Как составить формулу дуги

Как составить формулу дуги

Длина дуги окружности

{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}

Длина дуги окружности – важный параметр, который используется в геометрии и математике для решения различных задач. На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности – через радиус и угол между радиусами и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькулятора, которые используют эти формулы.

Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.

Содержание:
  1. калькулятор длины дуги окружности
  2. формула длины дуги окружности через радиус и угол
  3. формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса
  4. примеры задач

Если обобщить, то дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя ее точками. Ниже приведены несколько примеров дуг окружностей:

  • Полная окружность – это дуга, которая охватывает всю окружность. Угол, определяющий полную окружность, равен 360° или 2π радиан. Длина дуги полной окружности равна общей длине окружности, которая может быть вычислена по формуле L = 2πr, где r – радиус окружности.

    Полная окружность

  • Полуокружность – это дуга, которая охватывает половину окружности. Угол, определяющий полуокружность, равен 180° или π радиан. Длина дуги полуокружности равна половине общей длины окружности и может быть вычислена по формуле L = πr.

    Полуокружность

  • Сектор окружности – это область, ограниченная дугой окружности и двумя ее радиусами.

    Сектор окружности

Это только несколько примеров дуг окружности. Дуги могут быть разных размеров и форм, в зависимости от угла, определяющего их, и расположения на окружности.

Формула длины дуги окружности через радиус и угол

Длина дуги окружности через радиус и угол

{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}

R – радиус окружности

α – центральный угол (угол между радиусами) в градусах

{L = R alpha}

R – радиус окружности

α – центральный угол (угол между радиусами) в радианах

Формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса

Длина дуги окружности по формуле Гюйгенса

{L approxeq 2m + dfrac{2m-M}{3}}

m – длина хорды m

M – длина хорды M

Обратите внимание, что в данной формуле используется не привычный знак равно «=», а знак “равно или почти равно”, который записывается так – «approxeq». Это связано с тем, что формула Гюйгенса дает погрешность при вычислении. Хоть величина погрешности невелика, знать об этом надо.

Относительная погрешность формулы Гюйгенса составляет порядка 0,5% когда угол дуги равен 60°. Если же угловая мера дуги уменьшается, то уменьшается и погрешность. Например, для дуги в 45° относительная погрешность будет равна примерно 0,02%.

Примеры задач на нахождение длины дуги

Задача 1

Найдите длину дуги окружности радиуса 6см, если ее градусная мера равна 30.

Решение

Для решения этой задачи нам подойдет первая формула. Подставим в нее значение радиуса и угла и произведем вычисления:

L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 6 cdot 30degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 180degree}{180degree} = pi : см approx 3.14 : см.

Ответ: {pi : см approx 3.14 : см.}

Введем известные значения в калькулятор для проверки полученного ответа.

Задача 2

Найдите длину дуги окружности радиуса 3см, если ее градусная мера равна 150 градусов.

Решение

Задача аналогична предыдущей. Также воспользуемся первой формулой.

L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 150degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 5}{6} = dfrac{pi cdot 5}{2} = dfrac{5}{2} pi : см = 2.5 pi : см approx 7.85398 : см.

Ответ: {2.5 pi : см approx 7.85398 : см.}

В проверке ответа нам снова поможет калькулятор .

Длина дуги окружности имеет множество применений в математике и ее приложениях. Например, она используется для вычисления длины дуги графика функции, заданной в полярных координатах. Также длина дуги окружности используется при вычислении пути, пройденного телом при движении по окружности, а также для вычисления объема тела, полученного путем вращения дуги окружности вокруг ее диаметра.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.

  • Определение дуги сектора круга

  • Формулы для нахождения длины дуги сектора

    • Через центральный угол в градусах и радиус

    • Через угол сектора в радианах и радиус

  • Примеры задач

Определение дуги сектора круга

Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.

На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

Дуга сектора круга

  • OA = OB = R (r);
  • α – угол сектора или центральный угол.

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.

Формула расчета длины дуги сектора круга

Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).

Формула расчета длины дуги сектора круга

Примеры задач

Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Пример расчета длины дуги сектора круга

Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.

Решение
Для начала вычислим угол в радианах:

Пример нахождения центрального угла сектора круга в радианах

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).

Источник

Длина дуги

Автор статьи

Лариса Семеновна Петрова

Эксперт по предмету «Калькуляторы»

Задать вопрос автору статьи

Из этой статьи вы узнаете, как выглядит формула длины дуги окружности через угол, а также научитесь определять длину дуги сектора по формуле Гюйгенса. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для вычисления по данным формулам.

Определение 1

Дугой окружности (сектора) называют часть окружности, ограниченную двумя точками.

Чтобы определить длину дуги окружности, введите заданные данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.

Длина дуги через радиус и угол

Длина дуги через радиус и угол

Для определения длины дуги можно воспользоваться формулой:

$l = π cdot R cdot frac{α}{180°}$, где

$R$ — радиус окружности;

$α$ — угол, которым характеризуется дуга;

$π$ — константа.

Рассмотрим пример на использование этой формулы.

Пример 1

Задача

Угол, ограничивающий дугу, составляет $50°$, а радиус окружности равен $9$ см. Рассчитайте, чему равна длина дуги.

Решение:

$l = 3.14 cdot 9 cdot frac{50}{180} = 7.85$ см.

Проверим длину дуги окружности с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, значит ответ верный.

Длина дуги по формуле Гюйгенса

Длина дуги по формуле Гюйгенса

По формуле Гюйгенса длина дуги рассчитывается следующим образом:

$l ≈ 2 cdot AB + frac13 cdot ( 2 cdot AB – AC)$, здесь

$AC$ — хорда, соединяющая концы дуги;

$AB$ — хорда, соединяющая середину дуги, расположенную в точке $B$ и конец дуги $A$.

Формула Гюйгенса не является точной. Для угла в $60°$ погрешность по этой формуле будет составлять около $0.5%$, однако для меньших значений угла погрешность уменьшается.

Также посмотрим, как использовать формулу Гюйгенса.

Пример 2

Задача

Длина хорды $AC$ равна $3.51$ см, а хорды $AB$ $2.19$ см. Чему равна длина дуги $l$?

Решение:

$l = 2 cdot 2.19 + frac13 cdot (2 cdot 2.19 — 3.51) = 4.67$ см.

Результат совпадает, а значит, ответ — верный.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата написания статьи: 27.06.2019

Источник

Arc length is defined as the distance between the two points placed on the circumference of the circle and measured along the circumference. Arc length is the curved distance along the circumference of the circle. Length of the arc between two points is always greater than the chord between those two points.

What is Arc Length?

The arc length is defined as the circular distance between two points along the circumference of the circle. The length of the arc is directly dependent on the radius and central angle of the circle. The central angle is the angle subtended by the endpoints of the arc to the center of the circle. It is denoted by θ. It is measured both in degrees and radians. The figure given below shows the arc AB when the radius is r and the central angle is θ.

Arc Length

Arc Length Formula

Length of the arc is calculated using different formulas, the formula used is based on the central angle of the arc. Central angle is measured in degrees or radians, and accordingly, the length of an arc of the circle is calculated. For a circle, the formula for arc length formula is θ times the radius of the circle.

Arc Length Formula (θ in degrees) s = 2×π×r ×(θ/360°)
Arc Length Formula (θ in radians) s = θ × r
Arc Length Formula (Integral Form) s = ∫√(1 + (dy/dx)2dx

There are different cases that are used accordingly to find the required Arc Length

Case 1: When Radius and Angle are given

Formula to calculate the length of an arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)… (1)

where
r is the radius of the circle
θ is the angle in degrees
L is the Arc length  

Arc length when the angle is represented in radians

1 radian = π/180°

Substituting the value of radian in equation (1)

L = 2πr × (θ × / 360)

L = r θ…(2)

where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in radians.

Case 2: When Area and Central Angle of the Arc are given

Formula to calculate the length of an arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360) 

where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in degrees

We need to find the radius of the circle from the given area. After finding the radius, we will substitute the value of radius in the formula.

Area of the circle = πr2

Example: If area of the circle is 314 m2 and centeral angle of the arc is π radian find the length of the arc.

Sloution:

πr2 = 314 m2

r2 = 314/π     (π = 3.14)

r2 = 314/3.14

r2 = 100

r = √100 = 10 m

Length of the arc with angle π radians will be:

L = r θ 

L = 10 × π

L = 10 × 3.1415

L = 31.415 m

The value of r can be used in the same formula, as discussed above.  

Case 3: Arc length In Integral Form

Arc length in integral form is given by:

L = ∫√(1 + (dy/dx)2)dx

where,
Y is the f(x) function
limit of integral is [a, b]

How to Find Arc Length?

Use the steps given below to find the Arc length of the given arc.

Step 1: Mark the central angle and length of the radius of the given arc.

Step 2: Use the formula as given above according to the value of the angle in degrees or radians accordingly.

Step 3: Simplify the above equation to get the required answer.

Also, Check

  • Equation of a Circle
  • Degrees To Radians
  • Radians to Degrees

Solved Examples on Arc Length

Example 1: Find the length of the arc with a radius of 2m and angle π/2 radians.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = r θ

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 2m and θ = π/2 radians

Length of arc = 2 × π/2

Length of arc = π

(π = 3.1415)

Length of arc = 3.1415 m

Thus, the length of the arc is 3.1415 m.

Example 2: Find the length of the arc of function f(x) = 8 between x =2 and x = 4.

Solution: 

The formula to calculate the arc length for the function is given by:

L = ∫√(1 + (dy/dx)2)dx

The limit of integral is [a, b]

Substituting the values a = 2, b = 4, and y = 6 or dy/dx = 0 in the above formula, 

L = ∫√(1 + (0)2)dx

L = ∫√1 dx

L =  ∫1 dx

L = x

(Integral of 1 is x)

The limit of integral is [2, 4]

L = (4 – 2) 

L = 2

Thus, the length of the arc of function f(x) = 8 between x = 2 and x = 4 is 2.

Example 3: Find the length of the arc with a radius of 5cm and an angle of 60°.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)  

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 5cm and θ = 60°

Length of arc = 2πr × (60 / 360)  

Length of arc = 2πr × 1/6

Length of arc = 2 × 3.1415 × 5/6

(π = 3.1415)

Length of arc = 5.235cm

Thus, the length of the arc is 5.235cm

Example 4: Find the length of the arc with a radius of 0.5m and an angle of π/4 radians.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = r θ

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 0.5m and θ = π/4 radians

Length of arc = 0.5 × π/4

Length of arc = 0.392 m

(π = 3.1415)

Thus, the length of the arc is 0.392 m

Example 5: Find the length of the arc with a radius of 10cm and an angle of 135°.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)  

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 10cm and θ = 135°

Length of arc = 2πr × (135/360)    

Length of arc = (2 × 3.1415 × 10 × 135)/360°

(π = 3.1415)

Length of arc = 23.56cm

Thus, the length of the arc is 23.56cm.

Example 6: Find the length of the arc with a radius of 20mm and angle π/6 radians.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = r θ

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 20mm and θ = π/6 radians

Length of arc = 20 × π/6

Length of arc = 10.47 mm

(π = 3.1415)

Thus, the length of the arc is 10.47 mm

Example 7: Find the length of the arc with a radius of 2 cm and an angle of 90°.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)  

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 2cm and θ = 90°

Length of arc = 2πr × (90 / 360)  

Length of arc = 2πr × 1/4

Length of arc = 2 ×3.1415 × 2 × 1/4

(π = 3.1415)

Length of arc = 3.1415 cm

Thus, the length of the arc is 3.1415 cm.

FAQs on Arc Length

Question 1: What is the Arc Length of a Circle?

Answer:

Arc length of a circle is the length made by the arc which is measured along its circimference.

Question 2: Length of the arc is measured in which unit?

Answer:

Length of arc is of a circle is either measured in m or in cm.

Question 3: Does arc length is measured in radians?

Answer:

Angles are measured in radians and arc length is a measurement of distance, thus it cannot be measured in radians.

Question 4: How do you find the circumference if the arc length (l) and central angle (θ) are given?

Answer:

When arc length (l) and central angle (θ) is given then the circumference by the formula

Arc Length (L) / Circumference = θ/360º

Last Updated :
20 Jan, 2023

Like Article

Save Article

Источник

Длина дуги, которую описывают концы радиусов, пропорциональна величине центрального угла, образованного этими же радиусами. Именно поэтому длину дуги можно измерять в градусах.
Длина дуги окружностиЗа 1° дуги принимают 1/360 часть окружности.
Необходимо понимать, что величина центрального угла никак не зависит от дины дуги.

Формула длины дуги окружности
Найдем длину дуги окружности, центральный угол которой равен n°
Так как длина окружности равна 2 pi r , то развернутому углу будет соответствовать длина дуги pi r. Тогда длина дуги центрального угла 1° будет равна {pi r} / {180^0}.
Следовательно, длина дуги центрального угла n° будет выражаться по формуле

l={ {pi r} / {180^0} } n

Очень часто в задачах на вычисление длины дуги окружности используется радиальная мера угла. Радиальная мера угла – это отношение длины дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности получаем {1/r} = {pi / 180^0} n
Чтобы получить радиальную меру угла необходимо градусную меру умножить на {pi / 180^0}.
Радиальная мера угла 180° равна pi.
Радиальная мера угла 90° равна pi/2.

Тогда длину дуги окружности центрального угла имеющего радиальную меру θ можно выразить формулой l= r theta.

Иконка карандаша 24x24Пример задачи на нахождение длины дуги окружности

Вычислите длину дуги окружности с радиусом 3, если ее градусная мера составляет 150°

Формула длины дуги центрального угла n° выражается формулой l={ {pi r} / {180^0} } n
Подставив значения из условия задачи, получаем l={ {pi 3} / {180^0} } 150 = 2.5 pi = 7.85

Источник

Добавить комментарий