Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.
Что такое равенство
Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.
Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты 
и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.
Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: 
и 
. Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.
Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.
Запись равенств, знак равно
Чтобы произвести запись равенства, используют знак равно (или знак равенства), обозначаемый как =.Такое обозначение является общепринятым.
Составляя равенство, равные объекты размещают рядом, записывая между ними знак равно. К примеру, равенство чисел 5 и 5 запишем как 5=5. Или, допустим, нам необходимо записать равенство периметра треугольника АВС 6 метрам: PАВС=6 м.
Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).
Когда возникает необходимость письменно обозначить неравенство объектов, используют знак не равно, обозначаемый как ≠, т.е. по сути зачеркнутый знак равно.
Верные и неверные равенства
Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.
Составим равенство 7=7. Числа 7 и 7, конечно, являются равными, а потому 7=7 – верное равенство. Равенство 7=2, в свою очередь, является неверным, поскольку числа 7 и 2 не равны.
Свойства равенств
Запишем три основных свойства равенств:
- свойство рефлексивности, гласящее, что объект равен самому себе;
- свойство симметричности: если первый объект равен второму, то второй равен первому;
- свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй – третьему, тогда первый равен третьему.
Буквенно сформулированные свойства запишем так:
- a=a;
- если a=b, то b=a;
- если a=b и b=c, то a=c.
Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.
Двойные, тройные и т.д. равенства
Совместно со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, также часто составляются так называемые двойные равенства, тройные равенства и т.д. Подобные записи представляют собой как бы цепочку равенств. К примеру, запись 2+2+2=4+2=6 – двойное равенство, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| – пример четвертного равенства.
При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.
Например, записанное выше двойное равенство 2+2+2=4+2=6 обозначает равенства: 2+2+2=4+2, и 4+2=6, и 2+2+2=6, а в силу свойства симметричности равенств и 4+2=2+2+2, и 6=4+2, и 6=2+2+2.
Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
На простом примере разберем, что такое «равенство» и «неравенство». Для примера возьмем задания из учебника по математике.
Равенства
Там, где равенства, мы видим «4=4». Здесь все правильно, значит это равенство. Второй пример представлен иначе: слева мы видим «5», а справа от знака «4+1».
Если сложить 4 и 1, то получится 5, и слева стоит 5. Левая и правая часть примера равны, а значит это тоже будет равенством.
Неравенства
В примере из учебника мы видим, что с одной стороны примера стоит «4», а с другой «3». 4 и 3 не равны, а значит это называется «неравенство». В нашем случае между 4 и 3 необходимо поставить знак неравенства «>» – «4>3».
Второй пример в столбике «Неравенства» чуть сложнее. Справа от знака здесь стоит выражение «4-1», а слева просто «4». Если от 4 отнять 1, то получится 3. 3 меньше, чем 4, а значит это также будет неравенство, что и обозначается знаком.
Как не запутаться в знаке неравенства
Для того, чтобы не запутаться в какую сторону ставить знак неравенства, можно представить себе клюв птицы. «Клюв» должен смотреть в сторону того числа, которое меньше. Проще говоря, большее число как бы «клюет» меньшее.
Второй способ – использовать точки. Около большего числа ставятся вертикально две точки, а около меньшего – одна посередине. Затем просто соединяем полученные точки и получаем знак неравенства.
Решаем задания
Задание 1
Давайте разберем несколько заданий на основе того, что мы узнали:
Правильные ответы будут следующие:
4>3 3<4 5>2 3<5 1+2=3 5-3=2
Задание 2
Теперь попробуем найти неверные неравенства:
Правильные ответы будут такими:
4+1=5 – верно
3-1<1 – неверно
4<2 – неверно, правильно будет 4>2
3>4 – неверно, правильно будет 3<4
5-1=3 – неверно, правильно будет 5-1=4
2+1=3 – верно
Задание 3
Здесь нам даны карточки, на которых необходимо поставить правильный знак.
Получаются следующие выражения:
3+1=4
5-1=4
4>3
2<4
5>1
3>2
1<4
5>3
Задание 4
Последнее задание практическое и самое интересное.
Нам нужно ответить на вопросы у кого из ребят больше монет, и у кого больше сумма денег.
Для начала разберемся с количеством монет: у Миши 1 монета, а у Коли 2, значит у Коли монет больше. Запишем это как неравенство: 1<2.
Теперь определим у кого из ребят больше денег. У Миши только одна монета достоинством в 5 рублей. Здесь все просто.
А вот у Коли две монеты в 1 и 2 рубля. Посчитаем сколько всего денег у Коли: 1+2 = 3. Получается, что у Коли 3 рубля.
Теперь мы знаем, что у Миши 5 рублей, а у Коли 3 рубля. Значит денег больше у Миши, чем у Коли. Запишем это как неравенство: 5>2+1.
Равенство – это два числовых выражения, между которыми стоит знак “=”.
Например: 5 = 5
Неравенство – это два числовых выражения, между которыми могут стоять знаки “>”, “<” или “≠”.
Так как в данной статье мы акцентируем внимание на том, равны между собой числовые выражения или нет, а не сравниваем, какое из них больше или меньше, знаки “>” и “<” использоваться не будут. Чтобы показать неравенство, мы будем писать “≠”
Возьмём для примера 3 красных карандаша и 3 жёлтых. Спросите у ребёнка, каких карандашей больше. Очевидно, что их равное количество. Представим это в виде числового выражения:
3 = 3
Объясните ребёнку, что знак “=” показывает на равное количество чего-либо
Важный показатель равенства – возможность составить пары с каждым предметом. В нашем примере – из красных и жёлтых карандашей. Совместите их, и у вас получится 3 пары.
А теперь заберём один жёлтый карандаш. У нас осталось 3 красных и 2 жёлтых карандаша. Проверим, можно ли составить пары теперь? Видим, что для 1 красного карандаша не хватило 1 жёлтого карандаша. Значит, предметов неравное количество. Представим в виде числового выражения:
3 ≠ 2
Знак “≠” показывает на неравное количество чего-либо.
Попробуйте составить верные равенства и неравенства:
5 = 6 ≠
7 = 2 ≠
3 = 4 ≠
10 = 5 ≠
6 = 1 ≠
Научиться без труда определять верные равенства и неравенства Вашему ребёнку помогут талантливые педагоги онлайн-школы World of Math.
Уроки в нашей школе – целые приключения, во время которых дети не только понимают математику, но и влюбляются в неё.
Вам остаётся только попробовать, записавшись на бесплатный урок!
|
Что означают понятия “равенство” и “неравенство” в математике? Приведите примеры.
Запись, в которой используется знак “равно” (=), который стоит между математическими объектами, называется “равенством”. Такой знак может разделять два числа, несколько чисел или выражения. Правая и левая части выражений, стоящие перед и после знака “=”, всегда имеют одно и то же значение. Примеры: 5 ∙ 4 = 20; 3 + 6 = 9; 21 : 7 = 3. Бывают случаи, когда выражения имеют совершенно разные значения, в этом случае знак “равно” между ними не ставится. Имеется специальный знак, которым можно отметить, что выражения отличаются между собой: “≠”. Примеры: 15 ≠ 20 – 2; 14 ≠ 6 + 4; 2 ∙ 5 ≠ 12. Неравенство – это понятие, которое связано со сравнением двух математических объектов, но составляются они с использованием знаков “≠”, “>” (больше) и “<“ (меньше). Обычно значения справа и слева от этих знаков имеют разные числовые значения. Примеры: 8 < 10; 3 ∙ 4 > 2 ∙ 5; 81 : 9 < 7 ∙ 8. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Annagne 3 года назад Понятие равенства или неравенства в математике происходит от сравнения либо чисел, либо выражений. Знак равенства обозначается двумя параллельными прямыми одинаковой длины “=”, причём применяться в математике этот знак стал только с конца 16 века, а до этого момента он обозначался в буквенном выражении. Пример равенства : 7=7 или 2+6=8 или a+b=b+a . Неравенство обозначается знаками больше и меньше.
Как правило, и само понятие, и знак равенства легко понимается и запоминается, а вот со знаками больше и меньше у многих детей возникают сложности в запоминании и я, в своё время, не была исключением. Помню, как нас учили запоминать эти знаки в советской школе : если подставить птичку к знаку с право и её клювик открыт – значит это знак больше, а если закрыт – то знак меньше. Например :
Читаем мы слева на право и данные примеры звучат так :
wildcat 4 года назад Равенство – это когда что-то равно другому. Когда мы имеем по пять пальцев на каждой руке, но два глаза, по одному носу. В математике равенство обозначается двумя короткими параллельными полосками: =. Они означают, что без разницы куда идти и что брать, везде все одинаково. 5=5, 6=6, 7=7. Пять пальцев на одной руке равны пяти пальцам на другой и так было всегда. А вот неравенство, это отсутствие совпадения. Это если у тебя пять пальцев на руке, а у Егора четыре, потому что он был дурак и один палец ему оторвало. Получается, что у тебя пальцев больше: 5>4 Это знак “больше”. Он находится над буквой Ю на клавиатуре и чтобы его извлечь следует использовать английский алфавит. Рядом и знак меньше: <, и тоже доступен он в английской раскладке. 4<5 и это действительно так. Попробуйте поднять четыре килограмма, а потом возьмите пять. Чувствуете разницу?
Author 5 лет назад Для данного употребляется знак равно (и ещё его именуют знаком равенства), какой имеет вид =. Пример
При записи различных равенств вносят равные объекты, а также между ними и ставят знак =. К примеру сказать, запись равных чисел 6 и 6 будет начертано следующим образом 6=6, и ее можно прочесть как «шесть равно шести»
А если письменно нам потребуется отметить неравенство 2 объектов, тогда применяется знак не равно ≠. Знак представляет собой просто перечеркнутый знак равно. Например, запись 3+5≠7. Можно прочесть так: «Сумма тройки и пятерки не равна семи». Еще используются знаки “<“, “>”. Меньше, больше.
Когда мы говорим про числовое равенство, мы используем знак “=”. При этом одно числовое выражение, которые стоит справа, равно числовому выражению, которое находится слева. Числовые равенства обладают несколькими свойствами:
Также, если мы проделываем с обоими частями равенства некие одинаковые манипуляции, то равенство не меняет. Например, умножение, сложение (кроме манипуляций с 0), деление и вычитание.
Когда мы говорим про числовые неравенства, то подразумеваем, что она часть выражения больше или меньше другой. Тогда знак равенства не используется, берутся знаки “<” или “>”, “≤” или “≥”. Они также обладают рядом свойств. И могут быть верными и неверными. Например: 3+5>6 – это верное неравенство; 3+5<6 – это неверное неравенство.
Равенство или неравенство – вытекает из сравнения чисел или выражений. Что то одинаковое при сравнении можно назвать равенством. Например 2+5 будет 7 и 3+4 даст в сумме 7 эти два выражения 2+5 и 3+4 между собой равны и записать можно так: 2+5=3+4 Неравенством, соответственно будет выражение, в котором сумма в правой части будет отличаться от суммы в левой части выражения. Например: 2+6 не равно 3+4, а больше по значению. Неравенство записывают знаками больше или меньше или перечеркнутым знаком равенства.
Maria Muzja 5 лет назад Эти понятия (равенство/неравенство) в математике, очень взаимосвязаны между собой. Равенство – это понятие, которое проходят еще в начальной школе, и под этим термином, надо понимать “высказывание”, к которому можно применить знак “=”, что-то равное и идентичное. Бывают и числовые равенства. Бываеют равенства неверные и верные. А “неравенство” – это такое математическое утверждение, показывающее, на сколько одно число, отличается от другого.
Dilyara K 5 лет назад Равенством называют такие математические выражения, когда значения слева и справа от знака “=” равны. Равенство, примеры: 18 – 6*2 = 6 23 – (13 + 3) = 7 Если значения слева и справа различны, то вместо знака равенства ставятся знаки неравенства “<“, “>”, в зависимости от того, какая сторона неравенства больше. Неравенство, примеры: 7 – 9 < 5 17 > 21 – 19
[пользователь заблокирован] 5 лет назад В алгебре существует понятие “математическое выражение”. Если совсем просто это, набор всевозможных математических действий и преобразований. Результатом “выражения” является его значение. Если значения двух выражений одинаковы, значит присутствует “равенство”, если значения отличаются, это “неравенство”
Алиса в Стране 4 года назад Равенство в математике – это математическое выражение, между частями которого стоит знак “ровно”. Например: 7 + 5 = 12 lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5 Неравенство же это когда в математическом выражении между его частями стоит не знак “равно”, а знак “меньше” или знак “больше”. Например: 4 – 2 < 5 4 (х – 2)∙(х + 2) > 0. Иногда между частями выражения ставится вот такой вот знак (перечеркнутый знак “равно”: ≠, тогда это выражение тоже можно назвать неравенством: 20 + 5 ≠ 19 √ n(х) ≠ √ m(х)
isa-isa 4 года назад “Равенством” в математике называются примеры, в которых между числами или произведениями чисел стоит знак “равно” =. Например: 2х2=4, либо 2х2=1+3, это верное равенство. Бывают неверные равенства, когда пример решен неверно. Неравенство, это когда между числами стоят знаки больше или меньше. Как же как и равенства, неравенства бывают неверными. 31-26 < 7 2х2 < 5 100 > 68-7 Знаете ответ? |
Как составить равенство
Уже с первого класса малыши узнают на уроках математики такие понятия, как равенство, знаки «больше» и «меньше». С годами задания становятся все сложней, но требование составить равенство встречается в них также достаточно часто, поскольку знак «равно» – основа любых преобразований в математике.
Инструкция
Если вам дана задача, в которой есть некое условие, определяющее отношения двух неизвестных величин, составьте равенство на его основе. Сначала обозначьте одну из неизвестных за х, затем приведите в действие указанные условия. Приравняйте полученные выражения. После того как вы решите уравнение, не забудьте провести проверку, подставив значения в условия задачи. Например, вам надо найти количество слив у Пети, зная, что у него на две сливы больше, чем у Вани, а в сумме у них 8 слив. Обозначьте за х количество слив у Вани, у Пети при этом будет (х+2). Общее количество слив х+(х+2), приравняйте их к указанным в условии 8 сливам, затем решите уравнение.
Если задача основана на отношении одной величины к другой, составьте равенство двух отношений, то есть пропорцию. Для этого противопоставьте две величины, про которые известно, что они соответствуют друг другу. Обозначьте ту неизвестную, которую надо найти, за х, и также противопоставьте ей то число, которое по аналогии должно ему соответствовать. В результате у вас получится квадрат из 4 чисел (одно из них х), умножьте диагонали этого квадрата и приравняйте друг к другу, затем решите полученное уравнение.
Например, вам известно, что из 1 кг сушеных яблок получается 140 грамм сушеных и надо узнать, сколько получится сушеных яблок из 5 кг. Противопоставьте между собой «1 кг – 140 грамм» (верхняя строка квадрата), так как известно, что они напрямую соответствуют друг другу. За х возьмите количество сушеных яблок из 5 кг свежих. Таким образом, нижняя строка вашего квадрата «5 кг – х грамм». Умножьте диагонали квадрата и составьте из них равенство: 1*х=140*5. Таким образом, х=700 грамм.
Если вы знаете хотя бы два способа найти какой-либо параметр в задаче, составьте равенство из двух разных формул. При этом совсем не обязательно этот параметр будет вашей целью, он служит лишь для приравнивания двух выражений. Например, если вам нужно найти плотность вещества, а при этом вам дана его масса и геометрические размеры, то поступите следующим образом: найдите объем по формуле V=h*a*b (высоту умножьте на ширину и длину), затем составьте еще одну формулу объема: V=m/ρ. Приравняйте эти два выражения и выразите плотность.
Источники:
- равенство из всех чисел
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
