Как по таблице стьюдента найти значение

Как по таблице стьюдента найти значение

В этом руководстве объясняется, как читать и интерпретировать таблицу t-Distribution .

Что такое таблица t-распределения?

Таблица t-распределения — это таблица, которая показывает критические значения t-распределения. Чтобы использовать таблицу t-распределения, вам нужно знать только три значения:

  • Степени свободы t-критерия
  • Количество хвостов t-теста (односторонний или двусторонний)
  • Альфа-уровень t-теста (обычно выбирают 0,01, 0,05 и 0,10).

Вот пример таблицы t-Distribution со степенями свободы, указанными в левой части таблицы, и альфа-уровнями, указанными в верхней части таблицы:

Таблица t-распределения в статистике

Когда вы проводите t-тест, вы можете сравнить статистику теста из t-теста с критическим значением из таблицы t-распределения. Если статистика теста больше критического значения, найденного в таблице, то вы можете отклонить нулевую гипотезу t-критерия и сделать вывод, что результаты теста статистически значимы.

Давайте рассмотрим несколько примеров использования таблицы t-Distribution.

Примеры использования таблицы t-распределения

В следующих примерах показано, как использовать таблицу t-Distribution в нескольких различных сценариях.

Пример № 1: Односторонний t-критерий для среднего

Исследователь набирает 20 субъектов для исследования и проводит односторонний t-критерий для среднего значения, используя альфа-уровень 0,05.

Вопрос: после того, как она проведет свой односторонний t-критерий и получит тестовую статистику t , с каким критическим значением она должна сравнить t ?

Ответ: Для t-критерия с одной выборкой степени свободы равны n-1 , что в данном случае 20-1 = 19. Задача также сообщает нам, что она проводит односторонний тест и использует альфа-уровень 0,05, поэтому соответствующее критическое значение в таблице t-распределения равно 1,729 .

Пример № 2: Двусторонний t-критерий для среднего

Исследователь набирает 18 субъектов для исследования и проводит двусторонний t-критерий для среднего значения, используя альфа-уровень 0,10.

Вопрос: После того, как она проведет свой двусторонний t-критерий и получит тестовую статистику t , с каким критическим значением она должна сравнить t ?

Ответ: Для t-критерия с одной выборкой степени свободы равны n-1 , что в данном случае 18-1 = 17. Задача также сообщает нам, что она проводит двусторонний тест и использует альфа-уровень 0,10, поэтому соответствующее критическое значение в таблице t-распределения равно 1,74 .

Пример №3: Определение критического значения

Исследователь проводит двусторонний t-критерий для среднего значения, используя размер выборки 14 и альфа-уровень 0,05.

Вопрос: Каким должно быть абсолютное значение ее тестовой статистики t , чтобы она отвергла нулевую гипотезу?

Ответ: Для t-критерия с одной выборкой степени свободы равны n-1 , что в данном случае 14-1 = 13. Задача также сообщает нам, что она проводит двусторонний тест и использует альфа-уровень 0,05, поэтому соответствующее критическое значение в таблице t-распределения равно 2,16.Это означает, что она может отклонить нулевую гипотезу, если тестовая статистика t меньше -2,16 или больше 2,16.

Пример №4: Сравнение критического значения с тестовой статистикой

Исследователь проводит правосторонний t-критерий для среднего значения, используя размер выборки 19 и альфа-уровень 0,10.

Вопрос: Тестовая статистика t оказывается равной 1,48. Может ли она отвергнуть нулевую гипотезу?

Ответ: Для t-критерия с одной выборкой степени свободы равны n-1 , что в данном случае 19-1 = 18. Задача также сообщает нам, что она проводит правосторонний тест (который является односторонним тестом) и что она использует альфа-уровень 0,10, поэтому соответствующее критическое значение в таблице t-распределения равно 1,33.Поскольку ее тестовая статистика t больше 1,33, она может отклонить нулевую гипотезу.

Должны ли вы использовать таблицу t или таблицу z?

Одной из проблем, с которой часто сталкиваются учащиеся, является определение того, следует ли им использовать таблицу t-распределения или таблицу z для нахождения критических значений для конкретной задачи. Если вы застряли на этом решении, вы можете использовать следующую блок-схему, чтобы определить, какую таблицу вам следует использовать:

Таблица Z против таблицы t

Дополнительные ресурсы

Полный список таблиц критических значений, включая таблицу биномиального распределения, таблицу распределения хи-квадрат, z-таблицу и другие, см. на этой странице .

Источник

t-критерий Стьюдента – общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента.

Таблица значений критерия Стьюдента в теории вероятностей и математической статистике используется довольно часто. На сайте можно посмотреть примеры ее использования в следующих задачах:

  • Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

  • Проверка гипотезы о равенстве средних

Ниже размещена таблица критический точек t-критерия Стьюдента для односторонней и двусторонней критической области.

Число степеней свободы 
k 		Уровень значимости α (двусторонняя критическая область) 
0,1 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001
1 6,31 12,70 31,82 63,70 318,30 637,00
2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,60
3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,90
4 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61
5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86
6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96
7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40
8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04
9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,78
10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59
11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,44
12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32
13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22
14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14
15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07
16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01
17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,95
18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92
19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88
20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85
21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82
22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,79
23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,59 3,77
24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,74
25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72
26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,71
27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69
28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66
29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66
30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65
40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55
60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46
120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37
∞ 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29
Число степеней свободы 
k 		0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример решения задачи

Задача

Имеется
три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.

Построить
доверительный интервал для среднего.

Указание:
воспользоваться таблицами Стьюдента

Решение

Вычислим
среднее и
исправленную дисперсию:

Найдем

доверительный интервал для оценки неизвестного среднего.
Он считается по формуле:

По таблице распределения Стьюдента:

 

Искомый доверительный интервал для среднего:

Источник

Finance and the credit Institute of economy and management

© St. Amelja Stanitsin e-mail: nowboard@rambler.ru

Таблица распределения Стьюдента

Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого объема из бесконечно большой генеральной совокупности. Но уже при (n) < 100 получается Несоответствие между

табличными данными и вероятностью предела; при (n) < 30 погрешность становится значительной. Несоответствие вызывается главным образом характером распределения единиц генеральной совокупности. При большом объеме выборки особенность распределения в гене-

ральной совокупности не имеет значения, так как распределение отклонений выборочного показателя от генеральной характеристики при большой выборке всегда оказывается нормаль-

ным. В выборках небольшого объема (n) < 30 характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор должен проводиться из со-

вокупности, имеющей нормальное распределение. Теория малых выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (писавшим под псевдонимом Стьюдент) в начале XX в. В

1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить (t) и доверительную вероятность F(t). При (n) > 100, таблицы распределения Стьюдента дают те же результаты, что и таблицы интеграла вероятностей Лапласа, при 30 < (n) <

100 различия незначительны. Поэтому практически к малым выборкам относят выборки объемом менее 30 единиц (безусловно, большой считается выборка с объемом более 100 единиц).

Использование малых выборок в ряде случаев обусловлено характером обследуемой совокупности. Так, в селекционной работе «чистого» опыта легче добиться на небольшом числе

делянок. Производственный и экономический эксперимент, связанный с экономическими затратами, также проводится на небольшом числе испытаний. Как уже отмечалось, в случае малой выборки только для нормально распределенной генеральной совокупности могут быть рассчитаны и доверительные вероятности, и доверительные пределы генеральной средней.

Плотность вероятностей распределения Стьюдента описывается функцией.

−

n

2

1 + t2

f (t ,n) := Bn

n − 1

Где:

t – текущая переменная; n – объем выборки;

B – величина, зависящая лишь от (n).

Распределение Стьюдента имеет только один параметр: (d.f.) -число степеней свободы (иногда обозначается (к)). Это распределение – как и нормальное, симметрично относительно точки (t) = 0, но оно более пологое. При увеличении объема выборки, а, следовательно, и числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Число степеней свободы равно числу тех индивидуальных значений признаков, которыми нужно рас-

полагать для определения искомой характеристики. Так, для расчета дисперсии должна быть известна средняя величина. Поэтому при расчете дисперсии применяют (d.f.) = n – 1.

Таблицы распределения Стьюдента публикуются в двух вариантах:

1.аналогично таблицам интеграла вероятностей приводятся значения (t) и соответствую-

щие вероятности F(t) при разном числе степеней свободы;

2.значения (t) приводятся для наиболее употребляемых доверительных вероятностей

0,70; 0,75; 0,80; 0,85; 0,90; 0,95 и 0,99 или для 1 – 0,70 = 0,3; 1 – 0,80 = 0,2; …… 1 – 0,99 = 0,01.

3.при разном числе степеней свободы. Такого рода таблица приведена в приложении

(Таблица 1 – 20), а также значение (t)- критерий Стьюдента при уровне значимости от 0,7

– 0,99.

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 1

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

1

63,6567412

12,7062047

6,3137515

4,1652998

3,0776835

2,4142136

1,9626105

2

9,9248432

4,3026527

2,9199856

2,2819306

1,8856181

1,6035675

1,3862066

3

5,8409093

3,1824463

2,3533634

1,9243197

1,6377444

1,4226253

1,2497781

4

4,6040949

2,7764451

2,1318468

1,7781922

1,5332063

1,3443976

1,1895669

5

4,0321430

2,5705818

2,0150484

1,6993626

1,4758840

1,3009490

1,1557673

6

3,7074280

2,4469119

1,9431803

1,6501732

1,4397557

1,2733493

1,1341569

7

3,4994833

2,3646243

1,8945786

1,6165917

1,4149239

1,2542787

1,1191591

8

3,3553873

2,3060041

1,8595480

1,5922214

1,3968153

1,2403183

1,1081454

9

3,2498355

2,2621572

1,8331129

1,5737358

1,3830287

1,2296592

1,0997162

10

3,1692727

2,2281389

1,8124611

1,5592359

1,3721836

1,2212554

1,0930581

11

3,1058065

2,2009852

1,7958848

1,5475598

1,3634303

1,2144602

1,0876664

12

3,0545396

2,1788128

1,7822876

1,5379565

1,3562173

1,2088525

1,0832114

13

3,0122758

2,1603687

1,7709334

1,5299196

1,3501713

1,2041462

1,0794687

14

2,9768427

2,1447867

1,7613101

1,5230951

1,3450304

1,2001403

1,0762802

15

2,9467129

2,1314495

1,7530504

1,5172280

1,3406056

1,1966893

1,0735314

16

2,9207816

2,1199053

1,7458837

1,5121302

1,3367572

1,1936854

1,0711372

17

2,8982305

2,1098156

1,7396067

1,5076598

1,3333794

1,1910471

1,0690331

18

2,8784405

2,1009220

1,7340636

1,5037077

1,3303909

1,1887115

1,0671695

19

2,8609346

2,0930241

1,7291328

1,5001888

1,3277282

1,1866293

1,0655074

20

2,8453397

2,0859634

1,7247182

1,4970355

1,3253407

1,1847614

1,0640158

21

2,8313596

2,0796138

1,7207429

1,4941938

1,3231879

1,1830764

1,0626697

22

2,8187561

2,0738731

1,7171444

1,4916196

1,3212367

1,1815487

1,0614488

23

2,8073357

2,0686576

1,7138715

1,4892769

1,3194602

1,1801572

1,0603365

24

2,7969395

2,0638986

1,7108821

1,4871358

1,3178359

1,1788845

1,0593189

25

2,7874358

2,0595386

1,7081408

1,4851713

1,3163451

1,1777160

1,0583844

26

2,7787145

2,0555294

1,7056179

1,4833625

1,3149719

1,1766394

1,0575232

27

2,7706830

2,0518305

1,7032884

1,4816916

1,3137029

1,1756443

1,0567270

28

2,7632625

2,0484071

1,7011309

1,4801434

1,3125268

1,1747218

1,0559887

29

2,7563859

2,0452296

1,6991270

1,4787048

1,3114336

1,1738642

1,0553022

30

2,7499957

2,0422725

1,6972609

1,4773647

1,3104150

1,1730649

1,0546623

31

2,7440419

2,0395134

1,6955188

1,4761131

1,3094635

1,1723181

1,0540644

32

2,7384815

2,0369333

1,6938887

1,4749418

1,3085728

1,1716189

1,0535045

33

2,7332766

2,0345153

1,6923603

1,4738431

1,3077371

1,1709628

1,0529790

34

2,7283944

2,0322445

1,6909243

1,4728105

1,3069516

1,1703459

1,0524849

35

2,7238056

2,0301079

1,6895725

1,4718382

1,3062118

1,1697649

1,0520194

36

2,7194846

2,0280940

1,6882977

1,4709212

1,3055139

1,1692167

1,0515802

37

2,7154087

2,0261925

1,6870936

1,4700547

1,3048544

1,1686986

1,0511651

38

2,7115576

2,0243942

1,6859545

1,4692348

1,3042302

1,1682082

1,0507721

39

2,7079132

2,0226909

1,6848751

1,4684578

1,3036386

1,1677433

1,0503995

40

2,7044593

2,0210754

1,6838510

1,4677204

1,3030771

1,1673020

1,0500458

41

2,7011813

2,0195410

1,6828780

1,4670197

1,3025434

1,1668826

1,0497095

42

2,6980662

2,0180817

1,6819524

1,4663529

1,3020355

1,1664834

1,0493895

43

2,6951021

2,0166922

1,6810707

1,4657177

1,3015516

1,1661030

1,0490846

44

2,6922783

2,0153676

1,6802300

1,4651119

1,3010901

1,1657402

1,0487936

45

2,6895850

2,0141034

1,6794274

1,4645335

1,3006493

1,1653936

1,0485158

46

2,6870135

2,0128956

1,6786604

1,4639807

1,3002280

1,1650624

1,0482501

47

2,6845556

2,0117405

1,6779267

1,4634518

1,2998249

1,1647454

1,0479959

48

2,6822040

2,0106348

1,6772242

1,4629453

1,2994389

1,1644418

1,0477524

49

2,6799520

2,0095752

1,6765509

1,4624598

1,2990688

1,1641507

1,0475190

50

2,6777933

2,0085591

1,6759050

1,4619940

1,2987137

1,1638714

1,0472949

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 2

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

51

2,6757222

2,0075838

1,6752850

1,4615468

1,2983727

1,1636032

1,0470798

52

2,6737336

2,0066468

1,6746892

1,4611170

1,2980450

1,1633454

1,0468730

53

2,6718226

2,0057460

1,6741162

1,4607037

1,2977298

1,1630975

1,0466741

54

2,6699848

2,0048793

1,6735649

1,4603059

1,2974265

1,1628588

1,0464826

55

2,6682160

2,0040448

1,6730340

1,4599228

1,2971343

1,1626289

1,0462982

56

2,6665124

2,0032407

1,6725223

1,4595535

1,2968527

1,1624073

1,0461204

57

2,6648705

2,0024655

1,6720289

1,4591974

1,2965810

1,1621936

1,0459489

58

2,6632870

2,0017175

1,6715528

1,4588538

1,2963189

1,1619873

1,0457833

59

2,6617588

2,0009954

1,6710930

1,4585219

1,2960657

1,1617881

1,0456234

60

2,6602830

2,0002978

1,6706489

1,4582013

1,2958211

1,1615955

1,0454689

61

2,6588571

1,9996236

1,6702195

1,4578913

1,2955846

1,1614094

1,0453196

62

2,6574786

1,9989715

1,6698042

1,4575914

1,2953558

1,1612293

1,0451750

63

2,6561450

1,9983405

1,6694022

1,4573011

1,2951343

1,1610550

1,0450351

64

2,6548543

1,9977297

1,6690130

1,4570201

1,2949198

1,1608861

1,0448996

65

2,6536045

1,9971379

1,6686360

1,4567478

1,2947120

1,1607226

1,0447683

66

2,6523935

1,9965644

1,6682705

1,4564838

1,2945106

1,1605640

1,0446410

67

2,6512197

1,9960084

1,6679161

1,4562278

1,2943152

1,1604102

1,0445176

68

2,6500813

1,9954689

1,6675723

1,4559795

1,2941256

1,1602609

1,0443978

69

2,6489768

1,9949454

1,6672385

1,4557384

1,2939416

1,1601161

1,0442815

70

2,6479046

1,9944371

1,6669145

1,4555042

1,2937629

1,1599754

1,0441685

71

2,6468634

1,9939434

1,6665997

1,4552768

1,2935893

1,1598387

1,0440588

72

2,6458519

1,9934636

1,6662937

1,4550557

1,2934205

1,1597058

1,0439521

73

2,6448688

1,9929971

1,6659962

1,4548408

1,2932564

1,1595766

1,0438484

74

2,6439129

1,9925435

1,6657069

1,4546317

1,2930968

1,1594509

1,0437475

75

2,6429831

1,9921022

1,6654254

1,4544282

1,2929415

1,1593286

1,0436493

76

2,6420783

1,9916726

1,6651514

1,4542302

1,2927903

1,1592095

1,0435537

77

2,6411976

1,9912544

1,6648845

1,4540374

1,2926430

1,1590936

1,0434606

78

2,6403400

1,9908471

1,6646246

1,4538495

1,2924996

1,1589806

1,0433699

79

2,6395046

1,9904502

1,6643714

1,4536665

1,2923598

1,1588705

1,0432815

80

2,6386906

1,9900634

1,6641246

1,4534881

1,2922236

1,1587632

1,0431953

81

2,6378971

1,9896863

1,6638839

1,4533141

1,2920907

1,1586586

1,0431113

82

2,6371234

1,9893186

1,6636492

1,4531444

1,2919611

1,1585565

1,0430294

83

2,6363688

1,9889598

1,6634202

1,4529788

1,2918347

1,1584569

1,0429494

84

2,6356325

1,9886097

1,6631967

1,4528173

1,2917113

1,1583597

1,0428713

85

2,6349139

1,9882679

1,6629785

1,4526595

1,2915908

1,1582648

1,0427951

86

2,6342123

1,9879342

1,6627654

1,4525055

1,2914732

1,1581722

1,0427207

87

2,6335272

1,9876083

1,6625573

1,4523550

1,2913582

1,1580816

1,0426480

88

2,6328580

1,9872899

1,6623540

1,4522080

1,2912459

1,1579932

1,0425770

89

2,6322042

1,9869787

1,6621553

1,4520643

1,2911362

1,1579067

1,0425075

90

2,6315652

1,9866745

1,6619611

1,4519238

1,2910289

1,1578222

1,0424397

91

2,6309405

1,9863772

1,6617712

1,4517865

1,2909240

1,1577396

1,0423733

92

2,6303296

1,9860863

1,6615854

1,4516521

1,2908214

1,1576587

1,0423083

93

2,6297321

1,9858018

1,6614037

1,4515207

1,2907210

1,1575796

1,0422448

94

2,6291476

1,9855234

1,6612259

1,4513921

1,2906227

1,1575022

1,0421827

95

2,6285757

1,9852510

1,6610518

1,4512662

1,2905265

1,1574265

1,0421218

96

2,6280158

1,9849843

1,6608814

1,4511430

1,2904324

1,1573523

1,0420622

97

2,6274678

1,9847232

1,6607146

1,4510223

1,2903402

1,1572796

1,0420039

98

2,6269311

1,9844675

1,6605512

1,4509041

1,2902499

1,1572085

1,0419467

99

2,6264055

1,9842170

1,6603912

1,4507883

1,2901614

1,1571388

1,0418908

100

2,6258905

1,9839715

1,6602343

1,4506749

1,2900748

1,1570705

1,0418359

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 3

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

101

2,6253860

1,9837310

1,6600806

1,4505637

1,2899898

1,1570036

1,0417821

102

2,6248915

1,9834953

1,6599300

1,4504547

1,2899065

1,1569380

1,0417294

103

2,6244068

1,9832641

1,6597823

1,4503478

1,2898249

1,1568736

1,0416777

104

2,6239315

1,9830375

1,6596374

1,4502430

1,2897448

1,1568105

1,0416271

105

2,6234655

1,9828153

1,6594954

1,4501403

1,2896663

1,1567487

1,0415774

106

2,6230084

1,9825973

1,6593560

1,4500394

1,2895892

1,1566879

1,0415286

107

2,6225600

1,9823834

1,6592193

1,4499405

1,2895136

1,1566284

1,0414807

108

2,6221201

1,9821735

1,6590851

1,4498434

1,2894395

1,1565699

1,0414338

109

2,6216883

1,9819675

1,6589535

1,4497482

1,2893666

1,1565125

1,0413877

110

2,6212645

1,9817653

1,6588242

1,4496546

1,2892952

1,1564562

1,0413424

111

2,6208485

1,9815668

1,6586973

1,4495628

1,2892250

1,1564009

1,0412980

112

2,6204401

1,9813718

1,6585726

1,4494726

1,2891561

1,1563466

1,0412544

113

2,6200390

1,9811804

1,6584502

1,4493840

1,2890884

1,1562932

1,0412115

114

2,6196450

1,9809923

1,6583300

1,4492970

1,2890219

1,1562408

1,0411694

115

2,6192580

1,9808075

1,6582118

1,4492115

1,2889565

1,1561893

1,0411280

116

2,6188777

1,9806260

1,6580957

1,4491275

1,2888923

1,1561387

1,0410874

117

2,6185041

1,9804476

1,6579817

1,4490449

1,2888292

1,1560890

1,0410474

118

2,6181369

1,9802722

1,6578695

1,4489637

1,2887672

1,1560401

1,0410081

119

2,6177760

1,9800999

1,6577593

1,4488840

1,2887062

1,1559921

1,0409695

120

2,6174211

1,9799304

1,6576509

1,4488055

1,2886462

1,1559448

1,0409316

121

2,6170723

1,9797638

1,6575443

1,4487284

1,2885873

1,1558983

1,0408942

122

2,6167292

1,9795999

1,6574395

1,4486525

1,2885293

1,1558526

1,0408575

123

2,6163918

1,9794387

1,6573364

1,4485779

1,2884722

1,1558077

1,0408214

124

2,6160599

1,9792801

1,6572350

1,4485045

1,2884161

1,1557634

1,0407859

125

2,6157334

1,9791241

1,6571352

1,4484322

1,2883609

1,1557199

1,0407509

126

2,6154121

1,9789706

1,6570370

1,4483611

1,2883066

1,1556771

1,0407165

127

2,6150960

1,9788195

1,6569403

1,4482912

1,2882531

1,1556350

1,0406826

128

2,6147849

1,9786708

1,6568452

1,4482223

1,2882005

1,1555935

1,0406493

129

2,6144787

1,9785245

1,6567516

1,4481546

1,2881487

1,1555526

1,0406165

130

2,6141772

1,9783804

1,6566594

1,4480878

1,2880977

1,1555124

1,0405842

131

2,6138805

1,9782385

1,6565686

1,4480221

1,2880474

1,1554728

1,0405524

132

2,6135882

1,9780988

1,6564793

1,4479574

1,2879980

1,1554339

1,0405210

133

2,6133005

1,9779613

1,6563912

1,4478937

1,2879492

1,1553955

1,0404902

134

2,6130171

1,9778258

1,6563045

1,4478309

1,2879013

1,1553576

1,0404598

135

2,6127379

1,9776923

1,6562191

1,4477691

1,2878540

1,1553204

1,0404298

136

2,6124629

1,9775608

1,6561350

1,4477082

1,2878074

1,1552837

1,0404003

137

2,6121920

1,9774312

1,6560521

1,4476481

1,2877615

1,1552475

1,0403713

138

2,6119250

1,9773035

1,6559704

1,4475890

1,2877163

1,1552118

1,0403426

139

2,6116620

1,9771777

1,6558899

1,4475307

1,2876717

1,1551767

1,0403144

140

2,6114027

1,9770537

1,6558105

1,4474732

1,2876278

1,1551421

1,0402866

141

2,6111472

1,9769315

1,6557323

1,4474166

1,2875845

1,1551080

1,0402592

142

2,6108953

1,9768110

1,6556552

1,4473608

1,2875418

1,1550743

1,0402321

143

2,6106470

1,9766922

1,6555791

1,4473057

1,2874997

1,1550411

1,0402054

144

2,6104021

1,9765751

1,6555042

1,4472514

1,2874582

1,1550084

1,0401792

145

2,6101607

1,9764596

1,6554303

1,4471979

1,2874173

1,1549761

1,0401532

146

2,6099227

1,9763457

1,6553573

1,4471451

1,2873770

1,1549443

1,0401277

147

2,6096879

1,9762333

1,6552854

1,4470930

1,2873371

1,1549129

1,0401024

148

2,6094563

1,9761225

1,6552145

1,4470417

1,2872979

1,1548820

1,0400776

149

2,6092279

1,9760132

1,6551445

1,4469910

1,2872591

1,1548514

1,0400530

150

2,6090026

1,9759053

1,6550755

1,4469410

1,2872209

1,1548213

1,0400288

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 4

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

151

2,6087802

1,9757989

1,6550074

1,4468917

1,2871832

1,1547916

1,0400049

152

2,6085609

1,9756939

1,6549402

1,4468430

1,2871460

1,1547622

1,0399813

153

2,6083444

1,9755903

1,6548738

1,4467950

1,2871093

1,1547333

1,0399581

154

2,6081308

1,9754881

1,6548084

1,4467476

1,2870730

1,1547047

1,0399351

155

2,6079200

1,9753871

1,6547438

1,4467008

1,2870372

1,1546765

1,0399124

156

2,6077119

1,9752875

1,6546800

1,4466546

1,2870019

1,1546487

1,0398901

157

2,6075065

1,9751892

1,6546170

1,4466090

1,2869671

1,1546212

1,0398680

158

2,6073037

1,9750921

1,6545549

1,4465640

1,2869326

1,1545940

1,0398462

159

2,6071035

1,9749962

1,6544935

1,4465195

1,2868986

1,1545672

1,0398246

160

2,6069058

1,9749016

1,6544329

1,4464757

1,2868651

1,1545408

1,0398034

161

2,6067106

1,9748081

1,6543731

1,4464323

1,2868319

1,1545147

1,0397824

162

2,6065179

1,9747158

1,6543140

1,4463895

1,2867992

1,1544888

1,0397616

163

2,6063275

1,9746246

1,6542556

1,4463472

1,2867669

1,1544634

1,0397411

164

2,6061395

1,9745346

1,6541979

1,4463055

1,2867350

1,1544382

1,0397209

165

2,6059538

1,9744456

1,6541410

1,4462642

1,2867034

1,1544133

1,0397009

166

2,6057703

1,9743578

1,6540847

1,4462235

1,2866722

1,1543887

1,0396812

167

2,6055891

1,9742710

1,6540291

1,4461832

1,2866415

1,1543645

1,0396617

168

2,6054101

1,9741852

1,6539742

1,4461434

1,2866110

1,1543405

1,0396424

169

2,6052332

1,9741004

1,6539199

1,4461041

1,2865810

1,1543168

1,0396233

170

2,6050584

1,9740167

1,6538663

1,4460653

1,2865513

1,1542934

1,0396045

171

2,6048856

1,9739340

1,6538133

1,4460269

1,2865219

1,1542702

1,0395859

172

2,6047149

1,9738522

1,6537609

1,4459890

1,2864929

1,1542474

1,0395675

173

2,6045462

1,9737713

1,6537092

1,4459515

1,2864642

1,1542247

1,0395494

174

2,6043795

1,9736914

1,6536580

1,4459144

1,2864359

1,1542024

1,0395314

175

2,6042146

1,9736125

1,6536074

1,4458778

1,2864079

1,1541803

1,0395136

176

2,6040517

1,9735344

1,6535574

1,4458416

1,2863802

1,1541585

1,0394961

177

2,6038906

1,9734572

1,6535080

1,4458058

1,2863528

1,1541369

1,0394787

178

2,6037314

1,9733809

1,6534591

1,4457703

1,2863257

1,1541155

1,0394616

179

2,6035739

1,9733054

1,6534108

1,4457353

1,2862990

1,1540944

1,0394446

180

2,6034182

1,9732308

1,6533630

1,4457007

1,2862725

1,1540735

1,0394278

181

2,6032643

1,9731570

1,6533158

1,4456665

1,2862463

1,1540529

1,0394112

182

2,6031120

1,9730841

1,6532690

1,4456326

1,2862204

1,1540325

1,0393948

183

2,6029615

1,9730119

1,6532228

1,4455992

1,2861948

1,1540123

1,0393786

184

2,6028126

1,9729405

1,6531771

1,4455660

1,2861695

1,1539923

1,0393626

185

2,6026653

1,9728699

1,6531319

1,4455333

1,2861444

1,1539726

1,0393467

186

2,6025196

1,9728001

1,6530871

1,4455009

1,2861196

1,1539530

1,0393310

187

2,6023755

1,9727310

1,6530429

1,4454688

1,2860951

1,1539337

1,0393154

188

2,6022330

1,9726627

1,6529991

1,4454371

1,2860709

1,1539146

1,0393001

189

2,6020919

1,9725951

1,6529558

1,4454057

1,2860469

1,1538956

1,0392848

190

2,6019524

1,9725282

1,6529129

1,4453747

1,2860231

1,1538769

1,0392698

191

2,6018143

1,9724620

1,6528705

1,4453440

1,2859996

1,1538584

1,0392549

192

2,6016777

1,9723965

1,6528286

1,4453136

1,2859764

1,1538401

1,0392402

193

2,6015425

1,9723317

1,6527871

1,4452835

1,2859534

1,1538219

1,0392256

194

2,6014087

1,9722675

1,6527460

1,4452537

1,2859306

1,1538040

1,0392112

195

2,6012764

1,9722041

1,6527053

1,4452243

1,2859081

1,1537862

1,0391969

196

2,6011453

1,9721412

1,6526651

1,4451951

1,2858858

1,1537686

1,0391827

197

2,6010156

1,9720790

1,6526252

1,4451662

1,2858637

1,1537512

1,0391687

198

2,6008873

1,9720175

1,6525858

1,4451377

1,2858418

1,1537340

1,0391549

199

2,6007602

1,9719565

1,6525467

1,4451094

1,2858202

1,1537169

1,0391412

200

2,6006344

1,9718962

1,6525081

1,4450814

1,2857988

1,1537000

1,0391276

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 5

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

201

2,6005099

1,9718365

1,6524698

1,4450537

1,2857776

1,1536833

1,0391142

202

2,6003866

1,9717774

1,6524320

1,4450262

1,2857566

1,1536668

1,0391009

203

2,6002646

1,9717188

1,6523945

1,4449991

1,2857358

1,1536504

1,0390877

204

2,6001438

1,9716609

1,6523573

1,4449721

1,2857152

1,1536341

1,0390746

205

2,6000241

1,9716035

1,6523206

1,4449455

1,2856949

1,1536181

1,0390617

206

2,5999056

1,9715467

1,6522841

1,4449191

1,2856747

1,1536022

1,0390489

207

2,5997883

1,9714904

1,6522481

1,4448930

1,2856547

1,1535864

1,0390363

208

2,5996721

1,9714347

1,6522124

1,4448671

1,2856349

1,1535708

1,0390237

209

2,5995570

1,9713795

1,6521770

1,4448415

1,2856153

1,1535553

1,0390113

210

2,5994431

1,9713248

1,6521420

1,4448161

1,2855959

1,1535400

1,0389990

211

2,5993302

1,9712706

1,6521073

1,4447910

1,2855767

1,1535249

1,0389868

212

2,5992184

1,9712170

1,6520729

1,4447661

1,2855576

1,1535098

1,0389747

213

2,5991077

1,9711639

1,6520389

1,4447414

1,2855388

1,1534950

1,0389628

214

2,5989980

1,9711113

1,6520052

1,4447170

1,2855201

1,1534802

1,0389509

215

2,5988893

1,9710591

1,6519717

1,4446928

1,2855015

1,1534656

1,0389392

216

2,5987817

1,9710075

1,6519387

1,4446688

1,2854832

1,1534512

1,0389276

217

2,5986750

1,9709563

1,6519059

1,4446450

1,2854650

1,1534368

1,0389160

218

2,5985694

1,9709056

1,6518734

1,4446215

1,2854470

1,1534226

1,0389046

219

2,5984647

1,9708554

1,6518412

1,4445982

1,2854292

1,1534085

1,0388933

220

2,5983609

1,9708056

1,6518093

1,4445751

1,2854115

1,1533946

1,0388821

221

2,5982581

1,9707563

1,6517777

1,4445522

1,2853940

1,1533808

1,0388710

222

2,5981563

1,9707074

1,6517464

1,4445295

1,2853766

1,1533671

1,0388600

223

2,5980554

1,9706590

1,6517153

1,4445070

1,2853594

1,1533535

1,0388491

224

2,5979553

1,9706110

1,6516846

1,4444847

1,2853424

1,1533401

1,0388383

225

2,5978562

1,9705634

1,6516541

1,4444626

1,2853255

1,1533268

1,0388276

226

2,5977580

1,9705162

1,6516239

1,4444407

1,2853087

1,1533135

1,0388169

227

2,5976606

1,9704695

1,6515939

1,4444190

1,2852921

1,1533005

1,0388064

228

2,5975641

1,9704232

1,6515642

1,4443975

1,2852757

1,1532875

1,0387960

229

2,5974684

1,9703773

1,6515348

1,4443762

1,2852594

1,1532746

1,0387856

230

2,5973736

1,9703318

1,6515056

1,4443550

1,2852432

1,1532619

1,0387754

231

2,5972796

1,9702867

1,6514767

1,4443341

1,2852272

1,1532492

1,0387652

232

2,5971864

1,9702419

1,6514481

1,4443133

1,2852113

1,1532367

1,0387552

233

2,5970941

1,9701976

1,6514196

1,4442927

1,2851955

1,1532243

1,0387452

234

2,5970025

1,9701536

1,6513915

1,4442723

1,2851799

1,1532120

1,0387353

235

2,5969117

1,9701101

1,6513635

1,4442521

1,2851644

1,1531997

1,0387255

236

2,5968217

1,9700669

1,6513358

1,4442320

1,2851491

1,1531876

1,0387157

237

2,5967324

1,9700240

1,6513084

1,4442121

1,2851338

1,1531756

1,0387061

238

2,5966439

1,9699815

1,6512812

1,4441924

1,2851187

1,1531637

1,0386965

239

2,5965562

1,9699394

1,6512542

1,4441728

1,2851038

1,1531519

1,0386870

240

2,5964692

1,9698976

1,6512274

1,4441534

1,2850889

1,1531402

1,0386776

241

2,5963829

1,9698562

1,6512008

1,4441341

1,2850742

1,1531286

1,0386683

242

2,5962973

1,9698151

1,6511745

1,4441151

1,2850596

1,1531171

1,0386590

243

2,5962125

1,9697744

1,6511484

1,4440961

1,2850451

1,1531057

1,0386498

244

2,5961283

1,9697340

1,6511225

1,4440774

1,2850308

1,1530943

1,0386407

245

2,5960449

1,9696939

1,6510968

1,4440588

1,2850165

1,1530831

1,0386317

246

2,5959621

1,9696542

1,6510713

1,4440403

1,2850024

1,1530720

1,0386227

247

2,5958800

1,9696148

1,6510461

1,4440220

1,2849884

1,1530609

1,0386139

248

2,5957985

1,9695757

1,6510210

1,4440038

1,2849745

1,1530500

1,0386051

249

2,5957178

1,9695369

1,6509962

1,4439858

1,2849607

1,1530391

1,0385963

250

2,5956376

1,9694984

1,6509715

1,4439679

1,2849471

1,1530283

1,0385876

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 6

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

251

2,5955581

1,9694602

1,6509470

1,4439502

1,2849335

1,1530176

1,0385790

252

2,5954793

1,9694224

1,6509228

1,4439326

1,2849200

1,1530070

1,0385705

253

2,5954011

1,9693848

1,6508987

1,4439152

1,2849067

1,1529965

1,0385620

254

2,5953235

1,9693475

1,6508748

1,4438978

1,2848934

1,1529860

1,0385536

255

2,5952465

1,9693106

1,6508511

1,4438807

1,2848803

1,1529757

1,0385453

256

2,5951701

1,9692739

1,6508276

1,4438636

1,2848673

1,1529654

1,0385370

257

2,5950943

1,9692375

1,6508043

1,4438467

1,2848543

1,1529552

1,0385288

258

2,5950191

1,9692014

1,6507811

1,4438299

1,2848415

1,1529451

1,0385207

259

2,5949445

1,9691656

1,6507581

1,4438133

1,2848288

1,1529350

1,0385126

260

2,5948705

1,9691300

1,6507353

1,4437968

1,2848161

1,1529250

1,0385046

261

2,5947970

1,9690947

1,6507127

1,4437804

1,2848036

1,1529152

1,0384967

262

2,5947241

1,9690597

1,6506903

1,4437641

1,2847911

1,1529053

1,0384888

263

2,5946518

1,9690250

1,6506680

1,4437480

1,2847788

1,1528956

1,0384809

264

2,5945800

1,9689905

1,6506459

1,4437320

1,2847665

1,1528859

1,0384732

265

2,5945088

1,9689563

1,6506240

1,4437161

1,2847544

1,1528763

1,0384655

266

2,5944381

1,9689223

1,6506022

1,4437003

1,2847423

1,1528668

1,0384578

267

2,5943679

1,9688886

1,6505806

1,4436846

1,2847303

1,1528574

1,0384502

268

2,5942983

1,9688552

1,6505592

1,4436691

1,2847184

1,1528480

1,0384427

269

2,5942292

1,9688220

1,6505379

1,4436537

1,2847066

1,1528387

1,0384352

270

2,5941605

1,9687890

1,6505167

1,4436384

1,2846949

1,1528294

1,0384278

271

2,5940925

1,9687563

1,6504958

1,4436232

1,2846833

1,1528203

1,0384204

272

2,5940249

1,9687238

1,6504750

1,4436081

1,2846717

1,1528112

1,0384131

273

2,5939578

1,9686916

1,6504543

1,4435931

1,2846603

1,1528021

1,0384058

274

2,5938912

1,9686596

1,6504338

1,4435782

1,2846489

1,1527932

1,0383986

275

2,5938251

1,9686279

1,6504134

1,4435635

1,2846376

1,1527843

1,0383914

276

2,5937594

1,9685963

1,6503932

1,4435488

1,2846264

1,1527754

1,0383843

277

2,5936943

1,9685650

1,6503732

1,4435343

1,2846153

1,1527666

1,0383773

278

2,5936296

1,9685340

1,6503532

1,4435198

1,2846042

1,1527579

1,0383703

279

2,5935654

1,9685031

1,6503335

1,4435055

1,2845933

1,1527493

1,0383633

280

2,5935016

1,9684725

1,6503138

1,4434913

1,2845824

1,1527407

1,0383564

281

2,5934384

1,9684421

1,6502943

1,4434771

1,2845716

1,1527322

1,0383495

282

2,5933755

1,9684119

1,6502750

1,4434631

1,2845608

1,1527237

1,0383427

283

2,5933131

1,9683819

1,6502557

1,4434492

1,2845502

1,1527153

1,0383360

284

2,5932512

1,9683522

1,6502367

1,4434353

1,2845396

1,1527069

1,0383293

285

2,5931896

1,9683226

1,6502177

1,4434216

1,2845291

1,1526986

1,0383226

286

2,5931286

1,9682933

1,6501989

1,4434080

1,2845186

1,1526904

1,0383160

287

2,5930679

1,9682641

1,6501802

1,4433944

1,2845083

1,1526822

1,0383094

288

2,5930077

1,9682352

1,6501617

1,4433810

1,2844980

1,1526741

1,0383029

289

2,5929479

1,9682064

1,6501432

1,4433676

1,2844878

1,1526661

1,0382964

290

2,5928885

1,9681779

1,6501249

1,4433544

1,2844776

1,1526581

1,0382900

291

2,5928295

1,9681496

1,6501068

1,4433412

1,2844675

1,1526501

1,0382836

292

2,5927709

1,9681214

1,6500887

1,4433281

1,2844575

1,1526422

1,0382772

293

2,5927127

1,9680935

1,6500708

1,4433151

1,2844476

1,1526344

1,0382709

294

2,5926549

1,9680657

1,6500530

1,4433022

1,2844377

1,1526266

1,0382647

295

2,5925976

1,9680381

1,6500353

1,4432894

1,2844279

1,1526188

1,0382584

296

2,5925406

1,9680107

1,6500177

1,4432767

1,2844182

1,1526112

1,0382523

297

2,5924840

1,9679835

1,6500003

1,4432640

1,2844085

1,1526035

1,0382461

298

2,5924277

1,9679565

1,6499830

1,4432515

1,2843989

1,1525960

1,0382400

299

2,5923719

1,9679297

1,6499658

1,4432390

1,2843893

1,1525884

1,0382340

300

2,5923164

1,9679030

1,6499487

1,4432266

1,2843799

1,1525809

1,0382280

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 7

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

301

2,5922613

1,9678765

1,6499317

1,4432143

1,2843705

1,1525735

1,0382220

302

2,5922066

1,9678502

1,6499148

1,4432021

1,2843611

1,1525661

1,0382161

303

2,5921522

1,9678241

1,6498981

1,4431899

1,2843518

1,1525588

1,0382102

304

2,5920982

1,9677981

1,6498814

1,4431778

1,2843426

1,1525515

1,0382043

305

2,5920445

1,9677724

1,6498649

1,4431659

1,2843334

1,1525443

1,0381985

306

2,5919912

1,9677467

1,6498485

1,4431540

1,2843243

1,1525371

1,0381927

307

2,5919383

1,9677213

1,6498321

1,4431421

1,2843152

1,1525300

1,0381870

308

2,5918857

1,9676960

1,6498159

1,4431304

1,2843062

1,1525229

1,0381813

309

2,5918334

1,9676709

1,6497998

1,4431187

1,2842973

1,1525158

1,0381756

310

2,5917815

1,9676459

1,6497838

1,4431071

1,2842884

1,1525088

1,0381700

311

2,5917299

1,9676211

1,6497679

1,4430956

1,2842796

1,1525019

1,0381644

312

2,5916786

1,9675965

1,6497521

1,4430841

1,2842709

1,1524950

1,0381588

313

2,5916277

1,9675720

1,6497364

1,4430727

1,2842621

1,1524881

1,0381533

314

2,5915771

1,9675477

1,6497208

1,4430614

1,2842535

1,1524813

1,0381478

315

2,5915268

1,9675235

1,6497053

1,4430502

1,2842449

1,1524745

1,0381424

316

2,5914769

1,9674995

1,6496899

1,4430390

1,2842364

1,1524677

1,0381370

317

2,5914272

1,9674757

1,6496746

1,4430279

1,2842279

1,1524610

1,0381316

318

2,5913779

1,9674519

1,6496594

1,4430169

1,2842194

1,1524544

1,0381262

319

2,5913289

1,9674284

1,6496443

1,4430060

1,2842111

1,1524478

1,0381209

320

2,5912802

1,9674050

1,6496293

1,4429951

1,2842027

1,1524412

1,0381156

321

2,5912318

1,9673817

1,6496144

1,4429843

1,2841944

1,1524347

1,0381104

322

2,5911837

1,9673586

1,6495996

1,4429735

1,2841862

1,1524282

1,0381052

323

2,5911359

1,9673356

1,6495848

1,4429628

1,2841781

1,1524218

1,0381000

324

2,5910884

1,9673128

1,6495702

1,4429522

1,2841699

1,1524153

1,0380948

325

2,5910411

1,9672901

1,6495556

1,4429417

1,2841619

1,1524090

1,0380897

326

2,5909942

1,9672675

1,6495412

1,4429312

1,2841538

1,1524026

1,0380846

327

2,5909476

1,9672451

1,6495268

1,4429208

1,2841459

1,1523964

1,0380796

328

2,5909012

1,9672228

1,6495125

1,4429104

1,2841379

1,1523901

1,0380745

329

2,5908552

1,9672007

1,6494983

1,4429001

1,2841301

1,1523839

1,0380695

330

2,5908094

1,9671787

1,6494842

1,4428899

1,2841222

1,1523777

1,0380646

331

2,5907639

1,9671568

1,6494701

1,4428797

1,2841144

1,1523716

1,0380596

332

2,5907187

1,9671351

1,6494562

1,4428696

1,2841067

1,1523655

1,0380547

333

2,5906737

1,9671134

1,6494423

1,4428595

1,2840990

1,1523594

1,0380499

334

2,5906290

1,9670920

1,6494286

1,4428496

1,2840914

1,1523534

1,0380450

335

2,5905846

1,9670706

1,6494149

1,4428396

1,2840838

1,1523474

1,0380402

336

2,5905405

1,9670494

1,6494013

1,4428298

1,2840762

1,1523414

1,0380354

337

2,5904966

1,9670283

1,6493877

1,4428200

1,2840687

1,1523355

1,0380306

338

2,5904530

1,9670073

1,6493743

1,4428102

1,2840613

1,1523296

1,0380259

339

2,5904096

1,9669865

1,6493609

1,4428005

1,2840538

1,1523238

1,0380212

340

2,5903665

1,9669657

1,6493476

1,4427909

1,2840465

1,1523180

1,0380165

341

2,5903236

1,9669451

1,6493344

1,4427813

1,2840391

1,1523122

1,0380119

342

2,5902810

1,9669246

1,6493213

1,4427718

1,2840318

1,1523064

1,0380073

343

2,5902387

1,9669043

1,6493082

1,4427623

1,2840246

1,1523007

1,0380027

344

2,5901966

1,9668840

1,6492952

1,4427529

1,2840174

1,1522950

1,0379981

345

2,5901547

1,9668639

1,6492823

1,4427435

1,2840102

1,1522894

1,0379935

346

2,5901131

1,9668439

1,6492695

1,4427342

1,2840031

1,1522838

1,0379890

347

2,5900717

1,9668240

1,6492567

1,4427250

1,2839960

1,1522782

1,0379845

348

2,5900306

1,9668042

1,6492440

1,4427158

1,2839890

1,1522726

1,0379801

349

2,5899897

1,9667846

1,6492314

1,4427066

1,2839820

1,1522671

1,0379756

350

2,5899490

1,9667650

1,6492189

1,4426975

1,2839750

1,1522616

1,0379712

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 8

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

351

2,5899086

1,9667456

1,6492064

1,4426885

1,2839681

1,1522562

1,0379668

352

2,5898684

1,9667262

1,6491940

1,4426795

1,2839612

1,1522507

1,0379625

353

2,5898284

1,9667070

1,6491817

1,4426706

1,2839544

1,1522453

1,0379581

354

2,5897886

1,9666879

1,6491694

1,4426617

1,2839476

1,1522400

1,0379538

355

2,5897491

1,9666689

1,6491572

1,4426528

1,2839408

1,1522346

1,0379495

356

2,5897098

1,9666500

1,6491451

1,4426441

1,2839341

1,1522293

1,0379453

357

2,5896707

1,9666312

1,6491331

1,4426353

1,2839274

1,1522241

1,0379410

358

2,5896319

1,9666125

1,6491211

1,4426266

1,2839208

1,1522188

1,0379368

359

2,5895932

1,9665939

1,6491092

1,4426180

1,2839142

1,1522136

1,0379326

360

2,5895548

1,9665755

1,6490973

1,4426094

1,2839076

1,1522084

1,0379284

361

2,5895166

1,9665571

1,6490855

1,4426009

1,2839011

1,1522032

1,0379243

362

2,5894786

1,9665388

1,6490738

1,4425924

1,2838946

1,1521981

1,0379202

363

2,5894408

1,9665206

1,6490621

1,4425839

1,2838881

1,1521930

1,0379161

364

2,5894032

1,9665026

1,6490505

1,4425755

1,2838817

1,1521879

1,0379120

365

2,5893659

1,9664846

1,6490390

1,4425671

1,2838753

1,1521829

1,0379079

366

2,5893287

1,9664667

1,6490276

1,4425588

1,2838689

1,1521779

1,0379039

367

2,5892917

1,9664489

1,6490162

1,4425506

1,2838626

1,1521729

1,0378999

368

2,5892550

1,9664313

1,6490048

1,4425423

1,2838563

1,1521679

1,0378959

369

2,5892184

1,9664137

1,6489935

1,4425342

1,2838500

1,1521630

1,0378919

370

2,5891820

1,9663962

1,6489823

1,4425260

1,2838438

1,1521581

1,0378880

371

2,5891459

1,9663788

1,6489712

1,4425179

1,2838376

1,1521532

1,0378841

372

2,5891099

1,9663615

1,6489601

1,4425099

1,2838315

1,1521483

1,0378801

373

2,5890741

1,9663443

1,6489490

1,4425019

1,2838253

1,1521435

1,0378763

374

2,5890385

1,9663272

1,6489380

1,4424939

1,2838192

1,1521387

1,0378724

375

2,5890032

1,9663102

1,6489271

1,4424860

1,2838132

1,1521339

1,0378686

376

2,5889679

1,9662932

1,6489163

1,4424782

1,2838072

1,1521292

1,0378647

377

2,5889329

1,9662764

1,6489055

1,4424703

1,2838012

1,1521244

1,0378609

378

2,5888981

1,9662596

1,6488947

1,4424625

1,2837952

1,1521197

1,0378572

379

2,5888635

1,9662430

1,6488840

1,4424548

1,2837893

1,1521151

1,0378534

380

2,5888290

1,9662264

1,6488734

1,4424471

1,2837834

1,1521104

1,0378497

381

2,5887947

1,9662099

1,6488628

1,4424394

1,2837775

1,1521058

1,0378459

382

2,5887606

1,9661935

1,6488523

1,4424318

1,2837717

1,1521012

1,0378422

383

2,5887267

1,9661772

1,6488418

1,4424242

1,2837659

1,1520966

1,0378385

384

2,5886929

1,9661610

1,6488314

1,4424166

1,2837601

1,1520920

1,0378349

385

2,5886594

1,9661448

1,6488211

1,4424091

1,2837543

1,1520875

1,0378312

386

2,5886260

1,9661288

1,6488108

1,4424017

1,2837486

1,1520830

1,0378276

387

2,5885928

1,9661128

1,6488005

1,4423942

1,2837429

1,1520785

1,0378240

388

2,5885597

1,9660969

1,6487903

1,4423868

1,2837373

1,1520740

1,0378204

389

2,5885268

1,9660811

1,6487802

1,4423795

1,2837317

1,1520696

1,0378168

390

2,5884941

1,9660653

1,6487701

1,4423722

1,2837261

1,1520652

1,0378133

391

2,5884616

1,9660497

1,6487600

1,4423649

1,2837205

1,1520608

1,0378098

392

2,5884292

1,9660341

1,6487501

1,4423576

1,2837149

1,1520564

1,0378062

393

2,5883970

1,9660186

1,6487401

1,4423504

1,2837094

1,1520521

1,0378027

394

2,5883650

1,9660032

1,6487302

1,4423433

1,2837039

1,1520477

1,0377993

395

2,5883331

1,9659879

1,6487204

1,4423361

1,2836985

1,1520434

1,0377958

396

2,5883014

1,9659726

1,6487106

1,4423290

1,2836931

1,1520392

1,0377924

397

2,5882698

1,9659574

1,6487009

1,4423220

1,2836876

1,1520349

1,0377889

398

2,5882384

1,9659423

1,6486912

1,4423149

1,2836823

1,1520306

1,0377855

399

2,5882072

1,9659273

1,6486815

1,4423080

1,2836769

1,1520264

1,0377821

400

2,5881761

1,9659123

1,6486719

1,4423010

1,2836716

1,1520222

1,0377787
Источник

Предположим, что надо сравнить между собой результаты выполнения тестов на внимание в двух группах. Чтобы узнать различаются ли группы между собой необходимо вычислить t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

1. Внесем данные по группам в таблицу:

№ Результаты группы №1 (сек.) Результаты группы №2 (сек.)
1 30 46
2 45 49
3 41 52
4 38 55
5 34 56
6 36 40
7 31 47
8 30 51
9 49 58
10 50 46
11 51 46
12 46 56
13 41 53
14 37 57
15 36 44
16 34 42
17 33 40
18 49 58
19 32 54
20 46 53
21 41 51
22 44 57
23 38 56
24 50 44
25 37 42
26 39 49
27 40 50
28 46 55
29 42 43

Шаг 2. Проверить распределения на нормальность.

Шаг 3. Рассчитать среднее арифметическое, стандартное отклонение и количество человек в каждой группе.

Шаг 4. Вычисляем эмпирическое значения по формуле t-критерия Стьюдента для независимых выборок

t_e=frac{|40,2 - 50|}{sqrt{frac{6,4_2}{29} + frac{5,8_2}{29}}}=frac{9,8}{sqrt{1,4 + 1,1}}=6,09

Шаг 5. Вычисляем степени свободы.

df=29+29-2=56

Шаг 6. Определяем по таблице критических значений t-Стьюдента уровень значимости.

Значение 6,09 больше чем значение 3,473 следовательно уровень значимости меньше 0,001

Шаг 7. Если уровень значимости меньше 0,05 делается вывод о наличи различий между группами. Таким образом между двумя группами есть различия в скорости выполнения тестов на внимание.

Источник
Распределение Стьюдента
Student densite best.JPGПлотность вероятности
T distributionCDF.pngФункция распределения
Обозначение {mathrm {t}}(n)
Параметры n>0 — число степеней свободы
Носитель {displaystyle xin (-infty ;+infty )}
Плотность вероятности {displaystyle {frac {Gamma ({frac {n+1}{2}})}{{sqrt {npi }},Gamma ({frac {n}{2}}),(1+{frac {x^{2}}{n}})^{frac {n+1}{2}}}}}
Функция распределения {displaystyle {frac {1}{2}}+{xGamma left({frac {n+1}{2}}right)}times } {displaystyle {frac {,_{2}F_{1}left({frac {1}{2}},{frac {n+1}{2}};{frac {3}{2}};-{frac {x^{2}}{n}}right)}{{sqrt {pi n}},Gamma ({frac {n}{2}})}}} где {displaystyle _{2}F_{1}} — гипергеометрическая функция
Математическое ожидание {displaystyle 0}, если n>1
Медиана {displaystyle 0}
Мода {displaystyle 0}
Дисперсия {frac {n}{n-2}}, если n>2
Коэффициент асимметрии {displaystyle 0}, если n>3
Коэффициент эксцесса {displaystyle {frac {6}{n-4}}}, если n>4
Дифференциальная энтропия

{begin{matrix}{frac {n+1}{2}}left[psi ({frac {1+n}{2}})-psi ({frac {n}{2}})right]\[0.5em]+log {left[{sqrt {n}}B({frac {n}{2}},{frac {1}{2}})right]}end{matrix}}

  • psi =Gamma '/Gamma ,
  • B: бета-функция
Производящая функция моментов не определена

Распределе́ние Стью́дента (t-распределение) в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Уильям Сили Госсет первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Распределение Стьюдента играет важную роль в статистическом анализе и используется, например, в t-критерии Стьюдента для оценки статистической значимости разности двух выборочных средних, при построении доверительного интервала для математического ожидания нормальной совокупности при неизвестной дисперсии, а также в линейном регрессионном анализе. Распределение Стьюдента также появляется в байесовском анализе данных, распределённых по нормальному закону.

График плотности распределения Стьюдента, как и нормального распределения, является симметричным и имеет вид колокола, но с более «тяжёлыми» хвостами, то есть реализациям случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, более свойственно сильно отличаться от математического ожидания. Это делает его важным для понимания статистического поведения определённых типов отношений случайных величин, в которых отклонение в знаменателе увеличено и может производить отдалённые величины, когда знаменатель соотношения близок к нулю.

Распределение Стьюдента — частный случай обобщённого гиперболического распределения.

История и этимология[править | править код]

В статистике t-распределение было впервые получено как апостериорное распределение в 1876 году Фридрихом Гельмертом[1][2][3] и Якобом Люротом[en][4][5][6].

В англоязычной литературе распределение берёт название из статьи Уильяма Госсета в журнале Пирсона «Биометрика», опубликованной под псевдонимом «Стьюдент»[7][8].

Госсет работал в пивоварне Гиннесс в Дублине, Ирландия, и применял свои знания в области статистики как при варке пива, так и на полях — для выведения самого урожайного сорта ячменя. Исследования были обращены к нуждам пивоваренной компании и проводились на малом количестве наблюдений, что послужило толчком для развития методов, работающих на малых выборках.

Госсету пришлось скрывать свою личность при публикации из-за того, что ранее другой исследователь, работавший на Гиннесс, опубликовал в своих материалах сведения, составлявшие коммерческую тайну компании, после чего Гиннесс запретил своим работникам публикацию любых материалов, независимо от содержавшейся в них информации.

Статья Госсета описывает распределение как «Частотное распределение стандартных отклонений выборок, извлечённых из генеральной совокупности». Оно стало известным благодаря работе Роналда Фишера, который называл распределение «распределением Стьюдента», а величину — буквой t[9].

Определение[править | править код]

Пусть Y_{0},Y_{1},ldots ,Y_{n} — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что {displaystyle Y_{i}sim {mathcal {N}}(0,1),;i=0,ldots ,n}. Тогда распределение случайной величины t, где

t={frac {Y_{0}}{{sqrt {{frac {1}{n}}sum limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}^{2}}}}},

называется распределением Стьюдента с n степенями свободы tsim {mathrm {t}}(n).

Это распределение абсолютно непрерывно с плотностью:

{displaystyle f_{t}(y)={frac {Gamma left({frac {n+1}{2}}right)}{{sqrt {npi }},Gamma left({frac {n}{2}}right)}},left(1+{frac {y^{2}}{n}}right)^{-{frac {n+1}{2}}}},

где Gamma  — гамма-функция Эйлера. Таким образом:

{displaystyle {frac {Gamma ({frac {n+1}{2}})}{{sqrt {npi }},Gamma ({frac {n}{2}})}}={frac {(n-1)(n-3)cdots 5cdot 3}{2{sqrt {n}}(n-2)(n-4)cdots 4cdot 2,}},} для чётных n

и соответственно

{displaystyle {frac {Gamma ({frac {n+1}{2}})}{{sqrt {npi }},Gamma ({frac {n}{2}})}}={frac {(n-1)(n-3)cdots 4cdot 2}{pi {sqrt {n}}(n-2)(n-4)cdots 5cdot 3,}},} для нечётных n.

Также плотность распределения Стьюдента можно выразить воспользовавшись бета-функцией Эйлера {displaystyle mathrm {B} }:

{displaystyle f_{t}(y)={frac {1}{{sqrt {n}},mathrm {B} ({frac {1}{2}},{frac {n}{2}})}}left(1+{frac {y^{2}}{n}}right)^{!-{frac {n+1}{2}}}}.

График функции плотности t-распределения симметричен, а его форма напоминает форму колокола, как у стандартного нормального распределения, но он ниже и шире.

Следующие графики отражают плотность t-распределения при увеличении числа n степеней свободы. Можно наблюдать как по мере возрастания n, кривая функции плотности все больше напоминает стандартное нормальное распределение.

Плотность t-распределения (красная линия) для 1, 2, 3, 5, 10 и 30 степеней свободы
в сравнении со стандартным нормальным распределением (синяя линия).
Предыдущие графики показаны зеленым.

1df

1 степень свободы

2df

2 степени свободы

3df

3 степени свободы

5df

5 степеней свободы

10df

10 степеней свободы

30df

30 степеней свободы

Функция распределения[править | править код]

Функция распределения может быть выражена через регуляризованную неполную бета-функцию I.
Для {displaystyle t>0},

{displaystyle F(t)=int _{-infty }^{t}f(u),du=1-{tfrac {1}{2}}I_{x(t)}left({tfrac {n}{2}},{tfrac {1}{2}}right),} где {displaystyle x(t)={frac {n}{t^{2}+n}}.} [10]

Для {displaystyle t<0} значения можно получить в силу симметричности распределения.

Другая формула верна для {displaystyle t^{2}<n}[10]:

{displaystyle int _{-infty }^{t}f(u),du={tfrac {1}{2}}+t{frac {Gamma left({tfrac {1}{2}}(n+1)right)}{{sqrt {pi n}},Gamma left({tfrac {n}{2}}right)}}{}_{2}F_{1}left({tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{2}}(n+1);{tfrac {3}{2}};-{tfrac {t^{2}}{n}}right)},

где 2F1 является частным случаем гипергеометрической функции.

Частные случаи[править | править код]

  • Распределение Стьюдента с одной степенью свободы ({displaystyle n=1}) это стандартное распределение Коши.
Функция распределения: {displaystyle F(t)={tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{pi }}arctan(t)}
Плотность вероятности: {displaystyle f(t)={frac {1}{pi (1+t^{2})}}}
  • Распределение Стьюдента с двумя степенями свободы ({displaystyle n=2}):
Функция распределения: {displaystyle F(t)={tfrac {1}{2}}+{frac {t}{2{sqrt {2+t^{2}}}}}}
Плотность вероятности: {displaystyle f(t)={frac {1}{left(2+t^{2}right)^{frac {3}{2}}}}};
  • Распределение Стьюдента с тремя степенями свободы ({displaystyle n=3}):
Плотность вероятности: {displaystyle f(t)={frac {6{sqrt {3}}}{pi left(3+t^{2}right)^{2}}}}
  • Распределение Стьюдента с бесконечным числом степеней свободы ({displaystyle n=infty }):
Плотность вероятности {displaystyle f(t)={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {t^{2}}{2}}}}

совпадает с плотностью вероятности стандартного нормального распределения.

Свойства распределения Стьюдента[править | править код]

{mathbb {E}}left[t^{k}right]=0, если k нечётно;
{displaystyle mathbb {E} left[t^{k}right]={frac {1}{{sqrt {pi }}Gamma left({frac {n}{2}}right)}}left[Gamma left({frac {k+1}{2}}right)Gamma left({frac {n-k}{2}}right)n^{frac {k}{2}}right]}, если k чётно. В частности,

Характеристики[править | править код]

Распределение Стьюдента с k степенями свободы может быть определено как распределение случайной величины T[10][11]

{displaystyle T={frac {Z}{sqrt {V/k}}}=Z{sqrt {frac {k}{V}}}},

где

Пусть, X_{1},ldots ,X_{n}, независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение {displaystyle {mathcal {N}}(mu ,sigma ^{2})},

{displaystyle {overline {X}}_{n}={frac {1}{n}}(X_{1}+cdots +X_{n})} – выборочное среднее,

{displaystyle S_{n}^{;2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}}_{n}right)^{2}} – несмещённая оценка дисперсии.

Тогда случайная  величина

{displaystyle V=(n-1){frac {S_{n}^{2}}{sigma ^{2}}}}

имеет распределение хи-квадрат с {displaystyle k=n-1} степенями свободы[12].

Случайная величина {displaystyle Z=left({overline {X}}_{n}-mu right){frac {sqrt {n}}{sigma }}} имеет стандартное нормальное распределение, {displaystyle Zsim {mathcal {N}}(0,1)}, так как выборочное среднее {displaystyle {overline {X}}_{n}} имеет нормальное распределение {displaystyle {mathcal {N}}(mu ,{frac {sigma ^{2}}{n}})}. Более того, можно показать, что эти две случайные величины (нормальная Z и хи-квадрат V) независимы.

Подставим получившиеся величины в величину

{displaystyle Tequiv {frac {Z}{sqrt {V/k}}}=left({overline {X}}_{n}-mu right){frac {sqrt {n}}{S_{n}}}},

которая имеет распределение Стьюдента и отличается от Z тем, что стандартное отклонение sigma заменено случайной величиной S_{n}, . Заметим, что неизвестная дисперсия sigma ^{2} не появляется в T, так как она была и в числителе, и в знаменателе. Госсет интуитивно получил плотность вероятности, установленную выше, где k соответствует n-1; Фишер доказал это в 1925 году [9].

Распределение статистики критерия T, зависит от k, но не зависит от μ или σ2, что и делает распределение важным как в теории, так и на практике.

Как возникает t-распределение[править | править код]

Выборочная дисперсия[править | править код]

Распределение Стьюдента возникает в связи с распределением выборочной дисперсии.
Пусть X_{1},ldots ,X_{n} независимые случайные величины, такие что X_{i}sim {mathrm {N}}(mu ,sigma ^{2}),;i=1,ldots ,n. Обозначим {bar {X}} выборочное среднее этой выборки, а S^{2} её выборочную дисперсию. Тогда

{frac {{bar {X}}-mu }{S/{sqrt {n}}}}sim {mathrm {t}}(n-1).

С этим фактом связано использование распределения Стьюдента в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего выборки из нормального распределения.

Байесовская статистика[править | править код]

В байесовской статистике, нецентральное t-распределение встречается как маргинальное распределение коэффициента m нормального распределения {displaystyle {mathcal {N}}(m,sigma ^{2})}.

Зависимость неизвестной дисперсии выражается через:

{displaystyle {begin{aligned}p(mu mid D,I)=&int p(mu ,sigma ^{2}mid D,I);dsigma ^{2}=int p(mu mid D,sigma ^{2},I);p(sigma ^{2}mid D,I);dsigma ^{2}end{aligned}}}

где D – это данные {xi}, а I представляет собой любую другую информацию, которая могла быть использована для создания модели.

Когда данные неинформативны из теоремы Байеса следует

{displaystyle {begin{aligned}p(mu mid D,sigma ^{2},I)sim &N({bar {x}},{frac {sigma ^{2}}{n}})end{aligned}}}
{displaystyle {begin{aligned}p(sigma ^{2}mid D,I)sim &operatorname {Scale-inv-chi ^{2}} (n,s^{2})end{aligned}}}

нормальное распределение и масштабированное обратное хи-квадрат распределение, где

{displaystyle s^{2}=sum {frac {(x_{i}-{bar {x}})^{2}}{n-1}}}.

Маргинализованный интеграл в таком случае имеет вид

{displaystyle {begin{aligned}p(mu |D,I)&propto int _{0}^{infty }{frac {1}{sqrt {sigma ^{2}}}}exp left(-{frac {1}{2sigma ^{2}}}n(mu -{bar {x}})^{2}right);cdot ;sigma ^{-n-2}exp(-ns^{2}/2sigma ^{2});dsigma ^{2}\&propto int _{0}^{infty }sigma ^{-n-3}exp left(-{frac {1}{2sigma ^{2}}}left(n(mu -{bar {x}})^{2}+ns^{2}right)right);dsigma ^{2}end{aligned}}}

после замены {displaystyle z=A/2sigma ^{2}}, где {displaystyle A=n(mu -{bar {x}})^{2}+ns^{2}},

получим {displaystyle dz=-{frac {A}{2sigma ^{4}}}dsigma ^{2}}

и оценку {displaystyle p(mu |D,I)propto ;A^{-{frac {n+1}{2}}}int _{0}^{infty }z^{(n-1)/2}exp(-z),dz}

{displaystyle int _{0}^{infty }z^{(n-1)/2}exp(-z),dz} теперь стандартный Гамма интеграл, который оценивается константой

{displaystyle {begin{aligned}p(mu mid D,I)propto &;A^{-{frac {n+1}{2}}}propto &left(1+{frac {n(mu -{bar {x}})^{2}}{ns^{2}}}right)^{-{frac {n+1}{2}}}end{aligned}}}

это нестандартизированное t-распределение. 

С помощью замены {displaystyle t={frac {mu -{bar {x}}}{s/{sqrt {n}}}}} получаем стандартизированное t-распределение. 

Дифференцирование выше было представлено для случая неинформативной априорной вероятности для {displaystyle scriptstyle {mu }} и {displaystyle scriptstyle {sigma ^{2}}}; но очевидно, что любая априорная вероятность, ведет к смешению нормального распределения и масштабированного обратного хи-квадрат распределение, что нецентральному t-распределению с масштабированием и смещением на {displaystyle scriptstyle {P(mu |D,I)}}, параметр масштабирования {displaystyle scriptstyle {frac {S^{2}}{n}}} будет в находиться под влиянием априорной информации и данных, а не только данных, как в примере выше.

Обобщения распределения Стьюдента[править | править код]

Нестандартизированное распределение Стьюдента[править | править код]

Распределение Стьюдента можно обобщить до семейства функций с тремя параметрами, включающими коэффициент сдвига mu и коэффициент масштаба sigma , через отношение

{displaystyle X=mu +sigma T}

или

{displaystyle T={frac {X-mu }{sigma }}},

где {displaystyle {frac {x-mu }{sigma }}} классическое распределение Стьюдента с n степенями свободы.

Плотность нестандартизированного распределения Стьюдента представляет собой репараметризованное распределение Пирсона типа VII и определяется следующим выражением[13]

{displaystyle p(xmid n,mu ,sigma )={frac {Gamma ({frac {n+1}{2}})}{Gamma ({frac {n}{2}}){sqrt {pi n}}sigma }}left(1+{frac {1}{n}}left({frac {x-mu }{sigma }}right)^{2}right)^{-{frac {n+1}{2}}}}

Здесь sigma не является стандартным отклонением, как в нормальном распределении, это, вообще говоря, другой параметр масштаба. Однако при nto infty плотность распределения Пирсона типа VII стремится к плотности нормального распределения со стандартным отклонением sigma .

В байесовском выводе предельное распределение неизвестного среднего значения mu выше чем sigma , и соответствует {displaystyle scriptstyle {s/{sqrt {n}}}}, где

{displaystyle s^{2}=sum {frac {(x_{i}-{bar {x}})^{2}}{n-1}}.}

{displaystyle operatorname {E} (X)=mu } для {displaystyle n>1},

{displaystyle {text{var}}(X)=sigma ^{2}{frac {n}{n-2}}} для {displaystyle n>2}

{displaystyle {text{mode}}(X)=mu .}

Такое распределение является результатом комбинации распределения Гаусса (нормального распределения) со средним значением mu и неизвестной дисперсией, с обратным гамма-распределением, с дисперсией, имеющей параметры {displaystyle a=n/2} и {displaystyle b=nsigma ^{2}/2}. Другими словами, предполагается, что случайная величина X обладает нормальным распределением с неизвестной дисперсией, распределенной как обратная гамма, а затем дисперсия исключается. Такое свойство полезно из-за того, что обратное гамма-распределение – это сопряженное априорное распределение дисперсии распределения Гаусса, именно поэтому нестандартизированное распределение Стьюдента естественным образом возникает во многих байесовских задачах. 

Эквивалентно, это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса с масштабированным обратным хи-квадрат распределением с параметрами n and sigma ^{2}. Масштабированное обратное хи-квадрат распределение – точно то же самое распределение, что и обратное гамма-распределение, но с другой параметризацией, а именно {displaystyle n=2a,sigma ^{2}=b/a}.

Альтернативная параметризация на основании обратного параметра масштабирования λ[14] (аналогично тому, как мера точности обратна дисперсии), определенная отношением {displaystyle lambda ={frac {1}{sigma ^{2}}}},

тогда плотность определяется как

{displaystyle p(x|n,mu ,lambda )={frac {Gamma ({frac {n+1}{2}})}{Gamma ({frac {n}{2}})}}left({frac {lambda }{pi n}}right)^{frac {1}{2}}left(1+{frac {lambda (x-mu )^{2}}{n}}right)^{-{frac {n+1}{2}}}.}

Свойства:

{displaystyle operatorname {E} (X)=mu } для {displaystyle n>1},

{displaystyle {text{var}}(X)={frac {1}{lambda }}{frac {n}{n-2}}} для {displaystyle n>2}

{displaystyle {text{mode}}(X)=mu .}

Это распределение является результатом комбинации распределения Гаусса со средним mu и неизвестной мерой точности (обратной дисперсии), с гамма-распределением с параметрами {displaystyle a=n/2} and {displaystyle b=n/(2lambda )}. Другими словами, предполагается, что случайная величина X обладает нормальным распределением с неизвестной гамма-распределённой мерой точности.

Нецентральное распределение Стьюдента[править | править код]

Нецентральное распределение Стьюдента, это один способов обобщения стандартного распределения Стьюдента, включающий дополнительный коэффициент сдвига (параметр нецентральности) mu .

{displaystyle (Z+mu ){sqrt {frac {n}{V}}}.}

В нецентральном распределении Стьюдента медиана не совпадает с модой, т.е. оно не симметрично (в отличие от нестандартизированного).

Это распределение важно для изучения статистической мощности t-критерия Стьюдента.

Дискретное распределение Стьюдента[править | править код]

Дискретное распределение Стьюдента имеет следующую функцию распределения с r пропорциональным:[15]

{displaystyle prod _{j=1}^{k}{frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}quad quad r=ldots ,-1,0,1,ldots .}

Где a, b, и k – параметры. Такое распределение возникает при работе с системами из дискретных распределений, таких как распределение Пирсона.[16]

Связь с другими распределениями[править | править код]

Обобщение распределения Гаусса[править | править код]

Мы можем получить выборку с t-распределением, взяв отношение величин из нормального распределения и квадратный корень из распределения хи-квадрат.

где {displaystyle X_{0},X_{1},ldots ,X_{n}} — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что {displaystyle X_{i}sim {mathcal {N}}(0,1),;i=0,ldots ,n}

{displaystyle t={frac {X_{0}}{sqrt {{frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}}}}.}

Если мы вместо нормального распределения, возьмём например, Ирвин-Холл, получится симметричное распределение с 4 параметрами, которое включает в себя нормальное, равномерное, треугольное, а также распределения Стьюдента и Коши; таким образом, это обобщение более гибкое, чем многие другие симметричные обобщения распределения Гаусса.

Применение распределения Стьюдента[править | править код]

Проверка гипотезы[править | править код]

Некоторые статистики могут иметь распределение Стьюдента на выборках небольшого размера, поэтому распределение Стьюдента формирует основу критериев значимости. Например, тест ранговой корреляции Спирмена ρ, в нулевом случае (нулевая корреляция) хорошо аппроксимируется распределением Стьюдента при размере выборки больше 20.

Построение доверительного интервала[править | править код]

Распределение Стьюдента может быть использовано для оценки того, насколько вероятно, что истинное среднее находится в каком-либо заданном диапазоне.

Предположим, что число A выбрано так, что

{displaystyle Pr(-A<T<A)=0.9}.

Тогда T имеет t-распределение с n–1 степенями свободы. В силу симметрии распределения, это равноценно утверждению, что А удовлетворяет

{displaystyle Pr(T<A)=0.95,} или {displaystyle A=t_{(0.05,n-1)}}, тогда

{displaystyle Pr left(-A<{frac {{overline {X}}_{n}-mu }{frac {S_{n}}{sqrt {n}}}}<Aright)=0.9,}

что эквивалентно

{displaystyle Pr left({overline {X}}_{n}-A{frac {S_{n}}{sqrt {n}}}<mu <{overline {X}}_{n}+A{frac {S_{n}}{sqrt {n}}}right)=0.9.}

таким образом, интервал с доверительным пределом в точках {displaystyle {overline {X}}_{n}pm A{frac {S_{n}}{sqrt {n}}}} — это 90% доверительный интервал для μ. Следовательно, если мы находим среднее множества наблюдений (нормально распределённых), мы можем использовать распределение Стьюдента, чтобы определить, включают ли доверительные пределы по этому среднему какое-либо теоретически предсказанное значение, например, значение, предсказанное, исходя из нулевой гипотезы.

Такой подход применяется в t-критерии Стьюдента: если разность между средними значениями выборок из двух нормальных распределений сама может быть нормально распределена, распределение Стьюдента может быть использовано для исследования того, можно ли с большой долей вероятности полагать эту разность равной нулю.

Для нормально распределённых выборок односторонний (1−a) верхний доверительный предел (UCL) среднего значения равен

{displaystyle mathrm {UCL} _{1-a}={overline {X}}_{n}+t_{a,n-1}{frac {S_{n}}{sqrt {n}}}}.

Полученный в результате верхний доверительный предел будет наибольшим средним значением для данного доверительного интервала и размера выборки. Другими словами, если {displaystyle {overline {X}}_{n}} среднее значение множества наблюдений, вероятность того, что среднее значение распределения уступает {displaystyle mathrm {UCL} _{1-n}} равна уровню значимости 1–a.

Построение интервала-предиктора[править | править код]

Распределение Стьюдента может быть использовано для получения интервала-предиктора для ненаблюдаемой выборки из нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией.

В байесовской статистике[править | править код]

Распределение Стьюдента, особенно нецентральное, часто возникает в байесовской статистике как результат связи с нормальным распределением.

Действительно, если нам неизвестна дисперсия нормально распределенной случайной величины, но известно сопряженное априорное распределение, можно будет подобрать такое гамма-распределение, что полученные в результате величины будут обладать распределением Стьюдента.

Эквивалентные конструкции с теми же результатами включают сопряжённое масштабированное обратное хи-квадратное распределение. Если некорректное априорное распределение, пропорциональное sigma ^{2}, расположено над дисперсией, то также возникает распределение Стьюдента. Это происходит независимо от того, известно ли среднее нормально распределенной величины, распределённое с сопряжённым априорным распределением, или нет.

Параметрическое моделирование, устойчивое к нарушениям исходных предпосылок[править | править код]

Распределение Стьюдента часто используется в качестве альтернативы нормальному распределению для модели данных.[18] Это происходит из-за того, что довольно часто настоящие данные имеют более тяжелые хвосты, чем позволяет нормальное распределение. Классический подход заключается в определении выбросов и их исключении (или понижении их веса). Однако не всегда легко определить выброс (особенно в задачах с большой размерностью), и распределение Стьюдента является естественным выбором, обеспечивающим параметрический подход к робастной статистике.

Ланж и другие исследовали использование распределения Стьюдента для робастного (устойчивого к нарушениям исходных предпосылок) моделирования данных. Байесовский расчет обнаруживается у Гельмана и др.

Количество степеней свободы контролирует эксцесс распределения и коррелируется с параметром масштабирования.

Некоторые другие свойства распределения Стьюдента[править | править код]

Пусть, {displaystyle A(t|n)} – интеграл функции плотности вероятности Стьюдента, 
F(t) – вероятность того, что значение t, меньше, чем значение, рассчитанное по данным наблюдений. 

Функция {displaystyle A(t|n)} может быть использована для тестировании того, является ли разница между средними значениями двух наборов данных взятых из одной совокупности, статистически значимой, это достигается путём вычисления соответствующего значения t и вероятности его возникновения. 

Это используется например, в T-критерии Стьюдента. Для t-распределения с n степенями свободы, {displaystyle A(t|n)} – вероятность того, что t будет меньше наблюдаемого значения, если два средних значения были одинаковыми. Его можно легко вычислить из кумулятивной функции распределения {displaystyle F_{n}(t)} распределения Стьюдента: 

{displaystyle A(t|n)=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=1-I_{frac {n}{n+t^{2}}}left({frac {n}{2}},{frac {1}{2}}right),}

где Ix – регуляризированная неполная бета функция (a, b). 

При статистической проверки гипотез эта функция используется для построения р-значения.

Выборка по методу Монте-Карло[править | править код]

Есть разные подходы к получению случайных величин из распределения Стьюдента. Всё зависит от того, требуются независимые выборки, или они могут быть построены путём применения обратной функции распределения над выборкой с однородным распределением.

В случае с независимой выборкой легко применить расширение метода Бокса-Мюллера в его полярной (тригонометрической) форме[19]. Преимущество этого метода в том, что он одинаково относится ко всем положительным степеням свободы n, в то время как многие другие методы не будут работать, если n близка к нулю.[19]

Плотность распределения Стьюдента через решение дифференциального уравнения[править | править код]

Плотность распределения Стьюдента можно получить, решив следующее дифференциальное уравнение:

{displaystyle left{{begin{array}{l}left(n+x^{2}right)f'(x)+(n+1)xf(x)=0,\f(1)={frac {n^{n/2}(n+1)^{-{frac {n}{2}}-{frac {1}{2}}}}{Bleft({frac {n}{2}},{frac {1}{2}}right)}}end{array}}right}}

Процентили[править | править код]

Таблицы значений[править | править код]

Многие учебники по статистике включают в себя таблицы распределения Стьюдента.

В наши дни лучший способ узнать полностью точное критическое значение t или кумулятивную вероятность — это использование статистической функции, встроенной в электронные таблицы (Office Excel, OpenOffice Calc и т.д.), или интерактивного веб-калькулятора. Нужные функции электронных таблиц — TDIST и TINV.

Таблица ниже включает в себя значения некоторых значений для распределений Стьюдента с v степенями свободы для ряда односторонних или двусторонних критических областей.

В качестве примера того, как читать эту таблицу, возьмём четвёртый ряд, который начинается с 4; это означает, что v, количество степеней свободы, равно 4 (и если мы работаем, как это показано выше, с n величин с фиксированной суммой, то n = 5). Возьмём пятое значение в колонке 95% для односторонних(90% для двусторонних). Значение это равно “2.132”. Значит, вероятность, что T меньше 2.132 равна 95% или Pr(−∞ <T< 2.132) = 0.95; это также означает, что Pr(−2.132 <T< 2.132) = 0.9.

Это может быть вычислено по симметрии распределения,

Pr(T < −2.132) = 1 − Pr(T > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05,

получаем

Pr(−2.132 < T < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9.

Обратите внимание, что последний ряд также даёт критические точки: распределение Стьюдента с бесконечным количеством степеней – это нормальное распределение.

Первая колонка отображает число степеней свободы.

односторонний 75% 80% 85% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.75% 99.9% 99.95%
двусторонний 50% 60% 70% 80% 90% 95% 98% 99% 99.5% 99.8% 99.9%
1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6
2 0.816 1.080 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60
3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92
4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610
5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781
10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318
13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646
40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460
80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416
100 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390
120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373
∞ 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291

Например, если нам дана выборка с выборочной дисперсией 2 и выборочным средним 10, взятая из выборочного набора 11 (10 степеней свободы), используя формулу

{displaystyle {overline {X}}_{n}pm A{frac {S_{n}}{sqrt {n}}}.}

Мы можем определить с 90% уровнем доверия, что истинное среднее таково:

{displaystyle 10+1.37218{frac {sqrt {2}}{sqrt {11}}}=10.58510,}

(то есть, в среднем, в 90% случаев верхний предел превышает истинное среднее)

и, всё также с 90% уверенностью, мы находим истинное среднее значение, превышающее

{displaystyle 10-1.37218{frac {sqrt {2}}{sqrt {11}}}=9.41490.}

(В среднем, в 90% случаев нижний предел меньше истинного среднего)

Так что с 80% уверенностью (1-2*(1-90%) = 80%), мы находим истинное значение, лежащее в интервале

{displaystyle left(10-1.37218{frac {sqrt {2}}{sqrt {11}}},10+1.37218{frac {sqrt {2}}{sqrt {11}}}right)=left(9.41490,10.58510right).}

Другими словами, в 80% случаев истинное среднее ниже верхнего предела и выше нижнего предела.

Это не эквивалентно утверждению, что с 80% вероятностью истинное среднее лежит между определенной парой верхних и нижних пределов.

Обобщение[править | править код]

Обобщением распределения Стьюдента является обобщённое гиперболическое распределение.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Helmert, F. R. (1875). “Über die Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler”. Z. Math. Phys., 20, 300–3.
  2. ↑ Helmert, F. R. (1876a). “Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen”. Z. Math. Phys., 21, 192–218.
  3. ↑ Helmert, F. R. (1876b). “Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit”, Astron. Nachr., 88, 113–32.
  4. ↑ Lüroth, J. Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers (нем.) // Astron. Nachr. : magazin. — 1876. — Bd. 87, Nr. 14. — S. 209—220. — doi:10.1002/asna.18760871402. — Bibcode: 1876AN…..87..209L.
  5. ↑ Pfanzagl, J.; Sheynin, O. A forerunner of the t-distribution (Studies in the history of probability and statistics XLIV) (англ.) // Biometrika : journal. — 1996. — Vol. 83, no. 4. — P. 891—898. — doi:10.1093/biomet/83.4.891.
  6. ↑ Sheynin, O. Helmert’s work in the theory of errors (англ.) // Arch. Hist. Exact Sci. : journal. — 1995. — Vol. 49. — P. 73—104. — doi:10.1007/BF00374700.
  7. ↑ “Student” [William Sealy Gosset]. The probable error of a mean (англ.) // Biometrika : journal. — 1908. — March (vol. 6, no. 1). — P. 1—25. — doi:10.1093/biomet/6.1.1.
  8. ↑ “Student” (William Sealy Gosset), original Biometrika paper as a scan Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine
  9. ↑ 1 2 Рональд Фишер. Applications of “Student’s” distribution (англ.) // metron. — 1925. — Vol. 5. — P. 90—104. Архивировано 5 марта 2016 года.
  10. ↑ 1 2 3 Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. глава 28 // Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd Edition.. — 1995. — ISBN 0-471-58494-0.
  11. ↑ Hogg & Craig (1978, Sections 4.4 and 4.8.)
  12. ↑ W. G. Cochran. The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1934-04-01. — Т. 30, вып. 02. — С. 178—191. — ISSN 1469-8064. — doi:10.1017/S0305004100016595.
  13. ↑ Simon Jackman. Bayesian Analysis for the Social Sciences. — Wiley. — 2009. — С. 507.
  14. ↑ Bishop C.M. Pattern recognition and machine learning. — Springer. — 2006.
  15. ↑ Ord, J.K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (Table 5.1)
  16. ↑ Ord, J.K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (Chapter 5)
  17. ↑ Королюк, 1985, с. 134.
  18. ↑ Kenneth L. Lange, Roderick J. A. Little, Jeremy M. G. Taylor. Robust Statistical Modeling Using the t Distribution // Journal of the American Statistical Association. — 1989-12-01. — Т. 84, вып. 408. — С. 881—896. — ISSN 0162-1459. — doi:10.1080/01621459.1989.10478852.
  19. ↑ 1 2 Ralph W. Bailey. Polar Generation of Random Variates with the t-Distribution // Mathematics of Computation. — 1994-01-01. — Т. 62, вып. 206. — С. 779—781. — doi:10.2307/2153537. Архивировано 3 апреля 2016 года.

Литература[править | править код]

  • Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
Источник

Добавить комментарий