Вы уже научились находить значения некоторых квадратных
корней. Например, таких как:
Но бывает так, что необходимо найти квадратный
корень из числа, который уже нельзя так сходу определить. Тогда приходят к
нахождению приближённых значений квадратного корня.
Например:
Надо найти .
До этого мы с вами уже говорили, что нет
такого целого числа, квадрат которого бы равнялся двум.
Обратимся к параболе.
Прямая пересекает
параболу в двух точках. Абсцисса первой точки расположена между числами -1 и -2,
абсцисса второй точки между числами 1 и 2.
А т.к. нас интересует арифметический
квадратный корень, то рассматриваем только точку в первой координатной четверти
(т.е. с положительной абсциссой). По рисунку можно лишь сказать, что значение
корня из двух расположено между числами 1 и 2.
Попробуем все же вычислить приближённое
значение с
двумя знаками после запятой. Будем рассуждать следующим образом:
Т.к. нужно вычислить с
точностью до двух знаков после запятой, то мы можем уже остановиться и не
продолжать вычисления дальше. Поэтому имеем
Это и будет ответом. Если бы необходимо было
вычислить ещё более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления,
повторяя снова и снова цепочку рассуждений. Данный приём позволяет извлекать арифметический
квадратный корень с любой точностью.
Можно показать наши рассуждения относительно
значения на координатной прямой.
В первом шаге показано, что значение расположено между числами 1 и 2.
Во втором шаге нашли значение корня с
точностью до десятых. И пришли к выводу, что это значение заключено между
числами 1,4 и 1,5.
Затем, в третьем шаге показано, что значение расположено
между числами 1,41 и 1,42 с точностью до сотых. И т.д..
В практических расчётах для нахождения
приближённых значений квадратных корней используют специальные
таблицы или вычислительную технику.
Рассмотрим, как можно находить значения
квадратных корней с помощью калькулятора.
Для этого используют клавишу, на которой
изображён знак квадратного корня. Чтобы извлечь корень из некоторого числа,
нужно ввести это число в калькулятор. Пауза нажать клавишу со знаком корня. И
на экране высветится приближённое значение корня.
Убедимся в правильности работы калькулятора.
Сначала давайте попробуем найти значение корня, которого вы уже
помните наизусть.
Например:
Нужно найти значение .
Конечно, вы с ходу скажите, что оно равно 5. Проверим. Вводим в калькулятор
число 25, затем нажимаем волшебную клавишу со знаком корня и
видим… значение равно 5.
Проверим, правильно ли мы рассуждали
относительно значения .
Вводим число 2 в калькулятор, нажимаем клавишу с корнем и видим
такие цифры: 1, запятая, 4, 1 и дальше ещё много циферок. Обратите внимание, получили
бесконечную непериодическую дробь, т.е. значение –
иррациональное число. Но т.к. нам нужно было найти приближённое
значение с
точностью до сотых, то мы убедились, что .
Задание:
Сравните числа.
Решение:
Приближённые формулы
- Произведение двух чисел, близких к единице
- Квадрат и другие степени числа, близкого к единице
- Число, обратное числу, близкому к единице
- Квадратный корень из числа, близкого к единице
- Обобщение приближённых формул
- Примеры
Произведение двух чисел, близких к единице
При выведении формул для погрешностей произведения и частного (см. §45 данного справочника) мы использовали понятие «малых величин», влияние которых на результат настолько мало, что им можно пренебречь. Обычно они появляются в формулах как произведения небольших отклонений или степени отклонений. Их вклад в конечный результат «мал» в том смысле, что при округлении мы его всё равно отбрасываем.
Рассмотрим два числа x = 1+α, y = 1+β,
где |α|≪1,|β|≪1 – гораздо меньше единицы (сотые, тысячные и т.д.).
Найдём их произведение:
$$ xy = (1+α)(1+β) = 1+α+β+αβ $$
Произведение αβ $approx$ 0 пренебрежимо мало, и мы получаем:
$$ (1+α)(1+β) approx 1+α+β, quad |α|≪1, |β|≪1 $$
Например:
$1,012 cdot 1,004 approx 1+0,012+0,004 = 1,016$ – значение по приближенной формуле
$1,012 cdot 1,004 = 1,016048$ – точное значение
или
$0,997 cdot 1,003 approx 1-0,003+0,003 = 1,000$ – значение по приближенной формуле
$0,997 cdot 1,003 = 0,999991$ – точное значение
Квадрат и другие степени числа, близкого к единице
Используя формулу для произведения двух чисел, близких к единице, получаем приближенную формулу для квадрата, куба и других степеней таких чисел:
$$ (1+α)^2 approx 1+2α, quad |α|≪1 $$
$$ (1+α)^3 approx 1+3α, quad(1+α)^n approx 1+nα $$
Например:
Степень числа
По приближенной формуле
Расчет на калькуляторе
$1,011^2$
$ approx 1+2 cdot 0,011 = 1,022$
1,022121
$1,011^3$
$ approx 1+3 cdot 0,011 = 1,033$
1,033364331
$1,011^5$
$ approx 1+5 cdot 0,011 = 1,055$
1,056223…
При увеличении степени относительная погрешность возрастает, и точность вычислений падает.
Число, обратное числу, близкому к единице
Пусть $x = 1+α, quad |α|≪1$
Найдём $frac{1}{x}$:
$$ frac{1}{x} = frac{1}{1+α} = frac{1-α}{(1+α)(1-α)} = frac{1-α}{1- underbrace{α^2}_{approx text{0}}} approx 1-α $$
$$ frac{1}{1+α} approx 1-α, |α|≪1 $$
Например:
$ frac{1}{1,001} approx 1-0,001 = 0,999 $
Точное значение: $ frac{1}{1,001}$ = 0,(999000) – периодическая бесконечная дробь
Квадратный корень из числа, близкого к единице
Из формулы для квадрата числа, близкого у единице, получаем:
$$ 1+α approx Biggl( 1+ frac{a}{2} Biggr)^2 gt 0 $$
$$ sqrt{1+α} approx 1+ frac{a}{2}, quad |α|≪1 $$
Например:
$ sqrt{1,0014} approx 1+ frac{0,0014}{2} = 1,0007 $
Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{1,0014}$ = 1,0006997551…
или
$ sqrt{0,981} approx 1- frac{0,019}{2} = 0,9905 $
Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{0,981}$ = 0,990454441…
Обобщение приближённых формул
Формулы для чисел вида x = 1+α, |α|≪1, можно обобщить для чисел вида z = a+b, |b|≪|a|, т.к.
$$ |b|≪|a| Rightarrow frac{|b|}{|a|} ≪1 и frac{z}{a} = frac{a+b}{a} = 1+ frac{b}{a} $$
Заменой $frac{z}{a}$ = x, $frac{b}{a}$ = α одни числа приводятся к другим.
Квадрат
$(1+α)^2 approx 1+2α$
$ (a+b)^2 approx a^2+2ab $
Любая степень $n in Bbb N$
$(1+α)^n approx 1+nα$
$ (a+b)^n approx a^n+na^{n-1} b $
Квадратный корень
$ sqrt{1+α} approx 1+ frac{a}{2}$
$ sqrt{a+b} approx sqrt{a} + frac{b}{2sqrt{a}} $
Обратное число
$ frac{1}{1+α} approx 1-α$
$ frac{1}{a+b} approx frac{1}{a} – frac{b}{a^2} $
Примеры
Пример 1. Найдите приближенное значение выражения.
Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.
|
Приближенное значение |
Расчет на калькуляторе |
|
|
$а) 1,006^2$ |
$(1+0,006)^2 approx 1+2 cdot 0,006 = 1,012$ |
$ 1,006^2 = 1,012036 $ |
|
$б) sqrt{0,9997}$ |
$ sqrt{1-0,0003} approx 1- frac{1}{2} cdot 0,0003 = 0,99985$ |
$ sqrt{0,9997} = 0,9998499… $ |
|
$в) frac{1}{1,004} $ |
$ frac{1}{1,004} approx 1-0,004 = 0,996$ |
$ frac{1}{1,004} = 0,9960159…$ |
|
$г) 0,995^5$ |
$ (1-0,005)^5 approx 1-5 cdot 0,005 = 0,975$ |
$ 0,995^5 = 0,9752487… $ |
Пример 2. Найдите приближенное значение выражения, используя обобщенные приближенные формулы. Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.
|
Приближенное значение |
Расчет на калькуляторе |
|
|
$а) 4,04^2$ |
$(4+0,04)^2 approx 4^2+2 cdot 4 cdot 0,04 = 16,32$ |
$ 4,04^2 = 16,3216 $ |
|
$б) sqrt{255}$ |
$ sqrt{256-1} approx sqrt{256}- frac{1}{2sqrt{256}} = 16- frac{1}{32} approx $ = 16-0,03 = 15,97 |
$ sqrt{255} = 15,96871… $ |
|
$в) frac{1}{9,995} $ |
$ frac{1}{10-0,005} approx 1-0,004 = 0,996$ |
$ frac{1}{1,004} = 0,9960159…$ |
|
$г) 0,995^5$ |
$ (1-0,005)^5 approx 1-5 cdot 0,005 = 0,975$ |
$ 0,995^5 = 0,9752487… $ |
Цель: формировать умение находить приближенные значения квадратного корня при помощи оценки и на калькуляторе.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
III. Объяснение нового материала по учебнику.
Сначала показать учащимся, как найти приближённое значение квадратного корня, оценивая его. При этом желательно привлекать учащихся к “открытию” этого способа. Затем попросить их сформулировать, как с помощью оценки может быть найдено приближённое значение любого квадратного корня.
Приведем несколько примеров, как применяется калькулятор для извлечения квадратных корней.
IV. Формирование умений и навыков.
• Все задания можно разбить на две группы:
1-я группа. Задания на нахождение приближенных значений квадратных корней с помощью оценки: № 336.
– Площадь квадрата равна 5 см2. Чему равна его сторона? Дайте точный ответ, записав его с помощью знака √, и приближённый, выразив результат десятичной дробью с двумя знаками после запятой.
2-я группа. Задания на нахождение приближенных значений квадратных корней с помощью калькулятора: № 338 (б).
– С помощью калькулятора найдите значение √n для всех натуральных n от 1 до 10. Заполните таблицу, указывая приближённое значение √n с тремя знаками после запятой.
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
√n |
Используя таблицу, сравните √6 и √3; √2 и √7; √10 и √8.
• Дополнительные задания: № 342, 343, 344 (а, в, д), 345, 347.
V. Тест с последующей проверкой.
“+” – согласен с утверждением;
“-” – не согласен с утверждением.
Утверждения:
1) √27 – это иррациональное число;
2) √64 – это иррациональное число;
3) √32 – это действительное число;
4) √81 – это действительное число;
5) √3 меньше 1;
6) √190 больше √160.
7) Любое иррациональное число заключено между двумя целыми числами;
8) Если число стоит под корнем, то оно иррациональное;
9) √7 меньше, чем -√10;
10) √59 заключено между числами 7 и 8.
Ключ:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
+ |
– |
+ |
+ |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
VI. Итоги урока.
Учащиеся, сидящие за одной партой, обмениваются “ключами” к тесту. Учитель снова читает все десять утверждений, каждое из которых обсуждается. Одновременно учащиеся проверяют свои работы и ставят друг другу отметки по следующей шкале:
“5” – все ответы верные;
“4” – одна или две ошибки;
“3” – три или четыре ошибки;
“2” – более четырёх ошибок.
– Как найти приближённое значение квадратного корня с помощью метода оценки; с помощью калькулятора?
– Какое из чисел, √5 или √7, расположено левее на числовой оси? Почему?
Домашнее задание: № 337, 339, 334 (б, г, е), 346.
Цель: получить навыки приближенных вычислений на калькуляторе.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
1. Найдите приближенное значение периметра треугольника со сторонами a ≈ 23,8 см, b ≈ 5,64 см и с ≈ 19,3 см.
2. Найдите приближенное значение выражения (2х – 5у)z, если х ≈ 19,83, у ≈ 3,4 и z ≈ 0,0258.
Вариант 2
1. Найдите приближенное значение периметра треугольника со сторонами a ≈ 29,31 см, b ≈ 7,8 см и с ≈ 16,7 см.
2. Найдите приближенное значение выражения (3х – 2y)z, если х ≈ 17,31, у ≈ 4,7 и z ≈ 0,0375.
III. Изучение нового материала (основные понятия)
При вычислениях на калькуляторе действия над приближенными данными производятся так же, как и над точными данными. Полученные результаты округляют по рассмотренным ранее правилам.
Пример 1
Найдем разность чисел х ≈ 784,376 и у ≈ 37,62.
Вычтем данные числа: х – у ≈ 784,376 – 37,62 ≈ 746,756. Округлим этот результат с точность до сотых (по числу у) и получим х – у ≈ 746,76.
Пример 2
Найдем произведение чисел х ≈ 2,73 · 104 и у ≈ 1,4 · 10-3.
Умножим данные числа xу ≈ 2,73 · 104 · 1,4 · 10-3 ≈ (2,73 · 1,4) · (104 · 10-3) ≈ 3,822 ·101 ≈ 3,8 · 101 ≈ 38. Число 3,822 было округлено с точностью до десятых (по множителю, 1,4 числа у).
Пример 3
Найдем массу стального кубика с ребром a ≈ 1,5 см (плотность стали g = 7,8 г/см3).
Объем куба со стороной а вычисляется по формуле V = а3. Масса материала куба равна m = gV = ga3 (где g — плотность вещества). При вычислении удобно сначала выполнить возведение в третью степень. Поэтому запишем формулу в виде m = a3 · g. Числа а и g имеют одинаковую точность (с точностью до десятых). Выполним вычисления и получим m ≈ 26,325 ≈ 2,6325 · 101. Округлим первый множитель до десятых и найдем m ≈ 2,6 · 101 ≈ 26 г.
IV. Задание на уроке
№ 1019 (а, в); 1020 (а); 1021 (а, б); 1022 (а); 1023 (а); 1024; 1026; 1030.
V. Задание на дом
1019 (б, г); 1020 (в); 1021 (в, г); 1022 (б); 1023 (б); 1025: 1027; 1028.
VI. Подведение итогов урока
Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Макарычев. Алгебра 8 класс. Просвещение. Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 28. Нахождение приближенных значений квадратного корня. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.
Цель: сформировать представление о приближенном вычислении квадратного корня.
Планируемые результаты: научиться вычислять приближенное значение корня из числа.
Тип урока: урок–исследование.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
- Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
- Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
- Решите уравнение: а) x2 – 0,04 = 0,6; б) (2х – З)2 = 16; в) (3х + а)2 = 81.
- Определите число корней уравнения x2 – 4х = а.
Вариант 2
- Решите уравнение: а) x2 + 0,05 = 0,3; б) (Зх + 2)2 = 36; в) (2х – а)2 = 49.
- Определите число корней уравнения –x2 + 6х = а.
III. Работа по теме урока
На предыдущих занятиях мы узнали, что √a может быть целым числом (например, √0 = 0, √9 = 3 и т. д.), обыкновенной дробью (например, 
десятичной дробью (например, 
и иррациональным числом (например, 
Так как иррациональное число является бесконечной десятичной непериодической дробью, то при практических вычислениях возникает вопрос о вычислении приближенного значения арифметического квадратного корня.
Пример 1. Найдем приближенное значение √3 с двумя знаками после запятой.
Оценим подкоренное выражение 3 сначала в целых числах. Так как 1 < 3 < 4, то √1 < √3 < √4 или 1 < √3 < 2. Поэтому десятичная запись числа √З начинается с цифры 1, т. е. √3 ≈ 1,… (рис. а).
Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3… до тех пор, пока вновь не оценим такими числами подкоренное выражение 3. Имеем 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. Так как 2,89 < 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < √З < 1,8. Значит, √3 ≈ 1,7… (рис. б).
Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,71; 1,72; 1,73…, вновь оценивая подкоренное выражение 3. Имеем: 1,712 = 2,9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Так как 1,732 < 3 < 1,742, то 1,73 < √3 < 1,74 (рис. в). Поэтому √3 ≈ 1,73.
Аналогичным образом можно найти приближенное значение арифметического квадратного корня с любой заданной точностью.
При практических расчетах для нахождения приближенных значений квадратных корней используют специальные таблицы или вычислительную технику.
Пример 2. С помощью калькулятора найдем 
.
Введем в калькулятор число 27,4 и нажмем клавишу √. На экране появится число 5,234500931 — приближенное значение . Полученный результат округляют до требуемого количества знаков. Округлим, например, этот результат до сотых и получим ≈ 5,23.
IV. Задания на уроке
№ 336 (а, г); 338 (б); 339 (а); 340 (б); 344 (а, б); 345 (а); 348 (б, г).
V. Подведение итогов урока
Домашнее задание: № 336 (в, е); 338 (а); 339 (б); 340 (а); 344 (в, г); 345 (б); 348 (а, в).
Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 28. Нахождение приближенных значений квадратного корня.
Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.
