом методику, описанную в этой статье. Выберете две точки на графике и найдите их координаты, посчитайте наклон и точку пересечения с осью y, после чего напишите формулу линейной функции.

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции, т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

1. Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
   Примеры:

   

   Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

   Примеры:

   

2. Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

   Примеры:

   

3. Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

   Примеры:

   

Пример (ЕГЭ)

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k<0).

Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.

(k=-frac{AC}{BC}=-frac{1}{3}). Получается (g(x)=-frac{1}{3}x+3).

Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.

Способ 2

Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу (f(x)=kx+b) и решить получившуюся систему уравнений.

Пример (ЕГЭ)

Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.

(A(-2;2)) и (B(2;-5)) подставим эти значения вместо (x) и (f(x)) в формулу (f(x)=kx+b):

Получим:

(begin{cases}2=-2k+b\-5=2k+bend{cases})

Теперь найдем (k) и (b), решив эту систему.

Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло (k):

(2+(-5)=-2k+b+2k+b)
(-3=2b)
(b=-1,5)

Теперь подставим найденное (b) во второе уравнение системы и найдем (k):

(-5=2k-1,5)
(-5+1,5=2k)
(-3,5=2k)
(k=-1,75)

Получается (f(x)=-1,75x-1,5). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть (f(x)), равна (16):

(16=-1,75x-1,5)
(17,5=-1,75x)
(x=-10).

Ответ: (-10).

Пример (ЕГЭ)

Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.

Функция (f(x)) возрастает, значит (k>0). (k=+frac{AC}{BC}=frac{4}{4}=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

(begin{cases}4=-2k+b\1=-4k+bend{cases})

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(4-1=-2k+b-(-4k+b))
(3=2k)
(k=1,5)

Найдем (b):

(4=-2cdot 1,5+b)
(4=-3+b)
(b=7)

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

(x+1=1,5x+7)
(x-1,5x=7-1)
(-0,5x=6)
(x=6:(-0,5))
(x=-12).

Ответ: (-12).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку “скачать статью”.

Смотрите также:
Как определить a, b и c по графику параболы

Скачать статью