Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
Понятие о кривых второго порядка
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
,
где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
,
где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
.
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
,
называются фокусами.
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат – каноническое уравнение эллипса:
.
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
.
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
.
Получаем фокусы эллипса:
Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если – произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:
.
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами эллипса (на чертеже – красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
,
где и – расстояния этой точки до директрис и .
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .
Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:
.
Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:
Уравнение эллипса готово:
Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:
.
Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.
Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e – эксцентриситет и числа “эр” с подстрочными индексами 1 и 2 – искомые расстояния. Получаем:
Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.
,
так как из исходного уравнения эллипса .
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.
Каноническое уравнение эллипса по двум точкам
| Две точки с координатами |
| Первая координата |
| Вторая координата |
| Каноническое уравнение эллипса |
| Большая полуось эллипса |
| Малая полуось эллипса |
| Эксцентриситет эллипса |
| Фокусное/фокальное расстояние |
| Коэффициент сжатия |
| Координаты первого фокуса F1(x1:y1) |
| Координаты второго фокуса F2(x2:y2) |
| Фокальный параметр |
| Перифокусное расстояние |
| Апофокусное расстояние |
Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.
Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.
Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.
Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.
Фокальный параметр – половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса
Значение полуосей – большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)
Эксцентриситет – коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности
Фокальное расстояние
Коэффициент сжатия – отношение длин малой и большой полуосей
Примеры задач
Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам
Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt
и получаем результат
| Каноническое уравнение эллипса | ||||||
| Большая полуось эллипса | ||||||
| Малая полуось эллипса | ||||||
| Эксцентриситет эллипса | ||||||
| Фокусное/фокальное расстояние | ||||||
| Коэффициент сжатия | ||||||
| Координаты первого фокуса F1(x1:y1) | ||||||
| Координаты второго фокуса F2(x2:y2) | ||||||
| Фокальный параметр | ||||||
| Перифокусное расстояние | ||||||
| Апофокусное расстояние | ||||||
|
И еще один пример Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса. Если мы введем данные в калькулятор получим
|
-
Определение эллипса.
Начать изучение
-
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.
Начать изучение
-
Уравнение касательной к эллипсу.
Начать изучение
Определение эллипса.
Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1label{ref1}
$$
при условии (a geq b > 0).
Из уравнения eqref{ref1} следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).
Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_{1}), (M_{2}) и (M_{3}) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1.
Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.
Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^{2}+y^{2}=a^{2}). При каждом (x) таком, что (|x| < a), найдутся две точки эллипса с ординатами (pm b sqrt{1-x^{2}/a^{2}}) и две точки окружности с ординатами (pm a sqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно (b/a). Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении (b/a) (рис. 8.2).
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.
У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.
Определение.
Пусть по определению
$$
c^{2}=a^{2}-b^{2}label{ref2}
$$
и (c geq 0).
Фокусами называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).
Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.
Определение.
Отношение
$$
varepsilon=frac{c}{a}label{ref3}
$$
называется эксцентриситетом эллипса.
Отметим, что (varepsilon < 1).
Утверждение 2.
Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=a-varepsilon x, r_{2}=|F_{2}M|=a+varepsilon x.label{ref4}
$$
Доказательство.
Очевидно, что (r_{1}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}). Подставим сюда выражение для (y^{2}), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_{1}^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+b^{2}-frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}.nonumber
$$
Учитывая равенство eqref{ref2}, это можно преобразовать к виду
$$
r_{1}^{2}=a^{2}-2cx+frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=(a-varepsilon x)^{2}.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon < 1), отсюда следует, что справедливо первое из равенств eqref{ref4}: (r_{1}=a-varepsilon x). Второе равенство доказывается аналогично.
Утверждение 3.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).
Доказательство.
Необходимость. Если мы сложим равенства eqref{ref4} почленно, то увидим, что
$$
r_{1}+r_{2}=2a.label{ref5}
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref{ref5}, то есть
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^{2}=asqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.label{ref6}
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref{ref2}. Мы придем к (b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), равносильному уравнению эллипса eqref{ref1}.
С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат (рис. 8.4)
$$
x=frac{a}{varepsilon},\ x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref7}
$$
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.
Утверждение 4.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).
Доказательство.
Докажем это предложение для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M(x, y)) — произвольная точка эллипса. Расстояние от (M) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) §3 гл. II равно
$$
d_{2}=|x+frac{a}{varepsilon}|=frac{1}{varepsilon}(varepsilon x+a).nonumber
$$
Из формулы eqref{ref4} мы видим теперь, что (r_{2}/d_{2}=varepsilon).
Обратно, пусть для какой-то точки плоскости (r_{2}/d_{2}=varepsilon), то есть
$$
sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=varepsilon left(x+frac{a}{varepsilon}right).nonumber
$$
Так как (varepsilon=c/a), это равенство легко приводится к виду eqref{ref6}, из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.
Уравнение касательной к эллипсу.
Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_{0}(x_{0}, y_{0})) — точка на эллипсе и (y_{0} neq 0). Через (M_{0}) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_{0} > 0) это график (f_{1}(x)=bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}), для (y_{0} < 0) — график (f_{2}(x)=-bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Не уточняя знака (y_{0}), обозначим подходящую функцию (f(x)).) Для нее выполнено тождество
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{(f(x))^{2}}{b^{2}}=1.nonumber
$$
Дифференцируем его по (x):
$$
frac{2x}{a^{2}}+frac{2ff’}{b^{2}}=0.nonumber
$$
Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0}=y_{0})), находим производную от (f) в точке (x_{0}), равную угловому коэффициенту касательной:
$$
f'(x_{0})=frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}.nonumber
$$
Теперь мы можем написать уравнение касательной:
$$
y-y_{0}=-frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упрощая это уравнение, учтем, что (b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}), так как (M_{0}) лежит на эллипсе. Результату можно придать вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}+frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref8}
$$
При выводе уравнения eqref{ref8} мы исключили вершины эллипса ((a, 0)) и ((-a, 0)), положив (y_{0} neq 0). Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения (x=a) и (x=-a). Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах ж как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение eqref{ref8} определяет касательную для любой точки (M_{0}(x_{0}, y_{0})) на эллипсе.
Утверждение 5.
Касательная к эллипсу в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство.
Нам надо сравнить углы (varphi_{1}) и (varphi_{2}), составленные векторами (overrightarrow{F_{1}M_{0}}) и (overrightarrow{F_{2}M_{0}}) с вектором (boldsymbol{n}), перпендикулярным касательной (рис. 8.5). Из уравнения eqref{ref8} находим, что (boldsymbol{n}(x_{0}/a^{2}, y_{0}/b^{2})), и потому
$$
(overrightarrow{F_{1}M_{0}}, boldsymbol{n})=frac{x_{0}}{a^{2}}(x_{0}-c)+frac{y_{0}}{b^{2}}y_{0}=1-frac{x_{0}c}{a^{2}}=frac{a-varepsilon x_{0}}{a}.nonumber
$$
Используя eqref{ref4}, мы получаем отсюда, что (cos varphi_{1}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Аналогично находим (cos varphi_{2}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Утверждение доказано.
Что мы знаем со школы про эллипс? К сожалению, исходя из своей практики работы с учениками, многие вплоть до 11 класса не сталкиваются с такой замечательной плоской фигурой, впрочем как и с её частным случаем – окружностью. Некоторые знают только примерный вид уравнения…
Кстати, какое оно? Каноническим уравнением эллипса считается следующее уравнение:
Почему оно именно такое? Что ж, это можно вывести из определения. Поэтому давайте его напишем.
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Давайте сделаем рисунок и попробуем вывести каноническое уравнение из определения эллипса.
Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса M(x; y) до фокусов – через 2a. По определению 2а > 2c, т.е. а > c.
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат OXY так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали а оси OX, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F₁(-c; 0) и F₂(+c; 0).
Тогда, согласно определению эллипса, MF₁ + MF₂ = 2a, то есть:
Мы вывели каноническое уравнение эллипса и доказали, что оно эквивалентно начальному уравнению из определения.
Эллипс – кривая второго порядка.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, используя его каноническое уравнение.
1. Каноническое уравнение содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка (x; y) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (x; -y), (-x; y), (-x; -y). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей координат Ox и Oy, а также точки O(0; 0), которая является центром эллипса.
2. Точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y = 0, находим две точки A₁(a; 0) и A₂(-a;0), в которых ось Ox пересекает эллипс. Положив в уравнении x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью Oy: B₁(0; b) и B₂(0; -b). Все эти 4 точки называются вершинами эллипса.
Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
3. Также из канонического уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства
Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±a и y = ±b.
4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных слагаемых (x/a)² и (y/b)² равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если |x| возрастает, то |y| уменьшается и наоборот.
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения b/a. При a = b = R эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса принимает вид x² + y² = R². Однако, в качестве характеристики формы эллипса чаще используется отношение c/a.
Отношение c/a половины расстояния между фокусами к большей полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой «эпсилон» ε:
Из последней строки видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным, то есть больше походить на окружность, быть ближе к ней по форме. Если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.
Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точки M.
Очевидно, что r₁ + r₂ = 2a.
Тогда имеют место быть формулы: r₁ = a + εx и r₂ = a + εx
Выведем эти формулы
Прямые x = ±a/ε называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Теорема
Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r/d = ε.
Из равенства a² – c² = b² следует, что a > b. Если же a < b, то каноническое уравнение (x/a)² + (y/b)² = 1 определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси OY, а малая ось 2a – лежит на оси Ox. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁(0; +c) и F₂(0; -c), где c = √(b² – a²).
Площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Допустим, что перед нами стоит следующая задача:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
Решение:
Зададим эллипс параметрическими уравнениями:
x = a⋅cos(t) и y = b ⋅ sin(t). Кстати, выразив косинус и синус из каждого, а потом возведя в квадрат оба уравнения, сложив их, можно прийти к каноническому уравнению эллипса.
В силу симметричности эллипса относительно начала координат, нам достаточно найти площадь 1/4 части эллипса, а затем умножить результат на 4. Сделаем подходящий рисунок.
Здесь x изменяется от 0 до a, следовательно параметр t изменяется от π/2 до 0. Площадь четверти эллипса будем искать с помощью интегрирования функции, задающей эллипс в первой четверти координат.
Длина дуги эллипса (периметр эллипса)
Ознакомиться с эллиптическими интегралами
Стоит заметить, что для окружности всё получается гораздо проще, и мы легко выводим формулу, знакомую нам со школы C = 2πR.
Приближённые формулы для периметра
Точные формулы для периметра
Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
Площадь сегмента эллипса
Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой , проходящей через точки (x; y) и (x; -y) можно определить по формуле:
Если эллипс задан уравнением Ax² + Bxy + Cy² = 1, то площадь можно определить по формуле
Физический смысл фокусов
1. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
2. Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
3. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки M, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой F₁M равен углу между касательно и прямой F₂M.
4. Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
5. Эволютой эллипса является астроида , вытянутая вдоль вертикальной оси. Эволюта плоской кривой — геометрическое место точек , являющихся центрами кривизны кривой. По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой .
6. Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину .
Аффинная длина — параметр плоской кривой , который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях , сохраняющих площадь ).
7. Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше эллипсографе.
Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.
Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов – Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.
Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе. Название «фокус» как раз и связано со словом «фокусировка» лучей. Если на орбите Земли расположить зеркала, так чтобы они были повёрнуты ровно по касательной к орбите, то все лучи соберутся во 2 фокусе, то есть из той точки будет видно, что вся орбита светится.
Последнее свойство используется в физике для построение оптических резонаторов в лазерной технике. Лампа накачки размещается вдоль одной из фокальных осей зеркально отражающего эллиптического цилиндра, а лазерный стержень располагается вдоль другой фокальной оси. На второй фокальной оси помещают активную среду. А свойства эллиптической поверхности помогают быть уверенными в том, что вся энергия лампы накачки соберется в области активной среды.
Почитать подробнее здесь
Поместим в одном из фокусов зеркального эллипса лампочку
и проследим за выпущенными из неё лучами света. Отразившись от эллипса, они соберутся в другом фокусе. Причём окажутся там одновременно:
Зрительно напомним геометрическое определение эллипса: эллипс есть множество точек M плоскости, сумма расстояний от которых до данных точек A и B постоянна:
Решим вспомогательную задачу. Даны две точки по одну сторону от прямой. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l.
Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке M надо набирать воду, чтобы общий путь имел минимальную длину?
Рассмотрим точку B’, симметричную точке B. Тогда XB = XB’. Длина AX+XB = AX+XB’ минимальна, когда ломаная AXB’ превращается в прямую.
Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке набирать воду? Ответ: в точке пересечения l с AB’ (где B’ симметрична B относительно l). Заодно мы доказали равенство углов. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. Где набирать воду?
Ответ 1: в точке пересечения l с AB’.
Ответ 2: там, где «угол падения равен углу отражения».
Принцип Ферма: свет выбирает кратчайший путь между двумя точками.
Вернемся к доказательству оптического свойства эллипса. На эллипсе сумма AM+MB постоянна. А для точек вне эллипса эта сумма больше, AX+XB > AM+MB.
В частности, если провести в точке M касательную к эллипсу, то для любой другой точки X на этой касательной AX+XB > AM+MB. Значит, по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения».
…по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения». Оптическое свойство эллипса доказано.
Многофокусные эллипсы
N-эллипс — обобщение эллипса , имеющее более двух фокусов. N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами , полиэллипсами, k -эллипсами, эллипсами Чирнхауса . Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.
Пусть на плоскости задано n точек (ui , vi ) (фокусы ), тогда n -эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d . В виде формулы данное утверждение записывается как
1-эллипс представляет собой окружность , 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.
Для любого числа n фокусов n -эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
Эллипс:
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек 
Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы 
Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.
Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно 
Согласно определению эллипса имеем 
Из треугольников 
и 
по теореме Пифагора найдем
соответственно. Следовательно, согласно определению имеем
Возведем обе части равенства в квадрат, получим
Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим 
Раскроем разность квадратов 
Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение 
Вновь возведем обе части равенства в квадрат 
Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим 
Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим
Введем обозначение для разности, стоящей в скобках 
Уравнение принимает вид 
Разделив все члены уравнения на 
получаем каноническое уравнение эллипса: 
Если 
то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства – вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки 
следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:
Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.
Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса
Определение: Если 
то параметр а называется большой, а параметр b – малой полуосями эллипса.
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса 
Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству 
Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси 
Если 
и эллипс вырождается в окружность. Если 
и эллипс вырождается в отрезок 
Пример:
Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет 
Решение:
Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр 
Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса 
Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: 
Пример:
Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса 
а третья вершина – в центре окружности
Решение:
Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: 
Следовательно, большая полуось эллипса 
а малая полуось 
Так как 
то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса
Итак,
Окружность: 
Выделим полные квадраты по переменным 
Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).
Построим в декартовой системе координат треугольник 
Согласно школьной формуле площадь треугольника 
равна 
Высота 
а основание 
Следовательно, площадь треугольника 
равна:
Эллипс в высшей математике
Рассмотрим уравнение
где 
и 
—заданные положительные числа. Решая его относительно 
, получим:
Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное 
по абсолютной величине меньше 
, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству 
соответствуют два значения 
, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси 
. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси 
. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.
При 
, при 
. Кроме того, заметим, что если 
увеличивается, то разность
уменьшается; стало быть, точка 
будет перемещаться от точки 
вправо вниз и попадет в точку 
. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.
Полученная линия называется эллипсом. Число 
является длиной отрезка 
, число 
—длиной отрезка 
. Числа 
и 
называются полуосями эллипса. Число 
эксцентриситетом.
Пример:
Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.
Решение:
Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом 
(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось 
примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось 
будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости 
возьмем окружность радиуса 
с центром в начале координат, ее уравнение 
.
Пусть точка 
лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению 
.
Обозначим проекцию точки 
на плоскость 
буквой 
, а координаты ее—через 
и 
. Опустим перпендикуляры из 
и на ось 
, это будут отрезки 
и 
. Треугольник 
прямоугольный, в нем 
, 
,
, следовательно, 
. Абсциссы точек и равны, т. е. 
. Подставим в уравнение 
значение 
, тогда cos
или
а это есть уравнение эллипса с полуосями 
и 
.
Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.
Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.
Уравнение эллипсоида
Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:
где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.
Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей 
с коэффициентами деформации, равными 
В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам 
(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем
(рис. 206). Отсюда
Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в 
раз, если 
, и увеличиваются в 
раз, если 
и т. д.
Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь
где 
Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.
Величины 
называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины 
называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).
Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями
а = b = 6377 км и с = 6356 км.
Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.
- Гипербола
- Парабола
- Многогранник
- Решение задач на вычисление площадей
- Шар в геометрии
- Правильные многогранники в геометрии
- Многогранники
- Окружность
В
аналитической геометрии на плоскости
подробно изучаются геометрические
свойства эллипса, гиперболы и параболы,
представляющих собой линии пересечения
кругового конуса с плоскостями, не
проходящими через его вершину. Эти линии
часто встречаются во многих задачах
естествознания и техники. Например,
движение материальной точки под
воздействием центрального поля силы
тяжести происходит по одной из этих
линий; в инженерном деле для конструирования
прожекторов, антенн и телескопов
пользуются важным оптическим свойством
параболы, заключающимся в том, что лучи
света, исходящие из определённой точки
(фокуса параболы), после отражения от
параболы образуют параллельный пучок.
Определение.
Кривой
второго порядка
называется геометрическое место точек
координатной плоскости, координаты
которых удовлетворяют алгебраическому
уравнению 2-й степени с двумя
неизвестными:
.
ОКРУЖНОСТЬ.
Определение.
Окружностью
называется геометрическое место точек
плоскости равноудаленных от одной
фиксированной точки плоскости, называемой
центром
окружности.
Определение.
Расстояние от любой точки окружности
до ее центра называется радиусом
окружности.
Теорема.
Окружность является кривой 2-го порядка
и ее уравнение имеет вид:
где
– координаты центра окружности,
– радиус окружности.
Определение.
Если центр окружности находится в начале
координат, то такая система координат
называется канонической
для окружности, а уравнение
называется каноническим уравнением
окружности.
ЭЛЛИПС.
Определение.
Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, для которых сумма расстояний
до двух фиксированных точек плоскости,
называемых фокусами,
есть величина постоянная. Эту величину
принято обозначать через
.
Определение.
Расстояние между фокусами эллипса
называется фокусным
расстоянием.
Фокусы эллипса принято обозначать
буквами
и
,
расстояние между ними – через
.
По определению эллипса
.
Определение.
Расстояния от точки
,
лежащей на эллипсе, до фокусов
и
называютсяфокальными
радиусами
точки
.
Замечание.
Из определения эллипса следует, что
точка
является точкой эллипса тогда и только
тогда, когда сумма её фокальных радиусов
.
Определение.
Число
называетсябольшой
осью
эллипса, число
,
где
,
называетсямалой
осью
эллипса. Числа
и
называются соответственнобольшой
и малой
полуосями
эллипса.
Определение.
Отношение фокусного расстояния эллипса
к его большой оси называется эксцентриситетом
эллипса, и обозначается буквой
или
:
Определение.
Ось, на которой лежат фокусы эллипса,
называется фокальной
осью
эллипса.
В
канонической для эллипса системе
координат, оси координат являются
главными осями эллипса, а начало координат
является центром эллипса.
Определение.
Точки
эллипса, лежащие на его осях, называются
вершинами
эллипса.
Теорема.
(Каноническое уравнение эллипса.) Эллипс
является кривой 2-го порядка, и в
канонической для эллипса системе
координат его уравнение имеет вид:
.
Теорема.
(Фокальные радиусы точки эллипса.) Пусть
в канонической для эллипса системе
координат точка
лежит на эллипсе. Тогда ее фокальные
радиусы равны:
,
,
где
– большая полуось эллипса,
–
его эксцентриситет.
Определение.
В канонической для эллипса системе
координат прямые
называютсядиректрисами
эллипса.
Теорема.
(Свойство директрис эллипса.) Пусть
– произвольная точка эллипса,
и
– ее фокальные радиусы. Обозначим через
и
,
соответственно, расстояния от точки
до левой и правой директрисы эллипса.
Тогда
.
Теорема.
(Зеркальное свойство эллипса.) Луч света,
выпущенный из одного фокуса эллипса
после отражения от зеркала эллипса
проходит через второй его фокус.
Теорема.
В канонической для эллипса системе
координат уравнение касательной к
эллипсу в точке
имеет вид:
ГИПЕРБОЛА
Определение.
Гиперболой
называется геометрическое место точек
плоскости, модуль разности расстояний
которых до двух фиксированных точек
плоскости, называемых фокусами, есть
величина постоянная.
Фокусы
гиперболы принято обозначать буквами
и
.
Расстояния от точки
,
лежащей на гиперболе, до фокусов
обозначаются
и
,
и называются еёфокальными
радиусами.
Замечание.
Из определения гиперболы следует, что
точка М является точкой гиперболы тогда
и только тогда, когда модуль разности
её фокальных радиусов
есть величина постоянная для данной
гиперболы. Эту константу принято
обозначать через
.
Определение.
Расстояние между фокусами гиперболы
называется фокусным
расстоянием.
Фокусное
расстояние для данной гиперболы есть
величина постоянная и ее принято
обозначать через
:
.
Замечание.
Так как сторона треугольника больше
модуля разности двух его других сторон,
то отсюда и из определения гиперболы
следует, что
Определение.
Число
называетсядействительной
осью
гиперболы, число
,
где
,
называетсямнимой
осью
гиперболы. Числа
и
называются соответственнодействительной
и мнимой полуосями
гиперболы.
Определение.
Отношение фокусного расстояния гиперболы
к её действительной оси называется
эксцентриситетом
гиперболы, и обозначается буквой
или
:
В
канонической для гиперболы системе
координат, оси координат являются
главными осями гиперболы, а начало
координат является центром гиперболы.
Теорема.
(Каноническое уравнение гиперболы.)
Гипербола является кривой 2-го порядка,
и в канонической для гиперболы системе
координат её уравнение имеет вид:
.
Определение.
Точки
гиперболы, лежащие на её действительной
оси, называются действительными
вершинами
гиперболы. Две точки плоскости
(в канонической для гиперболы системе
координат), лежащие на мнимой оси
гиперболы называютсямнимыми
вершинами
гиперболы.
Определение.
Две пары прямых, параллельных осям
гиперболы
высекают прямоугольник, который
называетсяосновным
прямоугольником
гиперболы.
Гипербола
состоит из двух кривых, называемых её
ветвями,
которые в канонической системе
координат описываются уравнениями
Теорема.
Прямые
являются асимптотами гиперболы.
Теорема.
(Фокальные радиусы точек гиперболы.)
Пусть в канонической для гиперболы
системе координат точка
лежит на гиперболе. Тогда ее фокальные
радиусы равны:
|,
,
где
– действительная полуось гиперболы,
– её эксцентриситет.
Определение.
В канонической для гиперболы системе
координат прямые
называютсядиректрисами
гиперболы.
Теорема.
(Свойство директрис гиперболы.) Пусть
– произвольная точка гиперболы,
и
– ее фокальные радиусы. Обозначим через
и
,
соответственно, расстояния от точки
до левой и правой директрисы гиперболы.
Тогда
.
Теорема.
(Зеркальное свойство гиперболы.) Луч
света, выпущенный из одного фокуса
гиперболы после отражения от зеркала
гиперболы кажется наблюдателю идущим
из второго её фокуса.
Теорема.
В канонической для гиперболы системе
координат уравнение касательной к
гиперболе в точке
имеет вид:
ПАРАБОЛА
Определение.
Параболой
называется геометрическое место точек
плоскости, расстояние от которых до
фиксированной прямой, называемой
директрисой,
равно расстоянию до фиксированной
точки, называемой фокусом.
Определение.
Расстояние от произвольной точки
плоскости до фокуса параболы называетсяфокальным
радиусом точки
.
Обозначения:
– фокус параболы,
– фокальный радиус точки
,
– расстояние от точки
до директрисы
.
По
определению параболы, точка
является точкой параболы тогда и только
тогда, когда
.
Определение.
Расстояние от фокуса параболы до ее
директрисы называется фокальным
параметром
параболы, и обозначается буквой
.
Замечание.
Из определений следует, что в канонической
для параболы системе координат фокус
имеет координаты
,
а директриса описывается уравнением
.
Теорема.
(Каноническое уравнение параболы.)
Парабола является кривой 2-го порядка,
и в канонической для неё системе координат
её уравнение имеет вид:
Теорема.
В канонической для параболы системе
координат, фокальный радиус точки
параболы равен
Теорема.
(Зеркальное свойство параболы.) Луч
света, выпущенный из фокуса параболы
после отражения от зеркала параболы
проходит параллельно её фокальной оси.
Теорема.
В канонической для параболы системе
координат уравнение касательной к
параболе в точке
имеет вид:
.
Определение.
Парабола
имеет одну ось симметрии, называемую
осью
параболы, с которой она пересекается в
единственной точке. Точка пересечения
параболы с осью называется ее вершиной.
Замечание.
Если координатная система выбрана так,
что ось абсцисс совмещена с осью параболы,
начало координат – с вершиной, но
парабола лежит в левой полуплоскости,
то ее уравнение будет иметь вид:
В
случае, когда начало координат находится
в вершине, а с осью совмещена ось ординат,
то парабола будет иметь уравнение:
,
если она лежит в верхней полуплоскости,
и
–
если в нижней полуплоскости.
Полярная
система координат.
Определение.
Точка О называется полюсом,
а луч L
– полярной
осью.
Задание
какой-либо системы координат на плоскости
состоит в том, чтобы каждой точке
плоскости поставить в соответствие
пару действительных чисел, определяющих
положение этой точки на плоскости. В
случае полярной системы координат роль
этих чисел играют расстояние точки от
полюса и угол между полярной осью и
радиус– вектором этой точки. Этот угол
называется полярным
углом.
0
Можно
установить связь между полярной системой
координат и декартовой прямоугольной
системой, если поместить начало декартовой
прямоугольной системы в полюс, а полярную
ось направить вдоль положительного
направления оси
.
Тогда
координаты произвольной точки в двух
различных системах координат связываются
соотношениями:
x
= rcos;
y = rsin;
x2
+ y2
= r2.
Взаимосвязь
полярных и декартовых координат
определяется формулами:
.
В
полярной системе координат уравнения
эллипса, параболы или правой ветви
гиперболы имеют вид:
,
причем, данное уравнение задает эллипс,
если
;
параболу, если
;
гиперболу, если
.
Левая ветвь гиперболы задается уравнением
.
Инварианты
кривых второго порядка.
Определение.
Инвариантами
уравнения линии второго порядка
называются следующие выражения:
,
,
.
Определение.
Если инвариант
,
то линия называется линией эллиптического
типа, если
,
то – гиперболического типа, если
,
то – параболического типа.
Таблица
для определения типа кривой второго
порядка.
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
парабола |
пара |
|
эллипс |
точка |
|
гипербола |
пара |
Решение
типовых задач.
Задача
№1.
Составить
уравнение параболы, если даны её фокус
и директриса
Решение:
I
способ
Пусть
– произвольная точка параболы, тогда
(по определению параболы) расстояние
от точки
до фокусаF
равно её расстоянию
до директрисы.
Возведём
в квадрат обе части, получим искомое
уравнение:
II
способ
Сделаем
чертёж:
|
Очевидно, Вершина |
|
Совершим
параллельный перенос системы
на вектор
:
В
полученной системе координат
уравнение параболы имеет канонический
вид:
,
где
– расстояние между фокусом и директрисой,
.
Тогда
.
Из формул параллельного переноса
следует:
.
Поэтому уравнение параболы примет вид:
.
Ответ:
.
Задача
№2.
Найти
фокус и директрису параболы
.
Решение:
выразим из уравнения:
.
Сделаем
преобразование системы координат
:
.
Тогда
–
это преобразование есть параллельный
перенос.
Уравнение
параболы в системе
примет
вид:
|
|
Очевидно, |
уравнение директрисы имеет вид:
.
имеет координаты
Перейдём
к исходной системе координат: уравнение
директрисы:
.
Фокус
F
имеет координаты:
Ответ:
.
Задача
№3.
Точка
лежит на гиперболе, фокус которой
а соответствующая директриса задана
уравнением
.
Составить уравнение этой гиперболы.
Решение:
Пусть
– произвольная точка гиперболы. По
теореме об отношении расстояний
(отношение расстоянияr
от любой точки гиперболы до фокуса к
расстоянию d
от этой точки до соответствующей
директрисы есть величина постоянная,
равная эксцентриситету гиперболы):
,
;
,e
найдём, применив теорему для данной
точки
тогда
.
Сделав
соответствующие преобразования, получим
уравнение:
.
Ответ:
.
Задача
№4.
Точка
лежит
на эллипсе, фокус которого
а соответствующая директриса задана
уравнением
.
Составить уравнение этого эллипса.
Решение:
Решение
этой задачи аналогично предыдущей
задачи.
Пусть
– произвольная точка эллипса. По теореме
об отношении расстояний имеем:
.
e
найдём по этой же теореме, используя
точку
Тогда
уравнение эллипса примет вид:
.
Ответ:
.
Задача
№5.
Из
фокуса параболы
опущен перпендикуляр на прямую, проходящую
через центр эллипса
и составляющую с осью
угол 135°. Составить уравнение этой прямой
и найти длину перпендикуляра.
Решение:
Найдём
координаты центра эллипса, для этого
преобразуем его уравнение:
;
.
Итак,
координаты
эллипса
Прямая
проходит через точку
,
угловой коэффициент прямой
,
поэтому уравнение прямой примет вид:
,
т.е.
.
Найдём
фокус параболы
,
т.е.
= 8, поэтому
Искомая
длина перпендикуляра – это расстояние
от фокуса до прямой
,
поэтому
.
Ответ:
,
.
Задача
№6.
Даны
вершина параболы
и уравнение её директрисы
.
Составить уравнение этой параболы.
Решение:
Найдём
фокус параболы, для этого опустим из
вершины
параболы перпендикуляр на директрису:
.
Эта прямая является осью симметрии
параболы.
Найдём
точку
,
пересечение оси симметрии параболы с
её директрисой:
.
Фокус
параболы – это конец отрезка
с известными началом
и серединой
поэтому
Зная фокус параболы и её директрису,
найдём её уравнение.
Ответ:
.
Задача
№7.
Определить,
при каких значениях
прямая
:
1)
пересекает эллипс
;
2)
касается его;
3)
проходит вне этого эллипса.
Решение:
Решая
систему
,
получим уравнение
.
-
Чтобы
прямая пересекала эллипс, нужно чтобы
полученное квадратное уравнение
относительно x
имело два решения, для этого дискриминант
D>0.
.
Откуда
.
-
Чтобы
прямая касалась эллипса, нужно чтобы
,
т.е. -
Нет
пересечений, если
т.е.
,
т.е.
Ответ:1)
при
пересекает эллипс;
2)
при
касается эллипса;
3)
при
проходит вне эллипса.
Задача
№8.
Провести
касательные к эллипсу
параллельно прямой
и вычислить расстояние между ними.
Решение:
Если
–
точка касания, то уравнение касательной
к эллипсу имеет вид:
.
Угловой
коэффициент
к
этой касательной равен:
.
Но
касательная параллельна прямой
,
поэтому
Поэтому, чтобы найти точки касания,
решим систему:
.
Оттуда
точка
имеет координаты
и
Поэтому, используя уравнение
,
будем иметь уравнения касательных:
и
.
Расстояние
между касательными – это расстояние
от точки
до второй касательной:
.
Ответ:
,
,
.
Задача
№9.
Написать
уравнение эллипса, для которого прямые
и
есть
соответственно большая и малая оси, и
длины полуосей которого
,
.
Решение:
Найдём
центр
эллипса:
|
Обозначим Через В |
|
систему координат, началом которой
а
и
.
обозначим систему координат с началом
и осями координат, совпадающими с
Повернём
систему
на угол, равный -45º, тогда система совпадёт
с системой
.
Формулы поворота:
или
.
А
уравнение эллипса примет вид:
.
Сделаем
второе преобразование: параллельно
перенесём систему
на вектор
.
Формулы
параллельного переноса:
.
Уравнение
эллипса в системе
примет
вид:
.
Ответ:
.
Задача
№10.
Не
приводя преобразование координат,
установить, какой геометрический образ
определяет уравнение, и найти величины
его полуосей:
.
Решение:
.
.
.
Итак,
уравнение определяет эллипс. Составим
характеристическое уравнение:
.
Тогда
преобразованное уравнение примет вид:
.
Откуда
каноническое уравнение примет вид:
.
Ответ:
эллипс,
,
.
Задача
№11.
Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:
.
Решение:
Уравнение
определяет гиперболу. Т.к.
>0,
то действительной осью является ось
.
Составим характеристическое уравнение:
.
Каноническое
уравнение гиперболы:
,
т.е.
.
Ответ:
гипербола,
,
.
Задача
№12.
Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:
.
Решение:
,
,
– парабола,
.
Каноническое уравнение:
.
Ось
параболы определяется уравнением:
.
В
разбираемом случае имеем:
.
Вершину параболы находим как точку
пересечения линии с её осью из системы
уравнений:
или
или
или
.
Вершина
параболы
.
Единичный направляющий вектор оси
параболы в сторону вогнутости при
определяется уравнением и неравенством:
.
В
рассматриваемом случае имеем:
Имеем:
;
.
Ответ:
парабола,
;
.
Задача
№13.
Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:
.
Решение:
,
,
– пересекающиеся прямые. Точка пересечения
находиться как центр линий:
Точка
пересечения
.
Направляющие векторы прямых находятся
как векторы асимптотических направлений:
Направляющие
векторы прямых:
Уравнения
прямых:
и
или
Ответ:
пересекающиеся прямые:
Задача
№14.
Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:
Решение:
,
,
–
пара прямых (действительных, мнимых или
совпадающих).
Чтобы
решить, какие это прямые, достаточно
найти точки пересечения данной линии
с осью
.
Имеем:
,x
= 0, или
–
действительные параллельные прямые.
Направляющие векторы прямых имеют
асимптотические направления и находятся
из уравнения:
.
Направляющие
векторы прямых
.
Их угловой коэффициент
.
Уравнения прямых:
или
.
Ответ:
параллельные прямые:
.
Задача
№15.
Установить,
какие линии определяются следующими
уравнениями:
1)
;
2)
.
Решение:
1)
.
ОДЗ:
;
.
После
преобразований уравнение эллипса
принимает вид:
.
Итак,
координаты центра эллипса
полуоси
и
.
Учитывая, что
,
можно сказать, что искомой линией
является половина эллипса, расположенная
над прямой
.
2)
.
|
ОДЗ:
|
|
|
|
|
Т.к. Итак,
Центр
Ответ:
в |
,
.
,
Задача
№16.
Определить,
какие линии определяются следующими
уравнениями:
Изобразить
линии на чертеже.
Решение:
1)
ОДЗ:
,
.
Ответ:
часть гиперболы
,
расположенная в верхней полуплоскости.
|
Ответ: |
|
,
|
|
.
Ответ:
Ветвь гиперболы
,
расположенная
в
левой полуплоскости.
Задача
№17.
Уравнение
кривой в полярной системе координат
имеет вид:
.
Найти уравнение кривой в декартовой
прямоугольной системе координат,
определит тип кривой, найти фокусы и
эксцентриситет. Схематично построить
кривую.
Решение.
Воспользуемся
связью декартовой прямоугольной и
полярной системы координат:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Получили
каноническое уравнение эллипса. Из
уравнения видно, что центр эллипса
сдвинут вдоль оси
на
вправо, большая полуосьa
равна
,
меньшая полуось
равна
,
половина расстояния между фокусами
равно
1/2.
Эксцентриситет равен
.
Фокусы
и
y
F1
F2
-1 0
½ 1 2
–
Образовательным
результатом после изучения данной темы
является сформированность компонент,
заявленных во введении, совокупности
компетенций (знать, уметь, владеть) на
двух уровнях: пороговый и продвинутый.
Пороговый уровень соответствует оценке
«удовлетворительно», продвинутый
уровень соответствует оценкам «хорошо»
или «отлично» в зависимости от результатов
защиты кейс-заданий.
Для
самостоятельной диагностики данных
компонент вам предлагаются следующие
задания.
