Дерево вероятностей
В этой статье я покажу вам очень простой способ решения некоторых задач по теории вероятностей.
Рассмотрим задачу. Трое друзей Вася, Петя и Слава купили торт, и решили его съесть. Они разделили торт на три равных части. Внезапно появился четвертый друг Коля, и друзья решили отрезать ему по кусочку от своей доли. Вася отрезал 1/3 от своего куска, Петя 1/4, а Слава – половину. Какую часть всего торта получил в итоге Коля?
Изобразим ситуацию, описанную в задаче в виде такой схемы:
Сначала торт разрезали на три равные части, и каждому из трех друзей досталось по 1/3 торта.
Затем пришел Коля и каждый мальчик отрезал ему соответствующую часть своего куска:
Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь. То есть Вася отдает Коле 
часть торта, Петя – 
часть торта, а Слава 
часть торта.
В итоге Коля получит 
часть тортa.
Когда мы ищем вероятность события, мы ищем, какую часть благоприятные исходы составляют от общего числа исходов. Если в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев развития событий часто используют схему “дерева вероятностей”, аналогичную приведенной выше.
Решим еще одну задачу.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, а вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Изобразим ситуацию в виде дерева вероятностей:
Все стекла делятся на те, которые выпускает первая фабрика и на те, которые выпускает вторая:
Стекла, которые выпускает каждая фабрика делятся на бракованные и пригодные. Из стекол, которые выпускает первая фабрика 4% бракованных, и из тех, которые выпускает вторая – 1% бракованных:
Нас интересуют бракованные стекла, которые выпускаются первой или второй фабрикой. Найдем, какую часть эти стекла составляют от всех стекол:
Ответ: 0,019
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр “Час ЕГЭ”, попробуйте скачать
Firefox
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 612 человек из 78 регионов
- Сейчас обучается 46 человек из 28 регионов
- Сейчас обучается 75 человек из 34 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Теория вероятностей в заданиях ЕГЭ.
Дерево вероятностей -
2 слайд
Задания домашней контрольной работы, вызвавшие затруднения
1. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 этих стекол, вторая – 65 . Первая фабрика выпускает 3 бракованных стекол, а вторая – 5 . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
3. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране отличная. Найдите вероятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет отличная погода. -
3 слайд
Задания домашней контрольной работы, вызвавшие затруднения
4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 85% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 65% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
5. Семья с детьми совершает прогулку по дорожкам парка. На каждой развилке они наудачу выбирают следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к киоску с мороженым А, другие к киоску с игрушками В, третьи к пруду с лебедями С. Найдите вероятность того, что семья выйдет к пруду с лебедями.
6. В коробке лежат 3 красных и 7 черных шаров. Найдите вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся красными.
7. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане. -
4 слайд
Дерево вероятностей
Если в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев развития событий часто используют схему “дерево вероятностей” -
-
6 слайд
2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, а вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Ответ: 0,019
-
7 слайд
3. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране отличная. Найдите вероятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет отличная погода.
Ответ: 0,756
-
8 слайд
4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 65 % яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 85% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80 % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: 0,25
-
9 слайд
5. Семья с детьми совершает прогулку по дорожкам парка. На каждой развилке они наудачу выбирают следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к киоску с мороженым А, другие к киоску с игрушками В, третьи к пруду с лебедями С. Найдите вероятность того, что семья выйдет к пруду с лебедями.
Ответ: 0,35
-
10 слайд
6. В коробке лежат 3 красных и 7 черных шаров. Найдите вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся красными.
Вероятность вынуть два определенных шара одновременно равна вероятности вынуть эти два шара последовательно без возвращения их в коробку. -
11 слайд
7. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.
Обе двухрублевые монеты окажутся в одном кармане, если Петя переложил в другой карман три монеты по рублю, или две монеты по 2 рубля и одну монету по 1 рублю. -
12 слайд
7. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.
-
13 слайд
РЕФЛЕКСИЯ
Я знаю…Я умею…
У меня вызывает трудность…
-
14 слайд
Домашняя работа
Выполнить контрольную работу №6073717 на сайте http://reshuege.ru/
Краткое описание документа:
Одним из важных разделов ЕГЭ по математике является решение комбинаторных задач путем организованного перебора возможных вариантов, с использованием правила умножения, нахождение вероятности случайных событий.
Урок «Теория вероятностей в заданиях ЕГЭ. Дерево вероятностей» является вторым в разделе «Теория вероятностей», организованном при повторении и обобщении знаний при подготовке к ЕГЭ в 11классе. Урок построен с использованием приёмов информационно-коммуникационных технологий, а также беседы.
Презентация составлена с использованием компьютерной программы Microsoft PowerPoint, что позволяет ярко представить материал с необходимой информацией. Использование презентации сокращает время обучения, и облегчает усвоение материала.
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 261 009 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
-
Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 28.03.2015
- 1604
- 0
Рейтинг:
5 из 5
- 28.03.2015
- 3030
- 0
- 28.03.2015
- 747
- 0
Рейтинг:
4 из 5
- 28.03.2015
- 3179
- 36
- 28.03.2015
- 1022
- 1
- 27.03.2015
- 1326
- 5
- 27.03.2015
- 1406
- 2
Вероятность – это способ оценить, насколько вероятно, что событие произойдет, или насколько вероятно, что утверждение истинно. Древовидная диаграмма – это инструмент, который помогает людям эффективно рассчитывать вероятность и принимать решения на основе своих расчетов. Если вы студент-математик, математик или другой специалист, работающий со статистикой, вам будет полезно узнать об этой важной таблице. В этой статье мы рассмотрим определение диаграммы дерева вероятностей, объясним, как рассчитать вероятности с ее помощью, и дадим советы для успешного проведения расчетов.
Что такое диаграмма дерева вероятностей?
Диаграмма дерева вероятностей – это инструмент, который помогает людям рассчитать количество возможных исходов события и вероятность того, что они могут произойти. Это также организованное визуальное отображение этих результатов, где каждое дерево ветвь представляет собой другой результат. Умножая вероятности по ветвям, вы можете определить вероятность определенной серии событий. Вы можете проверить точность своей работы, убедившись, что все итоговые вероятности на древовидной диаграмме равны 1.0.
Например, при подбрасывании монеты первые две ветви представляют результаты первого броска монеты. Возможными исходами являются голова или решка , и вероятность каждого из них равна 0.5. Чтобы представить возможный исход каждого раза, когда вы можете подбросить монету еще раз, вы можете заполнить дальнейшие ветви дерева и вероятности. Древовидные диаграммы вероятности могут использоваться для расчета как независимых событий, например, броска монеты, так и зависимых событий, где каждое событие зависит от предыдущего.
Почему важны диаграммы дерева вероятностей?
Диаграммы дерева вероятностей важны, поскольку они могут быть полезными инструментами для следующих типов специалистов:
-
Метеорологи: Специалисты в этой области могут использовать диаграмму дерева вероятностей для анализа погодных условий и прогнозирования вероятности определенных погодных условий, таких как дождь или снежная буря.
-
Эпидемиологи: Вероятность является важной частью этой профессии, где члены команды рассчитывают и анализируют связь между воздействием и риском для здоровья.
-
Статистики: Эти специалисты собирают и интерпретируют данные, чтобы помочь бизнесу в принятии решений высокого уровня, часто отвечают за управление финансовыми вероятностями и рисками.
-
Оценщики стоимости: Люди в этой роли могут использовать диаграммы дерева вероятностей для рассмотрения вопроса о том, как сократить расходы, время и ресурсы, затраченные на производство продукта или предоставление услуги.
-
Страховые андеррайтеры: Поскольку в обязанности этих специалистов входит оценка риска страхового клиента, полезно, когда они могут легко рассчитать вероятность риска.
-
Аналитики по исследованию рынка: Представители этой профессии исследуют и собирают данные о потребительских рынках, чтобы помочь бизнесу в продвижении товаров и услуг, и используют вероятность для прогнозирования поведения потребителей.
-
Астрономы: Эти специалисты собирают данные о космосе и небесных телах, используя вероятность для прогнозирования таких явлений, как солнечные вспышки, метеориты и космическая погода.
-
Спортивные телеведущие: Эти профессионалы могут использовать вероятность при анализе спортивных событий и прогнозировании будущих спортивных событий для зрителей.
-
Врачи: Люди на этой должности отвечают за оценку различных типов информации для пациентов, таких как здоровье беременности, продолжительность жизни и продолжительность болезни.
-
Преподаватели математики: Преподаватели математики рассказывают учащимся о вероятности, чтобы подготовить их к решению обычных жизненных ситуаций и принятию повседневных решений.
Как рассчитать вероятности с помощью древовидных диаграмм
Хотя существует множество различных способов расчета вероятностей, древовидные диаграммы могут быть полезным графиком для визуализации и организации данных. Вот как использовать древовидные диаграммы для расчета вероятности события в шесть шагов:
1. Набросайте возможные исходы
Определив, какой ответ вы ищете, обрисуйте возможные исходы. Например, вы можете попытаться выяснить, сможет ли ваша баскетбольная команда Тигры выиграть сегодняшнюю игру. Это может зависеть от того, играете ли вы в Ястребов , высококвалифицированную команду, или в Ящеров , команду, в которой много новичков.
Сначала создайте точку с двумя стрелками, направленными от нее. Поскольку ваши возможные исходы – это игра Ястребов или Ящериц , вы можете написать эти исходы в конце каждой стрелки. Далее вы можете написать вероятность каждого исхода на линии стрелки.
2. Напишите вероятность каждого исхода
Поскольку вы обычно играете в The Lizards примерно 6 раз в 10 игр, вероятность того, что вы сыграете в The Lizards сегодня, равна 0.6. Вы можете вычесть 0.Отнимите 6 от 1, чтобы найти вероятность игры Ястребов , которая равна 0.4. На стрелке, указывающей на Ястребов , напишите 0.6. На стрелке, указывающей на Lizards, напишите 0.4. Быстрой проверкой для этого раздела является сложение ваших чисел, 0.6 и 0.4, чтобы убедиться, что они равны 1.0.
3. Создайте следующие ветви дерева
Играя в прошлом сезоне с командой The Lizards, вы выиграли игру восемь раз из десяти. Итак, если вы сегодня сыграете в The Lizards, вероятность того, что вы выиграете, равна 0.8. Это также означает, что вероятность того, что ваша команда проиграет игру, равна 0.2, так как в прошлом сезоне вы проиграли Ящерицам две игры из 10. После вашего Ящерицы создайте две новые стрелки, ветвящиеся вправо, ведущие к Выиграть и Проиграть результаты. На Выиграть стрелка, напишите 0.8. На Потерять стрелка, напишите 0.2.
Играя с Ястребами в прошлом сезоне, ваша команда выиграла игру пять раз из 10. Это означает, что вы также проиграли пять раз из 10. Во-первых, после того, как вы Ястребы создайте две новые стрелки, направленные вправо, ведущие к Выиграть и Проиграть исходы. На Победа стрелкой, напишите 0.5, и на Проиграть стрелке можно также написать 0.5. Чтобы проверить свою работу по ходу дела, вы можете добавить 0.5 с 0.5, чтобы убедиться, что оно равно 1.0.
4. Рассчитайте общую вероятность
Далее, пришло время вычислить общую вероятность путем умножения по ветвям дерева. Вы пытаетесь выяснить, насколько вероятно, что ваша команда сможет выиграть игру. Во-первых, умножьте вероятность того, что вы играете в The Lizards, 0.6, на вероятность того, что вы выиграете у Ящеров , 0.8. Это дает вам 0.48 выигрыша у The Lizards в сегодняшней игре.
Затем, в отдельном расчете, умножьте вероятность того, что вы играете в Ястребов , 0.4, к вероятности победы над Ястребами 0.5. Это дает вам 0.20 шансов на победу над Ястребами в сегодняшней игре.
5. Сложите соответствующие вероятности
Теперь вы можете сложить вероятности в столбце столбец дерева, чтобы найти свой окончательный результат, вероятность того, что вы можете выиграть сегодняшнюю игру в целом. Добавление 0.48, вероятность победы против Ящеров , с 0.20, шанс, что вы выиграете у Ястребов , даст вам результат 0.68 – вероятность того, что вы вообще выиграете игру. Вы можете умножить свой результат на 100, чтобы получить его в процентах, что может быть проще для понимания и представления другим. Исходя из ваших расчетов, вероятность того, что вы выиграете сегодняшнюю баскетбольную игру, составляет 68%.
6. Проверьте правильность своей работы
Проверка работы в данном случае означает расчет общей вероятности проигрыша игры, если вы играете с любой из команд, а затем сложение всех чисел в столбце, чтобы убедиться, что они равны 1.0. На Первом, чтобы найти вероятность того, что вы проиграете The Lizards в сегодняшней игре, умножьте 0.6 на 0.2, чтобы получить 0.12. Затем, чтобы найти вероятность проигрыша Ястребов в сегодняшней игре, умножьте 0.4 по 0.5, чтобы получить 0.20.
Затем, добавьте 0.12 и 0.20, чтобы получить 0.32, общая вероятность проигрыша в игре сегодня. Прибавьте 0.32 с 0.68, что является вероятностью выигрыша, и вы получаете 1.0. Этот метод проверки показывает, что вы выполнили расчеты правильно.
Советы по расчету вероятности с помощью древовидной диаграммы
Будь вы студент или профессионал, инструмент древовидной диаграммы может быть полезен вам в повседневной работе. Вот несколько советов по эффективному расчету вероятности с помощью древовидной диаграммы:
-
Используйте лист бумаги: Подумайте о том, чтобы нарисовать диаграмму карандашом или ручкой и бумагой, по крайней мере, вначале. Физическое записывание информации и создание графика может помочь вам хорошо понять процесс и запомнить его на будущее.
-
Сначала соберите всю информацию: Это помогает собрать и перечислить всю информацию, которую вы планируете использовать в диаграмме, прежде чем начать процесс рисования. Сюда входят измеряемые вами исходы и вероятности, которые вы уже знаете.
-
Будьте внимательны к своим цифрам: Внимание к деталям – полезный навык при подсчете статистики. Обратите пристальное внимание на используемые числа и убедитесь, что каждый шаг на этом пути имеет правильное значение.
-
Проверьте свою работу: При выполнении любого математического вычисления полезно проверить точность своей работы, используя метод проверки. Это может гарантировать, что вы представите правильные конечные результаты своему учителю, коллегам или руководителю.
-
Поймите, что вероятность – это оценка: Хотя прогнозирование результатов до того, как они произойдут, может быть полезным и точным, всегда существует вероятность неожиданных событий. Старайтесь помнить об этом при использовании древовидной диаграммы, чтобы правильно управлять своими ожиданиями.
-
Обратитесь за помощью: Если вы столкнулись с трудностями при попытке использовать древовидную диаграмму, попросите помощи у учителя, коллеги или надежного друга. Они могут дать вам совет о том, как легко завершить этот процесс.
Probability
Andrew F. Siegel, Michael R. Wagner, in Practical Business Statistics (Eighth Edition), 2022
Summary
To understand random, unpredictable real-world situations, we begin by narrowing down the possibilities and carefully setting up an exact framework for the study of probability. A random experiment is any well-defined procedure that produces an observable outcome that could not be perfectly predicted in advance. Each random experiment has a sample space, which is a list of all possible outcomes of the random experiment, prepared in advance without knowing what will happen when the experiment is run. Each time a random experiment is run, it produces exactly one outcome, the result of the random experiment, describing and summarizing the observable consequences. An event either happens or does not happen each time the random experiment is run; formally, an event is any collection of outcomes specified in advance before the random experiment is run. There may be more than one event of interest for a given situation.
Associated with every event is a number between 0 and 1, called its probability, which expresses how likely it is that the event will happen each time the random experiment is run. If you run a random experiment many times, the relative frequency of an event is the proportion of times the event occurs out of the number of times the experiment is run. The law of large numbers says that the relative frequency (a random number) will be close to the probability (an exact, fixed number) if the experiment is run many times. Thus, a relative frequency based on past data may be used as an approximation to a probability value. A theoretical probability is computed using an exact formula based on a mathematical theory or model such as the equally likely rule; that is, if all outcomes are equally likely, then
Probabilityofanevent=NumberofoutcomesintheeventTotalnumberofpossibleoutcomes
A subjective probability is anyone’s opinion (use an expert, if possible) of what the probability is for an event. The methods of Bayesian analysis in statistics involve the use of subjective probabilities in a formal, mathematical way. A non-Bayesian analysis is called a frequentist analysis and does not use subjective probabilities in its computations, although it is not totally objective, because opinions will have some effect on the choice of data and model (the mathematical framework).
A Venn diagram is a picture that represents the universe of all possible outcomes (the sample space) as a rectangle with events indicated inside, often as circles or ovals, as in Fig. 6.6.1. The complement of an event is another event that happens only when the first event does not happen. The complement rule is
Fig. 6.6.1. Venn diagrams provide an effective display of the meanings of the operations not, and, and or, which define events in terms of other events.
Probabilityof”notA”=1−ProbabilityofA
The intersection of two events is an event that occurs whenever one event and the other event both happen as a result of a single run of the random experiment.
Two events that cannot both happen at once are said to be mutually exclusive events. The rules for two mutually exclusive events are
Probabilityof”AandB”=0Probabilityof”AorB”=ProbabilityofA+ProbabilityofB
The union of two events is an event that occurs whenever one event or the other event happens (or both events happen) as a result of a single run of the random experiment. Based on the knowledge of any three of the four probabilities (for A, B, “A and B,” and “A or B”), the remaining probability can be found using one of the following formulas:
Probabilityof”AorB”=ProbabilityofA+ProbabilityofB−Probabilityof”AandB”Probabilityof”AandB”=ProbabilityofA+ProbabilityofB−Probabilityof”AorB”
When you revise the probability of an event to reflect information that another event has occurred, the result is the conditional probability of that event given the other event. Ordinary (unrevised) probabilities are called unconditional probabilities. Conditional probabilities are found as follows (and are left undefined if the given information has probability zero):
Conditional probability of A given B
=Probabilityof”AandB”ProbabilityofB
For two mutually exclusive events, the conditional probability is always zero (unless it is undefined for technical reasons).
Two events are said to be independent events if information about one event does not change your assessment of the probability of the other event. If information about one event does change your assessment of the probability of the other, we say that the events are dependent events. Use any one of the following formulas to find out if two events are independent. Events A and B are independent if any one of these formulas is true:
ProbabilityofA=ConditionalprobabilityofAgivenBProbabilityofB=ConditionalprobabilityofBgivenAProbabilityof”AandB”=ProbabilityofA×ProbabilityofB
The third formula may be used to find the probability of “A and B” for two events that are known to be independent but gives wrong answers for dependent events. Two independent events cannot be mutually exclusive unless one of the events has probability zero.
A probability tree is a picture indicating probabilities and some conditional probabilities for combinations of two or more events. One of the easiest ways to solve a probability problem is to construct the probability tree and then read the answer. All probabilities and conditional probabilities may be found by adding up numbers from the tree or by applying the formula for a conditional probability. Here are the four rules used to construct and validate probability trees:
- 1.
-
Probabilities are listed at each endpoint and circled. These add up to 1 (or 100%) at each level of the tree.
- 2.
-
The circled probability at a branch point is the sum of the circled probabilities at the ends of all branches coming out from it to the right.
- 3.
-
Conditional probabilities are listed along each branch (except perhaps for the first level) and add up to 1 (or 100%) for each group of branches coming out from a single point.
- 4.
-
The circled probability at a branch point times the conditional probability along a branch gives the circled probability at the end of the branch (on the right).
The joint probability table for two events lists probabilities for the events, their complements, and combinations using and. Conditional probabilities can then be found by using the formula for a conditional probability.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200254000063
Probability
Gary Smith, in Essential Statistics, Regression, and Econometrics (Second Edition), 2015
A Chimp Named Sarah
A flipped coin always has two sides. A rolled die always has six sides. In other cases, the number of possible outcomes changes as we move through a probability tree.
Consider, for example, studies of a chimpanzee named Sarah. In one experiment, Sarah was shown a series of plastic symbols of varying color, size, and shape that formed a question. To answer the question correctly, Sarah had to arrange the appropriate symbols in correct order. In a very simple version, Sarah might be given three symbols—which we label A, B, and C—to arrange in correct order (for example, “bread in bowl”). How many possible ways are there to arrange these three symbols?
As shown in Figure 4.3, the first symbol has three possibilities: A, B, or C. Given the choice of the first symbol, there are only two possibilities for the second symbol. For example, if A is selected as the first symbol, the second symbol must be either B or C. Given the choice of the first two symbols, there is only one remaining possibility for the third symbol. If A and B are the first two symbols, then C must be the third symbol.
Figure 4.3. Probability tree for Sarah’s choices [3].
Thus, the probability tree in Figure 4.3 has three initial branches, followed by two branches and then one final branch. In all, there are 3(2)(1) = 6 possible outcomes. The probability that a random arrangement of three symbols will be in the correct order is 1/6.
In more complicated problems, a probability tree would be very messy but, by remembering how a probability tree is constructed, we can determine the number of possible outcomes without actually drawing a tree. For instance, in one of Sarah’s experiments, she had to choose four out of eight symbols and arrange these four symbols in the correct order. Visualizing a probability tree, there are eight possible choices for the first symbol and, for each of these choices, there are seven possible choices for the second symbol. For any choice of the first two symbols, there remain six possibilities for the third symbol and then five possibilities for the fourth symbol. Thus, the total number of possible outcomes is 8(7)(6)(5) = 1680. The probability that four randomly selected and arranged symbols will be correct is 1/1680 = 0.0006. Sarah’s ability to do this task provided convincing evidence that she was making informed decisions and not just choosing symbols randomly.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128034590000042
Probability and statistics
Mary Attenborough, in Mathematics for Electrical Engineering and Computing, 2003
Example 21.9
What is the probability that the first throw of a die will be a 5 and the second throw will be a 5 or 6?
Solution A is the set of those outcomes with the first throw a 5 and B is the set of those outcomes with the second throw a 5 or 6. We can use a probability tree in the following way. After the first throw of the die either A is true or not, that is, we have only two possibilities, A or A’. After that, we are interested in whether B happens or not. Again we either get B or B’. We get the probability tree as in Figure 21.13.
Figure 21.13. A probability tree showing conditional probabilities.
Here, p(B|A) means the probability of B given A, similarly p(B|A′) means the probability of B given (not A). We can fill in the probabilities using our knowledge of the fair die. The probability of A is 1/6. The second throw of the die is unaffected by the throw first throw of the die; therefore
p(B)=p(throwing a 5 or a 6 on one throw of the die)=26=13.
Working out the other probabilities gives the probability tree in Figure 21.14.
Figure 21.14. The probability for Example 21.9.
The probability that the first throw of a die will be a 5 and the second throw will be a 5 or 6 is p(B∩A), given from the tree in Figure 21.14 as
26×13=118.
Notice that the probability we have calculated is the intersection of the two events A and B, that is, we calculated the probability that both occurred. When multiplying the probabilities on the branches of the probability tree we are using the following:
p(A ∩ B)=p(A)p(B|A).
Furthermore, because of independence we have used the fact that p(B|A) = p(B). That is, the probability of B does no depend on whether A has happened or not: B is independent of A. We, therefore, have the following important results.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780750658553500474
Random Variables
Andrew F. Siegel, Michael R. Wagner, in Practical Business Statistics (Eighth Edition), 2022
Definition of Binomial Distribution and Proportion
Focus attention on a particular event. Each time the random experiment is run, either the event happens or it does not. These two possible outcomes give us the bi in binomial. A random variable X, defined as the number of occurrences of a particular event out of n trials, has a binomial distribution if:
- 1.
-
For each of the n trials, the event always has the same probability π of happening.
- 2.
-
The trials are independent of one another.
The independence requirement rules out “peeking,” as in the case of the distribution of people who order the special at a restaurant. If some people order the special because they see other customers obviously enjoying the rich, delicious combination of special aromatic ingredients and say, “WOW! I’ll have that too!” the number who order the special would not follow a binomial distribution. Choices have to be made independently in order to get a binomial distribution.
The binomial proportion p is the binomial random variable X expressed as a fraction of n:
Binomial Proportion
p=Xn=NumberofoccurencesNumberoftrials
(Note that π is a fixed number, the probability of occurrence, whereas p is a random quantity based on the data.) For example, if you interviewed n = 600 shoppers and found that X = 38 plan to buy your product, then the binomial proportion would be
p=Xn=38600=0.063,or6.3%
The binomial proportion p is also called a binomial fraction. You may have recognized it as a relative frequency, which was defined in Chapter 6.
Example
How Many Orders Are Placed? The Hard Way to Compute
This example shows the hard way to analyze a binomial random variable. Although it is rarely necessary to draw the probability tree, because it is usually quite large, seeing it once will help you understand what is really going on with the binomial distribution. Furthermore, when the shortcut computations are presented (the easy way), you will appreciate the time they save!
Suppose you are interested in the next n = 3 telephone calls to the catalog order desk, and you know from experience (or are willing to assume4) that π = 0.6, so that 60% of calls will result in an order (the others are primarily calls for information or are misdirected). What can we say about the number of calls that will result in an order? Certainly, this number will be either 0, 1, 2, or 3 calls. Because a call is more likely to result in an order than not, we should expect the probability of getting three orders to be larger than the probability of getting none at all. But how can we find these probabilities? The probability tree provides a complete analysis, as shown in Fig. 7.2.1A, indicating the result of each of the three phone calls.
Fig. 7.2.1. (A) The probability tree for three successive telephone calls, each of which either does or does not result in an order being placed. There are eight combinations (the circles at the far right). In particular, there are three ways in which exactly two calls could result in an order: the second, third, and fifth circles from the top, giving a probability of 3 × 0.144 = 0.432. (B) The binomial probability distribution of the number of calls that result in an order being placed.
Note that the conditional probabilities along the branches are always 0.60 and 0.40 (the individual probabilities for each call) because we assume orders occur independently and do not influence each other. The number of orders is listed at the far right in Fig. 7.2.1A; for example, the second number from the top, 2, reports the fact that the first and second (but not the third) callers placed an order, resulting in two orders placed. Note that there are three ways in which two orders could be placed. To construct the probability distribution of the number of orders placed, you could add up the probabilities for the different ways that each number could happen:
| Number of Callers Who Ordered, X | Percentage Who Ordered, p = X/n | Probability |
|---|---|---|
| 0 | 0.0 | 0.064 |
| 1 | 33.3 | 0.288 (= 0.096 + 0.096 + 0.096) |
| 2 | 66.7 | 0.432 (= 0.144 + 0.144 + 0.144) |
| 3 | 100.0 | 0.216 |
This probability distribution is displayed in Fig. 7.2.1B.
Now that you have the probability distribution, you can find all of the probabilities by adding the appropriate ones. For example, the probability of at least two orders is 0.432 + 0.216 = 0.648. You can also use the formulas for the mean and standard deviation from Section 7.1 to find the mean value (1.80 orders) and the standard deviation (0.849 orders). However, this would be too much work! There is a much quicker formula for finding the mean, standard deviation, and probabilities. Although it was possible to compute directly in this small example, you will not usually be so lucky. For example, had you considered 10 successive calls instead of 3, there would have been 1024 probabilities at the right of the probability tree instead of the eight in Fig. 7.2.1.
Think of this example as a way of seeing the underlying situation and all combinations and then simplifying to a probability distribution of the number of occurrences. Conceptually, this is the right way to view the situation. Now let us learn the easy way to compute the answers.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200254000075
Towards an Interdisciplinary Perspective on the Life Course
Gilbert Ritschard, Michel Oris, in Advances in Life Course Research, 2005
Classically, the quality of a tree is evaluated in terms of its classification predictive quality, which is measured by the correct classification rate of the tree. Recall that the classification is done by assigning to each case the most frequent value in its leaf. For our tree, the correct classification rate is 57.6%. This corresponds to a 42.4% error rate. At the root node, before introducing any predictor, the correct classification rate is 44.4%, which gives an error rate of 55.6%. Our tree allows thus a 24% (= (55.6-42.4)/55.6) reduction of the error rate. These figures are, nevertheless, irrelevant in our case, since we are not using the tree for classification purposes. We do not consider the classification results. The descriptive knowledge considered follows directly from the distributions inside the nodes. Hence, we consider the tree as a probability tree rather than a classification tree. In Ritschard and Zighed (2003), we have proposed indicators that better suit this descriptive point of view. We can, for instance, measure with a likelihood-ratio χ2 (G2) the divergence between the distributions predicted by the tree (those in the leaves) and those of the finest partition that our four predictors may generate.9 We get 312.5 for 300 degrees of freedom, and its p-value is 29.8% indicating apparently a good fit. Note that though the four predictors define theoretically 576 different profiles, only the 163 actually observed are taken into account. When these profiles are cross tabulated with the three statuses, we get 489 cells. For 572 data, this gives an average of a bit more than one per cell, which is insufficient to ensure the χ2 distribution of G2. Hence, we should not attach here too much confidence to the p-value (Table 6).
Table 6. Goodness-of-Fit of the Tree and Subtrees
| Tree | G2 | Df | sig | BIC | AIC | Pseudo R2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Independent | 482.3 | 324 | 0.000 | 2319.6 | 812.3 | 0 |
| Level 1 | 408.2 | 318 | 0.000 | 1493.9 | 750.2 | 0.14 |
| Level 2 | 356.0 | 310 | 0.037 | 1492.5 | 714.0 | 0.23 |
| Level 3 | 327.6 | 304 | 0.168 | 1502.2 | 697.6 | 0.28 |
| Fitted | 312.5 | 300 | 0.298 | 1512.5 | 690.5 | 0.30 |
| Saturated | 0 | 0 | 1 | 3104.7 | 978.0 | 1 |
Read full article
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1040260805100112
Решение задач с помощью дерева вероятностей.
RAR / 5.92 Мб
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Верхнедонская гимназия
Ст. Казанская
Ростовская область
Мастер-класс
«Решение задач с помощью дерева вероятностей»
Подготовила
учитель математики
Полиёва Е.И.
Ст. Казанская
Цели:
познакомить с понятием графа, вероятностного дерева;
рассмотреть методы решения задач с помощью графа, дерева вероятностей;
рассмотреть формы и методы закрепления знаний, умений и навыков
Оборудование:
интерактивная доска SmartBoard;
мультимедийный проектор;
персональный компьютер (ПК) учителя
презентация «Решение задач с помощью дерева вероятностей»
раздаточный материал (распечатать каждому ученику)
тренажер
самостоятельная работа
Слайд 1.
|
Задача №4 профильного уровня и задача №10 базового уровня – это задания по теории вероятности. Сегодня мы с вами рассмотрим задачи, для решения которых удобно использовать дерево вероятностей – это простой способ решения некоторых задач. |
|
Слайд 2.
|
Рассмотрим две задачи на извлечение шаров из урны. Задачу №1, мы с вами решали, когда рассматривала классическое определение вероятности. А вот для того, чтобы решить задачу №2, надо построить дерево вероятностей (граф) |
|
|
Слайд 3. Прежде, чем рассмотреть решение задач, введем ряд определений и понятий. Дерево вероятностей графически представляет последовательность возможных выводов, решений и результатов, т.е. мы пытаемся представить ход бедующих событий. Круг – событие Ветвь (направленная линия) – исход, информация вероятности появления |
|
Слайд 4.
|
В некоторых задачах дерево построено прямо в условии. В других задачах это дерево надо построить |
|
|
Слайд 5. Задача №1 Рассмотрим задачи, в которых дерево уже построено. Схема дорожек – это граф, а именно дерево, ребра – дорожки (маршрут). Напишем около каждого ребра вероятность: (записать с помощью стиуса на интерактивной доске) – Из точки А ведут две дорожки, поэтому вероятность того, что Павел Иванович выберет дорожку АВ или дорожку АС равна – Из точки В – четыре дорожки – вероятность -В точку G попадет, если он пройдет дорожку АВ (И) дорожку BG. Вероятность находится умножением вероятностей вдоль дорожек. -Результат |
|
.
из точки С – три дорожки – вероятность 
. 
|
Слайд 6. Задача №2 В болото ведут три маршрута. Напишем на ребрах вдоль маршрутов соответствующие вероятности. Надо найти вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов. (ИЛИ – ИЛИ) – вероятности соответствующих конечных вершин складываются.
Ответ. |
|
|
Слайд 7. Задача №3 Нарисуем маршрут перемещения мышки (маршрут рисуется на интерактивной доске с помощью стиуса). Расставим на перекрестах стрелки в направлениях, по которым мышка может двигаться.
Подпишем вероятности выбора пути.
Вероятность найдем умножением вероятностей перемещения мышки до Выхода В.
Ответ. 0,0625 Слайд 8. Задача №4 Изобразим ситуацию в виде дерева вероятностей. Все стекла делятся на: –выпускаются первой фабрикой (обозначим I) -выпускаются второй фабрикой (обозначим II) Фабрики выпускают: -бракованные (обозначим Б) -пригодные (не бракованные)(обозначим неБ)
Нас интересуют бракованные стекла, которые выпускает первая ИЛИ вторая фабрика
Ответ. 0,025 |
|
|
Слайд 9. Задача №5 Предложить решить ученику с объяснениями у доски. |
|
|
Слайд 10-16. Решение задачи на извлечение шаров из урны. |
|
Решение задач. Тренажер. (приложение распечатать и выполнять на этих же листочках).
Данный материал предназначен для отработки умений и навыков по теме “Решение задач с помощью дерева вероятностей”. Тренажер можно использовать и на уроке, и на дополнительных заданиях по подготовке к ЕГЭ.
Задачи №1- №5 решаются совместно с учителем, №6 – №10 – самостоятельно с последующей проверкой.
Контроль усвоения материала. Самостоятельная работа.
