Как с помощью производной найти площадь фигуры

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S(G)=∫abf(x)dx  для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],

S(G)=-∫abf(x)dx  для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y=f(x) или x=g(y).

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Рассмотрим более сложный пример.

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ_а^b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл  ʃ_а^b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ_а^b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ_а^b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ_а^b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х³,
{у = 1.

Таким образом, имеем х₁ = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S_DACE – S_DABE = ʃ₁² x³ dx – 1 = x⁴/4|₁² – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ_а^b(√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫₄⁹ (√x – 2)dx = ∫₄⁹ √x dx –∫₄⁹ 2dx = 2/3 x√х|₄⁹ – 2х|₄⁹ = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³ – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х³ – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x² – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у_min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х³ – 4х = 0 или х(х² – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х₁ = 0, х₂ = 2, х₃ = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х³ – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ₀² (x³ – 4x)dx|.

Имеем: ʃ₀² (x³ – 4х)dx =(x⁴/4 – 4х²/2)|₀²= -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х² – 2х + 1, прямыми  х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х² – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х₀ = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у₀ = 2 · 2² – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х² – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г_у =  2х² – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение  2х² – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x_b = -b/2a;

x_b = 2/4 = 1/2;

y_b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S_ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S_ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

Далее:

S_OABC = ʃ₀²(2x² – 2х + 1)dx = (2x³/3 – 2х²/2 + х)|₀² = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S_ОAВD = S_OABC – S_ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Определение значения площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

При помощи основных формул и значений интегралов, можно определить площадь криволинейной трапеции G. Для этого используются следующий перечень формул:

[
S(G)=int_{a}^{b} f(x) d x
]

Формула, для определения непрерывной и положительной функции, следующего вида: y=f(x) на промежутке [a;b].

[
S(G)=-int_{a}^{b} f(x) d x
]

Для непрерывной и функции с отрицательными показателями, вида: y=f(x) на числовом промежутке [a;b].

Однако, когда необходимо решить задачи с определением площади фигур, очень часто возникает необходимость применять более сложные фигуры.

Для этого используют фигуры, площади которых ограничены линиями, которые представлены в виде функций следующего типа: как y=f(x) или x=g(y).

Доказательство данных функций подробно описывается для трех случаев, параллельно изображая весь процесс решения графиками на координатной прямой.

Первый вариант:

В данной ситуации, обе функции имеют положительные характеристики, в силу свойства целостности площади. Следовательно, сумма для площадей исходной фигуры, обозначенной G и криволинейной геометрической трапеции G₁ равняется значению площади фигуры G₂. Из этого следует:

[
S(G)=Sleft(G_{2}right)-Sleft(G_{1}right)=int_{a}^{b} f_{2}(x) d x-int_{a}^{b} f_{1}(x) d x=int_{a}^{b}left(f_{2}(x)-f_{1}(x)right) d x
]

Второй вариант:

Таким же образом, как и в первом случае, можно доказать равенство, которое характерно для второго варианта.

[
S(G)=Sleft(G_{2}right)+Sleft(G_{1}right)=int_{a}^{b} f_{2}(x) d x+left(-int_{a}^{b} f_{1}(x) d xright)=int_{a}^{b}left(f_{2}(x)-f_{1}(x)right) d x
]

Графически данная ситуация будет выглядеть следующим образом.

Третий вариант:

Для данного варианта характерно две функции, отрицательные по своим значениям.

Формула, которая применяется для доказательства, выглядит следующим образом:

[
S(G)=Sleft(G_{1}right)-Sleft(G_{2}right)=-int_{a}^{b} f_{1}(x) d x-left(-int_{a}^{b} f_{2}(x) d xright)=int_{a}^{b}left(f_{2}(x)-f_{1}(x)right) d x
]

Для более понятно и доступного восприятия, лучше всего данное доказательство изображать в виде графического рисунка.

Общий случай, для определения площади фигуры

Общий случай для фигуры, когда функция имеет вид: [y=f_{1}(x) text{ и } y=f{2}(x)] и пересекают ось значений на координатной прямой.

Точки, которые пересекают вышеуказанные функции, можно обозначать следующими показателями: [x_{i}, quad i=1,2, ldots, n-1]. Данные точки, разделяют промежуток значений (a и b) на несколько частей, которые можно обозначить как n. Значение а всегда равняется b. Заданную фигуру, площадь которой нужно определить, можно обозначить как объединение двух фигур. На интервале, где располагается геометрическая фигура, она попадает под один из трех вариантов, которые были рассмотрены ранее.

[
Sleft(G_{i}right)=int_{x_{i-1}}^{x_{i}}left(f_{2}(x)-f_{1}(x)right) d x, quad i=1,2, ldots, n
]

Следовательно, можно составить и записать следующее выражение:

[S(G)=sum_{i=1}^{n} Sleft(G_{i}right)=sum_{i=1}^{n} int_{x_{i-1}}^{x_{i}}left(f_{2}(x)-f_{i}(x)right) d x=int_{x_{0}}^{x_{0}}left(f_{2}(x)-f_{1}(x)right) d x=int_{a}^{b}left(f_{2}(x)-f_{1}(x)right) d x]

Для последнего перехода функции справедливо пятое свойство интегральных значений. 

Из этого следует, что заданная формула: [S(G)=int_{a}^{b}left(f_{2}(x)-f_{1}(x)right) d x]  является доказанной.

Примеры вычисления площади стороны фигуры

Необходимо определить  вычислить площадь фигуры ограниченной линиями геометрической фигуры, которая ограничена параболой:

[y=-x^{2}+6 x-5] и прямыми линиями: [y=-frac{1}{3} x-frac{1}{2}], [, x=1, x=4].

На протяжении всего отрезка  [1;4] график в виде параболы равен функции:

[y=-x^{2}+6 x-5] и расположен выше прямой: [y=-frac{1}{3} x-frac{1}{2}]

Следователь, применяя все известные формула и используя алгоритм решения, для определения площади фигуры. Можно определить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Определим значение площади фигуры, которая ограничена линиями, со следующими значениями:

[
y=sqrt{x+2}, quad y=x, quad x=7
]

Для вычисления необходимо выяснить предел интегрирования. Так как дана только одна прямая равная 7.

Для этого необходимо построить график, со всеми известными данными.

Согласно графику, можно сделать вывод, что нижний предел интегрирования, для определения площади, будет являться точка пересечения графика прямой

y=x и значения половины параболы [y=sqrt{x+2}]

Значение данной точки можно вычислить из следующего равенства:

Исходя из вычислений, приведенных выше, можно сделать вывод, что абсциссой точки, где происходит пересечение, будет являться значение 2.

В данном примере и графике видно, что все линии пересекаются в точках на промежутке (2;2).

График функции y=x располагается выше графической функции [y=sqrt{x+2}], которой характерен интервал (2;7).

Для определения площади используем формулу:

Содержание:

1. Примеры с решением

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Площадь требуемой фигуры на рисунке можно найти, вычитая из площади площадь

Каждую площадь можно вычислить как определенный интеграл на заданном промежутке.

Эти суждения можно обобщить следующим образом.

Так как функции и непрерывны на отрезке и на этом отрезке выполняется условие (т.е.график функции ) расположен выше графика функции то площадь ограниченная графиками функций и прямыми можно выразить следующим выражением:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Графики функций не имеют общих точек.

Примеры с решением

Пример 1.

Найдите площадь, ограниченную графиками функций и и прямыми

Решение:

=

Графики функций пересекаются в двух точках.

Пример 2.

Найдите площадь, ограниченную графиками функций

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций.

Полученные значения являются границами определенного интеграла.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 3.

Найдите площадь, заключенную между графиками функций и

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечени графиков.

Значит, графики пересекаются в точках с абсциссами По графикам функций также видно, что площадь, которую мы должны найти, состоит из площади, ограниченной графиками на промежутке и на промежутке На промежутке выполняется условие на промежутке выполняется условие (разность функций учитываются при записи интеграла).

! Вычислите требуемую площадь при помощи интеграла

Какой результат вы получили?

Пример 4.

Члены школьного клуба юных конструкторов работают над созданием нового двигателя для автомобиля, который будет меньше засорять окружающую среду. Для нового мотора изменение количества частиц (млрд), загрязняющих атмосферу, в год можно выразить следующим образом: Количество загрязняющих частиц, выбрасывамых старым мотором имеет вид:

a) В какой год они будут выбрасывать в атмосферу одинаковое количество частиц?

b) Какова разница между количеством вредных частиц, выброшенных в атмосферу, за этот период

Решение:

а) при удовлетворяющего условию количество вредных частиц будет одинаково.

Значение не соответствует смыслу задачи. На 3-ий год новый мотор будет давать такое же количество вредных частиц, как и старый. b) Разность количества вредных частиц равна разности площадей на промежутке [0;3].

(млрд. частиц)

Пример 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и окружностью

Решение:

Сначала схематически изобразим эту площадь. Из рисунка видим

что заданные кривые ограничивают две различающиеся плоские фигуры (меньшую и большую). Каждая из этих фигур, в свою очередь, состоит из двух симметричных относительно оси частей.

Поэтому достаточно вычислить площадь верхней части каждой фигуры и затем умножить ее на два.

Найдем сначала площадь меньшей фигуры. Преобразуем уравнение окружности и определим координаты ее центра и величину радиуса.

Следовательно, центр окружности находится в точке а ее радиус Найдем точки и пересечения обеих линий, решая систему двух

уравнений

Найдем уравнение границы (части окружности) Из условия на ординаты точек границы имеем

по этой же причине уравнение нижней части границы на отрезке

По формуле (1) находим

но

– это площадь четверти окружности. Площадь всей окружности равна Второй интеграл легко вычисляется Теперь найдем искомую площадь

Теперь, чтобы найти площадь большей фигуры, необходимо из площади круга вычесть площадь меньшей фигуры:

Проверим значение первого интеграла

Обозначим

тогда при при (четвертая четверть). Поэтому

Пример 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение:

Второе уравнение запишем так , отсюда следует, что это означает, что вся фигура (парабола) расположена левее точки она симметрична относительно оси так как при замене на уравнение не изменяется. Ветви параболы направлены влево; ее вершина находится в точке Определим точки ее пересечения с осью

Ветви второй параболы направлены также влево, а ее вершина совпадает с началом координат.

Определим точки пересечения этих кривых из решения системы

Одна точка пересечения вторая –

Изобразим эту фигуру на чертеже. Здесь проще вычислить площадь по формуле (2) т. е.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями