п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}
Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) – существует и конечна.
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$
Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
Например:
 |
Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). (f(x_0)=1^2+3=4 ) |
п.3. Вертикальная касательная
В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) – существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).
Внимание!
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]{x}).
Например:
 |
Пусть (f(x)=sqrt[5]{x-1}+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). (f(x_0)=sqrt[5]{1-1}+1=1) |
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 |
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=-2 end{array} right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end{gather*} Касательная в точке (x_0=-2): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end{gather*} |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 |
Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac{15}{8} end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=1cdotleft(x+frac34right)-frac{15}{8}=x-frac98 end{gather*} |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 |
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin{gather*} f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end{gather*} Точка касания (x_0=-frac32) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end{gather*} Или, в каноническом виде: begin{gather*} 2x+y+frac92=0 end{gather*} |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 |
У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin{gather*} 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end{gather*} Точка касания (x_0=-1) begin{gather*} f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=0cdot(x+1)-2=-2 end{gather*} |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac{x^2+2}{x+3}-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac{1}{k_1}=-frac{1}{11}) begin{gather*} f'(x)=left(frac{x^2+2}{x+3}right)’-x’=frac{2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1}{(x+3)^2}-1=frac{2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2}{(x+3)^2}=\ =frac{x^2+6x-2-x^2-6x-9}{(x+3)^2}=- frac{11}{(x+3)^2} end{gather*} В точке касания: begin{gather*} f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac{11}{(x+3)^2}=-frac{1}{11}Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-14\ x=8 end{array} right. end{gather*} 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin{gather*} f(x_0)=frac{(-14)^2+2}{-14+3}+14=frac{198}{-11}+14=-18+14=-4\ y=-frac{1}{11}(x+14)-4=-frac{x+58}{11} end{gather*} Уравнение касательной при (x_0=8) begin{gather*} f(x_0)=frac{8^2+2}{8+3}-8=frac{66}{11}-8=-2\ y=-frac{1}{11}(x-8)-2=-frac{x+14}{11} end{gather*}
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac{x+58}{11})
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac{x+14}{11})
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin{gather*} f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end{gather*} Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b – для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin{gather*} g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end{gather*} Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin{gather*} begin{cases} 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ a+b=frac53 end{cases} Rightarrow \ Rightarrow begin{cases} 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end{cases} Rightarrow begin{cases} a=frac73\ b=-frac23 end{cases} end{gather*} Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac{49}{9}=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin{gather*} a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac{49}{9}-frac{35}{3}+6=frac{49-105+54}{9}=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac{4-6+9}{9}=frac79 end{gather*}
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin{gather*} x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac{-3pmsqrt{5}}{2} end{gather*} Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) – решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin{gather*} 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ 2x^2+3=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x^2=-frac32 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ xinvarnothing end{array} right. Rightarrow x=0 end{gather*} Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 |
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})
Геометрический смысл производной
Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!
Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):
Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( {{x}_{0}}), тогда ордината равна ( fleft( {{x}_{0}} right)).
Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( {{x}_{0}}+Delta x); ее ордината – это ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)):
Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).
Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).
Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
Какие значения может принимать угол ( alpha )?
Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180{}^circ ), а минимально возможный – ( 0{}^circ ).
Значит, ( alpha in left[ 0{}^circ ;180{}^circ right)). Угол ( 180{}^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0{}^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.
Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:
По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).
Тогда отношение приращений:
( frac{Delta f}{Delta x}=frac{BC}{AC}={tg}alpha )
(так как ( angle C=90{}^circ ), то ( triangle ABC) – прямоугольный).
Давай теперь уменьшать ( Delta x).
Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac{Delta f}{Delta x}) станет равно производной функции в точке ( {{x}_{0}}).
Что же при этом станет с секущей?
Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.
Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).
Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.
Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная
( {f}’left( {{x}_{0}} right)underset{Delta xto 0}{mathop{=}},frac{Delta f}{Delta x}= {tg}varphi ),
то есть
Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке
Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:
( y=kx+b).
За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.
Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!
То есть вот что получается:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k).
Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?
Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.
Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180{}^circ -alpha text{ }Rightarrow text{ } {tg}angle B=- {tg}alpha ).
С другой стороны, ( {tg}angle B=frac{AC}{BC}=frac{-Delta f}{Delta x}).
Получаем: ( frac{-Delta f}{Delta x}=- {tg}alpha text{ }Rightarrow text{ }frac{Delta f}{Delta x}= {tg}alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.
Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).
Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k)
Это и есть геометрический смысл производной.
Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsf{f}left( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( {{x}_{0}}).
Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:
( displaystyle f’left( x right)=k= {tg}varphi).
Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.
На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!
Угол наклона касательной к оси ( displaystyle Ox) – это ( displaystyle angle BAC). Найдем тангенс этого угла:
( displaystyle {tg}angle BAC=frac{BC}{AC}=frac{6}{5}=1,2).
Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}) равна ( displaystyle 1,2).
Ответ: ( displaystyle 1,2).
Теперь попробуй сам.
Уравнение касательной к графику функций
А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.
Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( {{x}^{2}}+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( {{x}_{0}}). Например, в точке ( {{x}_{0}}=2).
Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:
Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?
Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении
( y=kx+b).
Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:
( k={f}’left( {{x}_{0}} right)).
В нашем примере будет так:
( {f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}=2x;)
( k={f}’left( {{x}_{0}} right)={f}’left( 2 right)=2cdot 2=4.)
Теперь остается найти ( b) . Это проще простого: ведь ( b) – значение ( y) при ( displaystyle x=0).
Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):
Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).
Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?
По рисунку явно видно, что ( BC={{x}_{0}}), а ( AC=fleft( {{x}_{0}} right)-b). Тогда получаем:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}alpha =frac{AC}{BC}=frac{fleft( {{x}_{0}} right)-b}{{{x}_{0}}}text{ }Rightarrow text{ }b=fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right)).
Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:
( y=kx+b={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot x+fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right);)
( y={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right))
Это и есть уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).
Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3) в точке ( {{x}_{0}}=3).
Решение:
На этом примере выработаем простой…
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
ЕГЭ №7. Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование
На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5.
Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.
Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.
P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».
Решение уравнения касательной через график производной функции
Содержание:
- Геометрический смысл производной функции в точке
- Уравнение касательной к графику функций
- Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
- Примеры решения задач
Геометрический смысл производной функции в точке
Производная функции, имеющей вид f(x), в некой точк (x_0) является пределом отношения приращения функции (Delta f=f(x_0+Delta x)-f(x_0)) к приращению аргумента (Delta x), если (Delta xrightarrow 0), и данный предел существует.
Вывод формулы имеет следующий вид:
(f'(x_0)=lim_{Delta xrightarrow 0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x})
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Графически производную можно изобразить в виде кривой таким образом:
Разберем типичный пример в доказательство определению. Попробуем найти производную записанным ранее методом ((x^2+1)):
((x^2+1)’=lim_{Delta xrightarrow 0}frac{((x+Delta x)^2+1)-(x^2+1)}{Delta x}=lim_{Delta xrightarrow 0}frac{x^2+2xDelta x+Delta x^2-x^2}{Delta x}= lim_{Delta xrightarrow 0}frac{Delta x(2x+Delta x)}{Delta x}=2x)
Согласно историческим фактам, одновременно с написанием работы Ньютона по изучению процессов в физике и формулировке понятия производной Лейбницем было введено определение производной с помощью геометрических закономерностей. Узнать, в чем состоит геометрический смысл производной, можно с помощью исследования графика функции y=f(x) на плоскости:
В качестве обозначения точки (х0), соответствующей значению заданной функции, используем Р. Затем построим некую секущую, которая будет пересекать точки Р и Р1. Предположим, что полученный угол, образованный положительным направлением оси абсцисс Х и построенной секущей, равен (beta).
Результатом наших действий является геометрическая фигура под названием прямоугольный треугольник, катеты которого соответствуют переменным (triangle x) и (triangle y). Введем обозначения:
- (triangle x) обозначает приращение аргумента функции;
- (triangle y ) является приращением функции непосредственно.
Приращение функции относится к приращению аргумента, как тангенс угла, образованный секущей и положительным направлением оси абсцисс:
(frac{triangle x}{triangle y}=tg beta)
Когда значение (triangle x) стремится к нулю, точка Р1 на изображенном графике смещается в сторону точки Р. Положение секущей в таком случае меняется по отношению к графику.
Секущая занимает предельное положение в виде прямой, когда приращение стремится к нулю. Точки Р и Р1 на данной прямой будут совмещены. Рассматриваемая прямая является касательной к графику в точке Р.
Запишем следующее соотношение:
(tgbeta rightarrow tgalpha, если triangle xrightarrow 0)
Геометрический смысл производной: производная функции в точке обладает значением, численно равным тангенсу угла наклона касательной к функции в рассматриваемой точке.
Известным фактом является то, что какая-либо прямая обладает уравнением, которое можно записать в общем виде:
(y=k cdot x+b)
В уравнении касательной к функции в некой точке Р коэффициент k определяется, как значение производной в точке х0:
(lim_{triangle x rightarrow 0}frac{triangle x}{triangle y}=tg alpha = k)
В процессе решения практических заданий нередко можно встретить примеры, где требуется использовать геометрический смысл производной. Одной из подобных задач является изучение графически заданной функции в сравнении с графиком производной искомой функции.
Уравнение касательной к графику функций
Представим, что имеется некая функция (y=f(x)). Отметим на ее графике точку (x_o). Если провести касательную, пересекающую данную точку, то ее можно задать с помощью следующего уравнения:
(Large{y_k=f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)})
В результате угловой коэффициент касательной будет определен по формуле:
(k=f'(x_o))
В качестве наглядного примера изобразим график по исходным данным:
Определение таких значений для k и b, при которых прямая (y_k=kx+b) играет роль касательной к функции (y=f(x)), заключается в решении одной из следующих систем:
(Large{begin{cases} k=f'(x_o)\ b=f(x_o)-f'(x_o)cdot x_oend{cases}})
(Large{begin{cases} k=f'(x_o)\ f(x_o)=y_k(x_o)end{cases}})
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
Составить уравнение, с помощью которого задана касательная к графику функции, несложно. Нужно лишь следовать следующему алгоритму и выполнять действия в таком порядке:
- Рассчитать значение ( fleft( {{x}_{0}} right).)
- Записать формулу производной функции ({f}’left( x right).)
- Определить значение ({f}’left( {{x}_{0}} right).)
- Выполнить подстановку ({{x}_{0}},text{ }fleft( {{x}_{0}} right)) и ({f}’left( {{x}_{0}} right) )в формулу уравнения касательной (y={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right).)
Рассмотрим конкретный пример. Попробуем составить уравнение касательной к функции (fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3.) Выполним действия последовательно, руководствуясь записанным ранее алгоритмом:
(fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3, {{x}_{0}}=3)
(fleft( {{x}_{0}} right)=fleft( 3 right)={{3}^{2}}-2cdot 3+3=6)
({f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}-2x+3 right)}^{prime }}=2{x} -2)
({f}’left( {{x}_{0}} right)={f}’left( 3 right)=2cdot 3-2=4)
(begin{array}{l}y={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right)=\text{ }=4left( x-3 right)+6=4{x} -12+6=4{x} -6end{array})
Примеры решения задач
Задача 1
Функция ( y=mathsf{f}left( x right)) изображена графически. На этом же правильном графике построена касательная в точке, абсцисса которой равна ({x}_{0}.)
Требуется определить значения производной функции (mathsf{f}left( x right)), которые она принимает в точке ({{x}_{0}}.)
Решение
Согласно определению значения производной в точке касания, запишем:
(f’left( x right)=k= {tg}varphi)
Заметим, что для вычисления значения производной требуется определить тангенс угла наклона касательной. Воспользуемся координатами пары точек, которые принадлежат касательной на графике, чтобы построить прямоугольный треугольник. Угол наклона касательной к оси абсцисс равен (angle BAC). Определим тангенс рассматриваемого угла:
( {tg}angle BAC=frac{BC}{AC}=frac{6}{5}=1,2.)
В результате значение производной функции (mathsf{f}left( x right)) в точке ({{x}_{0}}) соответствует 1,2.
Ответ: 1,2.
Задача 2
Дана некая функция (y=frac{1}{3}x^3-4x+1). Требуется записать уравнение касательной к графику этой функции в точке (x_0=3.)
Решение
(f'(x)=x^2-4)
(f'(3)=3^2-4=5)
(f(3)=frac{1}{3}cdot 3^3-4cdot 3+1=9-12+1=-2.)
В таком случае:
(y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0))
(y_k=5(x-3)-2)
(y_k=5x-17)
Ответ: (y=5x-17.)
Задача 3
Изображено два графика функций:
(f(x)=x^2+2x-3)
(ay+5x+6a=0)
Нужно вычислить все значения, которые принимает параметр а при пересечении рассматриваемых графиков только в одной точке.
Решение
Функция (f(x)) на графике будет иметь вид параболы, пересекающей ось абсцисс в следующих точках:
x=-3
x=1
Данная парабола имеет одну точку пересечения с осью ординат:
y=-3
Если зафиксировать а, то при каждом таком значении (ay+5x+6a=0) будет иметь вид прямой:
- если a=0, то прямая x=0 с единственной точкой пересечения с f(x), соответствующей (0;-3);
- если (ane 0,) то получается пучок прямых (y=-dfrac{5}{a}x-6), пересекающих точку (0;-6).
В результате графики обладают единственной общей точкой при таких значениях a, при которых прямая y будет касаться параболы. Касание в точке (x_o) возможно при следующих условиях:
(begin{cases} f'(x_o)=-dfrac{5}{a}\ f(x_o)=y(x_o) end{cases} Rightarrow begin{cases} x_o=-dfrac{5}{2a}-1\ 8a^2-20a-25=0 end{cases} Rightarrow a=dfrac{5}{4}(1 pm sqrt3))
Ответ: (ain Big{ dfrac{5}{4}(1-sqrt3); 0; dfrac{5}{4}(1+sqrt3)Big}.)
Задача 4
Имеется некое уравнение:
(dfrac{1}{3}x^3+2x^2-dfrac{88}{3}=a(x+8))
Требуется определить все вероятные значения, которыми обладает параметр а, определяющие для данного уравнения единственное решение.
Решение
Проанализируем функцию и пучок, состоящий из прямых:
(f(x)=dfrac{1}{3}x^3+2x^2-dfrac{88}{3})
(y=a(x+8))
Точка максимума равна:
(f'(x)=x^2+4x Rightarrow x=-4=x_{max})
Точка минимума равна:
(x=0=x_{min})
Запишем следующие соотношения:
(f(x_{max})=-dfrac{56}{3})
(f(x_{min})=-dfrac{88}{3})
Каждая из прямых (y=ax+8a) пересекает точку (-8;0). Выявим такие случаи, при которых прямая у будет касаться графика функции f(x) в точке касания (x_o.) Подберем под заданные условия значения параметра:
(begin{cases} f'(x_o)=a\ f(x_o)=y(x_o) end{cases} Rightarrow begin{cases} x_o^2+4x_o=a\ 2x_o^3+30x_o^2+96x_o+88=0 end{cases}Rightarrow begin{cases} x_o^2+4x_o=a\ (x_o+2)^2(x_o+11)=0 end{cases} Rightarrow left[ begin{gathered} begin{aligned} &begin{cases} x_o=-2\ a=-4 end{cases}\ &begin{cases} x_o=-11\ a=77 end{cases} end{aligned} end{gathered} right.)
В результате уравнение ( f(x)=y) обладает только одним значением, когда параметр а имеет значения, при которых прямые y проходят в заштрихованных участках. Отметим, что граничный случай a=77 является посторонним.
График в уменьшенном масштабе:
Таким образом:
(ain (-infty; 77))
Ответ: (ain (-infty; 77).)
Задача 5
Записана система:
(begin{cases} sqrt{(x-a)^2+y^2}+sqrt{x^2+(y+a)^2}=|asqrt2|\ x^2+y^2leqslant 18 end{cases})
Нужно найти такие значения параметра а, при которых данная система обладает только одним решением.
Решение
С помощью первого из уравнений системы можно построить отрезок BC, где B(a;0), C(0;-a), при условии, что a≠0. Представим, что (A(x;y)). В таком случае:
(begin{aligned} &BA=sqrt{(x-a)^2+y^2}\[1ex] &AC=sqrt{x^2+(y+a)^2}\[1ex] &BC=sqrt{(a-0)^2+(0+a)^2}=|asqrt2| end{aligned})
Запишем первое из уравнений, как:
BA+AC=BC
Заметим, с помощью этого уравнения можно задать множество точек А, принадлежащих отрезку ВС. Если а=0, то рассматриваемое уравнение задает только одну точку O(0;0).
С помощью второго неравенства можно изобразить окружность, центр которой находится в точке O(0;0), а ее радиус равен (R=3sqrt2.)
Система будет иметь лишь одно решение при параметре а≠0 — в том случае, когда отрезок касается окружности:
- если a>0, отрезок BC располагается в 4 четверти;
- если a<0, отрезок ВС располагается во 2 четверти.
Вариант с нулевым значением (а=0) также подходит под условия задачи, так как точка О лежит на окружности.
Когда a>0, получим:
(BO=CO=|a|=a)
(OK=3sqrt2), является радиусом, проведенным в точку касания.
В таком случае:
(dfrac12cdot OBcdot OC=S_{triangle OBC}=dfrac12cdot OKcdot BC quadRightarrowquad acdot a=3sqrt2cdot asqrt2 quadRightarrowquad a=6.)
Когда a<0, получим:
(BO=CO=|a|=-a)
В таком случае:
(dfrac12cdot OBcdot OC=S_{triangle OBC}=dfrac12cdot OKcdot BC quadRightarrowquad -acdot (-a)=3sqrt2cdot (-asqrt2) quadRightarrowquad a=-6.)
Ответ: (ain {-6;0;6}.)
Уравнение касательной к графику функции
2 апреля 2011
Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:
- Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
- Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)
Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.
Смотрите также:
- Правила вычисления производных
- Вводный урок по вычислению производных степенной функции
- Что такое логарифм
- Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
- Текстовые задачи про рельсы
- Задача B4: Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород
Касательная к графикам функции в точке
Угол наклона прямой линии [y=k x+b] — это угол [a], который берет свой отсчет от положительного направления оси координат ox по направлению к прямой. Угол наклона может иметь значение как со знаком плюс, так и со знаком минус.
На расположенном рис.1 показана прямая и угол наклона относительно оси.
Для каждого угла наклона характерен угловой коэффициент прямой.
Определение
Угловой коэффициент — это числовой коэффициент прямой вида [boldsymbol{y=k x+b}]. В уравнение он обозначается буквой k.
Угловой коэффициент равен значению тангенса наклона заданной прямой линии: [k=operatorname{tg} alpha].
Основные значения угла наклона прямой
- Угол наклона прямой линии будет иметь нулевое значение, только в случае, когда параллельна ось Ox, и значение углового коэффициента равняется нулю. Потому что [operatorname{tg} 0=0]. Следовательно уравнение прямой будет записываться следующим образом: [y=b].
- В случае, когда угол наклона будет острым, то должно выполняться два следующих условия: [0<alpha<frac{pi}{2}] или [0^{circ}<alpha<90^{circ}]. Отсюда следует, что значение углового коэффициента будет являться положительным значением. Потому что значение тангенса удовлетворяет следующему условию, где показатель тангенса больше нулевого значения: [t g>0]. При этом будет наблюдаться возрастание графика функции на протяжении всей координатной прямой.
- При условии, что угол [alpha=frac{pi}{2}], из этого следует, что прямая будет располагаться относительно оси Ox в перпендикулярном положении. Условие задается следующим равенством [x=c]. Где с — это простое действительное число.
- Если угол наклона прямой, является тупым, то будет применяться следующее условие: [frac{pi}{2}<alpha<pi] или [90^{circ}<alpha<180^{circ}] . Для данного случая характерно отрицательное значение углового коэффициента и убывание функции.
Определение
Секущая прямая — это прямая, которая проходит через две точки заданной функции. Иными словами, можно сказать, что секущая — это прямая, которую можно провести через две любые точки графика.
На графике показана секущая, которая обозначена красным цветом и точками А и В.
Если угловой коэффициент прямой линии равен тангенсу угла наклона, то используя прямоугольный треугольник можно найти значение тангенса. Сделать это можно вычислением по правилу: тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Чтобы определить значение секущий, нужно использовать следующую формулу:
[k=operatorname{tg} alpha=frac{B C}{A C}=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}}], где:
[chi_{B}, chi_{A}] — абсциссы точек А и В;
[fleft(chi_{B}right), fleft(chi_{A}right)] — значения функции, в заданных точках.
Значение секущий определяется, используя следующее неравенство:
[k=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}}] либо [k=frac{fleft(chi_{A}right)-fleft(chi_{B}right)}{chi_{A}-chi_{B}}]
Уравнение записывается следующим образом:
[k=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}} cdotleft(chi-chi_{A}right)+fleft(chi_{A}right)]
[k=frac{fleft(chi_{A}right)-fleft(chi_{B}right)}{chi_{A}-chi_{B}} cdotleft(chi-chi_{B}right)+fleft(chi_{B}right)]
Определение
Касательная к графику функции — это прямая, которая проходит через определенную заданную точку, которая в свою очередь имеет отрезок с множеством числовых значений x.
Пример:
Прямая задана следующей функцией: [y=x+1]. Данная функция считается касательной к графику [y=2 sqrt{x}] с координатными точками (1;2).
Рассмотрим графики со значениями (1;2). Функция обозначается черным цветом, а касательная линия соответственно синим цветом.
Чтобы определить касательную к функции, нужно исследовать поведение касательной АВ. При этом должно быть бесконечное приближение точки В к точке А.
Значение производной функции в точке и ее геометрический смысл
Для заданной функции [f(chi)] рассмотрим секущую АВ. Точки А и В заданы следующими значениями: [left(chi_{0}, fleft(chi_{0}right)right)] и [left(chi_{0}+Delta chi ,left(chi_{0}+Delta chiright)right.].
[Delta chi] — это показатель приращения значения аргумента.
Подставив все значения в исходную функцию получим следующий вид:
[Delta y=Delta f(chi)=fleft(chi_{0}+Delta chiright)-f(Delta chi)].
Для более лучшего восприятия решения, построим график.
Из графика видно, что образуется прямоугольный треугольник ABC. Составим соотношение [frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha], для этого необходимо применить основное определение тригонометрической функции, а именно тангенса.
Исходя из основного определения касательной, запишем следующее выражение:
[lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha_{x}]
Используя правило производной, имеем следующее:
- производная [f(x)] в точке [x_{0}] — является пределом отношения приращения функции к аргументу.
- [Delta_{chi} rightarrow 0 text { и } fleft(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}].
Следовательно:
[f^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha_{x}=k_{z}]
[k_{z}] — это угловой коэффициент касательной функции.
Из данной функции можно сделать следующий вывод:
- функция [f(x)] может находится в точке со значением [x_{0}]
- функция может быть касательной к графику в некой точке касания, где угловой коэффициент равняется производной.
Понятие уравнения касательной прямой
Чтобы составить уравнение прямой, нужно знать угловой коэффициент с заданной точкой. Это точка, через которую проходит прямая. При пересечении угловой коэффициент записывается как значение [x_{0}].
Уравнение касательной записывается следующим образом:
[y=f^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+fleft(x_{0}right)]
График функции [y=f(x)].
Расположение касательной прямой непосредственно зависит от значения углового коэффициента. Если прямая параллельна оси Ox, то значение коэффициента равно нулевому значению. При параллельном расположении относительно оси Oy, коэффициент угловой принимает значение бесконечности. При это уравнение касательной записывается как: [x=x_{0}].Также угловой коэффициент будет возрастать при значении больше нуля, а если коэффициент меньше нуля, то функция соответственно будет убывать.
Примеры
Нужно составить уравнение касательной к графику функции.
[y=e^{x+1}+frac{x^{3}}{3}-frac{6-sqrt{3}}{3} x-frac{17-sqrt{3}}{3}]
Порядок решения:
Из условия задачи следует, что функция может быть определенной для всех действительных значений. Точка,
которая задана с координатами (1;3) будет являться точкой касания, следовательно , [x_{0}=-1,
fleft(x_{0}right)=-3].
Для точки со значение равным -1, нужно определить производную.
Для этого составим уравнение:
[y^{prime}=left(e^{x+1}+frac{x^{3}}{3}-frac{6-sqrt{3}}{3}
x-frac{17-sqrt{3}}{3}right)^{prime}=\left(e^{x+1}right)^{prime}+left(frac{x^{3}}{3}right)^{prime}-left(frac{6-sqrt{3}}{3}
xright)^{prime}-left(frac{17-sqrt{3}}{3}right)^{prime}=e^{x+1}+x^{2}-frac{6-sqrt{3}}{3};]
[y^{prime}left(x_{0}right)=y^{prime}(-1)=e^{-1+1}+(-1)^2-frac{6-sqrt{3}}{3}=frac{sqrt{3}}{3}]
Показатель [f^{prime}(x)] в точке, которая является касательной, будет равен угловому коэффициенту.
Угловой коэффициент равен наклону тангенса. Отсюда следует, что:
[k_{x}=operatorname{tg} alpha_{x}=y^{prime}left(x_{0}right)=frac{sqrt{3}}{3}Rightarrow alpha_{chi}=operatorname{arctg} frac{sqrt{3}}{3}=frac{pi}{6}]
Подведем итоги, и запишем ответ:
[y=f^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+fleft(x_{0}right);\y=frac{sqrt{3}}{3}(x+1)-3
; y=frac{sqrt{3}}{3} x-frac{9-sqrt{3}}{3}]
По условию задачи нужно определить касательную к графику функции [y=3 cdot sqrt[5]{x-1}+1]. Точки
координат равны (1;1). Также нужно составить уравнение и определить значение угла наклона.
Согласно условию задачи, область определения функции — это простые действительные числа.
Определим значение производной.
[y^{prime}=(3 cdot sqrt[5]{x-1}+1)^{prime}=3 cdot frac{1}{5} cdot(x-1)^{frac{1}{5}} 1=frac{3}{5}
cdot frac{1}{(x-1)^{frac{4}{5}}}]
При условии, что [x_{0}=1] тогда функция будет не определенной, но пределы ее можно записать как:
[lim _{x rightarrow 1+0}left(frac{3}{5} cdot frac{1}{(x-1)^{frac{4}{5}}}right)=frac{3}{5} cdot
frac{1}{(+0)^{frac{4}{5}}}=frac{3}{5} cdot frac{1}{+0}=infty]
[lim _{x rightarrow 1-0}left(frac{3}{5} cdot frac{1}{(x-1)^{frac{4}{5}}}right)=frac{3}{5} cdot
frac{1}{(-0)^{frac{4}{5}}}=frac{3}{5} cdot frac{1}{+0}=+infty]
Это значит, что вертикальная касательная в точке существует.
Ответ: после всех проведенных вычислений уравнение приобретает вид x=1, где угол наклона будет равен
[frac{pi}{2}].
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Касательная линия к окружности
Для того чтобы задать окружность с центром в следующих точках:
[text {(Xcenter;Ycenter)}] и радиусом R, нужно воспользоваться формулой.
[(x-x_{center})^2+(y+y_{center})^2=R^2]
Данное выражение можно представить как две функции:
[y=sqrt{R^{2}-(x-x_{center})^2+y_{center}}]
[y=-sqrt{R^{2}-(x-x_{center})^2+y_{center}}]
Из рисунка видно, что первая функция расположена в верхней части координатной плоскости. Вторая функция, соответственно в нижней части.
Чтобы составить уравнение окружности в точке, которая находится в верхней или нижней полуокружности, нужно составить уравнение для графика функции следующего вида:
[y=sqrt{R^{2}-left(x-x_{text {center }}right)^2 +y_{text {center }}}] и [y=-sqrt{R^{2}-left(x-x_{c e n t e r}right)+y_{c e n t e r}}], для конкретной точки.
Если в точках (xcenter;ycenter +R) и (xcenter;ycenter -R) касательные к окружности задаются выражением [y=y_{text {center }}+R ] и [y=y_{text {center }}-R], то они будут параллельны оси Oy. Из этого следует следующее уравнение [x=x_{text {center }}+R] и [x=x_{text {center }}-R].
Касательная к геометрической фигуре эллипс
Геометрическая фигура эллипс может быть задана следующей функцией:
[frac{left(x-x_{text {center }}right)^2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right)^2}{b^{2}}=1]
Данное уравнение можно применять при следующих условиях:
- эллипс имеет в центре следующие точки: xcenter; ycenter
- a и b — это значение полуосей.
Используя два вида функций можно обозначить эллипс и окружность:
[y=frac{b}{a} cdot sqrt{a^{2}-left(x-x_{text {center }}right)+y_{text {center }}}]
[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{a^{2}-left(x-x_{text {center }}right)+y_{text {center }}}]
Пример
Необходимо составить уравнение касательной к эллипсу [frac{(x-3)^2}{4}+frac{(y-5)^2}{25}=1]. При этом
значение точки x будет равняться двум.
Порядок решения задачи:
Нужно определить точки касания, которые приближены к значению равным двум.
В уравнение подставляем данные.
[left|left(frac{(x-3)^{2}}{4}right)right|_{x=2}+frac{(y-5)^{2}}{25}=1]
[frac{1}{4}+frac{(y-5)^{2}}{25}=1 Rightarrow(y-5)^{2}=frac{3}{4} cdot 25 Rightarrow y=pm frac{5
sqrt{3}}{2}+5]
Точки касания, принадлежащие верхнему и нижнему полуэллипсу:
[left(2 ; frac{5 sqrt{3}}{2}+5right) и left(2 ;-frac{5 sqrt{3}}{2}+5right)].
Составим уравнение эллипса для координатной оси Oy.
[frac{(x-3)^{2}}{4}+frac{(y-5)^{2}}{25}=1];
[frac{(y-5)^{2}}{25}=1-frac{(x-3)^{2}}{4}];
[(y-5)^{2}=25 cdotleft(1-frac{(x-3)^{2}}{4}right)];
[y-5=pm 5 cdot sqrt{1-frac{(x-3)^{2}}{4}};]
[y=5 pm frac{5}{2} sqrt{4-(x-3)^{2}}];
Функция верхнего полуэллипса будет задаваться следующим видом:
[y=5+frac{5}{2} sqrt{4-(x-3)^{2}}];
Нижний полуэллипс можно записать как:
[y=5-frac{5}{2} sqrt{4-(x-3)^{2}}].
Для того чтобы составить уравнение касательной в точке, нужно применить стандартный алгоритм решения.
Для первой касательной в точке [left(2 ; frac{5 sqrt{3}}{2}+5right)] уравнение будет выглядеть
следующим образом:
[y^{prime}=left(5+frac{5}{2} sqrt{4-(x-3)^{2}}right)^{prime}=frac{5}{2} cdot frac{1}{2
sqrt{4-(x-3)^{2}}} cdotleft(4-(x-3)^{2}right)^{prime}=\=-frac{5}{2} cdot
frac{x-3}{sqrt{4-(x-3)^{2}}} Rightarrow y^{prime}left(x_{0}right)=y^{prime}(2)=-frac{5}{2} cdot
frac{2-3}{sqrt{4-(2-3)^{2}}}=frac{5}{2 sqrt{3}} Rightarrow\y=y^{prime}left(x_{0}right)
cdotleft(x-x_{0}right)+y_{0} Rightarrow y=frac{5}{2 sqrt{3}}(x-2)+frac{5}{2 sqrt{3}}+5]
Для второй касательной с точкой функция будет иметь следующий вид:
[y^{prime}=left(5-frac{5}{2} sqrt{4-(x-3)^{2}}right)^{prime}=-frac{5}{2} cdot frac{1}{2
sqrt{4-(x-3)^{2}}} cdotleft(4-(x-3)^{2}right)^{prime}=\=frac{5}{2} cdot
frac{x-3}{sqrt{4-(x-3)^{2}}} Rightarrow y^{prime}left(x_{0}right)=y^{prime}(2)=-frac{5}{2} cdot
frac{2-3}{sqrt{4-(2-3)^{2}}}=-frac{5}{2 sqrt{3}} Rightarrow\y=y^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+y_{0} Rightarrow y=-frac{5}{2 sqrt{3}}(x-2)-frac{5}{2 sqrt{3}}+5]
Касательная к гиперболе. Основные функции
Чтобы составить уравнение касательной к геометрической фигуре гипербола, нужно применять основной алгоритм решения задач подобного типа.
Для гиперболы будет характерно следующее неравенство:
[frac{left(x-x_{text {center }}right)^2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right)^2}{b^{2}}=1]
При этом должны выполняться следующие условия:
- центр в точке xcenter;ycente
- вершины точки (xcenter+ [a]; ycenter) и (xcenter-[a]; ycenter)
Если вершины имеют значения: (xcenter;ycenter+b) и (xcenter;ycenter-b), то функция задается следующим образом: [frac{left(x-x_{text {center }}right) 2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right) ^2}{b^{2}}=-1].
Гиперболу можно определить, используя две пары уравнений, которые записываются в следующем виде:
[y=frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}-a^{2}+y_{text {center }}]
[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}-a^{2}+y_{text {center }}]
или
[y=frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right) ^2+a^{2}}+y_{text {center }}]
[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}+a^{2}+y_{text {center }}]
Для первых уравнение характерно параллельное расположение касательной относительно оси Oy. Соответственно для второй пары уравнений: параллельное расположение относительно оси Ox.
Пример
Составим уравнение касательной к гиперболе следующего вида: [frac{(x-3)^{2}}{4}-frac{(x+3)^{2}}{9}], в
характерных точках [(7 ;-3 sqrt{3}-3)].
Преобразование заданное уравнение при помощи двух функций.
[frac{(x-3)^{2}}{4}-frac{(x+3)^{2}}{9}=1 Rightarrow frac{(x+3)^{2}}{9}=frac{(x-3)^{2}}{4}-1
Rightarrow(y-3)^{2}=\9 cdotleft(frac{(x-3)^{2}}{4}-1right) Rightarrow y+3=frac{3}{2} cdot sqrt{(x-3)^{2}-4}] или [y+3=-frac{3}{2}]
[sqrt{(x-3)^{2}-4} Rightarrow\y=frac{3}{2} cdot sqrt{(x-3)^{2}-4}-3\y=-frac{3}{2} cdot sqrt{(x-3)^{2}-4}-3]
Далее нужно определить к какой из двух функций относится точка с координатами: [(7 ;-3 sqrt{3}-3)].
Проверим первую функцию [y(7)=frac{3}{2} cdot sqrt{(7-3)^{2}-4}-3=3 sqrt{3}-3 neq-3 sqrt{3}-3], из уравнения следует, что заданная точка не принадлежит графику, потому что равенство не выполняется.
Следовательно, нужно определить угловой коэффициент:
[y^{prime}=left(-frac{3}{2} cdot sqrt{(x-3)^{2}-4}-3right)^{prime}=-frac{3}{2} cdot frac{x-3}{sqrt{(x-3)^{2}-4}} Rightarrow\k_{x}=y^{prime}left(x_{0}right)=left(-frac{3}{2} cdot frac{x_{0}-3}{sqrt{left(x_{0}-3right)^{2}-4}}right)=-frac{3}{2} cdot frac{7-3}{sqrt{(7-3)^{2}-4}}=-sqrt{3}]
Ответ: уравнение касательной записывается следующим образом: [y=-sqrt{3} cdot(x-7)-3 sqrt{3}-3=-sqrt{3} cdot x+4 sqrt{3}-3]
Касательная к параболе. Основные правила решения
Используя стандартный алгоритм решения, можно составить уравнение касательной к параболе [y=a x^{2}+b x+c] в точках [left(x_{0}, yleft(x_{0}right)right)]. Данное уравнение после преобразования будет иметь следующий вид:
[y=y^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+yleft(x_{0}right)].
Необходимо задать параболу [x=a y^{2}+b y+c] как общая функция двух уравнений. Затем решить уравнение относительно оси Oy.
[x=a y^{2}+b y+c Rightarrow a y^{2}+b y+1-x=0;\D=b^{2}-4 a(c-x)\y=frac{-b+sqrt{b^{2} 4 a(c-x)}}{2 a};\y=frac{-b-sqrt{b^{2} 4 a(c-x)}}{2 a}.]
Чтобы определить принадлежность заданных точек [left(x_{0}, yleft(x_{0}right)right)], необходимо руководствоваться стандартным решением согласно алгоритма. Данная касательная будет иметь параллельное расположение относительно параболы.
Пример
Необходимо составить уравнение к графику касательной: [x-2 y^{2}-5 y+3] при угле наклона равным [150^{circ}]
Для решения будем применять стандартный алгоритм решения задач.
Для начала данную параболу нужно расписать и составить две функции, следующего вида:
[-2 y^{2}+5 y+3-x=0;\D=(-5)^{2}-4 cdot(-2) cdot(3-x)=49-8 x;\y=frac{5+sqrt{49-8 x}}{-4};\y=frac{5-sqrt{49-8 x}}{-4}.]
Значение углового коэффициента будет равняться значению производной в конкретной точке [x_{0}] для этой функции. И будет равен значению тангенса угла наклона.
[k_{x}=y^{prime}left(x_{0}right)=operatorname{tg} alpha_{x}=operatorname{tg} 150^{circ}=-frac{1}{sqrt{3}}];
Из уравнения сможем определить значение x для всех точек касания.
Функции будут записываться следующим образом:
[y^{prime}=left(frac{5+sqrt{49-8 x}}{-4}right)^{prime}=frac{1}{sqrt{49-8 x}} Rightarrow y^{prime}left(x_{0}right)=\frac{1}{sqrt{49-8 x_{0}}}=-frac{1}{sqrt{3}} Leftrightarrow sqrt{49-8 x_{0}}=-sqrt{3}]
В данном уравнении действительных корней нет. Так как ответ получился отрицательный.
Отсюда делаем вывод, что касательной линии с углом равным [150^{circ}] для функции такого вида не существует.
Функция второго вида:
[y^{prime}=left(frac{5-sqrt{49-8 x}}{-4}right)^{prime}=-frac{1}{sqrt{49-8 x}} Rightarrow y^{prime}left(x_{0}right)=-frac{1}{sqrt{49-8 x_{0}}}=\-frac{1}{sqrt{3}} Leftrightarrow sqrt{49-8 x_{0}}=-sqrt{3}\x_{0}=frac{23}{4} Rightarrow yleft(x_{0}right)=frac{5-sqrt{49-8 cdot frac{23}{4}}}{-4}=frac{-5+sqrt{3}}{4}]
Точки касания: [left(frac{23}{4} ; frac{-5+sqrt{3}}{4}right)].
Ответ: уравнение касательной имеет вид: [y=-frac{1}{sqrt{3}} cdotleft(x-frac{23}{4}right)+frac{-5+sqrt{3}}{4}].
