Как по рисунку найти ускорение тела

Как по рисунку найти ускорение тела

Содержание материала

  1. Как найти ускорение по графику формула?
  2. Видео
  3. Равноускоренное движение в направлении оси, скорость увеличивается
  4. Равноускоренное движение против оси
  5. Как составить уравнение скорости по графику?
  6. График отрицательной скорости для отрицательного ускорения
  7. Графики равноускоренного движения

Как найти ускорение по графику формула?

График ускорения — графическое представление уравнения ускорения тела а = а(t). График а(t) служит для описания движение тела. На этом графике представлено равноУскоренное движение. Как будут выглядеть графики, придуманные вами, можно увидеть здесь.

Видео

Равноускоренное движение в направлении оси, скорость увеличивается

Следующий набор графиков – это случай, когда тело движется вдоль оси Ox с возрастающей скоростью (рис. 4). То есть, мы рассматриваем равноускоренное движение.

Рис.4. Тело движется равноускорено – рис. а) по на

Рис.4. Тело движется равноускорено – рис. а) по направлению оси Ox. Изменение координаты от времени x(t) описывается правой ветвью параболы – рис. б), график v(t) скорости изображен наклонной возрастающей прямой – рис. в), а график неизменного ускорения a(t) – рис. г) изображается горизонтальной прямой, лежащей выше оси времени

Координата «x» теперь изменяется не по линейному, а по квадратичному закону. На графике квадратичное изменение выглядит, как ветвь параболы (рис. 4б). Тело движется по оси и скорость его растет. Такое движение описывается правой ветвью параболы, направленной вверх.

Уравнение, которое описывает квадратичное изменение координаты, выглядит так:

[ x = frac{a}{2}cdot t^{2} + v_{0} cdot t + x_{0} ]

Скорость, так же, растет (рис. 4в). Рост скорости описан наклонной прямой линией – то есть, линейной зависимостью:

[ v  = v_{0} + a cdot t ]

Ускорение есть (рис. 4г) и оно не меняется:

[ a = const ]

Скорость и ускорение сонаправлены с осью Ox, поэтому их проекции на ось положительны, а их графики лежат выше оси времени.

Примечания:

1). Координата «x» будет изменяться:

  • по линейному закону, когда скорость не меняется — остается одной и той же.
  • по квадратичному закону, когда скорость будет изменяться (расти, или убывать).

2). Линейный закон – это уравнение первой степени, на графике – наклонная прямая линия.

3). Квадратичный закон – это уравнение второй степени, на графике — парабола.

4). Когда скорость увеличивается, для графика координаты x(t) выбираем правую ветвь параболы, а когда скорость уменьшается – то левую ветвь.

Равноускоренное движение против оси

Если тело будет увеличивать свою скорость, двигаясь в направлении, противоположном оси (рис. 5а), то ветвь параболы, описывающая изменение координаты тела, будет направлена вниз (рис. 5б).

Скорость направлена против оси и увеличивается в отрицательную область. Такое изменение скорости изображаем прямой, направленной вниз (рис. 5в).

Рис.5. Тело движется равноускорено противоположно

Рис.5. Тело движется равноускорено противоположно оси Ox – рис. а). Координата меняется параболически – рис. б), ветвь правая, так как скорость растет. Скорость — рис. в), и ускорение — рис. г), направлены против оси Ox, их графики лежат ниже оси времени

Примечание: Чтобы скорость увеличивалась (по модулю), нужно, чтобы векторы скорости и ускорения были сонаправленными (ссылка).

Так как скорость увеличивается, то векторы скорости и ускорения сонаправлены. Но при этом, они направлены против оси, поэтому проекции векторов (vec{v}) и (vec{a}) на ось Ox будут отрицательными. Значит, графики скорости и ускорения будут лежать ниже горизонтальной оси времени.

Ускорение (рис. 5г) не изменяется, поэтому изображается горизонтальной прямой. Но эта прямая будет лежать ниже горизонтальной оси времени, так как ускорение имеет отрицательную проекцию на ось Ox.

Как составить уравнение скорости по графику?

График скорости График скорости — графическое представление уравнения скорости тела v = v(t). График v(t) служит для описания движение тела. На этом графике представлено равноУскоренное движение.

График отрицательной скорости для отрицательного ускорения

Когда объект удаляется от точки назначения по отрицательной оси, смещение объекта принимается как отрицательное по отрицательной оси Y. Если положение объекта отклоняется от направления его движения, то считается, что смещение объекта происходит в отрицательном направлении.

Отрицательная скорость В/с График времени

Отрицательная скорость В/с График времени

Выше приведен график зависимости скорости от времени для отрицательного ускорения. Видно, что скорость со временем уменьшается, наклон графика оказывается отрицательным, а значит, и ускорение отрицательное.

Графики равноускоренного движения

Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени. При равномерном д

Зависимость скорости от времени. При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости . В координатах . Графиком является наклонная линия.

Пусть начальная координата тела , скорость движе

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела — это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t): Уск

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела — это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном д

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости . В координатах зависимость имеет вид . Графиком является ветка параболы.

График движения при . График движения при График движения при . График движения при

График движения при . График движения при

График движения при . График движения при График движения при . График движения при

График движения при Теги. График движения при Теги

Теги

Источник
  • Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением (a=const).
  • Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a.
  • Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с2).
  • Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v0 — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

Проекция ускорения на ось ОХ

vx — проекция скорости тела в данный момент времени, v0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

  • Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
  • Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают (а↑↑v).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу (а↑↓v).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (ax=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

  • Если график лежит выше оси времени, движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
  • Если график лежит ниже оси времени, движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t1 = 1 и t2 = 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t1 = 1с ускорение a = 2 м/с2. В момент времени t2 = 3 ускорение a = 0 м/с2.

Задание EF18774

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

  1. Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
  2. Определить величины, которые характеризуют такое движение.
  3. Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
  4. Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

  • перемещение и путь;
  • скорость;
  • ускорение.

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

Ответ: 24

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17992

Начальная скорость автомобиля, движущегося прямолинейно и равноускоренно, равна 5 м/с. После прохождения расстояния 40 м его скорость оказалась равной 15 м/c. Чему равно ускорение автомобиля?

Алгоритм решения

  1. Записать исходные данные.
  2. Записать формулу, связывающую известные из условия задачи величины.
  3. Выразить из формулы искомую величину.
  4. Вычислить искомую величину, подставив в формулу исходные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

  • Начальная скорость v0 = 5 м/с.
  • Конечная скорость v = 15 м/с.
  • Пройденный путь s = 40 м.

Формула, которая связывает ускорение тела с пройденным путем:

Так как скорость растет, ускорение положительное, поэтому перед ним в формуле поставим знак «+».

Выразим из формулы ускорение:

Подставим известные данные и вычислим ускорение автомобиля:

Ответ: 2,5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18202

Внимательно прочитайте текст задания и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени.

Какой из указанных ниже графиков  совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела ax в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

  1. Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
  2. Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
  3. Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

  • t1 = 6 с. Этой точке соответствует скорость v1 = 0 м/с.
  • t2 = 10 с. Этой точке соответствует скорость v2 = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18027

На графике приведена зависимость проекции скорости тела от времени при прямолинейном движении по оси х. Определите модуль ускорения тела.

Алгоритм решения

  1. Записать формулу ускорения.
  2. Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
  3. Выбрать любые 2 точки графика.
  4. Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
  5. Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий вид:

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

  • t1 = 1 с. Этой точке соответствует скорость v1 = 15 м/с.
  • t2 = 2 с. Этой точке соответствует скорость v2 = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 13.7k

Источник

1. Определение прямолинейного равноускоренного движения

Поставим опыт
Изучим, как скатывается шарик с наклонной плоскости. На рисунке 5.1 показаны последовательные положения шарика через равные промежутки времени.

Пример равноускоренного движения

Видно, что шарик движется неравномерно: пути, проходимые им за последовательные равные промежутки времени, увеличиваются. Следовательно, скорость шарика увеличивается.

Движение шарика, скатывающегося с наклонной плоскости, является примером прямолинейного равноускоренного движения. Такое движение вы уже изучали в курсе физики основной школы. Напомним его определение.

Прямолинейным равноускоренным движением называют прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

Прямолинейно равноускоренно может двигаться, например, автомобиль во время разгона (рис. 5.2, а). Однако непривычным может показаться то, что при торможении (рис. 5.2, б) автомобиль тоже может двигаться прямолинейно равноускоренно! Ведь в определении прямолинейного равноускоренного движения речь идет не об увеличении скорости, а только об ее изменении.

Движение с ускорением и торможением

Дело в том, что понятие ускорения в физике шире, чем в разговорном языке. В обыденной речи под ускорением понимают обычно только увеличение скорости. Мы же будем говорить, что тело движется с ускорением всегда, когда скорость тела изменяется со временем любым образом (увеличивается или уменьшается по модулю, изменяется по направлению и т. п.).

Может возникнуть вопрос: почему мы уделяем внимание именно прямолинейному равноускоренному движению? Забегая немного вперед, выдадим «секрет»: именно с таким движением мы будем очень часто иметь дело при изучении механики.

Напомним (об этом уже говорилось в курсе физики основной школы), что под действием постоянной силы тело движется прямолинейно равноускоренно. (Если начальная скорость тела равна нулю или направлена вдоль линии действия силы.) А во многих задачах по механике рассматривается именно такая ситуация. Ниже мы рассмотрим подробно ее различные варианты.

2. Ускорение

В определении прямолинейного равноускоренного движения речь идет об изменении скорости. Как определяют изменение скорости?

Обозначим 0 скорость тела в начальный момент времени, а – скорость тела через промежуток времени t. Тогда изменение скорости за этот промежуток времени

Эту формулу можно переписать также в виде

На рисунке 5.3 показано, как найти вектор изменения скорости Δ в случае прямолинейного неравномерного движения.

Вектор изменения скорости

? 1. Какому из рисунков 5.3 (а или б) соответствует увеличение скорости, а какому – уменьшение?

Введем теперь понятие ускорения.

Ускорением называют отношение изменения скорости Δ к промежутку времени Δt, за который произошло это изменение:

(Здесь в общем случае надо говорить о мгновенном ускорении, которое определяется с помощью достаточно малых промежутков времени – подобно тому, как мы определяли выше мгновенную скорость. При прямолинейном равноускоренном движении мгновенное ускорение постоянно.)

Как следует из этого определения, ускорение – векторная величина. Она характеризует скорость изменения скорости. Единицей ускорения в СИ является 1 м/с2 (читают: «метр в секунду за секунду» или «метр делить на секунду в квадрате»). Если тело движется с таким по модулю ускорением в одном направлении, то его скорость каждую секунду увеличивается (или уменьшается!) на 1 м/с.

Когда тело падает, оно движется с ускорением, равным примерно 10 м/с2 (если можно пренебречь сопротивлением воздуха).

Рассмотрим теперь, при каком условии скорость тела увеличивается, а при каком – уменьшается. Из определения (3) следует, что

На рисунке 5.4 мы заменили (по сравнению с рисунком 5.3) Δ на равное ему выражение Δt.

Мы видим теперь, что скорость тела увеличивается, если ускорение направлено так же, как начальная скорость (рис. 5.4, а). Если же ускорение направлено противоположно скорости (рис. 5.4, б), то скорость тела уменьшается.

? 2. На каком из рисунков 5.2 (а или б) ускорение автомобиля направлено влево?

Выберем начальный момент времени t0 = 0, тогда Δt = t – t0 = t – 0 = t. Поскольку Δ = – 0, из формулы (4) получаем

Направим ось x вдоль траектории движения тела. Тогда

vx = v0x + axt.      (6)

Здесь vx – проекция скорости в момент времени t, v0x – проекция начальной скорости, ax – проекция ускорения.

В формуле (6) проекция начальной скорости v0x и проекция ускорения ax могут быть положительными и отрицательными. В зависимости от соотношения знаков v0x и ax модуль скорости тела будет увеличиваться или уменьшаться со временем.

Рассмотрим примеры.

? 3. Четыре автомобиля движутся вдоль оси x. В течение некоторого времени зависимость vx(t) выражается для них (в единицах СИ) формулами:
1) vx = 8 + 2t; 2) vx = 20 – 4t; 3) vx = –10 + t; 4) vx = –15 – 3t.
а) Чему равны проекции начальной скорости и ускорения каждого автомобиля?
б) Какие автомобили разгоняются, а какие – тормозят?
в) Скорость какого автомобиля наибольшая по модулю в момент времени t = 2 с? наименьшая?

Выполнив это задание, вы заметите, что скорость тела увеличивается по модулю, если проекция начальной скорости и проекция ускорения имеют одинаковые знаки (обе положительные или обе отрицательные).

Если же проекции начальной скорости и ускорения имеют разные знаки, то скорость тела сначала уменьшается по модулю. В некоторый момент скорость тела станет равной нулю, после чего (если ускорение останется прежним) направление скорости изменится на противоположное и модуль скорости тела начнет увеличиваться. Далее мы рассмотрим это на примере тела, брошенного вертикально вверх.

3. График зависимости скорости от времени

Из формулы (6) следует, что при прямолинейном равноускоренном движении проекция скорости vx линейно зависит от времени t. Поэтому график зависимости vx(t) – отрезок прямой.

На рисунке 5.5 изображены графики зависимости проекции скорости от времени для синего и красного автомобилей, движущихся вдоль оси x.
а) Какой из автомобилей тормозит? Чему равен модуль его ускорения?
б) У какого автомобиля модуль ускорения меньше? Чему он равен?
в) Запишите зависимость vx(t) для каждого автомобиля.
г) Используя эту запись, найдите момент времени, когда скорости автомобилей станут равными. Проверьте полученный ответ по приведенным графикам.

? 5. На рисунке 5.6 изображены графики зависимости проекции скорости от времени для тел, движущихся вдоль оси x.

а) Какие графики описывают движение тела, скорость которого все время увеличивается по модулю?
б) На каких графиках v0x и ax имеют разные знаки?
в) Какие графики описывают случаи, когда направление скорости тела изменяется на противоположное?
г) Начертите для всех изображенных случаев графики зависимости модуля скорости от времени.

? 6. Зависимость проекции скорости от времени для первого тела выражается в единицах СИ формулой v12 = 6 – Зt, а для второго – формулой v2x = 2 + t.
а) Изобразите графики vx(t) для каждого тела.
б) В какой момент скорости тел равны (по модулю и по направлению)?
в) В какие моменты скорости тел равны по модулю?

Дополнительные вопросы и задания

7. От платформы отправляется поезд на восток. В это же время у соседней платформы тормозит поезд, идущий на запад. Сделайте схематический рисунок, на котором покажите направления скорости и ускорения каждого поезда.

8. Как направлено ускорение лифта, когда он:
а) начинает двигаться с первого этажа?
б) тормозит на верхнем этаже?
в) тормозит на третьем этаже, двигаясь вниз?
г) начинает движение на третьем этаже, двигаясь вверх?
Движение лифта при разгоне и торможении считайте равноускоренным.

9. Автомобиль трогается с места в направлении на север и набирает скорость 72 км/ч за 40 с. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным.
а) Как направлено ускорение автомобиля?
б) Чему равно ускорение автомобиля по модулю?
в) Начертите график зависимости проекции скорости автомобиля от времени.
г) Какой была скорость автомобиля через 10 с после начала движения?

Источник

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела — это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Как найти ускорение по графику формула?

График ускорения — графическое представление уравнения ускорения тела а = а(t). График а(t) служит для описания движение тела. На этом графике представлено равноУскоренное движение.

Как составить уравнение скорости по графику?

График скорости График скорости — графическое представление уравнения скорости тела v = v(t). График v(t) служит для описания движение тела. На этом графике представлено равноУскоренное движение.

Как найти ускорение тела в физике?

Определить ускорение при равноускоренном прямолинейном движении можно по формуле: a = v 1 − v 0 t = Δ v t , где v 1 , v 0 — скорости в начале и в конце рассматриваемого периода времени длительностью .

Как определяется ускорение?

Ускорение – это физическая величина, равная отношению изменения скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло (рис. 3). где – текущая или конечная скорость; – начальная скорость; – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.

Как найти модуль ускорения тела?

Модуль полного ускорения равен: a=√(v2R)2+(dvdt)2(16). Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате: [a]=мс2.

Как записать уравнение проекции скорости?

Зависимость проекции скорости движущегося тела от времени имеет вид: vx = 2 + 3t (м/с).

Как написать уравнение зависимости V T?

Уравнение зависимости скорости от времени при движении с ускорением имеет вид:

  1. v(t) = vo + at = 20 + 1.5t. Производная функции зависимости координаты от времени равна функции зависимости скорости от времени:
  2. x’ (t) = v (t). …
  3. x(t) = 0.75t2 + 20t.

Как составить уравнение движения?

Уравнение перемещения — зависимость перемещения тела от времени s = s(t).

Какая физическая величина не меняется при равномерном движении?

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Источник

3.2.1. Как правильно понимать условия задачи?

Скорость тела увеличилась в n раз: nu=nnu_0.

Скорость уменьшилась в n раз: nu= дробь: числитель: nu_0, знаменатель: n конец дроби

Скорость увеличилась на 2 м/с: nu=nu_0 плюс 2.

Во сколько раз увеличилась скорость? дробь: числитель: nu, знаменатель: nu_0 конец дроби .

Во сколько раз уменьшилась скорость? дробь: числитель: nu_0, знаменатель: nu конец дроби .

Как изменилась скорость? дробь: числитель: nu, знаменатель: nu_0 конец дроби .

На сколько увеличилась скорость? nu минус nu_0.

На сколько уменьшилась скорость? nu_0 минус nu.

Тело достигло наибольшей высоты: nu_y=0.

Тело прошло половину расстояния: дробь: числитель: S, знаменатель: 2 конец дроби .

Тело бросают с земли: y_0=0, nu_0y не равно 0 (последнее условие часто ускользает из вида — если у тела скорость равна нулю, например у ручки, лежащей на столе, оно может полететь само вверх?), начальная скорость направлена вверх.

Тело бросают вниз: y_0 не равно 0, начальная скорость направлена вниз.

Тело бросают вверх: начальная скорость направлена вверх.

В момент падения на землю: y=0.

Тело выпадает из аэростата (воздушного шара): начальная скорость равна скорости аэростата (воздушного шара) и направлена в ту же самую сторону.

3.2.2. Как по графику скорости определить ускорение?

Закон изменения скорости имеет вид:

nu_x=nu_0x плюс a_x t.

Графиком этого уравнения является прямая линия. Так как a_x — коэффициент перед t, то a_x является угловым коэффициентом прямой.

Для графика 1:

a_x_1= дробь: числитель: Deltanu_x_1, знаменатель: Delta t_1 конец дроби .

То, что график 1 «поднимается вверх», означает — проекция ускорения положительна, т. е. вектор veca направлен в положительном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

Для графика 2:

a_x_2= дробь: числитель: Deltanu_x_2, знаменатель: Delta t_2 конец дроби .

То, что график 2 «опускается вниз», означает — проекция ускорения отрицательна, т. е. вектор veca направлен в отрицательном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

Для определения Deltanu_x и Delta t выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.

3.2.3. Как по графику скорости определить пройденный путь и перемещение?

Как сказано в пункте 3.1.6 путь можно как площадь под графиком зависимости скорости от ускорения. Простой случай показан в пункте 3.1.6. Рассмотрим более сложный вариант, когда график скорости пересекает ось времени.

Напомним, что путь может только увеличиваться, поэтому путь, который проехало тело в примере на рисунке 9 равен:

S=S_1 плюс S_2 плюс S_3,

где S_1, S_2 и S_3 — площади фигур, закрашенных на рисунке.

Для определения перемещения нужно заметить, что в точках t_1 и t_2 тело меняет направление движения. Проезжая путь S_1, тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Проезжая путь S_2, тело движется в обратную сторону, в отрицательном направлении оси Ox так как график лежит под осью времени. Проезжая путь S_3, тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Таким образом, перемещение равно:

Delta r=|S_1 минус S_2 плюс S_3|.

Еще раз обратим внимание:

1) пересечение с осью времени означает поворот в обратную сторону;

2) площадь графика, лежащего под осью времени положительна и входит со знаком «+» в определение пройденного пути, но со знаком «−» в определении перемещения.

3.2.4. Как из графика зависимости ускорения от времени определить зависимость скорости от времени и координаты от времени?

Для того, чтобы определить требуемые зависимости необходимы начальные условия — значения скорости и координаты в момент времени t=0. Без начальных условий решить однозначно данную задачу невозможно, поэтому, как правило, в условии задачи они даны.

В данном примере постараемся привести все рассуждения в буквах, для того, чтобы частном примере (при подстановке цифр) не потерять суть действий.

Пусть в момент времени t=0, скорость тела равна нулю nu_0=0, и начальная координата x_0=0.

1) От 0 до t=t_1.

Начальные значения скорости и координаты определяем из начальных условий, а ускорение из графика:

a_x=a_1 больше 0,nu_01=0,x_01=0,

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

nu_x_1=nu_01 плюс a_1 t=a_1 t, x_1=x_01 плюс nu_01 t плюс дробь: числитель: a_1 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a_1 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

К концу данного промежутка времени (t=t_1) скорость (nu_k1) и координата (x_k1) будут равны (вместо времени в формулы nu_x_1=nu_01 плюс a_1 t=a_1 t и x_1=x_01 плюс nu_01 t плюс дробь: числитель: a_1 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a_1 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби нужно подставить t_1):

nu_k1=a_1 t_1, x_k1= дробь: числитель: a_1 t_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

2) От t=t_1 до t=t_2.

Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

a_x=0,nu_02=nu_k1,x_02=x_k1,

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

nu_x_2=nu_02, x_2=x_02 плюс nu_02 t.

К концу данного промежутка времени (t=t_2) скорость (nu_k2) и координата (x_k2) будут равны (вместо времени в формулы nu_x_2=nu_02 и x_2=x_02 плюс nu_02 t нужно подставить t_2):

nu_k2=a_1 t_1,x_k2= дробь: числитель: a_1 t_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс a_1 t_1 t_2.

3) От t=t_2 до t=t_3.

Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

a_x= минус a_2 меньше 0,nu_03=nu_k2,x_03=x_k2,

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

nu_x3=nu_03 минус a_2 t, x_3=x_03 плюс nu_03 t минус дробь: числитель: a_2 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

К концу данного промежутка времени (t=t_3) скорость (nu_k3) и координата (x_k3) будут равны (вместо времени в формулы nu_x3=nu_03 минус a_2 t и x_3=x_03 плюс nu_03 t минус дробь: числитель: a_2 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби нужно подставить t_3):

nu_k3=a_1 t_1 минус a_2 t_3, x_k3= дробь: числитель: a_1 t_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс a_1 t_1 t_2 плюс a_1 t_1 t_3 минус дробь: числитель: a_2 t_3 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Для лучшего понимания построим полученные результаты на графике (см. рис.)

На графике скорости:

1) От 0 до t=t_1: прямая линия, «поднимающаяся вверх» (т. к. a_1 больше 0);

2) От t=t_1 до t=t_2: горизонтальная прямая линия (т. к. a=0);

3) От t=t_2 до t=t_3: прямая линия, «опускающаяся вниз» (т. к. минус a_2 меньше 0).

На графике координаты:

1) От 0 до t=t_1: парабола, ветви которой направлены вверх (т. к. a_1 больше 0);

2) От t=t_1 до t=t_2: прямая линия, поднимающаяся вверх (т. к. a=0);

3) От t=t_2 до t=t_3: парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. минус a_2 меньше 0).

3.2.5. Как из графика закона движения записать аналитическую формулу закона движения?

Пусть дан график равнопеременного движения.

Закон равнопеременного движения имеет вид:

x=x_0 плюс nu_0x t плюс дробь: числитель: a_x t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

В этой формуле три неизвестные величины: x_0, nu_0x и a_x.

Для определения x_0 достаточно посмотреть на значение функции при t=0. Для определения двух других неизвестных выбираем две точки на графике, значения которых мы можем точно определить — вершины клеток. Получим систему:

система выражений x_1=x_0 плюс nu_0x t_1 плюс дробь: числитель: a_x t_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,x_2=x_0 плюс nu_0x t_2 плюс дробь: числитель: a_x t_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .

При этом считаем, что x_0 нам уже известно. Умножим 1-ое уравнение системы на t_2, а 2-ое уравнение на t_1:

система выражений x_1 t_2=x_0 t_2 плюс nu_0x t_1 t_2 плюс дробь: числитель: a_x t_1 в квадрате t_2, знаменатель: 2 конец дроби ,x_2 t_1=x_0 t_1 плюс nu_0x t_2 t_1 плюс дробь: числитель: a_x t_2 в квадрате t_1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .

Вычтем из 1-го уравнения 2-ое, после чего получаем:

a_x= дробь: числитель: 2x_0, знаменатель: t_1 t_2 конец дроби минус дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x_1 t_2 минус x_2 t_1 правая круглая скобка , знаменатель: t_1 t_2 левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка конец дроби .

Полученное из данного выражения значение a_x подставим в любое из уравнений системы (3.67) и решим полученное уравнение относительно nu_0x:

nu_0x= дробь: числитель: левая круглая скобка x_0 минус x_2 правая круглая скобка t_1 в квадрате минус левая круглая скобка x_0 минус x_1 правая круглая скобка t_2 в квадрате , знаменатель: t_1 t_2 левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка конец дроби .

3.2.6. Как по известному закону движения определить закон изменения скорости?

Закон равнопеременного движения имеет вид:

x=x_0 плюс nu_0x t плюс дробь: числитель: a_x t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Это его стандартный вид для данного типа движения и никак иначе он выглядеть не может, поэтому его стоит запомнить.

В данном законе коэффициент перед t — это значение начальной скорости, коэффициент пред t в квадрате — это ускорение, деленное пополам.

Например, пусть дан закон: x=5 минус 6t плюс 3t в квадрате .

Тогда

nu_0x= минус 6м/с; дробь: числитель: a_x, знаменатель: 2 конец дроби =3 Rightarrow a_x=2 умножить на 3=6.

И уравнение скорости имеет вид:

nu_x= минус 6 плюс 6t.

Таким образом, для решения подобных задач, необходимо точно помнить вид закона равнопеременного движения и смысл коэффициентов, входящих в это уравнение.

Однако можно пойти и иным путем. Вспомним формулу:

nu_x=dot x левая круглая скобка t правая круглая скобка ̇=nu_0x плюс a_x t.

В нашем примере:

левая круглая скобка 5 минус dot6t плюс 3t в квадрате правая круглая скобка =dot левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 6dot левая круглая скобка t правая круглая скобка плюс 3dot левая круглая скобка t в квадрате правая круглая скобка = минус 6 плюс 3 умножить на 2t= минус 6 плюс 6t.

3.2.7. Как определить место и время встречи?

Пусть даны законы движения двух тел:

x_1=x_01 плюс nu_x_1 t плюс дробь: числитель: a_x_1 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби иx_2=x_02 плюс nu_x_2 t плюс дробь: числитель: a_x_2t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть x_1=x_2 и необходимо решить уравнение:

x_01 плюс nu_x_1 t плюс дробь: числитель: a_x_1 t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =x_02 плюс nu_x_2 t плюс a_x_2 дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Перепишем его в виде:

дробь: числитель: левая круглая скобка a_x_2 минус a_x_1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате плюс левая круглая скобка nu_x_2 минус nu_x_1 правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка x_02 минус x_01 правая круглая скобка =0.

Это квадратное уравнение, общее решение которого приводить не будем, в силу его громоздкости. Квадратное уравнение либо не имеет решений, что означает — тела не встретились; либо имеет одно решение — одна единственная встреча; либо имеет два решения — две встречи тел.

Полученные решения необходимо проверять на физическую реализуемость. Самое главное условие: t_1 больше 0 и t_2 больше 0, то есть время встречи должно быть положительным.

3.2.8. Как определить путь за -ую секунду?

Пусть тело начинает движение из состояния покоя и за -ую секунду проходит путь S_m. Требуется найти, какой путь проходит тело за n-ую секунду.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой (3.25):

S_1:S_2:S_3:…:S_N=1:3:5:…: левая круглая скобка 2N минус 1 правая круглая скобка .

Обозначим S_1=S_0. Тогда

S_m= левая круглая скобка 2m минус 1 правая круглая скобка S_0, S_n= левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка S_0.

Поделим уравнение S_m= левая круглая скобка 2m минус 1 правая круглая скобка S_0 на S_n= левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка S_0 и получим:

S_n= дробь: числитель: 2n минус 1, знаменатель: 2m минус 1 конец дроби S_m.

3.2.9. Как движется тело, брошенное вверх с высоты h?

Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью nu_0.

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

y=h плюс nu_0 t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

nu_y=nu_0 минус gt.

Время подъема до наивысшей точки полета t_1 определяется из условия nu_y=0:

0=nu_0 минус gt_1 Rightarrow t_1= дробь: числитель: nu_0, знаменатель: g конец дроби .

Для нахождения максимальной высоты H необходимо в y=h плюс nu_0 t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби необходимо подставить t=t_1:

H=h плюс nu_0 t_1 минус дробь: числитель: gt_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =h плюс дробь: числитель: nu_0 в квадрате , знаменатель: 2g конец дроби .

Время всего полета t_2 определяется из условия y=0. Получаем уравнение:

0=h плюс nu_0 t_2 минус дробь: числитель: gt_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате y=0 только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

t_2= дробь: числитель: nu_0 плюс корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента , знаменатель: g конец дроби .

Скорость в момент падения:

минус nu=nu_0 минус gt_2=nu_0 минус g дробь: числитель: nu_0 плюс корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента , знаменатель: g конец дроби = минус корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента , nu= корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента .

3.2.10. Как движется тело, брошенное вниз с высоты h?

Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью nu_0.

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

y=h минус nu_0 t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

nu_y= минус nu_0 минус gt.

Время всего полета t_1 определяется из уравнения:

0=h минус nu_0 t_1 минус дробь: числитель: gt_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате y=0 только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

t_1= дробь: числитель: минус nu_0 плюс корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента , знаменатель: g конец дроби .

Скорость в момент падения:

минус nu= минус nu_0 минус gt_1= минус nu_0 минус g дробь: числитель: минус nu_0 плюс корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента , знаменатель: g конец дроби = минус корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента . nu= корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента .

3.2.11. Как движется тело брошенное вверх с поверхности земли?

Тело брошено вверх с поверхности земли со скоростью nu_0.

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

y=nu_0 t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

nu_y=nu_0 минус gt.

Время подъема до наивысшей точки полета t_1 определяется из условия nu_y=0:

0=nu_0 минус gt_1 Rightarrow t_1= дробь: числитель: nu_0, знаменатель: g конец дроби .

Для нахождения максимальной высоты H необходимо в (3.89) необходимо подставить t=t_1:

H=nu_0 t_1 минус дробь: числитель: gt_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: nu_0 в квадрате , знаменатель: 2g конец дроби .

Время всего полета t_2 определяется из условия y=0. Получаем уравнение:

0=nu_0 t_2 минус дробь: числитель: gt_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби Rightarrow t_2= дробь: числитель: 2nu_0, знаменатель: g конец дроби .

Скорость в момент падения:

минус nu=nu_0 минус gt_2=nu_0.nu= минус nu_0.

Заметьте, что t_2=2t_1, что означает — время подъема равно времени падения на ту же высоту.

Также получили: |nu|=nu_0, то есть — с какой скоростью бросили, с такой же скоростью тело упало. Знак «−» в формуле nu= минус nu_0 указывает, что скорость в момент падения направлена вниз, то есть против оси Oy.

3.2.12. Тело побывало на одной высоте дважды…

При бросании тела оно может дважды оказаться на одной высоте — первый раз при движении вверх, второй — при падении вниз.

1) Когда тело оказывается на высоте h?

Для тела, брошенного вверх с поверхности земли справедлив закон движения:

y=nu_0 t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Когда тело окажется на высоте h его координата будет равна y=h. Получаем уравнение:

h=nu_0 t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,

решение которого имеет вид:

t_1= дробь: числитель: nu_0 минус корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате минус 2gh конец аргумента , знаменатель: g конец дроби , t_2= дробь: числитель: nu_0 плюс корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате минус 2gh конец аргумента , знаменатель: g конец дроби ,

2) Известны времена t_1 и t_2, когда тело оказалось на высоте h. Когда тело окажется на максимальной высоте?

Время полета с высоты h назад до высоты h равно t_2 минус t_1. Как уже было показано, время подъема равно времени падения до той же высоты, поэтому время полета от высоты h до максимальной высоты равно:

t_h= дробь: числитель: t_2 минус t_1, знаменатель: 2 конец дроби .

Тогда время полета от начала движения до максимальной высоты:

t_под=t_1 плюс дробь: числитель: t_2 минус t_1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: t_1 плюс t_2, знаменатель: 2 конец дроби .

3) Известны времена t_1 и t_2, когда тело оказалось на высоте h. Чему равно время полета тела?

Все время полета равно:

t_0=2t_под=t_1 плюс t_2.

4) Известны времена t_1 и t_2, когда тело оказалось на высоте h. Чему равна максимальная высота подъема?

H= дробь: числитель: gt_под в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: g левая круглая скобка t_1 плюс t_2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби .

3.2.13. Как движется тело, брошенное горизонтально с высоты h?

Тело, брошено горизонтально с высоты h со скоростью nu_0.

Проекции начальной скорости на оси:

nu_0x=nu_0;nu_0y=0,

Проекции ускорения:

a_x=0;a_y= минус g .

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

nu_x=nu_0;nu_y= минус gt.

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

nu= корень из: начало аргумента: nu_x в квадрате плюс nu_y в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс левая круглая скобка gt правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .

Координаты тела в произвольный момент времени t:

система выражений x=nu_0 t,y=h минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .

Время полета t_1 определяется из условия y=0:

0=h минус дробь: числитель: gt_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби Rightarrow t_1= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2h, знаменатель: g конец дроби конец аргумента .

Для определения дальности полета необходимо в уравнение для координаты x вместо t подставить t_1:

L=nu_0 t_1= дробь: числитель: 2hnu_0, знаменатель: g конец дроби .

Для определения скорости тела в момент падения необходимо в уравнение t_h= дробь: числитель: t_2 минус t_1, знаменатель: 2 конец дроби вместо t подставить t_1:

nu= корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс левая круглая скобка gt_1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс 2gh конец аргумента .

Угол, под которым падает тело на землю:

тангенс альфа = дробь: числитель: |nu_y|, знаменатель: |nu_x| конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2gh конец аргумента , знаменатель: nu_0 конец дроби .

3.2.14. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту с высоты h?

Тело, брошено под углом α к горизонту с высоты h со скоростью nu_0.

Проекции начальной скорости на оси:

nu_0x=nu_0 косинус альфа ;nu_0y=nu_0 синус ⁡ альфа ,

Проекции ускорения:

a_x=0;a_y= минус g.

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

nu_x=nu_0 косинус ⁡ альфа ;nu_y=nu_0 синус альфа минус gt.

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

nu= корень из: начало аргумента: nu_x в квадрате плюс nu_y в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка nu_0 косинус ⁡ альфа правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка nu_0 синус ⁡ альфа минус gt правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .

Координаты тела в произвольный момент времени t:

система выражений x=nu_0 косинус ⁡ альфа t,y=h плюс nu_0 синус альфа t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .

Время полета до наивысшей точки t_1 определяется из условия nu_y=0:

0=nu_0 синус ⁡ альфа минус gt_1 Rightarrow t_1= дробь: числитель: nu_0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби .

Скорость в наивысшей точке полета nu_2:

nu_2=nu_0 косинус ⁡ альфа .

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени t_1:

H=h плюс nu_0 синус ⁡ альфа t_1 минус дробь: числитель: gt_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =h плюс дробь: числитель: nu_0 в квадрате левая круглая скобка синус ⁡ альфа правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2g конец дроби .

Все время полета t_2 находится из условия y=0, получаем уравнение:

0=h плюс nu_0 синус ⁡ альфа t_2 минус дробь: числитель: gt_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате y=0 только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

t_2= дробь: числитель: nu_0 синус ⁡ альфа плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка nu_0 синус ⁡ альфа правая круглая скобка в квадрате плюс 2gh конец аргумента , знаменатель: g конец дроби .

Если подставим в закон изменения координаты x время t_2, то получим дальность полета L:

L=nu_0 косинус альфа t_2.

Скорость в момент падения t_2:

nu_2= корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс левая круглая скобка gt_2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

тангенс фи = дробь: числитель: |nu_y|, знаменатель: |nu_x| конец дроби = дробь: числитель: nu_0 синус ⁡ альфа минус gt, знаменатель: nu_0 косинус альфа конец дроби .

Угол падения:

тангенс бета = дробь: числитель: |nu_y|, знаменатель: |nu_x| конец дроби = дробь: числитель: nu_0 синус ⁡ альфа минус gt_2, знаменатель: nu_0 косинус альфа nu_0 конец дроби .

3.2.15. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту земли?

Тело, брошено под углом α к горизонту с поверхности земли со скоростью nu_0.

Проекции начальной скорости на оси:

nu_0x=nu_0 косинус альфа ;nu_0y=nu_0 синус альфа ,

Проекции ускорения:

a_x=0; a_y= минус g.

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

nu_x=nu_0 косинус ⁡ альфа ; nu_y=nu_0 синус альфа минус gt.

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

nu= корень из: начало аргумента: nu_x в квадрате плюс nu_y в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка nu_0 косинус альфа правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка nu_0 синус ⁡ альфа минус gt правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .

Координаты тела в произвольный момент времени t:

система выражений x=nu_0 косинус ⁡ альфа t,y=nu_0 синус альфа ⁡ t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .

Время полета до наивысшей точки t_1 определяется из условия nu_y=0:

0=nu_0 синус ⁡ альфа минус gt_1 Rightarrow t_1= дробь: числитель: nu_0 синус ⁡ альфа , знаменатель: g конец дроби .

Скорость в наивысшей точке полета nu_2:

nu_2=nu_0 косинус ⁡ альфа .

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени t_1:

H= дробь: числитель: nu_0 в квадрате левая круглая скобка синус ⁡ альфа правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2g конец дроби .

Все время полета t_2 находится из условия y=0, получаем уравнение:

0=nu_0 синус ⁡ альфа t_2 минус дробь: числитель: gt_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Получаем

t_2= дробь: числитель: 2nu_0 синус ⁡ альфа , знаменатель: g конец дроби .

Снова получили, что t_2=2t_1, то есть еще раз показали, что время подъема равно времени падения.

Если подставим в закон изменения координаты x время t_2, то получим дальность полета L:

L= дробь: числитель: 2nu_0 в квадрате косинус ⁡ альфа синус ⁡ альфа , знаменатель: g конец дроби = дробь: числитель: nu_0 в квадрате синус ⁡2 альфа , знаменатель: g конец дроби .

Скорость в момент падения t_2:

nu_3= корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс левая круглая скобка gt_2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =nu_0.

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

тангенс фи = дробь: числитель: |nu_y|, знаменатель: |nu_x| конец дроби = дробь: числитель: nu_0 синус ⁡ альфа минус gt, знаменатель: nu_0 косинус ⁡ альфа конец дроби .

Угол падения:

тангенс бета = дробь: числитель: |nu_y|, знаменатель: |nu_x| конец дроби = дробь: числитель: nu_0 синус ⁡ альфа минус gt_2, знаменатель: nu_0 косинус ⁡ альфа nu_0 конец дроби = минус тангенс альфа .

то есть альфа = бета .

3.2.16. Что такое настильная и навесная траектории?

Решим следующую задачу: под каким углом нужно бросить тело с поверхности земли, чтобы тело упало на расстоянии L от точки броска?

Дальность полета определяется формулой:

L= дробь: числитель: nu_0 в квадрате синус ⁡ 2 альфа , знаменатель: g конец дроби .

Отсюда

синус ⁡2 альфа = дробь: числитель: gL, знаменатель: nu_0 в квадрате конец дроби .

Из физических соображений ясно, что угол α не может быть больше 90°, поэтому, из серии решений уравнения синус ⁡2 альфа = дробь: числитель: gL, знаменатель: nu_0 в квадрате конец дроби подходят два корня:

альфа _1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: gL, знаменатель: nu_0 в квадрате конец дроби правая круглая скобка , альфа _2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: gL, знаменатель: nu_0 в квадрате конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Траектория движения, для которой альфа = альфа _1 меньше 45 градусов называется настильной траекторией. Траектория движения, для которой альфа = альфа _2 больше 45 градусов называется навесной траекторией.

3.2.17. Как пользоваться треугольником скоростей?

Как было сказано в 3.6.1 треугольник скоростей в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

Тело бросили с вершины башни со скорость nu_0 так, что дальность полета максимальна. К моменту падения на землю скорость тела равна nu. Сколько длился полет?

Построим треугольник скоростей (см. рис.). Проведем в ней высоту, которая, очевидно, равна nu_0 косинус ⁡α. Тогда площадь треугольника скоростей равна:

S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на nu_0 косинус ⁡ альфа умножить на gt= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби g левая круглая скобка nu_0 косинус ⁡ альфа t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби gL.

Здесь мы воспользовались формулой (3.121).

Найдем площадь этого же треугольника по другой формуле:

S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби nu_0 nu синус ⁡ бета .

Так как это площади одного и того же треугольника, то приравняем формулы S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на nu_0 косинус ⁡ альфа умножить на gt= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби g левая круглая скобка nu_0 косинус ⁡ альфа t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби gL и S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби nu_0 nu синус ⁡ бета :

дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби gL= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби nu_0 nu синус бета .

Откуда получаем

L= дробь: числитель: nu_0 nu синус ⁡ бета , знаменатель: g конец дроби .

Как видно из формул для конечной скорости, полученных в предыдущих пунктах, конечная скорость не зависит от угла, под которым бросили тело, а зависит только значения начальной скорости и начальной высоты. Поэтому дальность полета по формуле L= дробь: числитель: nu_0 nu синус ⁡ бета , знаменатель: g конец дроби зависит только от угла между начальной и конечной скоростью β. Тогда дальность полета L будет максимальной, если синус ⁡ бета примет максимально возможное значение, то есть

синус бета =1 Rightarrow бета =90 градусов= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Таким образом, если дальность полета максимальна, то треугольник скоростей будет прямоугольным, следовательно, выполняется теорема Пифагора:

левая круглая скобка gt правая круглая скобка в квадрате =nu_0 в квадрате плюс nu в квадрате .

Откуда получаем

t= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: nu_0 в квадрате плюс nu в квадрате конец аргумента , знаменатель: g конец дроби .

Свойством треугольника скоростей, который только что был доказан, можно пользоваться при решении других задач: треугольник скоростей является прямоугольным в задаче на максимальную дальность полета.

3.2.18. Как пользоваться треугольником перемещений?

Как было сказано в 3.6.2, треугольник перемещений в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

Тело бросают под углом β к поверхности горы, имеющей угол наклона α. С какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно упало ровно на расстоянии L от точки бросания?

Построим треугольник перемещений — это треугольник ABC (см. рис. 19). Проведем в нем высоту BD. Очевидно, что угол DBC равен α.

Выразим сторону BD из треугольника BCD:

BD= дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби косинус ⁡ альфа .

Выразим сторону BD из треугольника ABD:

BD=nu_0 t синус ⁡ бета .

Приравняем BD= дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби косинус ⁡ альфа и BD=nu_0 t синус ⁡ бета :

дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби косинус ⁡ альфа = nu_0 t синус бета .

Откуда находим время полета:

t= дробь: числитель: 2nu_0 синус ⁡ бета , знаменатель: g косинус ⁡ альфа конец дроби .

Выразим AD из треугольника ABD:

AD=nu_0 t косинус ⁡ бета .

Выразим сторону DC из треугольника BCD:

DC= дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби синус ⁡ альфа .

Но AD плюс DC=L. Получаем

nu_0 t косинус ⁡ бета плюс дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби синус ⁡ альфа =L.

Подставим в это уравнение, полученное выражение для времени полета t= дробь: числитель: 2nu_0 синус ⁡ бета , знаменатель: g косинус ⁡ альфа конец дроби :

nu_0 дробь: числитель: 2nu_0 синус ⁡ бета , знаменатель: g косинус ⁡ альфа конец дроби косинус бета плюс дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа левая круглая скобка дробь: числитель: 2nu_0 синус ⁡ бета , знаменатель: g косинус ⁡ альфа конец дроби правая круглая скобка =L.

Окончательно получаем

nu_0= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: gL, знаменатель: синус ⁡2 бета плюс тангенс альфа левая круглая скобка синус ⁡ бета правая круглая скобка в квадрате конец дроби конец аргумента .

3.2.19. Как решать задачи с помощью закона движения? (по горизонтали)

Как правило, в школе при решении задач на равнопеременное движение применяются формулы

nu=nu_0 плюс at;nu=nu_0 минус at;S=nu_0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ;S=nu_0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ;S= дробь: числитель: nu в квадрате минус nu_0 в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби ;S= дробь: числитель: nu_0 в квадрате минус nu в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби ;S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка nu_0 плюс nu правая круглая скобка t.

Однако такой подход к решению трудно применить к решению многих задач. Рассмотрим конкретный пример.

Опоздавший пассажир подошёл к последнему вагону поезда в тот момент, когда поезд тронулся, начав движение с постоянным ускорением а = 0,3 м/с в квадрате . Единственная открытая дверь в одном из вагонов оказалась от пассажира на расстоянии L = 60м. Какую наименьшую постоянную скорость он должен развить, чтобы успеть сесть в поезд?

Введем ось Ox, направленную вдоль движения человека и поезда. За нулевое положение примем начальное положение человека («2»). Тогда начальная координата открытой двери («1») L:

x_01=L,x_02=0.

Дверь («1»), как и весь поезд, имеют начальную скорость равную нулю. Человек («2») начинает движение со скоростью nu_0:

nu_01=0;nu_02=nu_0.

Дверь («1»), как и весь поезд, движется с ускорением a. Человек («2») движется с постоянной скоростью:

a_1=a;a_2=0.

Закон движения и двери и человека имеет вид:

x=x_0 плюс nu_0x t плюс дробь: числитель: a_x t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Подставим условия x_01=L,x_02=0;nu_01=0;nu_02=nu_0 и a_1=a;a_2=0 в уравнение для каждого из движущихся тел:

x_1=L плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби . x_2=nu_0 t.

Мы составили уравнение движения для каждого из тел. Теперь воспользуемся уже известным алгоритмом для нахождения места и времени встречи двух тел — нам нужно приравнять x_1=L плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби и x_2=nu_0 t:

L плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =nu_0 t.

Откуда получаем квадратное уравнение для определения времени встречи:

t в квадрате минус дробь: числитель: 2nu_0, знаменатель: a конец дроби t плюс дробь: числитель: 2L, знаменатель: a конец дроби =0.

Это квадратное уравнение. Оба его решения имеют физический смысл — наименьший корень, это первая встреча человека и двери (человек с места может побежать быстро, а поезд не сразу наберет большую скорость, так что человек может обогнать дверь), второй корень — вторая встреча (когда уже поезд разогнался и догнал человека). Но наличие обоих корней означает — человек может бежать и медленнее. Скорость будет минимальна, когда уравнение t в квадрате минус дробь: числитель: 2nu_0, знаменатель: a конец дроби t плюс дробь: числитель: 2L, знаменатель: a конец дроби =0 будет иметь один единственный корень, то есть

левая круглая скобка дробь: числитель: 2nu_0, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 2L, знаменатель: a конец дроби =0.

Откуда находим минимальную скорость:

nu_0= корень из: начало аргумента: 2aL конец аргумента .

В таких задачах важно разобрать в условиях задачи: чему равны начальная координата, начальная скорость и ускорение. После этого составляем уравнение движения и думаем как дальше решать задачу. 

3.2.20. Как решать задачи с помощью закона движения? (по вертикали)

Рассмотрим пример.

Свободно падающее тело прошло последние 10 м за 0,5 с. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для свободного падения тела справедлив закон движения:

y=y_0 плюс nu_0y t минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

В нашем случае:

начальная координата: y_0=H;

начальная скорость: nu_0y=0.

Подставим условия в закон движения:

y=H минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Подставляя в уравнение движения y=H минус дробь: числитель: gt в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби нужные значения времени, будем получать координаты тела в эти моменты.

В момент падения t_0 координата тела y=0:

0=H минус дробь: числитель: gt_0 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

За Delta t=0,5 с до момента падения, то есть при t=t_0 минус Delta t, координата тела y=h:

h=H минус дробь: числитель: g левая круглая скобка t_0 минус Delta t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Уравнения 0=H минус дробь: числитель: gt_0 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби и h=H минус дробь: числитель: g левая круглая скобка t_0 минус Delta t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби составляют систему уравнений, в которой неизвестны H и t_0. Решая эту систему, получим:

t_0= дробь: числитель: h, знаменатель: gDelta t конец дроби плюс дробь: числитель: Delta t, знаменатель: 2 конец дроби . H= дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: h, знаменатель: gDelta t конец дроби плюс дробь: числитель: Delta t, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате .

Итак, зная вид закона движения (3.30), и используя условия задачи для нахождения y_0 и nu_0y, получаем закон движения для данной конкретной задачи. После чего, подставляя нужные значения времени, получаем соответствующие значения координаты. И решаем задачу!

Источник

Добавить комментарий