Как по уравнениям высот найти точку пересечения

Решение

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

= , или y = – x – 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = – . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁ ^. k₂ = – 1. Поэтому

k₂ = – = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; – 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

y + 1 = 2(x – 5), или y = 2x – 11.

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

= , или y = x – .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄ ^. k₃ = – 1. Поэтому

k₄ = – = – 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; – 8) и угловому коэффициенту k₄ = – 3:

y + 8 = – 3(x – 4), или y = – 3x + 4.

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

Получим: x = 3, y = – 5.

Ответ

(3; – 5).

Например, имеются следующие данные точек:
А – 4,3;
В – 0,5;
С – 3,-6.

Первое , что необходимо найти наклон сторон, который обозначается – m , используется формула :

Из этого следует:

Далее необходимо найти наклон перпендикулярных сторон, для этого используется формула:

Имеем:

Когда найден наклон перпендикуляров, можно использовать уравнение линий, например, для линии AD, где точка 4,3, а наклон равен 3/11:

y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

С помощью упрощения, имеем: 3х – 11у=-21
Для линии ВЕ, где точка 0,5, а наклон -1/9, имеем

Упрощение дает: х+9у=45.
И последние линии CF, где точка 3, -6, а наклон 2, имеем уравнение y+6 = 2(x-3).
И упрощение, 2x — y = 12.
Если решить два из трех уравнений будут найдены значения х и у. Для данного примера:
Значение х = 8,05263;
Значение у = 4,10526.
Которые в данном случае являются координатами искомого Ортоцентра.

Для этого нужно найти уравнения прямых $%BH$% и $%CM$%.

$%CM:$%
Точка $%M$% имеет координаты

$$M(frac{x_a+x_b}{2};frac{y_a+y_b}{2})=M(frac{-7-2}{2};frac{5-3}{2})=M(-4,5;1)$$

Уравнение прямой, проходящей через точки $%M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)$% можно найти как $$frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$

тогда уравнение прямой $%CM$% запишется как

$$frac{x+4,5}{6+4,5}=frac{y-1}{-5-1};frac{x+4,5}{10,5}=frac{y-1}{-6};frac{2x+9}{21}=frac{1-y}{6};$$
$$12x+54=21-21y; 21y+12x+33=0;7y+4x+11=0$$

$%BH:$% сначала найдем уравнение прямой $%AC:$%

$$frac{x+7}{6+7}=frac{y-5}{-5-5};frac{x+7}{13}=frac{y-5}{-10};-10x-70=13y-65;13y+10x+5=0$$

тогда уравнение нормали к этой прямой имеет вид: $%10y-13x+c=0$%, подставив в это уравнение координаты точки $%B$%, найдем уравнение $%BH.$% $%10times(-3)-13times(-2)+c=0;c=4;$% $%BH:10y-13x+4=0$%

Осталось определить точку пересечения. Для этого составляем систему $$7y+4x+11=0;$$ $$10y-13x+4=0$$
Домножим первое уравнение на 10, второе – на -7
$$70y+40x+110=0;$$ $$-70y+91x-28=0$$
Сложим уравнения:
$$131x+82=0, x=-frac{82}{131}$$
$$7y-4timesfrac{82}{131}+11=0;7y=frac{4times82-11times131}{131}; y=-frac{159}{131}$$

Таким образом, точка пересечения $%D(-frac{82}{131};-frac{159}{131})$%. Выглядит, конечно, не ахти, но все перепроверил и, по-моему, все правильно…

Даны уравнения сторон треугольника:

p = 4х – у – 7 = 0,

t = х + 3у – 31 = 0,

q = х + 5у – 7 = 0.

Находим вершины треугольника как точки пересечения прямых:

p + t = A.   4х – у – 7 = 0,           4х – у – 7 = 0,

                 х + 3у – 31 = 0|*-4     -4х – 12у + 124 = 0,

                                                         – 13y + 117 = 0  

y = -117/-13 = 9,     x = 31 – 3*y = 31 – 3*9 = 4.

Точка А(4; 9).

Аналогично находим:

Точка В = t + q = (67; -12).

Точка С = p + q = (2;1).

Векторы: АВ = (63; -21), ВС = (-65; 13),  АС = (-2; -8).

Уравнения сторон:

АВ = (х – 4)/63 = (у – 9)/(-21),

ВС = (х – 67)/(-65) = (у + 12)/13,

АС = (х – 4)/(-2) = (у – 9)/(-8).

Находим угловые коэффициенты сторон:      

Кав = Ув-Уа = -21       = -1/3.

 Хв-Ха  63

Квс = Ус-Ув = -13      =    -1/5.

 Хс-Хв         -65

Кас = Ус-Уа = -8       =   4.

 Хс-Ха  -2

Угловой коэффициент перпендикуляра равен -1/к(стороны).

к(АА1) = -1/к(ВС) = -1/(-1/5) = 5,

к(ВВ1) = -1/к(АС) = -1/4,

к(СС1) = -1/к(АВ) = -1/(-1/3) = 3.

Уравнение высоты равно: у = кх + в.

Подставив значения соответствующего к и координаты точек, получаем уравнения сторон:

АА1: у = 5х – 11.

ВВ1:  у = (-1/4)х +  4,75
.

СС1:  у = 3х – 5
.

Искомую точку пересечения высот находим как решение системы двух уравнений высот.

АА1: у = 5х – 11.

СС1:  у = 3х – 5
.

Отсюда 5х – 11 = 3х – 5,   2х = 6, х = 6/2 = 3.

              у = 3*3 – 5 = 9 – 5 = 4.

Ответ: точка пересечения (3; 4).