Как правильно найти площадь треугольника в прямоугольнике

Как правильно найти площадь треугольника в прямоугольнике

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

    [S = frac{1}{2}ab,]

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

ploshchad-pryamougolnogo-treugolnika-po-risunku1) a=2, b=5,

    [ S = frac{1}{2} cdot 2 cdot 5 = 5. ]

2) a=6, b=3,

    [ S = frac{1}{2} cdot 6 cdot 3 = 9. ]

Задача 2

ploshchad-treugolnika-po-risunkuНа клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

    [S = frac{1}{2}ah_a ,]

где a — сторона треугольника, ha — высота, проведённая к этой стороне.

ploshchad-treugolnika-na-kletchatoj-bumagea  и ha вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

1) a=6, ha=4,

    [ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 6 cdot 4 = 12. ]

2) a=3, ha=5,

    [ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 = 7,5. ]

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

najti-ploshchad-treugolnika-po-risunku

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

najti-ploshchad-treugolnika-na-bumage

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

    [S_{Delta ABC} = S_{AMNK} - S_{Delta AKC} - S_{Delta AMB} - S_{Delta CBN} .]

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

    [ S_{AMNK} = AM cdot AK = 7 cdot 5 = 35. ]

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

    [ S = frac{1}{2}ab, ]

где a и b — катеты.

    [S_{Delta AKC} = frac{1}{2}AK cdot KC = frac{1}{2} cdot 5 cdot 1 = 2,5;]

    [S_{Delta AMB} = frac{1}{2}AM cdot MB = frac{1}{2} cdot 7 cdot 3 = 10,5;]

    [S_{Delta CBN} = frac{1}{2}CN cdot BN = frac{1}{2} cdot 6 cdot 2 = 6.]

Отсюда

    [S_{Delta ABC} = 35 - 2,5 - 10,5 - 6 = 16.]

Источник

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

32 514

Как найти площадь треугольника – все способы

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

формула площади прямоугольного треугольника

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Формула площади равнобедренного треугольника

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Формула площади равностороннего треугольника

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Формула площади треугольника по сторонам и синусу угла

Если известны длины трех сторон

Делайте так:

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Площадь треугольника по трем сторонам

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

По сторонам и радиусу описанной окружности

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

По сторонам и вписанной окружности

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )

Оцените статью

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА

Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети

ПОДПИСАТЬСЯ

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Треугольник с тремя сторонами

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

– полупериметр треугольника; a,b,c – стороны треугольника.

Через основание и высоту

Треугольник с основанием и высотой

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a – основание треугольника; h – высота треугольника.

Через две стороны и угол

Треугольник с двумя сторонами и углом

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b – стороны треугольника; α – угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Треугольник со стороной и двумя углами

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a– сторона треугольника; α и β – прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b – катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b – стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Площадь равнобедренного треугольника

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a – основание равнобедренного треугольника; α – угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a – сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h – высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Площадь треугольника

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c – стороны треугольника; r – радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Площадь треугольника

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p – полупериметр треугольника;a, b, c – стороны треугольника; r – радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

Это весьма сложная задача. Она встречалась на вступительных испытаниях в некоторые технические университеты (в Кембридже в частности) и на собеседованиях в крупные IT-компании, типа Amazon.

В прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, как показано на рисунке ниже. И два вопроса: 1) нужно найти площадь прямоугольника и 2) отыскать площадь минимального треугольника, удовлетворяющего этих условиям.

Прямоугольник в треугольнике. Сложная задача, которую давали на собеседованиях и вступительных экзаменах

Первый вопрос разминочный, на него ответит каждый, кто хоть немного помнит школьную геометрию, а вот второй вопрос серьезный, который отсеивает самых умных от просто умных — как раз то, что нужно для собеседований.

Рекомендую взять листок бумаги с карандашом и немного подумать самостоятельно, а уже потом листать дальше. Или поделитесь задачей у себя в соцсетях, чтобы потом не потерять.

Решение

Сначала найдем площадь прямоугольника. Это легко. Смотрите рисунок ниже. Красный и зеленый треугольники подобны по двум углам (не буду подробно расписывать из чего следуют такие выводы — это уж совсем просто). Поэтому длины соответствующих стороны имеют одинаковое отношение и мы можем записать 4:х=y:3. Теперь перемножим крест-накрест по правилу пропорции и получим x•y=4•3=12 — это и есть площадь прямоугольника.

Прямоугольник в треугольнике. Сложная задача, которую давали на собеседованиях и вступительных экзаменах

Теперь перейдем ко второму вопросу. Площадь большого треугольника складывается из суммы трёх площадей: площади красного треугольника, площади синего прямоугольника и площади зеленого треугольника (рисунок выше и рисунок ниже).

Так как стороны прямоугольника x и y, то площадь большого треугольника S▲= 4x/2 + xy + 3y/2. Но мы знаем, что xy=12. Отсюда y=12/x. Тогда S▲=2x + 12 + 18/x = f(х) — площадь треугольника является функцией, зависящей от х.

Чтобы найти минимум функции f(x), нужно взять производную. f'(x)=2-18/x². Чтобы найти минимум функции, приравняем производную к нулю: 2-18/x²=0; x²=9. Так как x — это длина, то нас интересуют только положительные значения, а значит, x=3. Понять, что х=3 — это точка минимума функции можно либо с помощью метода интервалов (смотри картинку ниже), либо с помощью второй производной f”(x)=36/x³=36/27>0. Раз вторая производная в этой точке положительна, то это в самом деле точка минимума.

Прямоугольник в треугольнике. Сложная задача, которую давали на собеседованиях и вступительных экзаменах

Таким образом минимальная площадь треугольника будет при х=3. Тогда минимальная площадь треугольника, удовлетворяющего условиям, будет равна min(S▲)=6+12+6=24. Любопытно получается, что это как раз тот случай, когда красный и зеленые треугольники равны.

Как вам? По-моему отличная задача для собеседования. Она проверяет не столько логику, сколько понимание того, для чего нужны производные, ведь в школе многие вычисляют их чисто механически, не понимая, зачем это вообще нужно в реальной жизни.

Ещё интересно:

Источник

Содержание:

  • Формула
  • Примеры вычисления площади прямоугольного треугольника

Формула

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника $ABC$ (рис. 1),
надо найти произведение катетов
$a$ и
$b$ и поделить его на два. То есть

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{a b}{2}$$

Напомним, что катетами прямоугольного треугольника называются стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Примеры вычисления площади прямоугольного треугольника

Пример

Задание. Найти площадь прямоугольного треугольника
$ABC$, если известно, что длины его катетов равны 3 см и 4 см.

Решение. Искомая площадь равна половине произведения катетов, то есть

$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{3 cdot 4}{2}=frac{12}{2}=6$ (см2)

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=6$ (см2)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить площадь прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 6 см, а гипотенуза 10 см.

Решение. Искомая площадь равна половине произведения катетов. Используя теорему Пифагора,
найдем второй катет заданного треугольника:

$b=sqrt{10^{2}-6^{2}}=sqrt{100-36}=sqrt{64}=8$ (см)

Тогда площадь

$S=frac{6 cdot 8}{2}=frac{48}{2}=24$ (см2)

Ответ. $S=24$ (см2)

Читать дальше: как найти площадь равнобедренного треугольника.

Источник

Добавить комментарий