Как понять найдите сумму чисел

Содержание:

• Определение суммы чисел
• Свойства суммы чисел

Определение суммы чисел

Суммой $s$ (лат. summa – итог, общее количество) чисел $a_{1}, a_{2}, dots, a_{n}$ называется результат
суммирования этих чисел: $s=a_{1}+a_{2}+ldots+a_{n}$ . В частности, если складывается два числа $a$ и $b$, то

Пример

Задание. Найти сумму чисел:

1)  $12$  и $15$      2)  $1,1 ; 2,2 ; 3,3$  и $4,4$ 

Ответ.

$12+15=27$

$1,1+2,2+3,3+4,4=11$

Свойства суммы чисел

1. Коммутативность: $n+m=m+n$

2. Ассоциативность: $(n+m)+k=n+(m+k)$

   На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

3. Дистрибутивность по отношению к умножению

   $$(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1)  $15+17+13$   ;   2)  $34+22+16+18$ 

Решение. По свойствам сложения имеем

$$15+17+13 =15+(17+13)=15+30=45 $$

$$34+22+16+18 =(34+16)+(22+18)=50+40=90 $$

Ответ. 1)  $15+17+13=45$

            2)  $34+22+16+18=90$

При сложении больших чисел или
десятичных дробей используется сложение в столбик.

Пример

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1)  $1562+13827$   ;   2)  $34,71+356,161$ 

Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом.
В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем
числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном
столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:

Ответ. 1)  $1562+13827=15389$

            2)  $34,71+356,161=390,871$

Сложение рациональных дробей производится по правилу

$$frac{m}{n}+frac{p}{q}=frac{m cdot q+n cdot p}{n cdot q}$$

Пример

Задание. Найти сумму чисел:

1)  $frac{1}{4}+frac{1}{6}$   ;   2)  $frac{2}{3}+1 frac{1}{2}$ 

Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел

$$frac{1}{4}+frac{1}{6}=frac{1 cdot 6+1 cdot 4}{4 cdot 6}=frac{6+4}{24}=frac{10}{24}$$

Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим

$$frac{1}{4}+frac{1}{6}=frac{5}{12}$$

Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого
умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим
правило сложение рациональных дробей

$$frac{2}{3}+1 frac{1}{2}=frac{2}{3}+frac{3}{2}=frac{2 cdot 2+3 cdot 3}{3 cdot 2}=frac{4+9}{6}=frac{13}{6}$$

Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком.
Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.

$$frac{2}{3}+1 frac{1}{2}=2 frac{1}{6}$$

Ответ. 1)  $frac{1}{4}+frac{1}{6}=frac{5}{12}$   ;   
2)  $frac{2}{3}+1 frac{1}{2}=2 frac{1}{6}$ 

Читать дальше: что такое произведение чисел.

Как сложить целые числа от 1 до N? Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N – наибольшее число ряда. Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N. Пример: (100(100+1))/2 = 100(101)/2 = (10100)/2 = 5050 Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим В Рокот­ов [278K] 2 месяца назад  Этот вопрос один из самых популярных в школьном образовании, даже несмотря на то, что сейчас на любое действие имеется онлайн калькулятор или иной электронный ресурс с подстановкой данных. Однако, более пригодится все-таки иметь представление о счете в диапазоне самому. Самая удобная формула нахождения суммы последовательного ряда в диапазоне от 1 до какого-то еще числа, назовем его N, такая: S =(n+1)*n/2; где N – наибольшее число ряда. Математику на пальцах не объяснишь, нужны примеры. Возьмем скажем последовательный ряд от единицы до пятнадцати., где нужно найти сумму диапазона от 1 до 15: (1+15)*15/2=120. Теперь стало более понятно. Удачи в будущих свершениях! -Irink­a- [281K] 2 месяца назад  Для того, чтобы облегчить жизнь – сделать расчеты более быстрыми и легкими, необходимо знать и пользоваться формулами. Для того, чтобы быстро и легко рассчитать сумму чисел, не производить сложение чисел в ручную, стоит воспользоваться формулой. Данная формула проверена ниже в ответе. В данной формуле буквой n обозначено максимальное число в данном ряду. Для того, чтобы понять формулу, можно произвести наглядный рассчет. За n условно возьмём число 6. Теперь подставляем зга, гения в формулу. S = 6×(6+1)/2 = 42/2 = 21. Теперь произведём сложение чисел последовательно без использования формулы. S = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21. Данные расчёты доказывают, что формула рабочая и ч её помощью произвести расчёт быстрее. Extri­mal [148K] 2 месяца назад  В математике данный вопрос можно встретить довольно часто. Многие считают, что это проще сделать вручную, складывая числа друг с другом по очереди. Однако если речь идет о больших числах, например если N=100, то проще воспользоваться формулой. Формула следующая Сумма равна (n+1) умножаем на n и делим на 2. Пробуем вычислить сумму, если n равно 100. 101*100/2 получаем 5050. Корне­тОбол­енски­й [160K] 2 года назад  Имеем ряд натуральных чисел. Первое число в ряду – единица, последнее N. Их сумму можно вычислить по формуле Для примера рассмотри сумму первых 10 натуральных чисел. В формулу вместо N поставим 10. Получим 10*(10+1)/2 = 55. Проверить несложно, посчитав эту сумму вручную. Серге­й1111­0 [19.3K] 3 года назад  На самом деле, можно заметить, что ряд натуральных чисел образует арифметическую прогрессию с шагом 1. Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется формулой: S = (a1+an)*n/2; a1 = 1, а значит S = (n+1)*n/2 Это и есть сумма первых n натуральных чисел. Есть еще много способов ее посчитать, к примеру, написать программу на языке программирования (примерный код прилагаю): program a; var sum, i, n:longint; begin sum = 0; read(n); for i:=1 to n do begin sum:=sum+i; end; writeln(sum); end. Это код на языке программирования “Паскаль”. Думаю, есть еще много способов посчитать сумму n первых натуральных чисел, но основные я перечислил. Просв­ет [4.1K] 7 лет назад  Целые числа – это все числа, которые не дробные и не имеют десятично части, то есть 1, 2, 3, 10, 14, и так далее. Чтобы узнать их сумму, нужно ввести такой процесс с циклом: 1.. Задается N. A=0 S=0 2.. От 1 до N делать A=А+1 S=S+A В результате вы получите окончательный ответ S – сумма. (Вводить можно в паскале) MarkT­olkie­n [85.3K] 6 лет назад  Задача сложить ряд чисел от единицы до N не так сложна, но она требует слишком много времени. Упростить задачу призвана довольно простая формула: (N * (N + 1)) / 2 . Проверить формулу можем на простом примере вычисления суммы чисел от 1 до 5. 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15. По формуле получаем 5 * (5 + 1) / 2 = 15. Чосик [208K] более года назад  В данном примере мы обозначаем сумму чисел как S, а N – будет числом, до которого будет идти счет. То есть, N является самым большим числом среди всех. Рассчитываем сумму по формуле: Проверить правильность решения можно на малом числе. Допустим, N = 7. Можно просчитать сумму от 1 до 7. Выходит S = 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Теперь решим по формуле. S = 7 * (7+1)/ 2 = 7*8/2 = 56/2 = 28 владс­андро­вич [766K] более года назад  Если у нас идут натуральные числа вряд. При этом первым числом будет цифра 1, а последним N, то есть неизвестное. Тогда сумма их вычисляется вот такой вот формулой: (N * (N + 1)) / 2 . К примеру у вас в сумме идут 5  натуральных чисел. В формуле вместо N должна быть цифра 5.  В итоге рассчитываем все так 5*(5+1)/2 =15. Степа­н БВ [41.2K] 2 месяца назад  Сложить целые числа от 1 до N можно по формуле суммы арифметической прогрессии: S = (N * (N + 1)) / 2 где S – сумма чисел от 1 до N, N – последнее число в ряду. Например, если нужно сложить числа от 1 до 10, то S = (10 * (10 + 1)) / 2 = 55 Таким образом, сумма чисел от 1 до 10 равна 55. Natas­ha145 [17K] 7 лет назад  Это арифметическая прогрессия. Формула суммы N – первых членов такава: Знаете ответ?

Сумма и разность чисел

Что такое сумма, и как ее найти

Сумма – это результат складывания двух чисел (слагаемых), между которыми стоит знак +. Чтобы получить сумму, нужно к одному слагаемому прибавить второе слагаемое. В общем виде пример можно показать так: a + b = s, где а – первое слагаемое, b – второе слагаемое, а s – результат сложения этих двух слагаемых. При этом нужно знать, что от перестановки слагаемых сумма не меняется, — это одно из самых первых правил в математике, которое проходят в начальной школе.

Чтобы наглядно показать ребенку, как сложить числа, возьмите конфеты или любые другие вещи. Покажите ребенку две конфеты, а затем прибавьте к этим конфетам еще две. Пусть ребенок посчитает и скажет, что теперь конфет оказалось четыре. Объясните ему, что он только что сложил эти числа, то есть прибавил к одному числу другое число и в конечном итоге получил сумму.

Немного сложнее объяснить сложение разрядных слагаемых, эта тема может быть непонятна ребенку. Итак, существует множество разрядов: единицы, десятки, тысячи. Возьмите, к примеру, число 2564. Если разложить его на разряды, то получится: 2564 = 2000 + 500 + 60 + 4. Чтобы прибавить к этому числу, например, число 305, воспользуйтесь сложением в столбик. При таком сложении нужно прибавлять одни разряды к другим, начиная с конца: единицы к единицам, десятки к десяткам, тысячи к тысячам. То есть, для начала складываем 4 и 5, затем 6 и 0, после 5 и 3, и в конце 2 и 0. В конечном итоге получаем число 2869.

Как найти разность чисел

Разность – результат вычитания одного числа из другого. В отличие от суммы, здесь мы не можем воспользоваться правилом «от перестановки слагаемых разность не меняется», так как в вычитании всегда есть уменьшаемое и вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое и разность, для начала нужно разобраться с этими понятиями. Уменьшаемое – это то, из чего мы «вычитаем», то есть убираем, а вычитаемое – количество того, что мы у этого уменьшаемого вернем.

В общем виде вычитание можно записать так: a — b = r.
Обратимся к тем же конфетам, с которыми мы разбирали сумму чисел. Чтобы помочь ребенку найти разность чисел, возьмите пять конфет. Пусть ребенок посчитает и убедится, что их пять. Затем заберите себе три конфеты. Ребенок скажет, что их осталось две. А сколько тогда забрали? Три.

А что касается разрядных слагаемых, то здесь мы делаем то же самое, что и с суммой, только теперь не прибавляем, а вычитаем. Возьмем число 6845 и вычтем из него 4231. Для этого мы вычитаем один разряд из другого разряда, производя вычитание с конца: 5-1 = 4, 4-3 = 1, 8-2 = 6, 6-4 = 2. В ответе получим 2614.

Источник

1-й класс Математика. «Сумма и значение суммы»

Цели:

Познакомить и формировать умение пользоваться математическими терминами » сумма», » значение суммы». Совершенствовать вычислительные навыки.

Развивать умения сравнивать , анализировать, обобщать. Развивать математическую речь, интерес к математике.

Воспитывать самостоятельность, дисциплинированность, умение работать в коллективе.

Оборудование: Мел, доска, карточки, мультимедийная установка, презентация.

1. Организация класса на урок.

2. Сообщение темы и целей урока:

Сегодня на уроке мы будем открывать и раскрывать тайны математики. Итак, в путь!

3. Знакомство с новым материалом.

Ребята, а вы любите сказки? А сказки Уолта Диснея? Сейчас я зачитаю отрывок из сказки, а вы попробуйте догадаться о ком идет речь.

Просыпайся, друг Филин!- весело крикнул зайчонок Толстячок.- Новый принц родился!

Радостная весть мгновенно облетела лес, и все лесные жители спешили посмотреть на новорожденного олененка. Они умилялись, глядя на то, как он пытается встать. Его ножки были еще слишком слабыми, и он все время падал.

Кто его узнал? Это, действительно, олененок по имени Бемби. И вот однажды наступило время познакомить его с лесом Из сказки мы с вами знаем, что Бемби любознательный, поэтому он приходил в восторг от всего, что видел вокруг.

Давайте мы с вами отправимся с олененком в необычный «лес-математики».

Олененок попадает на полянку и видит множество цветов. Но присмотревшись поближе , он замечает, что цветы хранят в себе какую-то тайну.

Помогите ему разгадать эту тайну.

Посмотрите и скажите, что вы видите? Какие всевозможные математические записи мы можем составить?

Источник

Числовые и буквенные выражения

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Числовые выражения: что это

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.

Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.

Например:

• 23 + 5 = 28
• 5 — 2 = 3
• 52 * 3 = 156
• 28 : 7 = 4

Это простые числовые выражения.

Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:

• (5 * 3) — (5 * 2) = 5
• 6 : (7 — 4) = 2
• (45 + 45) : 9 = 10
• 11 * (5 * 5) = 275

Это сложные числовые выражения.

Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».

Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.

11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.

При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:

• Сначала выполняется действие, записанное в скобках.
• Затем выполняется деление/умножение.
• В последнюю очередь выполняется сложение/вычитание.

Пример 1. Найдите значение числового выражения: 3 * (2 + 8) — 4

Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)

(6 + 7) * (13 + 2) = 195

Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.

Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.

Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2

Сначала находим значение первого выражения:

14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2

Пример 2. Сравните следующие числовые выражения:
5 * (12 — 2) — 7 и (115 + 9) — (7 — 3)

Находим значение первого выражения, соблюдая порядок выполнения арифметических действий:

43 меньше 120
43

Буквенные выражения

Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.

В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.

Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.

Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.

У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:

• Сначала следует прочитать его полностью.
• Затем оно записывается.
• Третьим шагом идет подстановка значения неизвестного в выражение.
• А затем производится вычисление, согласно очередности выполнения арифметических действий.

Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.

1. Читаем: найдите сумму числа 5 и x.
2. Подставляем вместо неизвестного x число 4.
3. Вычисляем: 5 + 4 = 9.

Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).

1. Читаем: найдите произведение суммы числа 4 и а и суммы числа 2 и x.
2. Подставляем вместо неизвестного a число 2.
3. Вычисляем 4 + 2 = 6.
4. Подставляем вместо неизвестного x число 5.
5. Вычисляем 2 + 5 = 10.
6. Находим произведение 6 * 10 = 60.
7. Записываем результат: (4 + 2) * (2 + 5) = 60.

Выражения с переменными

Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.

• Например, в выражении x + a — 8
  x — переменная
  a — переменная

Если вместо переменных подставить числа, то буквенное выражение x + a — 8 станет числовым выражением. Вот так:

• подставляем вместо переменной x число 5, а вместо переменной a — число 10, получаем 5 + 10 — 8.

Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.

После подстановки значения переменных находим значение x + a — 8 = 5 + 10 — 8 = 7.

Часто можно встретить буквенные выражения, записанные следующим образом:
5x — 4a

Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.

5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a

Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.

Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.

Задание раз.

1. Сумма 6 и a.
2. Разность 8 и x.
3. Сумма x — 2 и 6
4. Разность 15 и x — y
5. Сумма 45 + 5 и 12 — 6

Задание два.

Составьте буквенное выражение:

Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.

Ответ: (b — 345) + (180 + x).

Задание три.
Составьте буквенное выражение:
Разность разности 30 и y и разности a и b.
Ответ: (30 — y) — (a — b).

Задание четыре.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Ролл «Калифорния» стоит 480 рублей — это на 40 рублей меньше, чем ролл «Филадельфия». Сколько будут стоить оба ролла?
Как решаем:
Калифорния — 480 рублей.
Филадельфия — 480 + 40.
Калифорния + Филадельфия = ?
480 + (480 + 40).
Мы помним, что выполнение арифметических действий в числовом выражении имеет строгую последовательность. Сначала — действие в скобках:
480 + 520 = 1 000.

Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.

Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?

Маша — 150 видео.
Лена — 150 + 13 видео.
Маша + Лена = ? видео.

150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.

Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.

Задание шесть.
Вычислите:
(500 + 300) : a — 15,
при условии, что a = 10.

Подставляем число 10 (значение переменной) вместо переменной
(500 + 300) : 10 — 15

Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 500 + 300 = 800.
Затем выполняем деление 800 : 10 = 80.
Выполняем вычитание 80 — 15 = 65.

Ответ: (500 + 300) : 10 — 15 = 65.

Задание семь.
Вычислите:
(270 — 120) * (x — 10),
при условии, что x = 45.

Как решаем: подставляем число 45 (значение переменной) вместо переменной x
(270 — 120) * (45 — 10).

Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 270 — 120 = 150.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 45 — 10 = 35.
Затем выполняем умножение 150 * 35 = 5 250

Ответ: (270 — 120) * (45 — 10) = 5 250.

Задание восемь.
Вычислите:
(50 * x) — (3 * y)
при условии, что x = 2; y = 10

Подставляем число 2 вместо переменной x
(50 * 2) — (3 * y).

Подставляем число 10 вместо переменной y
(50 * 2) — (3 * 10).

Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 50 * 2 = 100.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 3 * 10 = 30.
Затем выполняем вычитание 100 — 30 = 70

Источник

Что такое сумма чисел

Определение суммы чисел

Суммой $s$ (лат. summa — итог, общее количество) чисел $a_<1>, a_<2>, dots, a_$ называется результат суммирования этих чисел: $s=a_<1>+a_<2>+ldots+a_$ . В частности, если складывается два числа $a$ и $b$, то

Задание. Найти сумму чисел:

1) $12$ и $15$ 2) $1,1 ; 2,2 ; 3,3$ и $4,4$

Ответ.

Свойства суммы чисел

На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

Дистрибутивность по отношению к умножению

$$(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$$

Что такое сумма чисел не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1) $15+17+13$ ; 2) $34+22+16+18$

Решение. По свойствам сложения имеем

Ответ. 1) $15+17+13=45$

При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1) $1562+13827$ ; 2) $34,71+356,161$

Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:

Ответ. 1) $1562+13827=15389$

Сложение рациональных дробей производится по правилу

Задание. Найти сумму чисел:

Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел

Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим

Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей

Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.

Источник

Did this article help you?

Всем привет! Добро пожаловать на канал любителей математики! Сегодня Вас ждёт увлекательная тема.

Большинство из нас в старших классах школы или другом учебном заведении изучали пределы. О них мы ещё как-нибудь поговорим подробнее. При их изучении мы сталкивались с таким понятием, как бесконечность. Понятие это довольно абстрактное, но, тем не менее, в математике оно используется нередко. Главное, понять его суть. Бесконечность – это то, что никогда не прекратит увеличиваться (или уменьшаться, если говорить о минус бесконечности). Как только Вы где-то остановитесь, это уже будет не бесконечность. Это, скорее всего, будет какое-то колоссальное число больше гугола или даже гуголплекса. Слышали про такие числа? Если нет, то гугол – это 10 в степени 100, а гуголплекс – это 10 в степени гугол )) Так вот, бесконечность, важно понять, – это не какое-то очень большое число, это идея. Но с этой идеей можно работать. Это была предыстория к сегодняшней теме ))

Вы когда-нибудь задумывались о том, что получится, если сложить все натуральные числа? 1+2+3+4+5+…=? Сколько это будет? Бесконечность? Бесконечность в степени бесконечность? Как найти или оценить эту сумму? Ответ на этот вопрос, как Вы увидите, абсолютно неочевиден. Более того, он большинству покажется бредом)) Тем не менее это факт. Который, кстати, используется в некоторых областях физики: в частности, в квантовой механике и теории струн.

Существует несколько способов для нахождения суммы всех натуральных чисел. Например, через дзета-функцию и эта-функцию Дирихле. Но это относится к области математического анализа и для большинства будет очень сложно в понимании. Но есть и довольно простой и наглядный способ показать, как найти эту сумму, не углубляясь при этом в глубины матанализа.

Для того, чтобы найти сумму всех натуральных чисел, нам понадобятся два других вспомогательных бесконечных ряда чисел, точнее их сумма. Первый ряд – это так называемый ряд Гранди, и выглядит он так: 1-1+1-1+1-1+1… и т. д. Второй ряд выглядит так: 1-2+3-4+5-6+7… Он ещё называется знакочередующийся натуральный ряд. Если мы найдём суммы этих двух рядов, то этого будет достаточно, чтобы найти сумму ряда всех натуральных чисел.

Найдём сумму первого ряда:

Почему сумма равна 1/2? Всё просто: если остановиться на нечётном члене ряда, сумма получится равной 1, если на чётном – 0. Поскольку ряд бесконечен, то берётся среднее значение от 0 и 1. Это равно 1/2.

Теперь разберёмся с суммой знакочередующегося натурального ряда.

Для того, чтобы найти сумму ряда, находится его удвоенное значение. Для этого складываем два одинаковых ряда столбиком, но второй сдвигаем относительно первого вправо на один член. Складывая почленно, получим, что удвоенная сумма второго ряда равна сумме ряда Гранди, т. е. 1/2. Тогда сумма знакочередующегося ряда равна половине суммы ряда Гранди, т. е. 1/4.

Что ж, мы нашли суммы вспомогательных рядов. Теперь мы сможем найти сумму всех натуральных чисел.

Для того, чтобы найти искомую сумму, вычтем из неё ряд № 2, сумму которого мы нашли ранее. Вычитая столбиком почленно получаем, что разность нечётных членов равна 0, а чётных: 4, 8, 12, и т. д. Тогда если из полученной суммы вынести за скобку 4, получим, что в скобке остаётся сумма того же ряда всех натуральных чисел. Получится уравнение с одной неизвестной. Решая его, находим, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12. Как я и говорил в самом начале, ответ получился абсолютно неочевидным, пожалуй, даже безумным! Но это на самом деле так ))

Теперь Вы можете, спрашивая у Ваших друзей, чему равна сумма всех натуральных чисел, приводить им ответ, который вызывает просто взрыв мозга! ))) Причём, Вы сможете это доказать!

Надеюсь, друзья, Вам понравилась статья. Буду благодарен за лайки, комментарии и подписки.

P.S. Хотите напоследок интересную задачку из древности? Она должна Вам понравиться. Вот она. Летела стая гусей. Навстречу ей – один гусь. «Здравствуйте, сто гусей», – говорит он им. Вожак отвечает: «Нас не сто гусей; вот если бы нас было столько, сколько сейчас, да ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четвертьстолька, да ещё ты, гусь, с нами, вот тогда нас было бы сто гусей». Сколько гусей летело в стае? Ответ будет в конце следующей статьи.

Предыдущая статья

Следующая статья