Как по радиусу вписанная найти площадь многоугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A₁A₂A₃A₄A₅, не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O:

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH₁, OH₂, OH₃, OH₄ и OH₅), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

$[ S = S_{OA_1A_2}+S_{OA_2A_3}+S_{OA_3A_4}+S_{OA_4A_5}+S_{OA_5A_1}. ]$

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника $S_{OA_1A_2}$ . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A₁A₂ на высоту OH₁, проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: $S=frac{1}{2}rcdot A_1A_2$ , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

$[ S = frac{1}{2}rcdot A_1A_2 + frac{1}{2}rcdot A_2A_3+ ]$

$[ +frac{1}{2}rcdot A_3A_4+frac{1}{2}rcdot A_4A_5+frac{1}{2}rcdot A_5A_1. ]$

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель $frac{1}{2}r$ , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

$[ S = frac{1}{2}rleft(A_1A_2 +A_2A_3 +A_3A_4 +A_4A_5 +A_5A_1right). ]$

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P. Чаще всего в этой формуле выражение $frac{1}{2}P$ заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник

На странице собраны калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного многоугольника по стороне и количеству сторон, а также зная радиус вписанной и описанной окружностей.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Содержание:

калькулятор площади правильного многоугольника
формула площади правильного многоугольника через длину стороны
формула площади правильного многоугольника радиус вписанной окружности
формула площади правильного многоугольника радиус описанной окружности
пример задачи

Формула площади правильного многоугольника через длину стороны и число сторон

S = dfrac{na^2}{4} cdot ctg dfrac{180°}{n}

a – длина стороны многоугольника

n – число сторон многоугольника

Формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности

S = nr^2 tg dfrac{180°}{n}

r – радиус вписанной в многоугольник окружности

n – число сторон многоугольника

Формула площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности

S = dfrac{nR^2}{2} cdot sin dfrac{360°}{n}

R – радиус описанной в многоугольник окружности

n – число сторон многоугольника

Пример задачи на нахождение площади правильного многоугольника

Задача 1

Найдите площадь правильного n-угольника, если n = 6, r = 9 см, где r – радиус вписанной окружности.

Решение

Чтобы решить эту задачу мы используем вторую формулу.

S = nr^2 tg dfrac{180°}{n} = 6 cdot 9^2 cdot tg dfrac{180°}{6} = 6 cdot 81 cdot tg 30° = 486 cdot tg 30° = 486 cdot 0.57735027 approx 280.59223 : см^2

Ответ: 486 cdot tg 30° approx 280.59223 : см^2

Чтобы проверить ответ воспользуемся калькулятором .

Источник

Найдём площадь правильного многоугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей и через его сторону.

Любой правильный многоугольник вписан в окружность и описан около окружности. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают и называются центром правильного многоугольника.

Соединив центр правильного n-угольника

$[{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...{A_{n - 1}}{A_n}]$

со всеми его вершинами, получим n равнобедренных треугольников.

Основание каждого такого треугольника равно стороне многоугольника, боковые стороны равны радиусу описанной около многоугольника окружности угол при вершине — центральному углу правильного многоугольника

$[{A_1}{A_2} = a,]$

$[O{A_1} = O{A_2} = R,]$

$[angle {A_1}O{A_2} = frac{{{{360}^o}}}{n}]$

Так как площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними,

$[{S_{Delta {A_1}O{A_2}}} = frac{1}{2} cdot {A_1}O cdot {A_2}O cdot sin angle {A_1}O{A_2}.]$

Отсюда

$[{S_{Delta {A_1}O{A_2}}} = frac{1}{2} cdot {R^2} cdot sin frac{{{{360}^o}}}{n}.]$

Поскольку многоугольник состоит из n таких треугольников, формула площади правильного многоугольника через радиус описанной окружности:

$[S = frac{1}{2} cdot {R^2} cdot n cdot sin frac{{{{360}^o}}}{n}.]$

Проведём в треугольнике A1OA2 высоту OF. Её длина равна радиусу вписанной в правильный n-угольник окружности:

По свойству равнобедренного треугольника OF является также его биссектрисой и медианой:

$[angle {A_1}OF = frac{1}{2}angle {A_1}O{A_2} = frac{1}{2} cdot frac{{{{360}^o}}}{n} = frac{{{{180}^o}}}{n},]$

$[{A_1}F = frac{1}{2}{A_1}{A_2}.]$

Из прямоугольного треугольника A1OF по определению тангенса

$[tgangle {A_1}OF = frac{{{A_1}F}}{{OF}},]$

откуда

$[{A_1}F = OF cdot tgangle {A_1}OF = r cdot tgfrac{{{{180}^o}}}{n}.]$

Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне,

$[{S_{Delta {A_1}O{A_2}}} = frac{1}{2} cdot {A_1}{A_2} cdot OF = {A_1}Fcdot OF,]$

$[{S_{Delta {A_1}O{A_2}}} = r cdot tgfrac{{{{180}^o}}}{n} cdot r = {r^2} cdot tgfrac{{{{180}^o}}}{n}.]$

Площадь

$[{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...{A_{n - 1}}{A_n}]$

равна сумме n таких площадей.

Таким образом, формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:

$[S = {r^2} cdot n cdot tgfrac{{{{180}^o}}}{n}.]$

Из треугольника A1OF

$[OF = frac{{{A_1}F}}{{tgangle {A_1}OF}} = frac{{frac{1}{2}{A_1}{A_2}}}{{tgangle {A_1}OF}} = frac{a}{{2tgfrac{{{{180}^o}}}{n}}}.]$

Следовательно,

$[{S_{Delta {A_1}O{A_2}}} = {A_1}F cdot OF = frac{1}{2}a cdot frac{a}{{2tgfrac{{{{180}^o}}}{n}}} = frac{{{a^2}}}{{4tgfrac{{{{180}^o}}}{n}}}.]$

Поскольку многоугольник состоит из n равных треугольников, формула площади правильного многоугольника через его сторону:

$[S = frac{{{a^2} cdot n}}{{4tgfrac{{{{180}^o}}}{n}}}.]$

Источник

Площадь правильного многоугольника

Онлайн калькулятор – площадь правильного многоугольника

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Правильный многоугольник так же называют правильным n-угольником, где n – это количество сторон в многоугольнике (пятиугольник, шестиугольник и т.д.).

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Такая окружность называется вписанной окружностью.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

Формула площади правильного многоугольника

Правильный многоугольник так же называют правильным n-угольником , где n – это количество сторон в многоугольнике (пятиугольник, шестиугольник и т.д.).

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Площадь правильного многоугольника

Соединив центр правильного n-угольника

со всеми его вершинами, получим n равнобедренных треугольников.

Так как площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними,

Проведём в треугольнике A1OA2 высоту OF. Её длина равна радиусу вписанной в правильный n-угольник окружности:

По свойству равнобедренного треугольника OF является также его биссектрисой и медианой:

Из прямоугольного треугольника A1OF по определению тангенса

Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне,

равна сумме n таких площадей.

Таким образом, формула площади правильного многоугольника через радиус вписанной окружности:

Из треугольника A1OF

[spoiler title=”источники:”]

http://calcsbox.com/post/formula-plosadi-pravilnogo-mnogougolnika.html

Площадь правильного многоугольника

[/spoiler]

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Длина окружности и площадь круга
Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Пусть – площадь правильного -угольника, – его сторона, – периметр, а и – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.

Докажем, что .

Доказательство:

Соединим центр О данного многоугольника с вершинами А₁, А₂, …, А_n.

Многоугольник разобьется на равных треугольников, т.е. А₁ОА₂ = А₂ОА₃ = … = А₁ОА_n по трем сторонам (ОА₁ = ОА₂ = … = ОА_n, как радиусы описанной окружности и А₁А₂ = А₂А₃ = … = А_nА₁ = , как стороны правильного многоугольника). Равные треугольники имеют равные площади, поэтому площадь каждого из полученных треугольников будет равна . Следовательно, (свойство площадей многоугольников). Что и требовалось доказать.

Выведем формулы:

В прямоугольном А₁Н₁О:

где – угол правильного многоугольника А₁А₂А₃…А_n.

Н₁ – середина А₁А₂ (смотри следствие из теоремы об окружности, вписанной в правильный многоугольник), следовательно, , при этом , откуда (смотри формулы приведения), следовательно, .