Как составить биквадратное уравнение по его корням

Биквадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 4 +bx 2 +c=0, где а≠0 число, называется биквадратным уравнением (приставка «би» означает «двойной»). Для решения такого уравнения применяют метод введения новой переменной, чтобы получить квадратное уравнение, решение которого легко выполняется.

Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.

Пример №1. Решить уравнение:

В данном уравнении заменим х 2 на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х 2 =а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:

Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:

Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х 2 на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:

Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х 2 =9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х 2 =16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.

Пример №2. Решить уравнение:

Заменим на переменную у: х 2 =у. Получим уравнение:

Найдем его корни: у₁=–1, у₂=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х 2 =–1; х 2 =4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.

Пример №3. Решить уравнение:

Выполним замену переменной: х 2 =у. Решим уравнение:

Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
(x^<2>=t,;tgeq0)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

(t^<2>-5t+6=0)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4times1times6=25-24=1)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: (x^<2>=3)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4times1times4=16-16=0)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
(t=frac<-b><2a>=frac<-(-4)><2times1>=2)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить (x^<2>=4) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
(begin
&x^<2>=4\
&x_<2>=2\
&x_<3>=-2\
end)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
(x^<4>-16=0)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
(begin
&x^<2>=4\
&x_<1>=2\
&x_<2>=-2
end)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Биквадратные уравнения: решение уравнений, примеры

Содержание:

В самом начале напомним, что в математике принято называть уравнением. Уравнение представляет собой равенство, содержащее одну или более неизвестных величин. Решить уравнение означает найти значение неизвестной величины (или нескольких неизвестных) таким образом, чтобы их подстановка в исходное выражение давала истинное математическое равенство.

Далее подробно расскажем о биквадратных уравнениях и способах их решения. Небольшой урок по этой теме – основа, которая может оказаться неплохим подспорьем, в тот момент, когда настанет время сдавать тест по алгебре. Таким образом не приходя в школьный класс, вы сможете вполне уверенно находить решение любого биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения

ax 4 +bx 2 +c = 0, где

a и b – числовые коэффициенты,

с – свободный член.

При этом коэффициент «a» не должен равняться нулю.

Решение биквадратных уравнений

Для полной ясности рассмотрим, как решается биквадратное уравнение на примерах.

Биквадратные уравнения: примеры для решения

Сначала выполним замену переменной x2 = t и запишем новое квадратное уравнение:

Находим дискриминант для квадратного уравнения по известной формуле:

D = b 2 – 4ac = (-5) 2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 9.

Напомним о том, что в случае, когда дискриминант оказывается меньше нуля, то уравнение не будет иметь корней, а когда он равен нулю, то корень будет один.

Так как полученный дискриминант D>0, то уравнение будет иметь два корня, которые найдем по формулам: t₁ = -b+D2a и -b-D2a.

Теперь задача состоит в подстановке найденных корней в формулу, по которой мы ранее изменили переменную:

x 2 = 1 и x 2 = 4.

Корни этих уравнений очевидны, но все-таки найдем их традиционным для математики способом. Для этого занесем обе части полученных равенств под знак квадратного корня:

x 2 = 1, тогда x₁ = 1 и x₂ = –1.

x 2 = 4, тогда x₃ = 2 и x₄ = –2.

Ответ. Таким образом мы получили четыре искомых корня биквадратного уравнения

Теперь рассмотрим другой пример, в котором корни биквадратного уравнения будем находить без вычисления дискриминанта. Задание будет состоять в решении уравнения:

В этом случае будет вполне логично вынести переменную x 2 за скобки, тогда получим выражение: x 2 (–9x 2 +81) = 0.

Теперь можно приравнять к нулю каждый из сомножителей уравнения.

x 2 = 0, соответственно один из корней нашего уравнения x₁ = 0.

Второе равенство решаем следующим путем:

Заносим под знак радикала обе части полученного равенства

x 2 = 9, тогда x₂ = 3 и x₃ = –3.

Ответ. Получено три корня заданного биквадратного уравнения: x₁ = 0, x₂ = 3 и x₃ = –3.

Таким образом на примерах из школьной программы мы продемонстрировали как решать биквадратные уравнения различными способами. Надеемся, что приведенная информация будет полезной при сдаче теста.

[spoiler title=”источники:”]

http://tutomath.ru/baza-znanij/bikvadratnye-uravneniya.html

http://bingoschool.ru/manual/bikvadratnyie-uravneniya-reshenie-uravnenij-primeryi/

[/spoiler]

Как решать биквадратное уравнение: видео

6 июля 2013

• Скачать тест
• Ответы к тесту

В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».

Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.

Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:

1)вводим новую переменную ${{x}^{2}}=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим

[begin{align}& {{({{x}^{2}})}^{2}}={{t}^{2}} \& {{x}^{4}}={{t}^{2}} \end{align}]

2)переписываем наше выражение — $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+4=0to a{{t}^{2}}+bt+c=0$

3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$, если корней будет два.

4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: ${{x}^{2}}={{t}_{1}}$ и ${{x}^{2}}={{t}_{2}}$.

5)решаем полученные уравнения и находим иксы.

Реальные задачи

Пример № 1

Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.

Решаем первую задачу:

[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0]

Вводим новую переменную и переписываем:

[{{x}^{2}}=tto {{t}^{2}}-5t+4=0]

Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:

[D={{(-5)}^{2}}-4cdot 1cdot 4=25-16=9]

Это хорошее число. Корень равен 3.

Теперь находим значение $t$:

[begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}text{ }=text{ }frac{5+3}{2}=text{ }frac{8}{2}text{ }=text{ }4 \{{t}_{2}}text{ }=frac{5-3}{2}=text{ }frac{2}{2}text{= }1 \end{array}]

Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:

[begin{align}& {{x}^{2}}=4to {{x}^{2}}-4=0to (x-2)(x+2)=0 \& left[ begin{align}& x=2 \& x=-2 \end{align} right. \end{align}]

Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:

[begin{align}& {{x}^{2}}=1to {{x}^{2}}-1=0to (x-1)(x+1)=0 \& left[ begin{align}& x=1 \& x=-1 \end{align} right. \end{align}]

Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру:

[{{x}^{4}}-25{{x}^{2}}+144=0]

Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.

Заменяем:

[{{x}^{2}}=t]

Тогда у нас выйдет:

[{{t}^{2}}-25t+144=0]

Считаем$D$:

[D=text{ }625text{ }-text{ }4text{ }cdot text{ }144text{ }=text{ }49]

Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:

[begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}text{ }=frac{25+7}{2}text{ }=text{ }frac{32}{2}=text{ }16 \{{t}_{2}}text{ }=frac{25-7}{2}=text{ }frac{18}{2}text{ }=text{ }9 \end{array}]

Вспоминаем, что такое $t$:

[begin{align}& {{x}^{2}}=16 \& left[ begin{align}& x=4 \& x=-4 \end{align} right. \end{align}]

Второй вариант:

[begin{align}& {{x}^{2}}=9 \& left[ begin{align}& x=3 \& x=-3 \end{align} right. \end{align}]

Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.

Пример № 3

Переходим к последнему биквадратному уравнению:

[{{x}^{4}}-frac{5}{4{{x}^{2}}}+frac{1}{4}=0]

Опять же вводим замену:

[{{x}^{2}}=t]

Тогда:

[{{t}^{2}}-frac{5}{4t}+frac{1}{4}=0]

Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

[4{{t}^{2}}-5t+1=0]

Найдем $D$:

[D=text{ }25text{ }-text{ }16text{ }=text{ }9]

Корень из дискриминанта равен трем:

[begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}text{ }=text{ }frac{5+3}{2cdot 4}=text{ }frac{8}{8}text{ }=text{ }1 \{{t}_{2}}text{ }=frac{5-3}{2cdot 4}=text{ }frac{2}{8}=text{ }frac{1}{4} \end{array}]

Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:

[begin{align}& {{x}^{2}}=1 \& left[ begin{align}& x=1 \& x=-1 \end{align} right. \end{align}]

Второй вариант чуть посложнее:

[begin{align}& {{x}^{2}}=frac{1}{4} \& left[ begin{align}& x=frac{1}{2} \& x=-frac{1}{2} \end{align} right. \end{align}]

Мы получили снова четыре корня:

[1;text{ }-1;text{ }frac{1}{2};-frac{1}{2}]

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Смотрите также:

1. Следствия из теоремы Виета
2. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
4. Метод узлов в задаче B5
5. Задача C1: еще одно показательное уравнение
6. Значение тригонометрических функций

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

ax⁴ + bx² + c = 0,

где  a ≠ 0.

Для решения биквадратных уравнений  x²  заменяется на любую другую букву, например, на  y,  то есть:

если  x² = y,  то  ax⁴ + bx² + c = ay² + by + c = 0.

Следовательно, относительно  y,  уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.