Задачи на дроби
- Выражение части в долях целого
- Нахождение дроби от числа
- Нахождение числа по его дроби
Выражение части в долях целого
Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.
Задача. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?
Решение:
Ответ: В классе отсутствует 
учащихся.
Нахождение дроби от числа
Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:
Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.
Задача 1. Было 600 рублей, 
этой суммы истратили. Сколько денег истратили?
Решение: Чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
600 : 4 = 150 (р.).
Ответ: Истратили 150 рублей.
Задача 2. Было 1000 рублей, 
этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?
Решение: Из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:
1) 1000 : 5 = 200 (р.) — одна пятая часть.
2) 200 · 2 = 400 (р.) — две пятых части.
Эти два действия можно объединить:
1000 : 5 · 2 = 400 (р.).
Ответ: Было истрачено 400 рублей.
Второй способ нахождения части целого:
Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.
Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее 
членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?
Решение:
Ответ: Отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
Нахождение числа по его дроби
Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:
Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.
Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило 
от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.
Решение: Из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:
50 · 6 = 300 (р.).
Ответ: Первоначальная сумма — 300 рублей.
Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило 
от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.
Решение: Будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):
600 : 2 · 3 = 900 (р.).
Ответ: Первоначальная сумма — 900 рублей.
Второй способ нахождения целого по его части:
Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Задача 3. Отрезок AB, равный 42 см, составляет 
длины отрезка CD. Найти длину отрезка CD.
Решение:
Ответ: Длина отрезка CD 70 см.
Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал 
, после обеда — 
привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?
Решение: Сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):
Итак, мы узнали, что 80 арбузов составляет 
от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет 
, а затем сколько арбузов составляют 
(количество привезённых арбузов):
2) 80 : 4 · 15 = 300 (арбузов).
Ответ: Всего в магазин привезли 300 арбузов.
Ольга ТАРАКАНОВА
Решение задач на дроби
Статья посвящена решению задач с дробями.
Примеры иллюстрируются задачами из учебника:
Петерсон Л.Г. “Математика”, 3 класс (1-3), часть
2,3, что соответствует 4 классу (1–4). Основное
внимание уделяется поиску решения задачи,
который проводится либо в виде диалога учителя с
учениками, либо в виде самостоятельного
рассуждения ученика. Большое внимание уделяется
грамотному оформлению решения задачи.
I. Этап мотивации изучения дробей
Первые задачи, которые рассматривает
учитель при введении темы, – это исторические
задачи, цель которых – заинтересовать учеников
изучением нового материала. Полезно рассмотреть
две или три задачи, а потом вернуться к ним, когда
материал о дробях будет уже как следует изучен.
Задача 1
В произведении знаменитого римского
поэта I в. до н.э. Горация так описана беседа
учителя с учеником в одной из римских школ этой
эпохи.
Учитель: Пусть скажет сын Альбина,
сколько останется, если от 5 унций отнять одну
унцию?
Ученик: Одна треть.
Учитель: Правильно. Ты
сумеешь беречь свое имущество.
Пользуясь схемой, докажи, что ученик
был прав. (Ч. 1, № 1, с. 64)*.
Поиск решения. Моделируем ситуацию
с помощью отрезков. Давайте одну унцию обозначим
отрезком. Тогда 5 унций – отрезок, состоящий из 5
данных отрезков. Отнимем одну унцию, сколько
унций останется? [4 унции.] А что ответил ученик на
вопрос: “Сколько останется, если от 5 унций
отнять одну?” [Одна треть.] Если одну треть
составляет 4 унции, сколько унций составляет все
имущество? [В 3 раза больше, чем 4 унции, – значит, 12
унций.]
Схема.
Решение. 1) 5 – 1 = 4 (унц.) – осталось.
2) 4 х 3 = 12 (унц.) – все имущество.
Ответ: 12 унций.
Задача 2
Задача из “Арифметики” известного
среднеазиатского математика IX в. Мухаммеда
ибн-Мусы ал-Хорезми. “Найди число, зная, что
если отнять от него одну треть и одну четверть, то
получится 10”. (Ч. 2, № 2, с. 64).
Поиск решения. Обозначим число
отрезком, длина которого делится на 3 и на 4, это
может быть 12, или 24, или 36 и т.д. Возьмем наименьшее
из них – 12, нарисуем 12 равных отрезков или мерок.
Найдем одну треть отрезка. [12 : 3 = 4 (ч.).] Найдем одну
четверть отрезка. [12 : 4 = 3 (ч.).] Сколько частей
вычли? [4 + 3 = 7 (ч.).] Сколько частей осталось? [12 – 7 = 5
(ч.).] 10 приходится на сколько частей? [На 5.] Сколько
приходится на одну часть? [10 : 5 = 2.] Число 2
приходится на одну часть, а сколько всего частей?
[12.] Как найти число? [2 х 12 = 24.]
Решение.
1) 12 : 3 = 4 (ч.) – треть числа.
2)12 : 4 = 3 (ч.) – четверть числа.
3) 3 + 4 = 7 (ч.) – вычли.
4)12 – 7 = 5 (ч.) – осталось.
5) 10 : 5 = 2 – приходится на одну часть.
6) 2 х 12 = 24 – число.
Ответ: Это число 24.
Задача 3
Задача из “Папируса Ахмеса”
(Египет, 1850 г. до н.э.).
“Приходит пастух с 70 быками. Его
спрашивают:
– Сколько приводишь ты своего
многочисленного стада?
Пастух отвечает:
– Я привожу две трети от трети скота.
Сочти!”
Используя схему, найди, сколько быков
было во всем стаде? (Ч. 2, № 3, с. 64)
Поиск решения.
Обозначим отрезком все стадо. Какой
должна быть длина отрезка, чтобы легко делилась
на части? [Длина должна быть кратна 9.] Обозначим
число быков отрезком, состоящим из 9 частей. Как
найти треть от 9? [9 разделить на 3, получится 3
части.] Покажем это на отрезке. Найдем две трети
от 3. Нужно 3 разделить на 3, получится 1 часть, и
взять две таких части. Сколько быков приходится
на 2 части? [70 быков.] Сколько быков приходится на
одну часть? [70 разделить на 2, получится 35 быков.]
Если 35 быков в одной части, сколько быков в 9
частях? [35 х 9 = 315.] Сколько быков в стаде? [315 быков.]
Схема.
Решение.
1) 9 : 3 = 3 (ч.) – треть стада.
2) 3 : 3 х 2 = 2 (ч.) – две трети от трети.
3) 70 : 2 = 35 (б.) – в I части.
4) 35 х 9 = 315 (б.) – в стаде.
Ответ: 315 быков.
Задача 4
Староиндийская задача (XI в.).
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на кутай посади.
Только две не нашли
Себе места нигде,
Все летали то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждались.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?
(Ч. 2, № 4, с. 64).
Поиск решения.
Обозначим число пчел отрезком. Сколько
мерок полезно взять в отрезке? [Число мерок
должно делиться на 5, на 3, т.е. на 15. Отрезок будет
состоять из 15 мерок.] Сколько мерок отрезка
составляет пятая часть? [15 разделим на 5,
получится 3 мерки.] Сколько мерок составляет
третья часть отрезка? [15 разделить на 3 получится 5
мерок.] Чему равна разность между третьей и пятой
частями? [Из 5 мерок вычтем 3 мерки, получится 2
мерки.] Три раза отложим по 2 мерки, сколько мерок
мы отложили? [2 умножим на 3, получится 6 мерок.]
Сколько мерок останется? [15 – 3 – 5 – 6 = 1, одна
мерка.] Сколько пчел приходится на одну мерку?
[Две.] Как найти все количество пчел? [2 умножить на
15, получится 30. Всего собралось 30 пчел.]
Схема.
Решение.
1) 15 : 5 = 3 (м.) – пятая часть.
2) 15 : 3 = 5 (м.) – третья часть.
3) 5 – 3 = 2 (м.) – разность.
4) 2 х 3 = 6 (м.) – кутай.
5) 15 – 3 – 5 – 6 = 1 (м.) – осталось.
6) 2 х 15 = 30 (пч.) – собралось.
Ответ: 30 пчел.
II. Этап решения задач на доли
Рассмотрим поиск решения, оформление
решения простых задач на доли. При составлении
схем к первым задачам полезно дроби писать над
выделенной частью (схема, 1). В дальнейшем
схема будет меняться. Изменения показаны на
схеме (3). Сначала меняется место записи дроби
и выделяется целая часть в виде единицы (схема, 2).
Сами части на отрезке сначала выделяются, затем
нет (схема, 3). Если ребенку трудно решить
задачу без деления отрезка на части, он может
продолжать их выделять.
Задача на нахождение части числа
Яблоко весит 400 г. Сколько весит часть
этого яблока. (Ч. 2, № 10, с. 68.).
Схема.
Рассуждение ученика. Обозначим
массу яблока отрезком, в котором 5 мерок. Чтобы
найти массу одной пятой части, нужно 400 разделить
на 5, получится 80. 80 граммов весит 
часть яблока.
Решение. 400 : 5 = 80 (г).
Ответ: 80 граммов.
Задача на нахождение числа по его
части
Сколько стоит книга, если 
часть ее цены составляет 30
рублей? (Ч. 2, № 2, с. 75).
Схема.
Рассуждения ученика. Известно, что часть цены книги
составляет 30 рублей. Чтобы найти цену книги, надо
30 умножить на 6, получится 180. 180 рублей цена книги.
Решение. 30 х 6 = 180 (р.).
Ответ: 180 рублей.
Составная задача с долями
Сделав 16 деталей, рабочий выполнил 
часть задания.
Сколько деталей ему осталось сделать? (Ч. 2, № 5, с.
75).
Схема.
Рассуждения ученика. Одна
четвертая часть задания составляет 16 деталей.
Чтобы найти объем всего задания, нужно 16 умножить
на 4, получится 64. 64 детали составляет все задание.
16 деталей сделано. Чтобы найти, сколько деталей
осталось сделать, нужно из 64 вычесть 16, получится
48. 48 деталей осталось сделать.
Решение.
По действиям с пояснениями:
1) 16 х 4 = 64 (д.) – все задание.
2) 64 – 16 = 48 (д.) – осталось сделать.
Или выражением:
16 х 4 – 16 = 48 (д.).
Ответ: 48 деталей.
Задачи на проценты
Задачи на проценты являются частным
случаем задач на доли.
Задача на нахождение части числа
Папа получил премию 8000 рублей. 1% премии
он потратил на покупку торта. Сколько стоил торт?
(Ч. 2, № 8, с. 73).
Схема.
Рассуждения ученика. 1% – это одна
сотая часть числа. Чтобы найти одну сотую часть
от числа 8000, надо 8000 разделить на 100, получится 80. 80
рублей потратил папа на торт.
Решение. 8000 : 100 = 80 (р.).
Ответ: 80 рублей.
Задача на нахождение числа по его
части
Сколько человек было в кинотеатре,
если 1% всех зрителей составляет 7 человек? (Ч.2, № 3,
с.75).
Схема.
Рассуждения ученика. Целое
составляет 100%, его нужно найти. 1% – это одна сотая
часть от целого. Одну сотую часть составляет 7
человек, значит, чтобы найти целое, нужно 7
умножить на 100, получится 700. 700 человек было в
кинотеатре.
Решение. 7 х 100 = 700 (чел.).
Ответ: 700 человек.
III. Этап решения задач на правильные
дроби
Задача на нахождение части числа
Урок длится 45 минут. 
части урока ученики писали
самостоятельную работу. Сколько времени она
длилась?
Схема.
Рассуждение ученика.
Найдем сначала часть от 45, для этого 45 разделим на
5, получится 9. Дальше найдем части, для этого 9
умножим на 3, получим 27. 27 минут ученики писали
самостоятельную работу.
Решение.
По действиям с пояснениями:
1) 45 : 5 = 9 (мин) – приходится на .
2) 9 х 3 = 27 (мин) – приходится на .
Или выражением: 45 : 5 х 3 = 27 (мин).
Ответ: 27 минут.
Задача на нахождение части числа,
выраженной в процентах
На строительство доставили 24 000
кирпичей. Бой составляет 3% всех кирпичей. Сколько
кирпичей разбилось по дороге? (Ч. 2, № 5, с. 85).
Схема.
Рассуждения ученика.
24 000 кирпича составляет 100%, 3% – это 
. Чтобы найти части от числа 24 000,
нужно 24 разделить на 100 и умножить на 3, получится
720. 720 кирпичей разбилось.
Решение.
По действиям с пояснениями:
1) 24000 : 100 = 240 (к.) – приходится на 1%.
2) 240 х 3 = 720 (к.) – приходится на 3%.
Или выражением:
24000 : 100 х 3=720 (к.).
Ответ: 720 кирпичей.
Задача на нахождение числа по его
части
В аквариум налили 6 л воды, заполнив 
части его объема.
Сколько литров воды вмещает аквариум? (Ч.2, № 5, с.
90).
Схема.
Рассуждения ученика.
Известно, что части объема аквариума составляет 6 л,
следовательно, 
часть
составляет в 2 раза меньше, т.е. 6, деленное на 2.
Таким образом, часть
составляет 3 л. А объем аквариума в 5 раз больше,
т.е. 3, умноженное на 5. 15 л вмещает аквариум.
Решение.
По действиям с пояснениями:
1) 6 : 2 = 3 (л) – пятая часть.
2) 3 х 5 = 15 (л) – аквариум.
Или выражением:
6 : 2 х 5 = 15 (л).
Ответ: 15 литров.
Задача на нахождение числа по его
части, выраженной в процентах
Бурый медведь весит 320 кг, что
составляет 40% массы белого медведя. Какова масса
белого медведя? (Ч.2, № 5, с. 88).
Схема.
Рассуждения ученика.
Вариант 1. 320 кг составляют 40%. Чтобы
узнать, сколько килограммов приходится на 1%,
нужно 320 разделить на 40, получится 8. Чтобы узнать,
сколько килограммов приходится на 100%, нужно 8
умножить на 100, получится 800. 800 кг – масса белого
медведя.
Вариант 2. Чтобы найти число по его
части, выраженной дробью, надо разделить эту
часть на числитель и умножить на знаменатель. 40%
– это 
,
значит, нужно 320 разделить на 40 и умножить на 100,
получится 800. 800 кг – масса белого медведя.
Решение.
По действиям с пояснениями:
1) 320 : 40 = 8 (кг) – приходится на 1%.
2) 8 х 100 = 800 (кг) – приходится на 100%.
Или выражением:
320 : 40 х 100 = 800 (кг).
Ответ: 800 кг.
Задача на нахождение части, которую
одно число составляет от другого
От доски длиной 9 м отпилили 4 м. Какую
часть доски отпилили? (Ч.3, № 1, с.4).
Схема.
Рассуждения ученика.
Чтобы выразить дробью часть, которую
одно число составляет от другого, надо первое
число разделить на второе. Аналогично, чтобы
выразить, какую часть отпилили от доски, нужно 4
разделить на 9, так как 4 – часть, которую
отпилили, а 9 – это целое.
Решение. 4 : 9 = 
(ч.).
Ответ: части.
IV. Этап решения задач на неправильные
дроби
Задачи на нахождение части числа
1. На стройке Дома дружбы Чебурашка
должен был за день положить 620 кирпичей, но ему
удалось положить 
части этого числа. На сколько Чебурашка
перевыполнил задание?
Схема.
Рассуждения ученика.
Вариант 1. 620 кирпичей приходится на
5 равных частей. Чтобы узнать, сколько кирпичей
приходится на 1 часть, нужно 620 разделить на 5,
получится 124. Чтобы узнать, сколько кирпичей
приходится на 6 таких частей, нужно 124 умножить на
6, получится 744. 744 кирпича приходится на . Чтобы
узнать, на сколько Чебурашка перевыполнил план,
нужно из 744 вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича
Чебурашка перевыполнил задание.
Вариант 2. Чтобы найти от 620, нужно 620
разделить на 5 и умножить на 6, получится 744. Чтобы
найти, на сколько Чебурашка перевыполнил план,
нужно из 744 вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича
Чебурашка перевыполнил задание.
Решение.
По действиям с пояснениями:
1) 620 : 5 = 124 (к.) – приходится на одну
часть.
2) 124 х 6= 744 (к.) – выполнил.
3) 744 – 620 = 124 (к.) – перевыполнил.
Или выражением:
620 : 5 х 6 – 620 = 124 (к.).
Ответ: на 124 кирпича.
2. Буратино решил купить для папы Карло
новый дом за 300 сольдо. Но пока он копил деньги,
цена дома увеличилась на 20%. Сколько теперь
должен заплатить Буратино за этот дом? Сколько
денег надо ему дополнительно заработать? (Ч.3, № 3,
с. 20).
Схема.
Рассуждения ученика.
Вариант 1. 300 сольдо приходится на
100%, значит, на 1% приходится 300, деленное на 100, т.е. 3.
Новая цена дома от старой составляет 120% – это 100 +
20. Чтобы узнать, сколько сольдо приходится на 120%,
нужно 3 умножить на 120, получится 360. 360 сольдо
стоит дом. Чтобы узнать, сколько дополнительно
заработать, нужно из 360 вычесть 300, получится 60. 60
сольдо нужно Буратино дополнительно заработать.
Вариант 2. Чтобы найти 20% от 300, нужно
300 разделить на 100 и умножить на 20, получится 60. 60
сольдо нужно дополнительно заработать Буратино.
Теперь дом будет стоить 300 плюс 60, т.е. 360 сольдо.
Решение.
Способ 1.
1) 300 : 100 = 3 (с.) – приходится на 1%.
2) 100 + 120 = 120 % – стоит дом от старой цены.
3) 3 х 120 = 360 (с.) – новая цена дома.
4) 360 – 300 = 60 (с.) – нужно заработать.
Способ 2.
1) 300 : 100 х 20 = 60 (с.) – надо заработать.
2) 300 + 60 = 360 (с.) – новая цена дома.
Ответ: 60 сольдо.
Задача на нахождение числа по его
части.
Почтальону Печкину пришло на почту в
марте 48 писем. Это составило части писем,
пришедших на почту в феврале. Сколько писем
пришло в феврале? Сколько писем пришло за эти 2
месяца? (Ч.3, №4, с. 20).
Схема.
Рассуждения ученика.
Вариант 1. 48 писем приходится на ,
т.е на 8 равных частей. Сначала узнаем, сколько
писем приходится на одну часть, для этого 48
разделим на 8, получится 6. Дальше найдем, сколько
писем приходится на 7 таких же частей. Для этого 6
умножим на 7, получится 42. Чтобы найти количество
писем за 2 месяца, нужно сложить 48 и 42, получится 90.
90 писем пришло за 2 месяца.
Вариант 2. Чтобы найти число по его
части, выраженной дробью, надо эту часть
разделить на числитель дроби и умножить на
знаменатель. Чтобы найти число, зная, что на
приходится 48, нужно 48 разделить на 8 и умножить на
7, получится 42. Чтобы найти, сколько писем пришло
за 2 месяца, надо сложить 48 и 42, получится 90. 90
писем пришло за 2 месяца.
Решение.
По действиям с пояснениями:
Способ 1.
1) 48 : 8 = 6 (п.) – приходится на 1 часть.
2) 6 х 7 = 42 (п.) – пришло в феврале.
3) 48 + 42 = 90 (п.) – пришло за 2 месяца.
Способ 2.
1) 48 : 8 х 7 = 42 (п.) – пришло в феврале.
2) 48 + 42 = 90 (п.) – пришло за 2 месяца.
Ответ: 42 письма и 90 писем.
Задача на нахождение части, которую
одно число составляет от другого
Мачеха, уходя с дочерьми на бал, велела
Золушке перебрать 100 кг крупы. Золушка, чтобы
угодить мачехе, перебрала 150 кг. Какую часть
своего задания выполнила Золушка? Вырази эту
часть в процентах. На сколько процентов Золушка
перевыполнила задание? (Ч. 3, № 7, с. 21).
Схема.
Рассуждения ученика.
Чтобы найти, какую часть задания
Золушка выполнила, нужно ту часть, которую она
выполнила, т.е. 150, разделить на само задание, т.е.
на 100, получится 
,
или 150%. Так как все задание составля-ет 100%, то она
перевыполнила его на 150 – 100 = 50. На 50% Золушка
перевыполнила задание.
Решение.
1) 150 : 100 = (ч.) – выполнила.
2) =150%, 150 – 100 = 50%
– перевыполнила.
Ответ: части, 150%, 50%.
Надеемся, что рассмотренный материал
окажется полезным не только учителям, работающим
по авторской методике Л.Г. Петерсон, но и всем, кто
интересуется вопросами преподавания математики
в начальной школе.
* Здесь и далее по тексту ссылка на учебник
Петерсон Л.Г. “Математика”, 3 класс.
Решение задач на дроби
Ключевые слова конспекта: решение задач на дроби, решения задач в 5-6 классе, ответы на задачи, нахождение части целого, восстановление целого по известной его части, нахождение отношения величин, увеличение (уменьшение) на часть целого, часть от части целого, нахождение целого по его части, выражение остатка через часть целого, выражение величины частью целого, часть от части целого, оставшаяся часть целого.
Решение основных и типовых задач на дроби для учащихся 5-6 классов, включая углубленный уровень изучения математики.
Задача № 1.
Нахождение части целого.
Андрей вышел из дома к озеру, до которого 900 м. Пройдя 3/5 пути, он встретил друга. На каком расстоянии от дома Андрей встретил друга?
РЕШЕНИЕ:
Целое задано числом 900. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти 3/5 от 900.
Способ 1.
Найдем 1/5 от 900 и результат умножим на 3; получим 900 : 5 • 3 = 180 • 3 = 540.
Способ 2.
Умножим число 900 на дробь 3/5 и получим 540.
Ответ: 540 м.
Задача № 2.
Восстановление целого по известной его части.
Андрей вышел из дома к озеру и, пройдя 3/5 расстояния до озера, он встретил друга. Расстояние от дома до встречи с другом составило 540 м. Каково расстояние от дома Андрея до озера?
РЕШЕНИЕ:
Известна часть целого – число 540. Этой части соответствует дробь 3/5. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти по дроби – неизвестное целое.
Способ 1.
Так как 540 – это три пятых целого, то одна пятая – это 540 : 3 = 180. А все целое – это пять пятых и оно равно 180 • 5 = 900.
Способ 2.
Разделим число 540 на дробь 3/5, получим 900.
Ответ: 900 м.
Задача № 3.
Нахождение отношения величин.
В школе 630 учащихся. В спартакиаде приняло участие 345 учащихся школы. Какая часть всех учащихся школы приняла участие в спартакиаде?
РЕШЕНИЕ:
Один учащийся школы – это 1/630 часть всех учащихся школы. Поэтому 345 учащихся составляют 345/630 всех учащихся школы. Сократив полученную дробь, запишем 23/42 всех учащихся школы.
Ответ: 23/42 всех учащихся школы.
Задача № 4.
Увеличение (уменьшение) на часть целого.
Цена упаковки составляет 3/50 цены игрушки. Какова стоимость игрушки с упаковкой, если цена игрушки 650 р.?
РЕШЕНИЕ:
Способ 1.
Сначала найдем цену упаковки: 650 : 50 • 3 = 39 (р.). Теперь, увеличив цену, найдем стоимость игрушки е упаковкой: 650 + 39 = 689 (р.).
Способ 2.
Если целое 1 и его часть 3/50, то будем искать 13/50 от 650 р.
Имеем 650 • 53/50 = 689 (р.).
Ответ: 689 р.
Задача № 5.
Часть от части целого.
Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 22/25 числа всех учащихся. На вопрос референдума 3/4 числа учащихся, принявших участие в голосовании, ответили «да». Какую часть числа всех учащихся школы составили те учащиеся, которые ответили положительно?
РЕШЕНИЕ:
Вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума. Имеем 550 • 22/25 • 3/4 = 363 (уч.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363 : 550 = 33/50.
Ответ: 33/50 или 0,66.
Дополнительный вопрос: можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?
Ответ: да, надо перемножить дроби, т.е найти 3/4 от 22/25.
Задача № 6.
Нахождение целого по его части.
В сборнике фантастики две повести. Первая занимает 35 страниц, а вторая – 2/7 книги. Сколько всего страниц в книге?
РЕШЕНИЕ:
Сначала найдем, какую часть рукописи занимает первая повесть: 1 – 2/7 = 5/7, а потом – целое по его части: 35 : 5/7 = 49.
Ответ: 49 страниц.
Задача № 7.
Выражение остатка через часть целого.
На пошив детской одежды ушел весь рулон ткани. Из 3/8 рулона сшили куртки, из четверти рулона – юбки, из оставшихся 24 м сшили несколько брюк. Сколько всего метров ткани было в рулоне?
РЕШЕНИЕ:
Найдем, из какой части всего рулона сшили куртки и юбки: 3/8 + 1/4 = 5/8. Теперь понятно, что на пошив брюк осталась часть, равная 1 – 5/8 = 3/8 рулона, которая составляет 24 м. Значит, во всем рулоне было 24 : 3/8 = 64 (м).
Ответ: 64 м.
Задача № 8.
Выражение величины частью целого.
Оля истратила треть имевшейся у нее суммы денег, а потом еще 100 р. В итоге она истратила половину суммы. Сколько денег было у Оли первоначально?
РЕШЕНИЕ:
Чтобы разобраться в условии задачи, обратимся к рисунку.
Сначала узнаем, какую часть всей суммы составляют 100 р.: 1/2 – 1/3 = 1/6. Теперь мы знаем, что 100 р. – это 1/6 всей суммы. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти целое по его части. В данном случае можно попросту 100 р. умножить на 6. Получим, что у Оли было 600 р.
Ответ: 600 р.
Задача № 9.
Часть от части целого.
Перед поездкой бак автомобиля был заполнен на 4/5. Во время поездки была истрачена четверть имевшегося запаса бензина. Какая часть бака заполнена бензином к концу поездки?
РЕШЕНИЕ:
Если истрачена четверть от 4/5 бака, то это значит, что осталось 3/4 от 4/5 бака, т.е. всего наполнено бензином 3/5 бака.
Ответ: 3/5 бака.
Задача № 10.
Оставшаяся часть целого.
Ученик закрасил 3/8 круга синим цветом и 3/10 оставшейся части – желтым цветом. Какая часть круга осталась незакрашенной?
РЕШЕНИЕ:
Способ 1.
После закрашивания синим цветом остались незакрашенными 1 – 3/8 = 5/8 круга. Найдем 3/10 от 5/8 – получим 3/16. Сложим закрашенные части и получим 9/16. Значит, незакрашенными остались – 7/16.
Способ 2.
После закрашивания синим цветом остались незакрашенными 5/8 круга. После закрашивания желтым цветом остались незакрашенными 1 – 3/10 = 7/10 оставшейся части. Найдем 7/10 от 5/8 – получим 7/16.
Ответ: 7/16. Проверьте ответ, сделав рисунок.
Это конспект по математике на тему «Решение задач на дроби». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
- Вернуться к списку конспектов по Математике.
- Проверить знания по Математике.
Основные
задачи на дроби.
Решение задач на части или дроби является
наиболее сложным заданием для учеников. Поэтому удобно применять метод
разбиения задач на несколько типов и научить учеников решать типовые задачи.
Основные понятия по данной теме:
ЦЕЛОЕ (ЧИСЛО), ДРОБЬ (ЧАСТЬ), ЗНАЧЕНИЕ
ДРОБИ (ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТИ)
Задачи на дроби бывают следующих видов:
·
На отыскание указанной части (дроби)
данного числа;
·
На отыскание числа, если известна часть
(дробь) этого числа;
·
На отыскание части (дроби), которую составляет
одно число от другого.
ПЕРВЫЙ
ТИП ЗАДАЧ:
Известно:
ЦЕЛОЕ (ЧИСЛО) и ДРОБЬ
Найти:
ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ.
РЕШЕНИЕ:
ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ = ЦЕЛОЕ (ЧИСЛО) • ДРОБЬ
ОТВЕТ:
Значение дроби (единицы измерения такие
же, как у значения дроби)
ВТОРОЙ
ТИП ЗАДАЧ:
Известно:
ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ И ДРОБЬ
Найти:
ЦЕЛОЕ (ЧИСЛО)
РЕШЕНИЕ:
ЦЕЛОЕ = ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ ꞉ ДРОБЬ
ОТВЕТ:
Целое (число) (единицы измерения такие же,
как у значения дроби)
ТРЕТИЙ
ТИП ЗАДАЧ:
Известно:
ЦЕЛОЕ (ЧИСЛО) и ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ
Найти:
ДРОБЬ
РЕШЕНИЕ:
ДРОБЬ = ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ ꞉ ЦЕЛОЕ
ОТВЕТ:
Целое (число) (единицы измерения такие же,
как у значения дроби)
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
ЗАДАЧА
ПЕРВОГО ТИПА: (нахождение дроби от числа)
В
книге 140 страниц. Петя прочитал 4/5 этой книги. Сколько страниц книги прочитал
Петя?
РЕШЕНИЕ:
140
страниц – это ЦЕЛОЕ, так как показывает общее количество страниц в книге и
имеет единицы измерения (страницы). 4/5 – это ДРОБЬ, так как записано дробным
числом и не имеет единиц измерения. Значит нам известно, ЦЕЛОЕ (ЧИСЛО) и ДРОБЬ.
По смыслу задачи нужно часть страниц из книги.
140
• 4/5 = 112 (страниц)
ОТВЕТ:
112 страниц.
ЗАДАЧИ
ВТОРОГО ТИПА : (нахождение числа по его дроби)
Девочка
прошла на лыжах 300 м, что составляет 3/8 всей дистанции. Какова длина
дистанции?
РЕШЕНИЕ:
300м
– это ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ, так как к нему относятся слова «что составляет» часть
чего-либо, а именно часть всей дистанции, имеет единицы измерения (м). 3/8 –
ДРОБЬ, т.к. показывает часть, записанную дробным числом.
300
: 3/8 = 800 (м)
ОТВЕТ:
800м.
ЗАДАЧИ
ТРЕТЬЕГО ТИПА: (нахождение части одного числа от другого)
Какую
часть урока заняла самостоятельная работа, которая длилась 20 мин, если
продолжительность урока 45 минут?
РЕШЕНИЕ:
20
минут – ЗНАЧЕНИЕ ДРОБИ. 45 минут – ЦЕЛОЕ.
20
: 45 = 4/9
ОТВЕТ:
4/9.
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО РАБОТЫ (С ДАЛЬНЕЙШЕЙ ПРОВЕРКОЙ У ДОСКИ, ИЛИ ОБСУЖДЕНИЕМ В
КЛАССЕ)
ЗАДАЧА
1.
Отрезок
АВ, равный 42 см, составляет 3/5 длины отрезка СD.
Найдите длину отрезка CD.
Решение:
42 : 3/5 = 70 (см)
Ответ:
длина отрезка CD
70см.
ЗАДАЧА
2.
Мама
в магазине потратила 50 рублей, это составило 1/6 от первоначальной суммы.
Найдите первоначальную сумму денег.
Решение:
50:1/6
= 300 (руб.)
Ответ:
первоначальная сумма 300 рублей.
ЗАДАЧА
3.
В
магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал 2/5, после обеда – 1/3
привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в
магазин?
Решение:
Сначала
узнаем, какую часть от привезенных арбузов составляет число 80. Для этого
примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то
количество арбузов, которое получилось реализовать (т.е. продать):
1
– 2/5 – 1/3 =
–
– 
= 
Т.е.
мы узнали, что 80 арбузов составляет 
от общего количества
привезённых арбузов.
80
: 
= 300 (арбузов)
Ответ:
всего в магазин привезли 300 арбузов.
Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на дроби.
Прежде чем решать задачи на дроби, необходимо досконально изучить все темы, касающиеся дробей. Ниже приведен список уроков, которые можно повторить.
Каждая задача, приведенная в данном уроке, относится к категории элементарных. Если какая-то задача непонятна, это указывает на то, что предыдущий материал усвоен недостаточно хорошо.
Задачи на дроби
Задача 1. В классе 
школьников составляют отличники. Какую часть составляют остальные? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Решение
Если составляют отличники, то 
составляют остальные
Задача 2. В классе 
школьников составляют отличники, 
составляют хорошисты, 
составляют троечники. Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Решение
Задача 3. В классе 24 школьника. школьников составляют отличники, составляют хорошисты, составляют троечники. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?
Решение
В данной задаче требуется найти дроби , и от числа 24.
Находим дробь от числа 24:
24 : 6 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)
Находим дробь от числа 24:
24 : 6 × 3 = 4 × 3 = 12 (хорошистов)
Находим дробь от числа 24:
24 : 6 × 2 = 4 × 2 = 8 (троечников)
Проверка
4 + 12 + 8 = 24 (школьника)
24 = 24
Задача 4. В классе школьников составляют отличники, составляют хорошисты. Какую часть составляют троечники?
Решение
Школьники разделены на 6 частей. На одну из частей приходятся отличники, на три части — хорошисты. Нетрудно догадаться, что на остальные две части приходятся троечники. Значит школьников составляют троечники
Не приводя рисунков можно сложить дроби и , и полученный результат вычесть из дроби 
, которая выражает всю часть школьников. Другими словами, сложить отличников и хорошистов, затем вычесть этих отличников и хорошистов из общего количества школьников
Задача 5. В классе 16 школьников. Из них составляют отличники, 
составляют хорошисты. Сколько отличников и хорошистов в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Решение
В данной задаче количество школьников выражается разными дробями. Но речь всё равно идет об одном и том же числе школьников.
Находим дробь от числа 16:
16 : 4 × 1 = 4 × 1 = 4 (отличника)
Находим дробь от числа 16:
16 : 16 × 12 = 1 × 12 = 12 (хорошистов)
Задача 6. В классе 16 школьников. Из них 
составляют отличники, 
составляют хорошисты, составляют троечники. Сколько отличников, хорошистов и троечников в классе? Сделать графическое описание задачи. Рисунок может быть любым.
Решение
Здесь как и в прошлой задаче количество школьников выражается разными дробями. Но речь всё равно идет об одном и том же числе школьников.
16 : 8 × 1 = 2 × 1 = 2 (отличника)
16 : 16 × 10 = 1 × 10 = 10 (хорошистов)
16 : 4 = 4 (троечника)
Задача 7. Из зерен пшеницы производят полтавскую крупу, масса которой составляет 
массы зерна пшеницы, а остальное составляют кормовые отходы. Сколько можно получить полтавской крупы и кормовых отходов из 500 центнеров пшеницы
Решение
Найдем от 500 центнеров:
Теперь найдем массу кормовых отходов. Для этого вычтем из 500 ц массу полтавской крупы:
Значит из 500 центнеров зерен пшеницы можно получить 320 центнеров полтавской крупы и 180 центнеров кормовых отходов.
Задача 8. Килограмм сахара стоит 88 рублей. Сколько стоит 
кг сахара? кг? 
кг? 
кг?
Решение
1) кг это половина одного килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то половина килограмма будет стоит половину от 88, то есть 44 рубля. Если найти половину от 88 рублей, мы получим 44 рубля
88 : 2 = 44
44 × 1 = 44 рубля
2) кг это четверть килограмма. Если один килограмм стоит 88 рублей, то четверть килограмма будет стоит четверти от 88 рублей, то есть 22 рубля. Если найти от 88 рублей, мы получим 22 рубля
88 : 4 = 22
22 × 1 = 22 рубля
3) Дробь означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято три части. Если один килограмм стоит 88 рублей, то стоимость трех восьми килограмм будут стоить от 88 рублей. Если найти от 88 рублей, мы получим 33 рубля.
4) Дробь означает, что килограмм разделен на восемь частей, и оттуда взято одиннадцать частей. Но невозможно взять одиннадцать частей, если их только восемь. Мы имеем дело с неправильной дробью. Сначала выделим в ней целую часть:
Одиннадцать восьмых это один целый килограмм и килограмма. Теперь мы можем по отдельности найти стоимость одного целого килограмма и стоимость трёх восьмых килограммов. Один килограмм, как было указано выше стоит 88 рублей. Стоимость кг мы также находили и получили 33 рубля. Значит кг сахара будет стоит 88+33 рубля, то есть 121 рубль.
Стоимость можно найти не выделяя целой части. Для этого достаточно найти от 88.
88 : 8 = 11
11 × 11 = 121
Но выделив целую часть можно хорошо понять, как сформировалась цена на кг сахара.
Задача 9. Финики содержат 
сахара и 
минеральных солей. Сколько граммов каждого из веществ содержится в 4 кг фиников?
Решение
Узнаем сколько граммов сахара содержится в одном килограмме фиников. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем от 1000 грамм:
1000 : 25 = 40
40 × 18 = 720 г
В одном килограмме фиников содержится 720 грамм сахара. Чтобы узнать сколько грамм сахара содержится в четырех килограммах, нужно 720 умножить на 4
720 × 4 = 2880 г
Теперь узнаем сколько минеральных солей содержится в 4 килограммах фиников. Но сначала узнаем сколько минеральных солей содержится в одном килограмме. Один килограмм это тысяча грамм. Найдем от 1000 грамм:
1000 : 200 = 5
5 × 3 = 15 г
В одном килограмме фиников содержится 15 грамм минеральных солей. Чтобы узнать сколько грамм минеральных солей содержится в четырех килограммах, нужно 15 умножить на 4
15 × 4 = 60 г
Значит в 4 кг фиников содержится 2880 грамм сахара и 60 грамм минеральных солей.
Решение для данной задачи можно записать значительно короче, двумя выражениями:
Суть в том, что от 4 килограмм нашли и полученные 2,88 перевели в граммы, умножив на 1000. Тоже самое сделали и для минеральных солей — от 4 кг нашли и получившиеся килограммы перевели в граммы, умножив на 1000. Обратите также внимание на то, что дробь от числа найдена упрощенным способом — прямым умножением числа на дробь.
Задача 10. Поезд прошел 840 км, что составляет 
его пути. Какое расстояние ему осталось пройти? Каково расстояние всего пути?
Решение
В задаче говорится, что 840 км это от его пути. Знаменатель дроби указывает на то, что весь путь разделен на семь равных частей, а числитель указывает на то, что четыре части этого пути уже пройдено и составляют 840 км. Поэтому, разделив 840 км на 4, мы узнаем сколько километров приходится на одну часть:
840 : 4 = 210 км.
А поскольку весь путь состоит из семи частей, то расстояние всего пути можно найти, умножив 210 на 7:
210 × 7 = 1470 км.
Теперь ответим на второй вопрос задачи — какое расстояние осталось пройти поезду? Если длина пути 1470 км, а пройдено 840, то оставшийся путь равен 1470−840, то есть 630
1470 − 840 = 630
Задача 11. Одна из групп, покорившая горную вершину Эверест, состояла из спортсменов, проводников и носильщиков. Спортсменов в группе было 25, число проводников составляло 
числа спортсменов, а число спортсменов и проводников вместе лишь 9/140 числа носильщиков. Сколько было носильщиков в этой экспедиции?
Решение
Спортсменов группе 25. Проводников составляет числа спортсменов. Найдем от 25 и узнаем сколько в группе проводников:
25 : 5 × 4 = 20
Спортсменов и проводников вместе — 45 человек. Это число составляет 
от числа носильщиков. Зная что от числа носильщиков это 45 человек, мы можем найти общее число носильщиков. Для этого найдем число по дроби:
45 : 9 × 140 = 5 × 140 = 700
Задача 12. В школу привезли 900 новых учебников, из них учебники по математике составляли 
всех книг, учебники по русскому языку 
всех книг, а остальные книги были по литературе. Сколько привезли книг по литературе
Узнаем сколько составляют учебники по математике:
900 : 25 × 8 = 288 (книг по математике)
Узнаем сколько учебников по русскому языку:
900 : 100 × 33 = 297 (книг по русскому языку)
Узнаем сколько учебников по литературе. Для этого из общего числа книг вычтем учебники по математике и по русскому:
900 – (288+297) = 900 – 585 = 315
Проверка
288 + 297 + 315 = 900
900 = 900
Задача 13. В первый день продали 
, а во второй день поступившего в магазин винограда. Какую часть винограда продали за два дня?
Решение
За два дня продали 
винограда. Эта часть получается путем сложения дробей и
Можно представить поступивший в магазин виноград в виде шести гроздей. Тогда винограда это две грозди, винограда — три грозди, а винограда это пять гроздей из шести, проданные за два дня. Ну и нетрудно увидеть, что осталась одна гроздь, выраженная дробь (одна гроздь из шести)
Задача 14. Вера в первый день прочитала 
книги, а во второй день на меньше. Какую часть книги прочитала Вера во второй день? Успела ли она прочитать книгу за два дня?
Решение
Определим часть книги, прочитанной во второй день. Сказано, что во второй день прочитано на меньше, чем в первый день. Поэтому из нужно вычесть
Во второй день Вера прочитала 
книги. Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать книгу за два дня? Сложим то, что Вера прочитала в первый и во второй день:
За два дня Вера прочитала 
книги, но осталось ещё 
книги. Значит Вера не успела прочитать всю книгу за два дня.
Сделаем проверку. Предположим что книга, которую читала Вера, имела 180 страниц. В первый день она прочла книги. Найдем от 180 страниц
180 : 9 × 5 = 100 (страниц)
Во второй день Вера прочитала на меньше, чем в первый. Найдем от 180 страниц, и вычтем полученный результат из 100 листов, прочитанных в первый день
180 : 6 × 1 = 30 × 1 = 30 (страниц)
100 − 30 = 70 (страниц во второй день)
Проверим, являются ли 70 страниц частью книги:
180 : 18 × 7 = 10 × 7 = 70 (страниц)
Теперь ответим на второй вопрос задачи — успела ли Вера прочитать все 180 страниц за два дня. Ответ — не успела, поскольку за два дня она прочла только 170 страниц
100 + 70 = 170 (страниц)
Осталось прочесть еще 10 страниц. В задаче в роли остатка у нас была дробь . Проверим являются ли 10 страниц частью книги?
180 : 18 × 1 = 10 × 1 = 10 (страниц)
Задача 15. В одном пакете кг, а в другом на 
кг меньше. Сколько килограммов конфет в двух пакетах вместе?
Решение
Определим массу второго пакета. Она на кг меньше, чем масса первого пакета. Поэтому из массы первого пакета вычтем массу второго:
Масса второго пакета 
кг. Определим массу обоих пакетов. Сложим массу первого и массу второго:
Масса обоих пакетов 
кг. А килограмма это 800 граммов. Можно решать такую задачу, работая с дробями, складывая и вычитая их. Также можно сначала найти число по данным в задаче дробям и приступить к решению. Так килограмма это 500 граммов, а кг это 200 граммов
1000 : 2 × 1 = 500 × 1 = 500 г
1000 : 5 × 1 = 200 × 1 = 200 г
Во втором пакете на 200 граммов меньше, поэтому чтобы определить массу второго пакета, нужно из 500 г вычесть 200 г
500 − 200 = 300 г
Ну и напоследок сложить массы обоих пакетов:
500 + 300 = 800 г
Задача 16. Туристы прошли путь от турбазы до озера за 4 дня. В первый день они прошли всего пути, во второй 
оставшегося пути, а в третий и четвертый дни проходили по 12 км. Чему равна длина всего пути от турбазы до озера?
Решение
В задаче сказано, что во второй день туристы прошли оставшегося пути. Дробь означает, что оставшийся путь разделен на 7 равных частей, из них туристы прошли три части, но осталось пройти остальные 
. На эти приходится то расстояние, которое туристы прошли в третий и четвертый день, то есть 24 км (по 12 км в каждом дне). Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую второй, третий и четвертый дни:
В третий и четвертый день туристы прошли 24 км и это составляет от пути, пройденного во второй, третий и четвертый дни. Зная, что составляют 24 км, мы можем найти весь путь, пройденный во второй, третий и четвертый день:
24 : 4 × 7 = 6 × 7 = 42 км
Во второй, третий и четвертый день туристы прошли 42 км. Теперь найдем от этого пути. Так мы узнаем сколько километров туристы прошли во второй день:
42 : 7 × 3 = 6 × 3 = 18 км
Теперь возвращаемся к началу задачи. Сказано, что в первый день туристы прошли всего пути. Весь путь разделен на четыре части, и на первую часть приходится путь, пройденный в первый день. А путь, который приходится на остальные три части, мы уже нашли — это 42 километра, пройденные во второй, третий и четвертый дни. Нарисуем наглядную схему, иллюстрирующую первый и остальные три дня:
Зная, что пути составляют 42 километра, мы можем найти длину всего пути:
42 : 3 × 4 = 56 км
Значит длина пути от турбазы до озера составляет 56 километров. Сделаем проверку. Для этого сложим все пути, пройденные туристами в каждый из четырех дней.
Сначала найдем путь пройденный в первый день:
56 : 4 × 1 = 14 (в первый день)
14 + 18 + 12 + 12 = 56
56 = 56
Задача из арифметики известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н. э.)
«Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10»
Изобразим число, которое мы хотим найти, в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отрезка отметим треть, во второй — четверть, оставшаяся третья часть будет изображать число 10.
Сложим треть и четверть:
Теперь изобразим отрезок, разделенный на 12 частей. Отметим на нем дробь 
, остальные пять частей пойдут на число 10:
Зная, что пять двенадцатых числа составляют число 10, мы можем найти всё число:
10 : 5 × 12 = 2 × 12 = 24
Мы нашли всё число — оно равно 24.
Эту задачу можно решить не приводя рисунков. Для этого, сначала нужно сложить треть и четверть. Затем из единицы, которая играет роль неизвестного числа, вычесть результат сложения трети и четверти. Затем по полученной дроби определить всё число:
Задача 17. Семья, состоящая из четырех человек, в месяц зарабатывает 80 тысяч рублей. Бюджет распланирован следующим образом: 
на еду, 
на коммунальные услуги, на Интернет и ТВ, 
на лечение и походы по врачам, 
на пожертвование в детский дом, на проживание в съемной квартире, 
в копилку. Сколько денег выделено на еду, коммунальные услуги, на Интернет и ТВ, на лечение и походы по врачам, пожертвование на детский дом, на проживание в съемной квартире, и на копилку?
Решение
80 : 40 × 7 = 14 (тыс. на еду)
80 : 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на коммунальные услуги)
80 : 20 × 1 = 4 × 1 = 4 тыс. (на Интернет и ТВ)
80 : 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на лечение и походы по врачам)
80 : 10 × 1 = 8 × 1 = 8 тыс. (на пожертвование в детский дом)
80 : 20 × 3 = 4 × 3 = 12 тыс. (на проживание в съемной квартире)
80 : 40 × 13 = 2 × 13 = 26 тыс. (в копилку)
Проверка
14 + 4 + 4 + 12 + 8 + 12 + 26 = 80
80 = 80
Задача 18. Туристы во время похода за первый час прошли 
км, а за второй на 
км больше. Сколько километров прошли туристы за два часа?
Решение
Найдем числа по дробям. это три целых километра и семь десятых километра, а семь десятых километра это 700 метров:
это один целый километр и одна пятая километра, а одна пятая километра это 200 метров
Определим длину пути, пройденного туристами за второй час. Для этого к 3 км 700 м нужно прибавить 1 км 200 м
3 км 700 м + 1 км 200 м = 3700м + 1200м = 4900м = 4 км 900 м
Определим длину пути, пройденного туристами за два часа:
3 км 700 м + 4 км 900 = 3700м + 4900м = 8600м = 8 км 600 м
Значит за два часа туристы прошли 8 километров и еще 600 метров. Решим эту задачу с помощью дробей. Так её можно значительно укоротить
Получили ответ 
километра. Это восемь целых километров и шесть десятых километра, а шесть десятых километра это шестьсот метров
Задача 19. Геологи прошли долину, расположенную между горами, за три дня. В первый день они прошли 
, во второй всего пути и в третий оставшиеся 28 км. Вычислить длину пути, проходящего по долине.
Решение
Изобразим путь в виде отрезка, разделенного на три части. В первой части отметим пути, во второй части пути, в третьей части оставшиеся 28 километров:
Сложим части пути, пройденные в первый и во второй день:
За первый и второй дни геологи прошли всего пути. На остальные 
пути приходятся 28 километров, пройденные геологами в третий день. Зная, что 28 километров это всего пути, мы можем найти длину пути, проходящего по долине:
28 : 4 × 9 = 7 × 9 = 63 км
Проверка
63 : 9 × 5 = 7 × 5 = 35
63 : 9 × 4 = 7 × 4 = 28
35 + 28 = 63
63 = 63
Задача 20. Для приготовления крема использовали сливки, сметану и сахарную пудру. Сметану и сливки составляют 844,76 кг, а сахарная пудра и сливки 739,1 кг. Сколько в отдельности сливок, сметаны и сахарной пудры содержится в 1020,85 кг крема?
Решение
сметана и сливки — 844,76 кг
сахарная пудра и сливки — 739,1 кг
Вытащим из 1020,85 кг крема сметану и сливки (844,76 кг). Так мы найдем массу сахарной пудры:
1020,85 кг — 844,76 кг = 176,09 (кг сахарной пудры)
Вытащим из сахарной пудры и сливок сахарную пудру (176,09 кг). Так мы найдем массу сливок:
739,1 кг — 176,09 кг = 563,01 (кг сливок)
Вытащим сливки из сметаны и сливок. Так мы найдем массу сметаны:
844,76 кг — 563,01 кг = 281,75 (кг сметаны)
176,09 (кг сахарная пудра)
563,01 (кг сливки)
281,75 (кг сметана)
Проверка
176,09 кг + 563,01 кг + 281,75 кг = 1020,85 кг
1020,85 кг = 1020,85 кг
Задача 21. Масса бидона, заполненного молоком равна 34 кг. Масса бидона, заполненного наполовину, равна 17,75 кг. Какова масса пустого бидона?
Решение
Вычтем из массы бидона, заполненного молоком, массу бидона заполненного наполовину. Так мы получим массу содержимого бидона, заполненного наполовину, но уже без учета массы бидона:
34 кг − 17,75 кг = 16,25 кг
16,25 это масса содержимого бидона заполненного наполовину. Умножим эту массу на 2, получим массу бидона заполненного полностью:
16,25 кг × 2 = 32,5 кг
32,5 кг это масса содержимого бидона. Чтобы вычислить массу пустого бидона, нужно из 34 кг вычесть массу его содержимого, то есть 32,5 кг
34 кг − 32,5 кг = 1,5 кг
Ответ: масса пустого бидона составляет 1,5 кг.
Задача 22. Сливки составляют 0,1 массы молока, а сливочное масло составляет 0,3 массы сливок. Сколько сливочного масла можно получить из суточного надоя коровы, равного 15 кг молока?
Решение
Определим сколько килограмм сливок можно получить с 15 кг молока. Для этого найдем 0,1 часть от 15 кг.
15 × 0,1 = 1,5 (кг сливок)
Теперь определим сколько сливочного масла можно получить с 1,5 кг сливок. Для этого найдем 0,3 часть от 1,5 кг
1,5 кг × 0,3 = 0,45 (кг сливочного масла)
Ответ: из 15 кг молока можно получить 0,45 кг сливочного масла.
Задача 23. 100 кг клея для линолеума содержат 55 кг асфальта, 15 кг канифоли, 5 кг олифы и 25 кг бензина. Какую часть этого клея образует каждая из его составляющих?
Решение
Представим, что 100 кг клея как 100 частей. Тогда на 55 частей приходится асфальт, на 15 частей — канифоль, на 5 частей — олифа, на 25 частей — бензин. Запишем эти части в виде дробей, и по возможности сократим получающиеся дроби:
Ответ: 
клея составляет асфальт, 
составляет канифоль, составляет олифа, 
составляет бензин.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. В одном пакете кг конфет, а в другом на кг. меньше. Какова масса двух пакетов вместе
Решение
Ответ: масса двух пакетов вместе составляет 1 кг 300 г
Задача 2. Чтобы побывать в театре, Тане потребовалось 
. На дорогу туда и обратно у нее ушло 
ч. Сколько времени длилось театральное представление?
Решение
Второй способ
Ответ: театральное представление длилось 2 часа 10 минут.
Задача 3. В первый час лыжник прошел всего расстояния, которое он должен пройти, во второй 
всего пути, а в третий оставшуюся часть пути. Какую часть всего расстояния прошел лыжник в третий час?
Решение
Определим часть пути, пройденного лыжником за два часа движения. Для этого сложим дроби, выражающие пути пройденные за первый и второй час:
Определим часть пути, пройденного лыжником за третий час. Для этого из всех частей вычтем часть пути, пройденного за первый и второй час движения:
Ответ: в третий час лыжник прошел 
всего расстояния.
Задача 4. Все мальчики класса приняли участие в школьных соревнованиях: часть вошла в футбольную команду, часть в баскетбольную, часть состязалась по прыжкам в длину, остальные учащиеся класса – в бегу. На какую часть бегунов было больше (или меньше), чем футболистов? баскетболистов?
Решение
Определим часть школьников, которые участвовали в футболе, баскетболе и в прыжках:
Определим часть школьников, которые участвовали в беге:
Узнаем на какую часть бегунов больше (или меньше) чем футболистов. Для начала сравним дроби 
и
Требовалось узнать на какую часть бегунов больше (или меньше) чем футболистов. Мы выяснили, что бегунов меньше, чем футболистов. Выясним на какую часть их меньше:
Бегунов меньше, чем футболистов на 
часть.
Теперь узнаем на какую часть бегунов больше (или меньше) чем баскетболистов. Для начала сравним дроби и
Требовалось узнать на какую часть бегунов больше (или меньше) чем баскетболистов. Мы выяснили, что бегунов больше, чем баскетболистов. Выясним на какую часть их больше:
Бегунов больше, чем баскетболистов на 
часть.
Ответ: бегунов было на часть меньше, чем футболистов и на часть больше, чем баскетболистов.
Задача 5. На выставке художественных работ представлена живопись, скульптура и графика. всех работ составляет скульптура, – живопись, оставшуюся часть – графика. Какую часть всех работ составляет графика?
Решение
Сложим дроби, выражающие скульптуру и живопись:
Определим какую часть всех работ составляет графика:
Ответ: 
всех работ составляет графика.
Задача 6. Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за три дня. Во вторник они отремонтировали этой дороги, а в среду 
оставшейся части. Сколько метров дороги отремонтировали рабочие в четверг?
Решение
Определим длину дороги, отремонтированной во вторник:
820 : 5 × 2 = 328 м
Определим длину дороги, отремонтированной в среду. Известно, что в этот день рабочие отремонтировали оставшейся дороги. Оставшаяся дорога это 820−328, то есть 492
492 : 3 × 2 = 328 м
Определим длину дороги, отремонтированной в четверг. Для этого вычтем из 820 длины дорог, отремонтированных во вторник и в среду:
820 − (328 + 328) = 820 − 656 = 164 м
Ответ: в четверг рабочие отремонтировали 164 метра дороги.
Задача 7. В книге три рассказа. Наташа прочла первый рассказ за ч, на чтение второго рассказа она потратила на ч больше, а чтение третьего рассказа заняло на 
ч меньше, чем чтение первого и второго рассказов вместе. Сколько времени ушло у Наташи на чтение всей книги?
Решение
Определим время за которое Наташа прочитала первый рассказ. Она прочила его за треть часа. Треть часа это 20 минут
60 : 3 × 1 = 20 минут
Определим время за которое Наташа прочитала второй рассказ. Она прочила его на ч больше. часа это 10 минут. Прибавим к 20 минутам 10 минут, получим время чтения второго рассказа:
20 + 10 = 30 минут
Определим время за которое Наташа прочитала третий рассказ. Она прочитала его на ч меньше, чем чтение первого и второго рассказов вместе. часа это 35 минут. Вычтем 35 из времени, затраченного на чтение первого и второго рассказа вместе (50 м)
50 − 35 = 15 м
Определим сколько времени ушло у Наташи на чтение всей книги:
20 + 30 + 15 = 65 минут = 1 ч 5 минут
На чтение всей книги у Наташи ушел 1 час и 5 минут. Решим эту задачу с помощью дробей. Так ее можно значительно укоротить:
это один целый час и 
часа, а одну двенадцатую часа составляют 5 минут.
Ответ: на чтение всей книги у Наташи ушло
Задача 8. Из одной тонны хлопка-сырца можно изготовить 3400 м ткани, 1,05 ц пищевого масла и 0,225 т жмыха. Сколько метров ткани, пищевого масла и жмыха можно получить из 32,4 ц хлопка-сырца?
Решение
Переведем 32,4 ц в тонны. Одна тонна составляет 10 центнеров. Чтобы узнать сколько таких десять центнеров (имеется ввиду тонн) в 32,4 центнерах, нужно 32,4 разделить на 10
32,4 : 10 = 3,24 т
Определим сколько метров ткани можно получить с 3,24 тонн хлопка-сырца. С одной тонны, как указано в задаче, получается 3400 метров ткани. А с 3,24 тонн будет получено в 3,24 раза больше ткани
3400 × 3,24 = 11016 метров ткани.
Определим сколько пищевого масла можно получить с 3,24 тонн хлопка-сырца. С одной тонны, как указано в задаче, получается 1,05 ц пищевого масла. А с 3,24 тонн будет получено в 3,24 раза больше масла
1,05 × 3,24 = 3,402 центнера пищевого масла
Определим сколько жмыха можно получить с 3,24 тонн хлопка-сырца. С одной тонны, как указано в задаче, получается 0,225 т жмыха. А с 3,24 тонн будет получено в 3,24 раза больше жмыха
0,225 × 3,24 = 0,729 тонн жмыха
Ответ: из 32,4 ц хлопка сырца можно получить 11016 метров ткани, 3,402 ц пищевого масла и 0,729 т жмыха.
Задача 9. Какой путь прошли туристы, если 0,2 всего пути составляют 12 км?
Решение
Зная, что 0,2 всего пути составляют 12 км, мы можем найти весь путь. Чтобы найти неизвестное число по десятичной дроби, нужно известное число разделить на десятичную дробь
12 : 0,2 = 60 км
Ответ: Туристы прошли 60 км.
Задача 10. Михаил прочитал 0,7 книги, что составило 56 страниц. Сколько всего страниц в книге? Сколько страниц осталось прочитать?
Решение
Зная, что 0,7 книги составляют 56 страниц, мы можем узнать сколько всего страниц в книге. Чтобы найти неизвестное число по десятичной дроби, нужно известное число разделить на десятичную дробь
56 : 0,7 = 80 (страниц всего)
Узнаем сколько осталось прочитать
80 − 56 = 24 (страницы осталось прочитать)
Ответ: в книге 80 страниц. Прочитать осталось еще 24 страницы.
Задача 11. зданий в городе составляют жилые дома. из них — многоэтажные. Какую часть всех зданий в городе составляют многоэтажные жилые дома?
Решение
Разделим жилых домов на три части:
Теперь на треть многоэтажных домов приходится 
всех зданий. Изначально все здания были разделены на три равные части. Теперь они разделены на девять равных частей. Жилые дома, которые ранее выражались дробью , теперь выражаются дробью 
Чтобы узнать сколько многоэтажных домов приходится на две трети, умножим на 2
Ответ: жилые многоэтажные дома составляют 
всех зданий в городе.
Задача 12. От веревки длина которой м, нужно отрезать м. Как это сделать, не производя измерений?
Решение
Изобразим схематически один метр веревки:
Выделим на этом рисунке метра:
Здесь же выделим метра
Не выделенным на м остался один кусочек. Узнаем, что это за кусочек. Для этого из вычтем
м это часть веревки, которую нужно отрезать. Тогда мы получим м веревки.
Теперь осталось узнать сколько раз м содержит м
Значит, чтобы не производя измерений от м веревки отрезать м, нужно эту веревку сложить вчетверо и отрезать одну часть. Оставшаяся часть и будет половиной от одного метра.
Ответ: чтобы от веревки, длина которой м отрезать м, нужно сложить эту веревку вчетверо и отрезать от неё одну часть. Оставшаяся часть станет м веревки.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
