Как решать найдите длину отрезка

Длина отрезка – это то же самое, что и расстояние между двумя точками.

Можно рассмотреть несколько случаев, когда эта длина неизвестна

пример 1

есть на прямой три точки, которые образуют три отрезка

Чтобы найти отрезок побольше, нужно два меньших сложить.

Чтобы найти меньший отрезок, нужно от большого отнять другой меньший

АС=АВ-СВ или СВ=АВ-АС

пример 2

найдем длину отрезка на координатной прямой.

отрезок лежит между точками А(-5) и В(9), тогда его длина 9-(-5)=14

пример 3

найдем длину отрезка на координатной плоскости.

здесь тоже все просто – по координатам находим длину условных катетов прямоугольного треугольника а дальше по формуле Пифагора находим длину.

Была ли эта статья полезной?

Математика

6 класс

Урок № 75

Длина отрезка

Перечень рассматриваемых вопросов:

• длина отрезка;
• единицы измерения длины;
• способы измерения длины отрезка;
• решение задач на вычисление длины отрезка.

Тезаурус

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка.

Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Что такое отрезок?

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Как отрезки обозначаются на чертежах?

Отрезок можно обозначить двумя заглавными буквами – отрезок АВ. Или можно обозначить отрезок одной строчной буквой – отрезок с.

Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Длина может быть выражена натуральным или дробным числом.

Измерить отрезок – значит найти его длину.

Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Свойства длин отрезков:

– равные отрезки имеют равные длины;

– если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при её измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно выбрать единицу длины.

Такой единицей может быть длина произвольного отрезка. В мультфильме «38 попугаев» герои измеряли длину удава в попугаях.

Для определения длины отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается выбранная единица измерения.

Можно сравнивать длины отрезков, не имея под рукой линейки. Например, прикладывать к отрезкам один и тот же карандаш, ластик или использовать циркуль. Для этого нужно установить иглу в начало отрезка, провести дугу, пересекающую отрезок, затем, не меняя расстояния между иглой и карандашом циркуля, переставить иглу в точку пересечения и повторить действия.

В десятичной системе мер единицами измерения длины являются 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м и т. д.

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка. Измерения небольших отрезков удобно производить с помощью линейки.

Прикладываем линейку так, чтобы один конец отрезка совместился с нулём. Единичный отрезок 1 см отложился 7 раз, значит, длина отрезка АВ = 7 см.

Если единичный отрезок 1 см отложился n раз, и осталась часть меньшая 1 см, то откладываем отрезки равные 1/10 см. Длина отрезка СD = 8,7 см.

При необходимости можно продолжить откладывать по 1/100 части единичного отрезка и т. д.

Алгоритм измерения длины отрезков:

– выбрать какой-либо отрезок и принять его за единицу длины;

– от одного из концов отрезка отложить последовательно отрезки, равные единичному;

– если единичные отрезки отложились n раз и конец последнего совпал с концом измеряемого отрезка, то значение его длины равно n единиц длины;

– если отрезок или его часть меньше единичного отрезка, то нужно отложить отрезки, равные 1/10 части единичного отрезка;

– если десятые части единичного отрезка отложились ровно n раз, то длина измеряемого отрезка есть конечная десятичная дробь, в которой целая часть равна количеству целых единичных отрезков, а после запятой в разряде десятых стоит количество десятых частей единичного отрезка;

– при необходимости можно откладывать 1/100 часть единичного отрезка и т. д.

Таким образом, для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

И для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

На практике используют приближённое значение длин отрезков, например, с точностью 1/10 или 1/100 части единичного отрезка, но точность приближения зависит от поставленной задачи.

Рассмотрим фигуры, составленные из отрезков.

Возьмем на плоскости несколько точек и соединим их отрезками. Если никакие два из этих отрезков, имеющих общие точки, не лежат на одной прямой, то линию называют ломаной.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются звеньями, а концы этих отрезков – вершинами ломаной.

Длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев.

Если концы ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой.

Замкнутая ломаная линия, у которой звенья не пересекаются между собой, называется многоугольником.

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Впишите верный ответ.

Точка P лежит на отрезке AB. Известно, что отрезок AP больше отрезка PB на 3,6 см, а отрезок AB = 10,4 см. Найдите длину отрезка PB.

Решение:

Пусть PB = x, тогда AP = x + 3,6 см.

По условию AB = 10,4 см.

Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

PB + AP = AB.

Составим и решим уравнение:

x + x + 3,6 = 10,4,

2x + 3,6 = 10,4,

2x = 10,4 – 3,6,

2x = 6,8,

x = 3,4.

Значит, длина отрезка PB = 3,4 см.

Ответ: 3,4 см.

Тип 2. Множественный выбор

Выберите верные ответы.

Задача 2

Известно, что отрезок AС = 3,6 см, а отрезок BС = 7,5 см. Найдите длину отрезка АB, если все три точки лежат на одной прямой.

Варианты ответов: 3,9; 11,1; 4,8; 13,2; 16,5; 2,9.

Первый вариант решения

В этом случае АВ = АС + ВС = 3,6 + 7,5 = 11,1 (см).

Второй вариант

BC = AB + AC,

АВ = ВС – АС = 7,5 – 3,6 = 3,9 (см).

Значит, длина отрезка АВ может быть равна 11,1 см или 3,9 см. Выбираем эти варианты.

Ответ: 11,1; 3,9.



Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле:

Если даны две точки пространства  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле:

Примечание: соответствующие координаты можно переставить местами:  и ,

но это нестандартный вариант.

Задача 3

Даны точки  и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:  (единицы)

Обратите внимание на вынесение множителя из-под корня:  (см. Приложение Школьные материалы). Это крайне

желательное действие, если оно возможно. Ибо будет придирка со стороны преподавателя. С высокой вероятностью.

И для наглядности снова выполню чертёж, тут есть что сказать:

Отрезок  – это не вектор, а обычный ненаправленный

отрезок. И перемещать его куда-либо, конечно, нельзя.

Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ  можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину

отрезка . Но проще, конечно, использовать Калькулятор (приложен к книге).

Кстати, в ответе не забываем указать размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это – миллиметры, сантиметры, метры

или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Задача 4

Даны точки  и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце книги.

1.5.3. Как найти длину вектора?

1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Геометрия 7 класс (УМК Атанасян). Урок 5. Решение задач по теме «Измерение отрезков» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение»

Геометрия 7 класс. Урок 5.
Решение задач по теме «Измерение отрезков»

Основные дидактические цели урока: сформировать умение решать задачи на нахождение длины части отрезка или всего отрезка; научить логически мыслить; проверить знания и навыки решения задач по изученной теме.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверить решение дополнительной домашней задачи. (Справившийся с заданием учащийся заранее записывает решение на доске.)

Дано: AF = FB, В К = КС, АС = 5 см (рис. 1.53). Найти: FK.
Решение: По условию задачи AF = FB, ВК = КС, тогда AF+ FB + ВК+ КС = АС, 2FB + 2ВК = 5 см, FB + ВК = 2,5 см, FB + ВК = FK, поэтому FK =2,5 см.
Ответ: FK = 2,5 см.

1. Решить устно задачи по готовым чертежам. (Рисунки к задачам подготовить на доске заранее).

а) ВС = 2,5 см (рис. 1.54). Найти: АС. (Ответ: АС = 5 см.)
б) AD = 42 см, ВС = 11 см (рис. 1.55). Найти: АВ. (Ответ: АВ = 20 см.)
в) АС = 18 дм. АВ : АС =5:4 (рис. 1.56). Найти: АВ. (Ответ: АВ = 10 дм.)

1. Решить задачи № 38, 40 (работа в парах).

Задача № 38
Дано: О, А, В лежат на одной прямой, ОА = 2 см, ОВ = 9 см.
Найти: Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если: а) О ∈ АВ; б) О ∉ АВ.
Решение: Пусть М – середина отрезка ОА, N – середина отрезка ОВ. Возможны два случая (рис. 1.57):
а) Если точка О лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NО = ВО : 2 = 4,5 см. Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ равно длине отрезка MN, a MN = МО + ON = 6 см + 4,5 см = 10,5 см.
б) Если точка О не лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NО = ВО : 2 = 4,5 см. MN = МО – ON = 6 см – 4,5 см = 1,5 см.
(Ответ: а) 10,5 см; б) 1,5 см.)

Задача № 40
Дано: АВ = 28 см, С, D ∈ АВ, М – середина АС, N – середина DB. MN = 16 см.
Найти: CD.
Решение: АВ = AM + MN + NB, NB = 28 см – 16 см = 12 см. М – середина АС, значит АМ = МС, N – середина BD, значит BN = ND. Так как AM + NB = 12 см, AM = МС, BN = ND, то МС + DN = 12 см. MN = МС + CD + DN = 16 см, МС + DN = 12 см, значит CD = MN – (MС + DN) = 16 см – 12 см = 4 см (рис. 1.58).
(Ответ: 4 см.)

Наводящие вопросы к задаче:
– На сколько отрезков разбит отрезок АВ точками М, N, С, D?
– Что вы можете сказать об этих отрезках? Есть ли среди данных отрезков равные?
– Длина какого отрезка равна 16 см?
– Чему равна сумма длин отрезков AM и NB? А сумма длин отрезков МС и DN?
– Как можно найти длину отрезка CD?

III. Рефлексия учебной деятельности

1. Как найти длину отрезка, если точка делит его на два отрезка, длины которых известны?
2. Как определить, какая из трех точек лежит на прямой между двумя другими, если известны длины всех трех образовавшихся отрезков? Например, точки А, В и С лежат на одной прямой, АВ = 6 см, АС = 4 см, ВС = 10 см.
3. Каким может быть взаимное расположение точек А, В и С на прямой? Как найти длину отрезка АВ в каждом случае? Например, АС = 7 см, ВС = 5 см.

IV. Самостоятельная работа (3 уровня сложности)

Самостоятельная работа № 1 с ответами

Домашнее задание

1. Решить задачи № 35, 36, 37, 39 из учебника.
2. Решить дополнительную задачу.
   Длина отрезка АВ = 6 см. Внутри отрезка взята точка М. Найдите длину отрезка ВМ, если: а) АМ = 2ВМ; б) 2АМ = 3ВМ; в) АМ : ВМ = 1 : 5;  г) AM : ВМ = 3 : 4;  д) AM – ВМ = 2;  е) 2ВМ + 3АМ = 14.

---

Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян). Урок 5. Решение задач и Самостоятельная работа № 1 «Измерение отрезков» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».

Вернуться в Поурочное планирование по геометрии для 7 класса (УМК Атанасян).