Как составить эквивалентную схему конденсатора

Эквивалентная схема замещения конденсатора.

Эквивалентная
схема замещения конденсатора представлена
на рис 1 и представляет собой последовательное
соединение собствен­ной емкости
конденсатора С,
индуктивности пластин и выводов
кон­денсатора
и активного сопротивления выводов,
контактного узла и сопротивления
обкладок конденсатора

Рис.1.
Упрощенная эквивалентная схема замещения
конденсатора.

Модуль
полного сопротивления
–
цепи
определяется по формуле

4

где С собственная
емкость конденсатора;

индуктивность
пластин и выводов конденсатора;

активное
сопротивление выводов контактного узла
и сопротивление обкладок конденсатора;

рабочая
частота

Из
формулы (4) видно, что модуль полного
сопротивления такой цепи зависит от
частоты, на которой работает конденсатор.
На рис.2 представлена зависимость полного
сопротивления RLC
–
цепи от час­тоты.

Рис.
2 Зависимость модуля полного сопротивления
RLC
-цепи
от частоты.

Из
формулы (4) и рис.2 видно, что модуль
полного сопротив­ления на резонансной
частоте имеет минимальное значение и
носит шюто активный характер. Резонансная
частота такой цепи опреде­ляется по
формуле

5

На
частоте ниже резонансной модуль полного
сопротивления RLC
цепи носит емкостный характер, а на
частоте выше резонансной – индуктивный.
Это приводит к изменению эквивалентной
схемы заме­щения для различных частот.
Достаточно рассмотреть три случая когда
конденсатор используется на резрнансной
частоте
,ичтобы представить переходные процессы,
происходящие в нем.

Для
случая, когда рабочая частота совпадает
с резонансной, т.е.
емкостная и индуктивные составляющие
в вы­ражении (4) равны и модуль полного
сопротивления носит чисто ак­тивный
характер, причем это сопротивление
минимально и определяет­ся из выражения

6

Резонансная
частота такого контура без учета потерь
определяется формулой (5), а добротность
контура равна

7

где волновое
сопротивление контура;

сопротивление
контура на резонансной частоте.

Полоса
пропускания такого контура находится
из следующего выражения

8

В
полосе пропускания контура, с достаточной
степенью точно­сти, можно считать,
что эквивалентная схема замещения
конденсатора состоит из чисто активного
сопротивления, поэтому переходные
про­цессы, происходящие в активном
сопротивлении, от частоты не за­висят.

Для
случая когда рабочая частота больше
резонансной частоты контура (),
т.е. когдасоставляющая в выражении (4) стремится
к нулю. Модуль полного сопротивления
конденсатора носит индуктивный характер
и, соответст­венно, эквивалентная
схема замещения конденсатора для
рассматри­ваемого случая, несколько
видоизменяется.. Она представлена на
рис. 3.

Рис.3.
Эквивалентная схема замещения конденсатора
для частот выше резонансной частоты.

Модуль
полного сопротивления RLC
– цепи, представленной на рис.3, определяется
выражением

9

Наличие
индуктивности в рассматриваемой цепи
приводит к частот­ной зависимости
модуля полного сопротивления конденсатора
на час­тотах
.
Переходные процессы происходящие вRL
–
цепи при коммутации подробно рассмотрены
в лабораторной работе №1,
поэтому здесь не рассматриваются.

Для
случая когда рабочая частота ниже
резонансной
,
т.е. когдаиндуктивная составляющая в выражении
(4) стремится к нулю ()
поэтому мо­дуль полного сопротивления
конденсатора носит емкостный характер
и, соответственно, эквивалентная схема
замещения конденсатора для рассмотриваемого
случая несколько видоизменяется. Она
представ­лена на рис.4.

Рис.
4. Эквивалентная схема замещения
конденсатора для частот ниже резонансной
частоты.

Модуль
полного сопротивления RC
– цепи, представленной на рис.4, определяется
выражением

10

Наличие
емкости в
рассматриваемой
цепи приводит к частотной зависимости
модуля полного сопротивления конденсатора
на частотах
.

Рассмотрим
переходные процессы, происходящие в RC
– цепи при подключении её к источнику
постоянной э.д.с. Схема включения RC
– цепи к источнику постоянной э.д.с.
представлена на рис.5.

Рис.
5.

В
RC
– цепях рекомендуется вначале найти
напряжение на конден­саторе, а затем
ток е
цепи.
Из рис.5 видно, что при замыкании
выключателя В
в момент

источник
постоянной э.д.с. подклю­чается к RC
– цепи. В момент скачка входного напряжения
сопротив­ления конденсатора равно
нулю, так как согласно второму закону
коммутации напряжение на нем мгновенно
измениться не может, поэто­му в
начальный момент напряжение источника
целиком оказывается приложенным к
резистору
.
Затем конденсатор начинает заряжаться,
на его обкладках накапливается заряд
и напряжение между ними по­степенно
возрастает. В соответствии со вторым
законом Кирхгофа (сумма падений напряжений
на резистореи конденсатораС
уравновешивается внешней э.д.с.) и для
запишем уравнение

11

Учитывая
уравнение (11), можно утверждать, что при
увеличе­нии напряжения
падение напряжения на резисторе
уменьшается,
а, следовательно, ток в RC
– цепи уменьшается. Наконец, напря­жение
на конденсаторе

становится
равным з.д.с. источника
и процесс заряда конденсатора
заканчивается, ток вRC
– цепи становится равным нулю. Очевидно,
что напряжение на конденсаторе изменяется
от нуля до Е. Для определения переходного
процесса RC
– цепи выразим напряжение на резисторе
через

.

Учитывая,
что при последовательном соединении R
и С
ток в любом участке RС
– цепи одинаков и равен
можно записать

12

подставляя
значение
из (12) в уравнение (11) получим

13

Это
выражение представляет собой
дифференциальное уравнение пер­вого
порядка, в котором неизвестной функцией
является напряжение
.
При использовании “классического”
метода решения напряжениеследует искать в виде суммы вынужденнойи свободнойсоставляющих. Исходя из этого запишем

14

Вынужденная
составляющая напряжения, очевидно,
равна
,
по­скольку в установившимся режиме
конденсатор заряжен до э.д.с. внешнего
источника питания.

Тогда
согласно выражению (14) можно записать

15

Чтобы
определить постоянную А,
воспользуемся начальными условиями,
состоящими в том, что к моменту коммутации
конденсатор был разря­жен, т.е.
.
Из выражения (15) для моментаимеем.
С другой стороны, согласно второму
закону ком­мутации напряжение. Из этих двух отношений находим.
Таким образом, свободная составляющая
напря­жения на конденсаторе равна,
а полное напряжение на конденсаторе в
процессе его заряда изменяется во
времени согласно выражению

16

по
экспоненциальному закону, стремясь к
Е.

На
рис. 6а. приведены графики полного
напряжения на конденса­торе, а также
вынужденной и свободной составляющих.
Обратим внима­ние, что в момент
сумма напряжений,
чем обеспечивается выполнение начальных
условий. При значенияхт.е. начальном этапе переходного процесса,
функцияс удовлетворительной для практических
целей точ­ностью приможет быть аппроксимирована рядом
разложения

Тогда
для напряжения
получим выражение

17

из
которого следует, что нарастание
напряжения на конденсаторе в начале
процесса происходит по линейному закону.

Ток
в RC-цепи
(ток заряда конденсатора) может быть
найден дифференцированием выражения
(16) для
.
Очевидно,
он должен содержать только свободную
составляющую, так как в установившемся
режиме ток в цепи равен нулю.

18

Падение
напряжения на резисторе

19

Ток
в RC
–
цепи и напряжение на
с течением времени убывают по одинаковому
экспоненциальному закону. Этот ток
максимален в начальный момент, причем
его начальная величина ограничена
только сопротивлением.
График кривой тока показан на рис. 6.б.

Заметим,
что в момент включения ток конденсатора
изменяется скачком от нуля до максимального
значения; это физически возможно,
так
как скачек тока в RC
– цепи не приводит к скачкообразному
изме­нению запаса энергии в электрическом
поле конденсатора.

Произведение
RC
для данной цепи постоянно (поскольку
значе­ния

и
С
не изменяются). Это произведение
обозначается буквой
и называется постоянной времениRC
– цепи.

Длительность
переходного процесса зависит от
постоянной вре­мени. Чем больше
сопротивление
,
тем медленнее заряжается конденсаторС.
Чем больше емкость конденсатора С,
тем больше заряд надо .накопить на
пластинах конденсатора для получения
напряжения Е.
Таким образом, чем больше постоянная
времени цепи, тем больше про­должительность
переходного процесса. Величина
позволяет срав­нивать между собой
различные конденсаторы в отношении
времени уста­новления стационарного
режима. Физически постоянная времени
пред­ставляет время, в течение которого
свободные составляющие тока и напряжения
в цепи уменьшаются вe
раз.

По
истечении времени
,
которое называется временем установ­ления,
переходной процесс принято считать
закончившимся, напряже­ние на
конденсаторе становится равным0,95E,
а ток в цепи уменьша­ется до 0,05Е.

Чтобы
получить представление о скорости
нарастания напряжения
нa
конденсаторе, из уравнения (13) найдем
производную

20

Рис.6.
Кривые изменения напряжения на
конденсаторе (а) и тока (б) в RC-цепи
при включении постоянной э.д.с.

Величина

обратно
пропорциональна постоянной времени
RC-цепи.
Скорость нарастаний напряжения уменьшения
по мере того, как само напряжение
увеличивается, т.е. по мере заряда
конденсатора, в на­чальный момент,
когда
,
имеет максимальное значение

Такие
выводы не являются неожиданными и
вытекают из свойств экспоненциальной
функции, которая в данном случае
определяет закон нарастания напряжения
на конденсаторе.

Во
время переходного процесса в электрическом
поле конденса­тора происходит
непрерывное накопление энергии, которая
в устано­вившемся режиме
равна.
Одновременно часть энергии, отдаваемой
источником, выделяется в виде тепла в
резисторе. Эта энергия может быть
вычислена по формуле

Энергия
,
теряемая в,
не
зависит от величины сопротивления и
равна энергии, запасаемой в электрическом
поле конденсатора. Таким образом, к.п.д.
процесса заряда конденсатора от источника
постоян­ного напряжения равен 50%.

Рассмотрим
переходные процессы, происходящие в RC
– цепи, при ее закорачивании (конденсатор
заряжен).

На
рис.7 представлена RC
– цепь, которая закорачивается при
замы­кании выключателя В.

Рис.7.

На
рис. 7 представлена RC
– цепь, в которой ток отсутствует, а
конденсатор С
заряжен до напряжения Е.
Если в момент
перевести выключательВ
во включенное состояние, то конденсатор
окажется замк­нутым на резистор и в
RС
– цепи возникнет ток, который будет
поддер­живаться за счет запаса энергии,
накопленной в электрическом поле
конденсатора. С
течением времени энергия электрического
поля рассе­ивается, превращаясь в
тепло е
резисторе,
ток разряда уменьшается и со временем
становится равным нулю. Эта задача с не
нулевыми началь­ными условиями.
Полагая в выражении (13), что его правая
часть равна нулю, получим однородное
дифференциальное уравнение для напряжения
на конденсаторе

21

Внешнее
воздействие в цепи отсутствует, поэтому
искомое решение для напряжения
в выражении (14) будет иметь только
свободную составляющую.

22

Для
определения постоянной А
воспользуемся начальными услови­ями.
Из уравнения (22) при
,.
Кроме того, согласно второму закону
коммутации,
так как конденсатор к моменту коммутации
был заряжен до напряженияЕ.
Сле­довательно, А
= Е
и напряжение на конденсаторе согласно
уравнению (22)

23

изменяется
по экспоненциональному закону.

Величина
разрядного тока равна

24

Падение
напряжения на резисторе равно

25

Отрицательный
знак в выражении (24) для
указывает на то, что направление
разрядного тока противоположно
направлению зарядного тока, условно
принятому за положительное (рис.5).
Максимальная величина разрядного токаограничивается лишь активным сопротивлениемRС
–
цепи. Если сравнить выражения (24) и (18)
для разрядного и зарядного токов, то
можно заключить, что оба тока в RС
–
цепи изменяются одинаково, но имеют
противоположные направления.

Продолжительность
переходного процесса определяется
постоян­ной времени
.
Чем больше емкость конденсатора и
сопротивление резистора, тем,
соответственно, больше накопленный
заряд на пластинах и меньше разрядный
ток и тем медленнее разряжается
кон­денсатор.

С
энергетической точки зрения процесс
короткого замыкания RС-цепи
характеризуется тем, что энергия, которая
до коммутации была запасена в электрическом
поле конденсатора, целиком превра­щается
в тепло в резисторе.

При
проектировании приборных устройств
весьма часто возникает необходимость
передавать через RС
– цепи импульсный сигнал.

Рассмотрим
воздействие импульсного сигнала на
RC-цепь.
Пред­положим, что на RC
– цепь воздействует сигнал, представляющий
прямоугольный импульс напряжения
.
Его можно представить следую­щим
соотношением:

26

Схема
включения RС
– цепи к генератору импульсов представлена
на рис.8.

Рис.8.

В
интервале времени
RC-цепь
подвергается воз­действию ступенчатого
напряжения, поэтому ток в RС
– цепи, падение напряжения на резисторе
и конденсаторе изменяются по тем же
за­конам, как и при воздействии на RС
– цепь постоянной э.д.с.

При
конденсатор за время действия импульса
почти не заряжается (рис.9.а). Напряжение
на выходеRС
– цепи (падение на­пряжения на резисторе)
в соответствии со вторым законом Кирхгофа
равно.

27

В
течение действия импульса в электрическом
поле конденсатора накапливается
незначительное количество знергии,
поэтому после окончания действия
импульса при
вRC
– цепи практически не возникает переходный
процесс (рис.9.а).

Когда
постоянная времени RС-цепи
соизмерена с длительностью импульса,
т.е.
(рис.9.б), то за время действия им­пульса
конденсатор успевает зарядиться до
величины.
Поэтому выходное напряжение в течение
длительности непрерывно уменьшается
и в конце импульса определяется следующим
выражением

28

После
окончания действия входного импульса
при
вRC
– цепи возникает переходной процесс,
обусловленный рассеянием энергии,
запасенной в электрическом поле
конденсатора. В RC
– цепи появляется разрядный ток
конденсатора, направление которого
противоположно зарядному току, а на
выходе возникает отрицательный импульс
(рис.9.б).

В
случае когда постоянная времени RС
– цепи значительно меньше длительности
импульса ()
конденсатор успевает полностью разрядится
в
самом
начале импульса
.
После чего выходное напряжение (падение
напряжения на резисторе) станет равным
нулю, т.е..
На выходе появится короткий импульс
положительной полярности (см.рис.9.в)
обусловленный
про­теканием зарядного тока, с
амплитудой равной
.

В
момент окончания входного импульса,
т.е.
,
вRC
– цепи возникает ток разряда конденсатора
и на выходе RC
– цепи появляется короткий отрицательный
импульс с амплитудой равной
(рис.9.в).

Рис.9.
Прохождение импульса через RC
– цепь:

а
– эпьюры напряжений при

б
– тоже при

в
– тоже при

В элементах различных реально существующих электротехнических устройств происходят сложные процессы, связанные с протеканием токов смещения, токов проводимости, наведения ЭДС, выделения тепла, перераспределения и накопления энергии магнитного поля и электрического поля и прочее. Чтобы описать математически все эти процессы, используют схемы замещения электротехнических устройств, добавляя в них ёмкостные, индуктивные и резистивные элементы.

С помощью ёмкостного элемента в эквивалентной схеме замещения учитывают накопление в электрическом поле энергии и протекание токов смещения в реальном элементе цепи. С помощью индуктивного элемента учитывают накопление в магнитном поле энергии и наведение ЭДС. При помощи резистивного элемента в эквивалентной схеме учитывают выделение тепла.

Любой элемент реально существующей электрической цепи может быть представлен на эквивалентной схеме в виде нескольких идеальных элементов.

Эквивалентная схема замещения резистора

Постоянный резистор, используемый в схеме с низкими частотами может быть представлен в виде одного резистивного элемента R.

Эквивалентная схема того же самого резистора, работающего в схеме на высоких частотах, кроме резистивного элемента включает также индуктивность и ёмкость. С помощью паразитной ёмкости C_п учитывается ток смещения на зажимах элемента. С помощью паразитной индуктивности L_п учитывается сцепленный с резистором магнитный поток.

Эквивалентная схема замещения конденсатора

Конденсатор, который работает в схеме на низких частотах представляют, как один ёмкостной элемент C.

Конденсатор, который работает на высоких частотах в эквивалентной схеме представляется ёмкостным элементом, резистором и индуктивностью. С помощью резистора R_п учитывают потери тепла в диэлектрике конденсатора. Паразитной индуктивность L_п учитывается магнитный поток в подводящих контактах.

Эквивалентная схема замещения катушки индуктивности

Катушку индуктивности, работающую на низких частотах, представляют в виде индуктивного элемента L.

Схема замещения катушки индуктивности, кроме индуктивного элемента, включает также резистор и ёмкость. Резистивный элемент R_п учитывает потери на выделение тепла в сердечнике и сопротивлении обмотки. При помощи паразитной ёмкости C_п учитываются токи смещения, существующие между витками катушки.

В случае составления эквивалентной схемы для реальных элементов цепи в неё включают такие идеальные элементы, которые могут описать основные процессы, протекающие в этих реальных элементах. При этом второстепенными процессами, как правило, пренебрегают.

Представленную как совокупность идеализированных элементов схемы реальную электрическую цепь называют схемой замещения, эквивалентной схемой или эквивалентной схемой замещения.

Если ток и напряжение на всех элементах в реальной электрической цепи никак не зависят от координат в пространстве, то такую цепь называют цепью с сосредоточенными параметрами. Если же ток и напряжение зависят от координат в пространстве, то это цепь с распределёнными параметрами.

Процессы, которые происходят в цепи с сосредоточенными параметрами описывают при помощи дифференциальных или алгебраических уравнений. Процессы, происходящие в цепях с распределёнными параметрами, описывают с помощью уравнений в частных производных.

Расчётную модель реальной электрической цепи сопоставляют с экспериментальными данными. В случае больших расхождений модель необходимо будет уточнить.

При низких частотах конденсаторы можно рассматривать как емкостные элементы. При высоких частотах играют существенную роль потери энергии в изоляции. Эти потери растут с увеличением частоты тока и зависят от материала изоляции. Например, бумажная изоляция, которая применяется для конденсаторов, устанавливаемых в цепях низких и звуковых частот, оказывается непригодной при высоких частотах, так как потери энергии в ней приводят к недопустимому нагреву.
Энергия, преобразуемая в тепло в изоляции конденсаторов, подводится от источника питания, поэтому ток в конденсаторе опережает по фазе напряжение на его выводах на угол |φ|, меньший π/2 (рис. 3.25). Угол, дополняющий|φ| до π/2, обозначают буквой δ и называют углом потерь.
Для конденсатора, как и для любого двухполюсника, можно составить две схемы замещения (рис. 3.26), в которых g и r учитывают потери энергии в диэлектрике.
Обычно угол потерь δ очень мал. Величина для различных частот и диэлектриков лежит в пределах от . При таких условиях Поэтому практически можно считать



и так как yz = 1, то С = С1 т. е. емкости С и С1 обеих схем практически одинаковы.
Связь между r и g найдем из общих соотношений между сопротивлениями и проводимостями (3.36):

На практике конденсатор характеризуют параметрами С и tgδ. Для параллельной эквивалентной схемы (рис. 3.26, а)

Для последовательной эквивалентной схемы (рис. 3.26, б)

Величину, обратную tgδ, называют добротностью конденсатора: