Как составить дифференциальное уравнение сау

Как составить дифференциальное уравнение сау

2.1.1 Дифференциальное уравнение динамического звена

Любая система автоматического
управления может рассматриваться в
виде совокупности отдельных связанных
между собой элементов автоматики
(чувствительных, промежуточных и
исполнительных), взаимодействующих
друг с другом и с объектом управления
(регулирования).

Разбиение
системы автоматического управления на
элементы позволяет ввести понятие
функциональной схемы автоматической
системы, приносящее большую пользу при
рассмотрении принципа действия и
аппаратурного состава систем управления.

Для
математического описания работы САУ
удобно разбивать ее не на функциональные
элементы автоматики, а на динамические
звенья. Поэтому вводится понятие
динамического звена.

Динамическим
звеном называется часть системы
управления, либо вся система, описываемая
дифференциальным (или иным) уравнением
определенного вида. Приведенное
определение является общим. Под него
подходит любой элемент автоматики,
совокупность таких элементов и даже
вся система автоматического управления
в целом.

Состояние
любого динамического звена может быть
охарактеризовано совокупностью
соответствующих физических величин –
обобщенных координат.

Для
электрических звеньев обобщенными
координатами могут служить напряжения,
токи и их производные; для механических
– перемещения, скорости, ускорения.
Многие звенья автоматических устройств
обладают свойством направленного
действия (однонаправленности), т. е.
передают воздействие только в одном
направлении от входа к выходу. В таких
звеньях при изменении входной величины
xвх
изменяется и
выходная величина xвых,
изменения же выходной величины никак
не сказывается на входной величине.

В
большинстве случаев математическое
описание динамических звеньев приводит
к дифференциальным уравнениям того или
иного вида. В результате физическая
задача определения выходной величины
звена при изменяющемся входном сигнале
сводится к математической задаче
отыскания решения дифференциального
уравнения, описывающего работу звена.

Порядок
составления дифференциального уравнения
звена:

1.
Определяют входную (-ые) и выходную (-ые)
величины (координаты) звена и устанавливают
дополнительные факторы, от которых
зависит выходная величина.

2.
Используя основные законы той отрасли
науки и техники, к которой относится
исследуемое звено:

– законы
Кирхгофа для электрических звеньев;

– законы
Ньютона для звеньев механической
природы;

– законы
сохранения энергии и вещества для
гидравлических и пневматических звеньев,
составляют математическое описание
звена в форме дифференциального
уравнения.

3.
Вводят те или иные упрощающие предположения
(допущения) с целью упрощения исходного
математического описания.

4.
При необходимости осуществляют
линеаризацию полученного дифференциального
уравнения с целью получения линейного
дифференциального уравнения звена.

Ставится
задача математического описания
динамического звена (рис. 2.1):

Рис.
2.1.Динамическое звено

Для
того, чтобы система в целом была линейной,
необходимо, что- бы все ее звенья были
линейными.

Поэтому
важной процедурой является процедура
линеаризации исходного нелинейного
уравнения, описывающего динамическое
звено.

Графическая
иллюстрация снятия статической
характеристики звена

Статическая
характеристика звена – зависимость
установившихся значений выходной
координаты от постоянных значений
входной ко- ординаты ( – условие
стационарности). Иллюстрация
экспериментального снятия статической
характеристики звена приведена на рис.
2.4.

Рис.
2.4. Иллюстрация экспериментального
снятия статической характеристики
звена:

а –
исследуемое звено; б – входные воздействия;
в –реакции звена на входные

воздействия;
г – статическая характеристика звена

Составление структурной
схемы системы автоматического управления
(САУ) по дифференциальным
уравнениям звеньев рис. 2.5.

Рис.
2.5.Структурная схема системы
автоматического управления

Структурная схема САУ показывает, из
каких динамических звеньев она состоит
и как эти звенья между собой взаимосвязаны,
образуя систему.

В теории автоматического управления
передаточные функции элементов и систем
являются их важнейшими характеристиками,
определяющими динамические свойства
этих элементов и систем.

Свойства
передаточной функции динамического
звена (системы):

1. Передаточная функция
линейного звена (системы) с постоянными
параметрами является дробно рациональной
функцией переменной преобразования
Лапласа-Карсона комплексной переменной
s = σ + jω.

2. Все коэффициенты b0
÷ bm
и a0
÷ an
полиномов числителя
и знаменателя передаточной функции
вещественны, т. к. они являются функциями
от параметров САУ, которые могут быть
только вещественными.

3. Невещественные нули и
полюсы передаточной функции могут быть
только комплексно-сопряженными.

4. Количество передаточных
функций, которыми описывается звено с
одной выходной координатой, равно числу
его входов. Если звено (система) имеет
несколько входов, то оно описывается
количеством передаточных функций,
равным количеству входов; при определении
передаточной функции относительно
какой-либо одной входной величины другие
входные величины условно полагают
равным нулю (согласно принципу
суперпозиции).

В
большинстве случаев значительно быстрее,
проще и нагляднее математическое
описание САУ составлять не по уравнениям
звеньев, а при помощи аппарата передаточных
функций САУ.

Структурная схема САУ показывает, из
каких динамических звеньев состоит САУ
и как они взаимосвязаны между собой. На
структурных схемах звенья условно
изображаются прямоугольниками, внутри
которых записываются их передаточные
функции (рис. 2.13).

Рис.
2.13.Условное обозначение динамического
звена

Соединения между звеньями выполняются
прямыми линиями со стрелками, указывающими
направление передачи воздействий.
Внешние воздействия показываются также
стрелками. Приведем пример структурной
схемы (рис. 2.14):

Рис.
2.14.Пример структурной схемы соединения
динамических звеньев между собой

При
таком начертании структурная схема САУ
представляет собой графическое
изображение системы дифференциальных
уравнений, описывающих работу САУ.

Графическое изображение уравнений
звеньев предпочтительнее обычной
математической записи этих уравнений,
так как позволяет весьма просто и по
единообразным правилам производить
«свертывание» этих уравнений.

Структурную
схему любой сложности путем последовательных
преобразований можно привести к
эквивалентному динамическому звену.
Эквивалентное звено тождественно
исходной схеме, если оно определяет
прежнюю зависимость выходных координат
от входных.

Преобразование
структурной схемы должно осуществляться
на основании определенных правил.

1.
Замена типовых соединений звеньев
эквивалентным звеном.

Прежде
всего, каждое имеющееся в схеме типовое
соединение звеньев (последовательное,
параллельное и звено, охваченное обратной
связью) следует заменить эквивалентным
звеном.

  • Последовательное
    соединение звеньев.

Последовательным соединением называется
соединение, при котором вход каждого
последующего звена соединен с выходом
предыдущего (рис. 2.15).

Рис. 2.15.
Последовательное соединение звеньев

Передаточная функция последовательного
соединения звеньев равна произведению
передаточных функций отдельных звеньев,
образующих это соединение (рис. 2.16):

Рис.
2.16.Передаточная функция последовательного
соединения звеньев

  • Параллельное
    соединение звеньев.

Параллельным называется, соединение,
при котором входная величина всех
звеньев одинакова, а выходные величины
всех звеньев суммируются (рис. 2.17).

Рис. 2.17.
Параллельное соединение звеньев

Передаточная функция параллельного
соединения звеньев равна сумме
передаточных функций отдельных звеньев,
образующих это соединение (рис. 2.18):

Рис. 2.18.
Передаточная функция параллельного
соединения звеньев

  • Звено,
    охваченное обратной связью (обратное
    соединение; встречно-параллельное
    соединение) (рис. 2.19, 2.20).

Рис. 2.19.
Звено, охваченное обратной связью

где Wо(s)
– передаточная функция звена прямой
цепи,Wос(s)
– передаточная функция звена обратной
связи.

Рис. 2.20.
Передаточная функция звена, охваченного
обратной связью

При положительной обратной связи
знаменатель равен 1 – Wо(s)Wос(s),
при отрицательной он равен (1 +Wо(s)Wос(s)).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #

    13.02.2018371 б3RecentPlaces.lnk

  • #
  • #
  • #
  • #

    13.02.201815.3 Кб5STT 3000 интеллектуальный датчик температуры. Каталог. ООО _НПО Валентина_

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

Первая часть: «Введение в теорию автоматического управления. Основные понятия теории управления техническим системами»

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) — входное воздействие, а y(t) — выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие — регулируемой величиной (переменной).

Рис. 2.1.1 – Схематическое представление САУ (звена)

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

$left[ begin{gathered} y(t) =y_0 + Delta y(t)\ u(t) = u_0 + Delta u(t)\ end{gathered} right.$

где:

$y_0,u_0$ — стационарные значения входного и выходного воздействий;

$Delta y, Delta u$ — отклонения от станционара, соотвесвенно.

В качестве примера рассмотрим «технологию» получения уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.1.2.

Рис. 2.1.2 – Механический демпфер

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

$m cdot frac{d^2 y(t)}{dt} = sum F_j mathbf{(2.1.1)}$

где, m — масса тела, Fj — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

$m cdot frac{d^2y(t)}{dt} = mcdot g+ u(t) - k cdot y(t) - c cdot frac{dy(t)}{dt} mathbf{(2.1.2)}$

где $mcdot g$ — сила тяжести; $k cdot y(t)$ — сила сопротивления пружины, $c cdot frac{dy(t)}{dt}$ — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

$m cdot g Rightarrow [frac{кг cdot м}{ с^2}]; c Rightarrow [frac{кг}{с}]; k Rightarrow [frac{кг}{с^2}]$

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

$left { begin{eqnarray} t &le 0 \ u(t) &= u_0\ y(t) &= y_0\ end{eqnarray} right.$

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0

$left[ begin{gathered} y(t) =y_0 + Delta y(t); u(t) = u_0 + Delta u(t);\ y'(t) = [Delta y(t)]'; y''(t) =[Delta y(t)]''\ end{gathered} right.$. Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

$m cdot frac{d^2Delta y(t)}{dt^2} = m cdot g - k cdot y_0- k cdot Delta y(t) - cfrac{dDelta y(t)}{dt} mathbf{(2.1.3)}$

если

$t le 0$, то уравнение принимает вид:

$0 = m cdot g+u_0 - k cdot y_0 mathbf{(2.1.4)}$

или

$y_0 = frac{1}{k} cdot[u_0+m cdot g] mathbf{(2.1.5)}$

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Рис. 2.1.3 – Статическая характеристика механического демпфера

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

$mcdot frac{d^2 Delta y(t)}{dt^2} = Delta u(t) - k cdot Delta y(t) - c cdot frac{d Delta y(y)}{dt}, $

тогда, разделив на k, имеем:

$T_2^2 cdot frac{d^2 Delta y(t)}{dt^2}+ T_1 cdot frac{d Delta y(t)}{dt} + Delta y(t) = k_1 cdot Delta u(t) mathbf{(2.1.6)}$

где:

$T_2^2= frac{m}{k}; T_1= frac{c}{k}; k_1=frac{1}{k}.$

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл (и размерность!) постоянных времени. В самом деле:

$T_1 = frac{c}{k} Rightarrow [frac{кг cdot c^2}{c cdot кг}] = [c]$

$T_2^2 = frac{m}{k} Rightarrow [frac{кг cdot c^2}{kg}] =[c^2]$

Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [$c^2$];
— коэффициент в правой части ($k_1$): [$frac{c^2}{кг}$].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

$(T_2^2 cdot p^2 + T_1 cdot p+1)Delta y(t) = k_1 Delta u(t)$, что эквивалентно

$L(p)Delta y(t) = N(p) Delta u(t) mathbf{(2.1.6.а)}$

где:

$p= frac{d}{dt}$ — оператор диффренцирования;

$L(p) = T_2^2 cdot p^2 + T cdot p + 1$ -линейный дифференциальный оператор;

$L(p)$

$N(p)$ — линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную

$k_1$.

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

$left[ begin{gathered} widetilde y(t) = frac {y(t)-y_0}{y_0} = frac {Delta y(t)}{y_0}\ widetilde u(t) = frac {u(t)-u_0}{u_0} =frac {Delta u(t)}{u_0}\ end{gathered} right. Rightarrow left[ begin{gathered} y(t) =y_0 cdot [1+ widetilde y(t)]\ u(t) = u_0 cdot [1+ widetilde u(t)]\ end{gathered} right. Rightarrow left[ begin{gathered} y'(t) =y_0 cdot widetilde y(t)'\ y''(t) = y_0 cdot widetilde y(t)''\ end{gathered} right. $

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

$m cdot y_0 cdot frac{d^2 widetilde y(t)}{dt^2} = m cdot g +u_0 cdot[1+widetilde u(t)] -k cdot y_0 cdot[1+widetilde y(t)] - c cdot y_0 cdot frac{d widetilde y(t)}{dt}; или$

$m cdot y_0 cdot frac{d^2 widetilde y(t)}{dt^2} = underline {m cdot g} + underline {u_0} +u_0 cdot widetilde u(t) - underline {k cdot y_0} - k cdot y_0 cdot widetilde y(t) - c cdot y_0 cdot frac{d widetilde y(t)}{dt}.$

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие

$widetilde y(t)$, и, разделив на

$k cdot y_0$, получаем:

$frac{m cdot y_0}{k cdot y_0} cdot frac{d^2 widetilde y(t)}{dt^2} + frac {c cdot y_0}{k cdot y_0} cdot frac{d widetilde y(t)}{dt} +widetilde y(t)= frac{u_0}{k cdot y_0} cdot widetilde u(t) Rightarrow $

$(T_2^2 cdot p^2 + T cdot p + 1) cdot widetilde y(t) = k_x cdot widetilde u(t) mathbf{(2.1.7)}$

где:

$T_2^2= frac{m}{k}; T_1= frac{c}{k}; k_x=frac{u_0}{k cdot y_0} $ — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента $k_x$

$left[frac{кг cdot м}{с^2} cdot frac{c^2}{кг} cdot frac{1}{м}right] =[1].$

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Рис. 2.1.4 – Статические характеристики механического демпфера

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

$L(p) cdot widetilde y(t) = N(p) cdot widetilde u(t) mathbf{(2.1.8)}$

где

$L(p), N(p) - $ дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы $L(p), N(p) - $ — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если $L(p), N(p) - $ – нелинейные дифференциальные операторы, или $widetilde y_{stat} neq k cdot widetilde u_{stat}$, то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

Пример создания модели демпфера можно посмотереть здесь: «Технология получения уравнений динамики ТАУ»

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

  1. Нелинейностью статической характеристики.
  2. Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
  3. Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N0 << 1, и поэтому уравнения динамики ядерного реактора, в принципе, могут быть линеаризованы.

Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Рис. 2.2.2 – Звено САР

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

$L(p) cdot y(t) = N(p) cdot u(t) mathbf{(2.2.1)}$

Перенесем $N(p) u(t)$ в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

$F(y,y',y'',...y^{n}, u, u',u'', ...u^m,t)=0 mathbf{(2.2.2)}$

где $F$ -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

$y'=y''=...y^n=u'=u''=...u^m=0 Rightarrow F(y_0,u_0)=0 mathbf{(2.2.3)}$

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния $(y_0, u_0)$.

Напомним, что разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом: если $y = f(x)$, то «простое» разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки $x = x_0$ будет выглядеть так:

$ begin{eqnarray} y(x) = f(x) = f(x_0)+ frac{1}{1!} cdot left( frac{df}{dx}right)_{x=x_0} cdot (x-x_0)+ frac{1}{2!} cdot left( frac{d^2f}{dx^2} right)_{x=x_0} cdot (x-x_0)^2 +\ ...+frac{1}{n!} cdot left( frac{d^nf}{dx^n} right)_{x=x_0} cdot (x-x_0)^n end{eqnarray}$

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

$begin{eqnarray} F(y,y',y'',...y^{n}, u, u', ...u^m,t) = F(y_0,u_0)+frac{1}{1!}cdot left( frac{partial F}{partial y}right)_{ y=y_0;u =u_0 } cdot (y-y_0)+\ + frac{1}{2!} cdot left( frac{partial^2F}{partial y^2}right)_{y=y_0;u =u_0}cdot (y-y_0)^2+frac{1}{3!} cdot left( frac{partial^3F}{partial y^3}right)_{y=y_0;u =u_0}cdot (y-y_0)^3 +..\+frac{1}{k!} cdot left( frac{partial^kF}{partial y^k}right)_{y=y_0;u =u_0}cdot (y-y_0)^k+ frac{1}{1!}cdot left( frac{partial F}{partial y'}right)_{ 0 } cdot (y') +frac{1}{2!}cdot left( frac{partial^2F}{partial(y')^2}right)_{ 0 } cdot (y')^2+\ ..+frac{1}{1!}cdot left( frac{ partial F}{partial y^{(n)}}right)_{ 0 } cdot (y^{(n)})+ frac{1}{2!}cdot left( frac{partial ^2F}{partial(y^{n})^2}right)_{ 0 } cdot (y^{(n)})^2+..\ ..+frac{1}{1!}cdot left( frac{partial F}{partial u}right)_{ 0 } cdot (u-u_0)+frac{1}{2!} cdot left( frac{partial^2F}{partial u^2}right)_{0}cdot (u-u_0)^2+..\ ..+frac{1}{k!}cdot left( frac{partial^kF}{partial(u^{m})^k}right)_{ 0 } cdot (u^{(m)})^k+.. end{eqnarray}$

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:$frac{Delta y(t)}{y_0} <<1; frac{Delta u(t)}{u_0} <<1;$), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку $[y(t)-y_0] equiv Delta y(t); y'(t) = [y_0+Delta y(t)]' = (Delta y(t))'$, получаем:

$ F(y,y',y''..y^{(n)},u,u',u''..u^{m},t)simeq left( frac{partial F}{partial y} right)_0cdot Delta y+left(frac{partial F}{partial y'}right)_0 cdot (Delta y)' +left(frac{partial F}{partial y''}right)_0 cdot (Delta y)''+..\ ..+left(frac{partial F}{partial u}right)_0 cdot Delta u+ left(frac{partial F}{partial u'}right)_0 cdot (Delta u)' + left(frac{partial F}{partial u''}right)_0 cdot (Delta u)''+..+ left(frac{partial F}{partial u^{m}}right)_0 cdot (Delta u)^{(m)} mathbf{(2.2.4)}$

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

$a_n^0 cdot frac{d^{(n)}}{dt^n} Delta y +a_{n-1}^0 cdot frac{d^{(n-1)}}{dt^{n-1}} Delta y +..+a_{1}^0 cdot frac{d}{dt} Delta y +a_{0}^0cdotDelta y = \ =b_m^0 cdot frac{d^{(m)}}{dt^m} Delta u +b_{m-1}^0 cdot frac{d^{(m-1)}}{dt^{m-1}} Delta u +..+b_{1}^0 cdot frac{d}{dt} Delta u +b_{0}^0cdotDelta u mathbf{(2.2.5)}$

где:

$a_0^0= left( frac{partial F}{partial y} right)_{y =y_0;u =u_0};a_1^0= left( frac{partial F}{partial y'} right)_{y =y_0;u =u_0}; ...a_n^0= left( frac{partial F}{partial y^{(n)}} right)_{y =y_0;u =u_0} ; \ b_0^0= left( frac{partial F}{partial u} right)_{y =y_0;u =u_0};b_1^0= left( frac{partial F}{partial u'} right)_{y =y_0;u =u_0}; ...b_m^0= left( frac{partial F}{partial u^{(m)}} right)_{y =y_0;u =u_0}.$

Коэффициенты $a_i^0, b_j^0$ — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

$L(p)cdotDelta y(t) = N(p) cdot Delta u(t) mathbf{(2.2.6)}$

где

$p = frac{partial }{partial t}$ – оператор дифференцирования;

$L(p)$ — линейный дифференциальный оператор степени n;

$N(p)$ — линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора

$L(p)$ выше порядка оператора

$N(p)$:

$ n ≥ m.$

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов $a_i^0, b_j^0$ может быть произвольной (любой).

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) $(y_0, u_0)$ и выполнив некоторые преобразования, получаем:

$a_n^* cdot tilde{y}^{(n)} +a_{(n-1)}^* cdot tilde{y}^{(n-1)} +..+a_1^* cdot tilde{y}'+a_0^* cdot tilde{y} = \ =b_m^* cdot tilde{u}^{(m)} +b_{(m-1)}^* cdot tilde{u}^{(m-1)} +..+b_1^* cdot tilde{u}'+b_0^* cdot tilde{u} mathbf{(2.2.7)}$

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

$[a_0^*] = [1] ; [a_1^*]= [c]; [a_2^*]= [c^2]; [a_3^*]= [c^3];...[a_n^*]= [c^n]\ [b_0^*] = [1] ; [b_1^*]= [c]; [b_2^*]= [c^2]; [b_3^*]= [b^3];...[b_m^*]= [c^m]$

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент $b_0^*$ за общую скобку и разделить все уравнение на $a_0^*$, то уравнение принимает вид:

$a_n cdot tilde{y}^{(n)} +a_{(n-1)}cdot tilde{y}^{(n-1)} +..+a_1cdot tilde{y}'+tilde{y} = \ =k cdot [b_m cdot tilde{u}^{(m)} +b_{(m-1)} cdot tilde{u}^{(m-1)} +..+b_1 cdot tilde{u}'+ tilde{u}] mathbf{(2.2.8)}$

где:

$a_n = frac{a_n^*}{a_0^*}; a_{n-1} = frac{a_{n-1}^*}{a_0^*}; ...a_{1} = frac{a_{1}^*}{a_0^*}; k = frac{b_0^*}{a_0^*} \ b_n = frac{b_n^*}{b_0^*}; b_{n-1} = frac{b_{n-1}^*}{b_0^*}; ...b_{1} = frac{b_{1}^*}{b_0^*}; $

или в операторном виде:

$(a_n cdot p^{(n)} +a_{(n-1)}cdot p^{(n-1)} +..+a_1cdot p'+1) cdot tilde{y} = \ =k cdot (b_m cdot p^{(m)} +b_{(m-1)} cdot p^{(m-1)} +..+b_1 cdot tilde{u}'+ 1)cdot tilde{u}\ L(p)cdot tilde{y} =k cdot N(p) cdot tilde{u} mathbf{(2.2.9)}$

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

$Если t ≤ 0 Rightarrow left[ begin{gathered} tilde {y}(t) = tilde {y}(0) =0;\ tilde u(t) = tilde u(0) = 0.\ end{gathered} right.$

Пример

Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x0, y0), если полное уравнение динамики имеет вид:

$a_3^0 cdot y'''(t) +a_2^0 cdot y''(t)+a_1^0 cdot y'(t) cdot[y(t)-d]+ a_2^0 cdot y^2(t)=b_1^0 cdot x'(t) +b_0^0 cdot x(t); $

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

$a_0^0 cdot y^2(0) = b_0^0 cdot x(0); Rightarrow y_0 = sqrt{frac{b_0^0}{a_0^0} cdot x_0} = sqrt {k_0 cdot x_0}$

Рис. 2.2.3 – Линеаризации статической характеристики

• во-вторых, слагаемое в левой части $a_1^0 cdot y'(t) cdot[y(t)-d]$ — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x0, y0) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

  1. Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
  2. Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

$tilde{y}(t) = frac{y(t) - y_0}{y_0}; Rightarrow y(t) = y_0 cdot [1+ tilde{y}(t)]; \ tilde{x}(t) = frac{x(t) - x_0}{x_0}; Rightarrow x(t) = x_0 cdot [1+ tilde{x}(t)].$

Заметим, что:
$x(t) = x_0+ Delta x(t) = x_0+ x_0 cdot tilde{x}(t) и y(t) = y_0+ Delta y(t) = y_0+ y_0 cdot tilde{y}(t)$.

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

$ a_3^0 cdot y_0 cdot tilde y'''(t) +a_2^0 cdot y_0 cdot tilde y''(t)+a_1^0 cdot y_0 cdot tilde y'(t) cdot[y_0+y_0 cdot tilde y(t) -d]+a_0^0 cdot y_0^2 cdot[1+ tilde y(t)]^2 = \ = b_1^0 cdot x_0 cdot tilde x'(t) + b_0^0 cdot х_0 cdot[1+tilde x(t)]; Rightarrow раскрыв скобки Rightarrow \ a_3^0 cdot y_0 cdot tilde y'''(t)+a_2^0 cdot y_0 cdot tilde y''(t)+a_1^0 cdot y_0^2 cdot tilde y'(t) + a_1^0 cdot y_0^2 cdot tilde y'(t) cdot tilde y(t)-a_1^0 cdot y_0 cdot tilde y'(t) cdot d + \ +a_0^0 cdot y_0^2 +2 cdot a_0^0 cdot y_0^2 cdottilde y(t) +a_0^0 cdot y_0^2 cdottilde y(t)^2 = b_1^0 cdot x_0 cdot tilde x'(t) + b_0^0 cdot х_0+ b_0^0 cdot х_0 cdot tilde x(t)];$

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: $a_0^0 cdot y_0^2= b_0^0 cdot х_0$, а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: $ a_1^0 cdot y_0^2 cdot tilde y'(t) cdot tilde y(t)$, получаем следующее уравнение:

$ a_3^0 cdot y_0 cdot tilde y'''(t)+a_2^0 cdot y_0 cdot tilde y''(t)+(a_1^0 cdot y_0^2 -a_1^0 cdot y_0 cdot d) cdot tilde y'(t)+2 cdot a_0^0 cdot y_0^2 cdottilde y(t) =\ = b_1^0 cdot x_0 cdot tilde x'(t) + b_0^0 cdot х_0 cdot tilde x(t);$

Вводим новые обозначения:

$a_3^* = a_3^0 cdot y_0 ; a_2^* = a_2^0 cdot y_0; a_1^* = a_1^0 cdot y_0^2 -a_1^0 cdot y_0 cdot d; a_0^* =2 cdot a_0^0 cdot y_0^2; \ b_1^* = b_1^0 cdot x_0; b_0^*=b_0^0 cdot х_0 $

Получаем уравнения в «почти» классическом виде:

$a_3^* cdot tilde y'''(t)+a_2^* cdot tilde y''(t)+a_1^* cdot tilde y'(t)+ a_0^* cdottilde y(t) = b_1^* cdot tilde x'(t) + b_0^* cdot tilde x(t);$

Если в правой части вынести за общую скобку $b_0^*$ и разделить все уравнение на $a_0^*$, то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

$a_3 cdot tilde y'''(t)+a_2 cdot tilde y''(t)+a_1 cdot tilde y'(t)+ tilde y(t) = k cdot[ b_1 cdot tilde x'(t) + tilde x(t)]$

где:

$a_3 = frac{a_3^*}{a_0^*}; a_2 = frac{a_2^*}{a_0^*}; a_1 = frac{a_2^*}{a_0^*}; k = frac{b_o^*}{a_0^*}; b_1 = frac{b_1^*}{b_0^*}; $

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

$L(p) cdot y(t) = N(p)*x(t), mathbf{(2.3.1)}\ где: L(p) = a_ncdot p^n + ..+a_1 cdot p + a_0 \ N(p) = b_m cdot p^m+..+b_1 cdot p+b_0 $

Переходя к полной символике, имеем: $Rightarrow$

$a_n cdot y^{(n)}+a_{n-1} cdot y^{(n-1)}+..+a_1 cdot y'+a_{0} = b_m cdot x^{(m)}+b_{n-1} cdot x^{(n-1)}+..+b_1 cdot y'+b_{0} mathbf{(2.3.2)};$

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

Известно, что

$y(t) = y_{общ.}(t)+y_{част.}(t), mathbf{(2.3.3)}$

где: $y_{общ.}(t)$ — решение однородного дифференциального уравнения $L(p) y(t) = 0; $y_{част.}(t) $inline$ – частное решение. $inline$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения $y_{общ.} = y_{собств.}$, собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть $y_{част.} = y_{вын.}$, вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием $x(t)$, поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

$y(t) = y_{собств.}(t)+y_{вын.}(t), mathbf{(2.3.4)}$

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида $L(p) cdot y(t) = N(p)*x(t)$, то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

$a_n cdot y^{(n)}+a_{n-1} cdot y^{(n-1)}+..+a_1 cdot y'+a_{0} =0 $

2) Записываем характеристическое уравнение:

$L(lambda) =0; Rightarrow a_n cdot lambda^{n}+a_{n-1} cdot lambda^{n-1}+..+a_1 cdot lambda+a_{0} =0 mathbf{(2.3.5)}$

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения $lambda_i$
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

$y_{собств.}(t)=sum_{j=1}^n C_j cdot e^{lambda_j cdot t}, mathbf{(2.3.6)}$

если среди $lambda_i$ нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

$y_{собств.}(t)=sum_{j=1}^{n-2} C_j cdot e^{lambda_{j} cdot t} +C_{n-1} cdot e^{lambda_{n-1} cdot t}cdot [1+C_ncdot t]. mathbf{(2.3.7)}$

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

$y_{собств.}(t)=sum_{j=1}^{n-k} C_j cdot e^{lambda_{j} cdot t} +C_{n+1-k} cdot e^{lambda_{n+1-k} cdot t}cdot [1+C_{n+2-k}cdot t+C_{n+3-k}cdot t^2+.. \ ..+C_{n}cdot t^{k-1}]. mathbf{(2.3.8)}$

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. $y_{вын.}(t) = f_{вын}(t)$.

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем: $Rightarrow$

$y_{полн.}(t)=sum_{j=1}^n C_j cdot e^{lambda_j cdot t} + f_{вын}(t).$

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования $C_j$. $Rightarrow$ Обычно получается система алгебраических уравнений. $Rightarrow$ Решая систему, находим значения постоянных интегрирования $C_j$

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

$left{ begin{gathered} 2 cdot y''(t)+5 cdot y'(t)+2 cdot y(t) =1- e^{-t}\ Начальные условия t = 0; Rightarrow y(0) = 0; y'(0) =0. end{gathered} right.$

Решение. $Rightarrow$ Запишем однородное ОДУ: $2 cdot y''(t)+5 cdot y'(t)+2 cdot y(t) =0$
Характеристическое уравнение имеет вид: $2 cdot lambda ^2+5 cdot lambda+2 = 0$; Решая, имеем: $lambda_1 = -2; lambda = 0.5,$ тогда:

$y_{соб} = С_1 cdot e^{-2 cdot t}+С_2 cdot e^{-0.5 cdot t},$

где

$С_1, С_2$ — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем $y_{вын}(t)$ как:

$у_{вын}(t) =A+B cdot e^{-t} Rightarrow у_{вын}'(t) = -Bcdot e^{-t} Rightarrow у_{вын}''(t) = Bcdot e^{-t} $

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

$2cdot B cdot e^{-t} - 5 cdot B cdot e^{-t}+2cdot A +2 cdot B cdot e^{-t} =1 - e^{-t} Rightarrow left{ begin{gathered} 2 cdot A =1\ -B = -1 end{gathered} right. Rightarrow\ Rightarrow left{ begin{gathered} A = frac{1}{2}\ B = 1 end{gathered} right. Rightarrow y_{вын.}(t) = frac{1}{2} -e^{-t};$

Суммируя $y_{соб}, y_{вын}$, имеем: $y(е) = С_1 cdot e^{-2 cdot t}+С_2 cdot e^{-0.5 cdot t}+frac{1}{2}+ e^{-t}.$

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: $0 =C_1+C_2+0.5+1$, а из 2-го начального условия имеем: $0 = -2 cdot C_1 - 0.5 cdot C_2 -1.$

Решая систему уравнений относительно $С_1$ и $С_2$, имеем: $С_1 = -1/6; C_2 = -4/3. $
Тогда окончательно:

$y(t) = - frac{1}{6} e^{-2t}- frac{4}{3} e^{-0.5t}+frac{1}{2}+e^{-t};$

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

$2 cdot y''(t)+5 cdot y'(t)+2 cdot y(t) =1- e^{-t} Rightarrow \ Rightarrow y''(t) = 0.5 - 0.5cdot e^{-t} - 2.5 cdot y'(t)- y(t)$

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).


Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

На рис. 2.3.2 приведено решение по вышеприведенному соотношению и численное решение задачи в среде SimInTech (решения совпадают и линии графиков «наложены» друг на друга).

Рис. 2.3.2 – Решение уравнения динамики

Ссылки по теме:

  1. Википедия про ряд Тейлора
  2. Дифференциальные уравнения на Match24.ru
  3. Пример создания модели груза на пружине.
  4. Начало лекций здесь: Введение в теорию автоматического управления. Основные понятия теории управления техническим системами.
  5. Следующая часть здесь: Математическое описание систем автоматического управления. ч. 2.2 — 2.8

Продолжениее: Математическое описание систем автоматического управления. 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (РЕГУЛИРОВАНИЯ).
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено). На примере входной камеры ядерного реактора.
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка.
3.5. Колебательное звено.
3.6. Инерционно-дифференцирующее звено.
3.7. Форсирующее звено.
3.8. Инерционно-интегрирующее (звено интегрирующее звено с замедлением).
3.9 Изодромное звено (изодром).

Источник

При
составлении дифференциальных уравнений САУ основной задачей является получение
дифференциальных уравнений отдельных звеньев системы. Для математического
описания САУ её разбивают на динамические звенья. Под динамическим звеном
понимают часть системы, которая описывается дифференциальным или иным
уравнением определённого вида. В качестве динамических звеньев могут
рассматриваться конструктивно обособленные части САУ, например, обмотки
возбуждения генераторов, якорные обмотки двигателей, отдельные каскады
усилителей и т.д. Иногда динамические звенья могут вообще не иметь физического
смысла, характеризуя лишь математическую зависимость между некоторыми
величинами САУ.

При
составлении уравнений звена следует:

§  определить
входную и выходную величину звена и установить дополнительные факторы, от
которых зависит выходная величина;

§  выбрать
начало отсчета и положительное направление отсчета всех входящих в рассмотрение
переменных;

§  ввести
соответствующие упрощения, допущения;

§  используя
физические законы той отрасли науки и техники, к которой относится исследуемое
звено, составить уравнение. Для получения уравнений электрических звеньев
используются законы Кирхгофа, для механических звеньев – закон Ньютона, для
гидравлических и пневматических звеньев – законы сохранения энергии и вещества,
для тепловых устройств – уравнения энергетического баланса и т.д.

В
теории автоматического управления принято записывать дифференциальные уравнения
в двух стандартных формах:

«Классическая»
форма записи:

1. 
Выходная
величина Y и все её производные
переносятся в левую часть уравнения, входная величина X,
её производные и возмущающее воздействие f
– в правую;

2. 
Коэффициент
при выходной величине Y
должен быть равен единице;

3. 
Постоянные
времени Тi записываются в
степени соответствующей производной.

Рассмотрим
пример первой формы записи:

.                
(1)

Здесь
Т1, Т2, Т3,  – постоянные
времени, ,  – коэффициенты,       
t – текущее время.

Обозначив
 – символ дифференцирования, получим более
компактную форму записи:

.         
(2)

«Операторная»
форма записи:

Считая
условно  алгебраической величиной, решим
уравнение (2) относительно выходной переменной

.                                  
(3)

Передаточной
функцией звена по определённому внешнему воздействию называется отношение
изображения по Лапласу выходной величины  к
изображению по Лапласу рассматриваемого воздействия  (i–
номер входного воздействия) при нулевых начальных условиях и других внешних
воздействиях равных нулю:

.                                               
(4)

Для
получения передаточной функции следует:

§  записать
уравнение звена в символической форме, заменив ;

§  формально
разделить символический многочлен, стоящий множителем в правой части уравнения
перед рассматриваемым внешним воздействием, на символический многочлен в левой
части уравнения, являющийся множителем перед выходной координатой:

.                  
(5)

Поскольку
конкретный вид управляющих воздействий  и
возмущающих воздействий  не оговариваются, то
передаточная функция звена не зависит от закона изменения воздействий и
определяется только свойствами самого звена.

Для получения
дифференциального уравнения звена по передаточной функции следует записать
операторное уравнение звена:

,(6)

и
заменить оператор Лапласа :

.   
(7)

Пример
1.1.
Вывести дифференциальное уравнение пассивного электрического корректирующего
устройства постоянного тока представленного на рисунке 1.

(а)                                                       (б)

Рисунок
1. Пассивное корректирующее устройство (а) и эквивалентная схема (б)

Решение:

Первый
способ.

Используя
закон Кирхгофа, можно записать два уравнения:

.                                      
(8)

Из
второго уравнения:

.                                                  
(9)

Подставим
выражение для тока в первое уравнение:

Источник

Добавить комментарий