Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: 
.
Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна 
.
Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.
Ответ: 0,25.
Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».
Решение. Конфета «Взлётная» – одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна
Ответ: 0,2.
Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
| N исходов |
Первое бросание |
Второе бросание |
|
1 |
Решка |
Решка |
|
2 |
Орёл |
Орёл |
|
3 |
Орёл |
Решка |
|
4 |
Решка |
Орёл |
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна
Ответ: 0,25.
Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:
Ответ: 0,5.
Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна 
Ответ: 0,75.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна 
.
Ответ: 0,25.
Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.
Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,5.
Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел 
По классической формуле вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,04.
Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.
Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это – 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего
Ответ: 0,03.
Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением
Ответ: 0,2.
Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,35.
Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=
Ответ: 0,75.
Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: 
Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: 
.
Ответ: 0,32.
Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: 
.
Ответ: 0,14.
Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:
Ответ: 0,75.
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. 
. Здесь 
– вероятность события, противоположного событию А.
Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие 
– ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(
Ответ: 0,79.
Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Событие А – насос подтекает, событие 
– насос не подтекает.
Ответ: 0,95.
Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?
Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому 
.
Ответ: 0,92.
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В – на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
2
Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.
3
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
4
На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
5
Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинками известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с животным.
Пройти тестирование по этим заданиям
Добрый день! Рада вас приветствовать на моём канале! Сегодня я продолжу тему “Решение задач по “Теории вероятности””, но возьму задачи повышенного уровня , т.е. при решении которых используются свойства и теоремы о вероятностных событиях. Это задание №10 в ЕГЭ по профильной математике.
1. Начнём с теоретической части. В задании №2 используется основная формула вероятности случайного события. Но она может пригодиться и в задании №10. Вот как она выглядит:
Проще говоря, если все исходы какого-либо эксперимента равновозможны, то вероятность события в этом эксперименте равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных., то есть m – число благоприятных исходов, n – число всех равновозможных исходов. P(a)<=1.
Благоприятные исходы – исходы, при которых происходит некоторое событие.
2.
Какие события называются независимыми?
Рассмотрим пример:
Пусть в одной коробке находится 10 деталей, из которых 3 бракованные, а в другой – 16 деталей, из которых 4 бракованные. Из каждой коробки вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?
Решение:
Пусть событие А – из первой коробки вынимают бракованную деталь;
Событие В – из второй коробки вынимают бракованную деталь.
Очевидно,что события А и В являются независимыми.
Вероятность того, что достанут бракованную деталь из первой коробки равна: P(A)=3/10, а из второй – P(B)=4/16.
По условию задачи нам нужно найти вероятность совместного наступления событий A и B, применяя теорему P(AB)=P(A)*P(B), получим
P(AB)=3/10*4/16=3*4/10*16=3/40=0,075.
Ответ: вероятность того, что обе детали окажутся бракованными равна 0,075.
3. Как различить совместные события от несовместных?
Совместные события – это те, которые могут происходить одновременно. Например,
1) Событие А – сегодня вечером будет дождь;
Событие В – сегодня вечером будет гроза;
Событие С – сегодня вечером будет солнце;
События А и В совместны, А и С совместны (попарно совместны) и также все три события могут наступить одновременно.
2) Событие А – из колоды карт будет извлечена карта – король;
Событие А – из колоды карт будет извлечена карта червовой масти.
Данные события совместны, т.к. можно извлечь карту – червовый король.
Мы можем сказать, что извлечена карта король и карта червовой масти.
Несовместные события – это те, которые не могут происходить одновременно. Например,
1) При бросании кубика:
Событие А – выпадет «4» очка;
Событие В – выпадет число очков, отличное от 4.
Мы можем сказать: выпадет либо 4 очка, либо не 4.
2) Противоположные события.
Событие А – из корзины достали белые грибы;
Событие В – из корзины достали грибы вешенки.
3) Событие А – день;
Событие В – ночь.
4) Попадания и промахи.
5) При бросании монеты- выпадение орла или решки и т.д.
4. Противоположные события связаны между собой:
5. Ну и еще одна важная теорема – “Теорема сложения вероятностей совместных событий”, пожалуй самая трудная:
Рассмотрим пример:
Пусть событие А – кофе закончится в первом автомате,
В – кофе закончится во втором автомате.
Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35 – вероятность события “кофе закончится хотя бы в одном автомате”.
Осталось найти вероятность события “кофе останется в обоих автоматах”.
События “кофе закончится хотя бы в одном автомате” и “кофе останется в обоих автоматах” противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,35 = 0,65.
Ответ: 0,65.
6. Решаем задачи
Задача №1.
А. выиграет оба раза означает, что он должен выиграть “и” в первый раз “и” во второй раз. Данные события независимы друг от друга, поэтому вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
Задача №2.
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Так как события независимые, то P(a)= 0,3·0,3 = 0,09.
Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.
Ответ: 0,91.
Задача №3.
1) Приведу одно из решений. Вероятность уцелеть после искомых выстрелов равна 1 – 0,98 = 0,02.
Будем последовательно находить вероятности после некоторого числа промахов, пока не получим число меньшее 0,02.
Найдём вероятность уцелеть после первого промаха: Р(1) = 0,6;
Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24 – вероятность уцелеть после первого и второго промаха.
Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.
Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Ответ: 5.
Задача №4.
Запишем возможные комбинации, так чтобы в сумме было не меньше 4 очков в двух играх: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей и кроме того, в каждом из этих событий – независимые события (произведение двух событий):
P = P(3+1)+P(1+3)+P(3+3)=P(3)*P(1)+P(1)*P(3)+P(3)*P(3)
Вероятность ничьи: P(1)=1-0,4-0,4=0,2.
P = 0,4*0,2+0,2*0,4+0,4*0,4 = 0,32.
Ответ: 0,32.
Задача №5.
1. Вероятность того, что Джон возьмёт пристрелянный револьвер равна 4/10=0,4.
Аналогично находим вероятность непристрелянного револьвера: 6/10=0,6.
2. Джон попадает в муху с P=0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Значит вероятность того, что он попадает в муху из пристрелянного револьвера равна 0,4·0,9 = 0,36, а из непристрелянного – 0,6·0,2 = 0,12.
3. Ковбой попадает в муху из пристрелянного или из непристрелянного револьвера (события несовместны), поэтому по теореме сложения вероятностей имеем: 0,36 + 0,12 = 0,48.
4. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
Задача №6
1)Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
2)Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
3)По условию задачи купленное стекло может оказаться либо выпущенное первой фабрикой, либо второй. Поэтому вероятность, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019.
Задача №7
1.
Вероятность выбора пути на каждой из 4х развилок, ведущего к выходу D или к другому выходу равна 0,5. Эти события независимы, поэтому вероятность, что паук придёт к выходу D равна 0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625.
Ответ: 0,0625.
Задача №8
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.
Ответ: 0,19.
Задача №9
Решение.
Школьнику достанется вопрос либо по одной теме, либо по другой. Поэтому вероятность суммы двух несовместных событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ: 0,35.
7. Домашнее задание
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Надеюсь, что данный материал был вам полезен. ))
Если вам понравились задания, поставьте 👍👍👍, пишите комментарии и подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить новые публикации))
До новых встреч!
Решение типовых задач ЕГЭ по математике (профильная).
Теория вероятности.
№1.В случайном эксперименте бросают две игральные
кости.Найдите вероятность того ,что всумме выпадет 5 очков.Результат округлите
до сотых.
Решение:Всего вариантов выпадения для 2 кубиков m=62=36(каждый
из кубиков имеет 6 граней).А подходящих для нас (сумма равна 5) всего n=4
5=1+4=2+3=3+2=4+1
Искомая вероятность
равна Р=4/36=0,11
Ответ:0,11
№2.В случайном эксперименте бросают три
игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков.
Результат округлите до сотых.
Решение: Всего вариантов выпадения для трёх кубиков
m= 6³ = 216 (каждый из кубиков имеет 6 граней).
А подходящих для нас
(сумма равна 16) всего n= 6:
16 = 6+6+4 = 6+4+6 =
4+6+6 = 5+5+6 = 5+6+5 = 6+5+5.
Искомая вероятность
равна Р = 6/216 = ¹⁄₃₆ ≈ 0,03.
Ответ: 0,03
№3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20
спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором
выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Китая.
Решение:В чемпионате принимает
участие 20 − (8 + 7) = 5 спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что
спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна
Ответ: 0,25.
№ 4: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших
в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный
для контроля насос не подтекает.
Решение: n= 1000 – 5 = 995 – насосов не
подтекают. m=1000.
Вероятность того, что один случайно выбранный для
контроля насос не подтекает, равна
Р= n/m=995/1000 = 0,995.
Ответ : 0,995
№5: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100
качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых.
Решение: m= 100 + 8 = 108 – сумок всего
(качественных и со скрытыми дефектами) ; благоприятных исходов n = 100/
Вероятность того, что купленная сумка окажется
качественной, равна Р = n/m =100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.
Ответ : 0,93
№6 .В соревнованиях по
толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9
спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают
спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен,
который выступает последним, окажется из Швеции.
Решение : Всего участвует m= 4 + 7 + 9 + 5 = 25
спортсменов; благоприятных исходов n =9.
Вероятность того, что спортсмен, который
выступает последним, окажется из Швеции, равна
Р = n/m =9/25 = 36/100 = 0,36.
Ответ: 0,36
№7: Научная конференция проводится в 5 дней. Всего
запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные
распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется
запланированным на последний день конференции?
Решение: В последний день конференции
запланировано
n=(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов; всего
возможных выборов m=75.
Вероятность того, что доклад профессора Н. окажется
запланированным на последний день конференции, равна Р= n/m= 12/75 = 4/25 =
0,16.
Ответ: 0,16
№8: Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего
заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8
выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок
выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление
представителя России состоится в третий день конкурса?
Решение: В третий день конкурса запланировано
n=(80 – 8) : 4 = 18 выступлений ; всего
возможных выборов m=80.
Вероятность того, что выступление представителя
России состоится в третий день конкурса, равна
Р = n/m =18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.
Ответ: 0,225.
№9 : На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из
России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите
вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
Решение: Всего участвует m= 3 + 3 + 4 = 10 ученых,
из России n=3
Вероятность того, что восьмым окажется доклад
ученого из России, равна Р = m/n= 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
№10: Перед началом первого тура чемпионата по
бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью
жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10
участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в
первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов не может
играть сам с собою, поэтому m =25 , сам Руслан Орлов тоже из России , значит
n =9.
Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов
будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна Р = m/n= 9/25 =
36/100 = 0,36.
Ответ: 0,36.
№11: В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов,
в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
Решение: Вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна Р
= m/n= 11/55 =1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
№12 : В сборнике билетов по математике всего 25
билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность
того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопроса по неравенствам.
Решение: Благоприятных исходов n=25 – 10 = 15 –
билетов не содержат вопрос по неравенствам.
Вероятность того, что в случайно выбранном на
экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна Р =
m/n= 15/25 = 3/5 = 0,6.
Ответ: 0,6
№13. Две фабрики выпускают
одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих
стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая
— 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло
окажется бракованным.
Решение.Вероятность того, что стекло куплено на
первой фабрике и оно бракованное: 0,45 • 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй
фабрике и оно бракованное: 0,55 • 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность
того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным
равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019
№14. Если гроссмейстер А.
играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А.
играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б.
играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите
вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение.Возможность выиграть первую и вторую
партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
№15: Вася, Петя, Коля и Лёша
бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать
игру должен будет Петя.
Решение: Жребий начать игру может выпасть каждому
из четырех мальчиков , значит m=4. Вероятность того, что это будет именно
Петя Р = m/n= 1/4 = 0,25
Ответ: 0,25.
№16: В чемпионате мира
участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по
четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами
групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова
вероятность того, что команда России окажется в третьей
группе.
Решение: Всего команд 20, значит возможных
вариантов m =20 . Благоприятных исходов n =4 ( четыре карточки с цифрой 3) .
Вероятность выпадения нужного исхода Р = n/m= 4/20 = 0,2.
Ответ: 0,2.
№17.На экзамене по геометрии
школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность
того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые
одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.Введем два события:А:
выбор вопроса по теме «Внешние углы»;B: выбор вопроса по теме
«Тригонометрия».Вероятности этих событий:
Так как вопросов,
которые одновременно относятся к этим двум темам, нет, то события несовместны и
вероятность их суммы можно вычислить по формуле:
Ответ: 0,45
№18: В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих
автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется
в обоих автоматах.
Решение: Рассмотрим события :А = кофе закончится в
первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A•B = кофе
закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном
автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A•B) = 0,12. События A и B
совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей
этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) +
P(B) − P(A•B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность
противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих
автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
№19:Биатлонист пять раз стреляет
по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а
последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение: Результат каждого
следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом
выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.Вероятность каждого
попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: Р= 0,8 ; 2
выстрел : Р= 0,8 ; 3 выстрел : Р= 0,8;4 выстрел :Р = 0,2 ;5 выстрел :Р= 0,2.По формуле умножения
вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна:
Р=0,8 ∙ 0,8 ∙
0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Ответ: 0,02.
№ 20. В магазине стоят два
платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05
независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один
автомат исправен.
Решение.Найдем вероятность того,
что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их
произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 • 0,05 =
0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат,
противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.
Ответ: 0,9975.
№ 21. Помещение освещается
фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года
равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не
перегорит.
Решение.Найдем вероятность того,
что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения
равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Событие,
состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное.
Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.
Ответ: 0,91.
№22: Вероятность того, что
новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того,
что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он
прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение .Пусть A = «чайник
прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух
лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные,
вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на
вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего
в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день,
час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A•B) = P(A) +
P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89.Тем
самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
Ответ: 0,08.
№24: Агрофирма закупает
куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца
высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего
высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо,
купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение. Пусть в первом хозяйстве
агрофирма закупает x яиц, в том числе, 0.4x яиц высшей категории, а во втором
хозяйстве y— яиц, в том числе 02y яиц высшей категории. Тем самым, всего
агрофирма закупает x+y яиц, в том числе 0.4x +0.2y яиц высшей категории. По
условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда: (0.4x+0.2y)/(x+y) =0.35 ,
0.4x+0.2y=0.35(x+y) , 0.05x=0.15y , x=3y.Следовательно, у первого хозяйства
закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что
купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна Р=3y/(3y+y) =3/4= 0.75
Ответ : 0,75
№24: На клавиатуре телефона 10
цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет
чётной?
Решение.На клавиатуре телефона
m=10 цифр, из них n=5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что
случайно будет нажата четная цифра равна Р = n/m=5 / 10 = 0,5.
Ответ: 0,5.
№25: Какова вероятность того,
что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение.Натуральных чисел от 10 до
19 m=10, из них на три делятся три числа: n= 12, 15, 18. Следовательно,
искомая вероятность равна Р = n/m=3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
№26.Ковбой
Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера,
то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежат 10 револьверов, из них
только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый
попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.
Решение.Ковбой Джон может наудачу
схватить как пристрелляный, так и не пристрелянный револьвер. Так как на столе
10 револьверов и из них только 4 пристрелянные, то вероятность выбора
пристрелянного револьвера равна 4/10=0,4,а
непристрелянного 1-0,4=0,6.Известно, что если он выстреливает из пристрелянного
револьвера, то попадает в цель с вероятностью 0,9, значит, вероятность такого
события будет равна0,4*0,9=0,36,а вероятность выбора непристрелянного
револьвера и попадания из него в цель, равна 0,6*0,4=0,24.Если произойдет или
первое или второе событие, то Ковбой Джон попадет в цель и вероятность этого события
равна 0,36+0,24=0,6,тогда вероятность промаха 1-0,6=0,4.
Ответ: 0,4.
№27: В группе туристов 5
человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село
за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию.
Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение.Всего туристов m=5,
случайным образом из них выбирают n=2. Вероятность быть выбранным равна Р =
n/m=2 / 5 = 0,4.
Ответ: 0,4.
№28: Перед началом
футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд
начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами.
Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два
раза.
Решение.Обозначим «Р» ту сторону
монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты
обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций n=3: РР0, Р0Р, 0РР, а всего
комбинаций m=23 = 8:Тем самым, искомая вероятность равна: Р=n/m=3/8= 0,375.
Ответ: 0,375.
№29: В классе 26 человек,
среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две
группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей
окажутся в одной группе.
Решение.Пусть один из близнецов
находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе может оказаться n=12
человек из m=25 оставшихся одноклассников. Вероятность этого события
равнаP=n/m= 12 / 25 = 0,48.
Ответ : 0,4
№30.В
случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность
того, что орел выпадет ровно два раза.
Решение.Обозначим выпадение орла буквой О, а
выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:OOO, OОР,
ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО,
РРР
Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО.
Поэтому искомая вероятность равна 
то есть 0,375. (Этот
подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)
Ответ: 0,375.
№31 Ковбой
Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера,
то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них
только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый
попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.
Решение.Запишем,
как могло случиться, что “Джон промахнулся”. “Ковбой схватил
пристрелянный револьвер И не попал в муху, ИЛИ ковбой схватил непристрелянный
револьвер И не попал в муху.” Сначала разберемся с пистолетами: –
Вероятность схватить пристрелянный пистолет равна 4/10 = 0,4. Мы вычислили её
по определению вероятности: здесь один пистолет = одно элементарное событие,
один пристрелянный пистолет = одно благоприятствующее событие. – Вероятность
схватить непристрелянный пистолет равна (10−4)/10 = 0,6. Вычислили аналогично,
определив число непристрелянных пистолетов. Затем разберемся с мухой: – Если
ковбой стрелял из пристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с
вероятностью 1−0,9=0,1. – Если ковбой стрелял из непристрелянного револьвера,
то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,2=0,8. Здесь мы воспользовались
формулой для вероятности противоположного события, потому что в условии даны
вероятности попадания в муху из разных пистолетов, но не промахов. Теперь
вернемся к нашей формулировке события “Ковбой схватил…” и вместо
текста, описывающего составляющие события, подставим полученные числа – их
вероятности, а вместо союзов “И” и “ИЛИ” знаки “·” и
“+” соответственно. Получаем:
0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ :0,52
№32 В
группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые
должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он
подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение.
Всего туристов m=5, случайным образом из них
выбирают n=2. Вероятность быть выбранным равна Р = n/m=2 / 5 = 0,4.
Ответ: 0,4.
№33 Перед
началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из
команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными
командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий
ровно два раза.
Решение.
Обозначим «Р» ту сторону монеты, которая отвечает
за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда
благоприятных комбинаций n=3: РР0, Р0Р, 0РР, а всего комбинаций m=2^3 = 8:Тем
самым, искомая вероятность равна: Р=n/m=3/8= 0,375.
Ответ: 0,375.
№34 На
рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран.
Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа
из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии?
Результат округлите до сотых.
Решение.
Общее количество выступающих на фестивале групп
для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6
способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н —
Норвегия):
m=…Д…Ш…Н…, …Д…Н…Ш…,
…Ш…Н…Д…, …Ш…Д…Н…, …Н…Д…Ш…, …Н…Ш…Д… = 6
Дания находится после Швеции и Норвегии n=2.
Поэтому вероятность того, что группы случайным
образом будут распределены именно так, равна Р = n/m=2/6=0,333… = 0,33.
Ответ: 0,33
№35 В
классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным
образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того,
что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Решение.
Пусть один из близнецов находится в некоторой
группе. Вместе с ним в группе может оказаться n=12 человек из m=25 оставшихся
одноклассников. Вероятность этого события равнаP=n/m= 12 / 25 = 0,48.
Ответ : 0,48
№36 Чтобы
поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать
на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский
язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно
набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский
язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70
баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку
— 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить
хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение.
Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З.
нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого
еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть
A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику,
русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов.
Р=0,6*0,8*(0,7+0,5-0,7*0,5)=0,408
Ответ: 0,408.
№37 Из
районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в
понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность
того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того,
что число пассажиров будет от 15 до 19.
Решение.
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15
пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19
пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров».
События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих
событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 =
0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.
Ответ: 0,38.
№38 В
Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода,
установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с
вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля,
погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в
Волшебной стране будет отличная погода.
Решение.
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО,
ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности
наступления такой погоды:
P(XXO) = 0,8•0,8•0,2 = 0,128;
P(XOO) = 0,8•0,2•0,8 = 0,128;
P(OXO) = 0,2•0,2•0,2 = 0,008;
P(OOO) = 0,2•0,8•0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их
сумы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128
+ 0,008 + 0,128 = 0,392.
Ответ: 0,392.
№39 Вероятность
того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает
случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того,
что обе батарейки окажутся исправными.
Решение.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна
0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся
исправными) равна произведению вероятностей этих
событий: Р= 0,94·0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836.
№40 Перед
началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы
определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди
играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что
«Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Решение.
Требуется найти вероятность произведения трех
событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает
третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда
находим: 0,5•0,5•0,5 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.
Теоретическая часть
Если имеются события А и В, то
Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).
Задачи о зависимых событиях
Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
1-й способ.
Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда 
.
Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42
2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:
P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.
Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет 
«кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна 
= 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.
3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | |
| кофе остался |
По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.
В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался |
Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 |
Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 | 0,42 |
Ответ: 0,42.
Задачи на проценты
Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.
Отсюда
Ответ: 0,4
Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.
Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна 
≈ 0,93
Ответ: 0,93.
Разные задачи
Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.
Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).
Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17
2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)
Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17.
Ответ: 0,17.
Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.
Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего 0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого 0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого 0,0216 • 0,3 = 0,00648.
Следовательно, необходимо 5 выстрелов.
2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)
Вероятность непоражения после n выстрелов равна 
, так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.
По условию необходимо, чтобы
Ответ: 5.
Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку 0, 5, по литературе 0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение.
Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.
Ответ: 0,384.
Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение.
Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
|
хорошая |
1 |
|||
| отличная | 0 |
Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | ||
| отличная | 0 | 0,1 |
Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.
Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 |
Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.
Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 | 0,244 |
Ответ: 0,244.
Подведем итог
Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.
Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.
Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.
Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
