Как составить формулу n члена геометрической прогрессии - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Формула n-го члена геометрической прогрессии — штука очень простая. Как по смыслу, так и по общему виду. Но задачки на формулу n-го члена встречаются всякие — от совсем примитивных до вполне себе серьёзных. И в процессе нашего знакомства мы обязательно рассмотрим и те и другие. Ну что, знакомимся?)

Итак, для начала собственно сама формула n-го члена геометрической прогрессии.

Вот она:

b_n = b₁·qⁿ^-1

Формула как формула, ничего сверхъестественного. Выглядит даже проще и компактнее, чем аналогичная формула для арифметической прогрессии. Смысл формулы тоже прост, как валенок.

Эта формула позволяет находить ЛЮБОЙ член геометрической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ “n“.

Как вы видите, по смыслу полная аналогия с арифметической прогрессией. Знаем номер n — можем посчитать и член, стоящий под этим номером. Какой хотим. Не умножая последовательно на “q” много-много раз. Вот и весь смысл.)

Я понимаю, что на данном уровне работы с прогрессиями все входящие в формулу величины вам уже должны быть понятны, но считаю своим долгом всё-таки расшифровать каждую. На всякий случай.

Итак, поехали:

b₁ — первый член геометрической прогрессии;

q — знаменатель геометрической прогрессии;

n — номер члена;

b_n — энный (n-й) член геометрической прогрессии.

Эта формулка связывает четыре главных параметра любой геометрической прогрессии — b_n, b₁, q и n. И вокруг этих четырёх ключевых фигур и вертятся все-все задачки по прогрессии.

“А как она выводится?” — слышу любопытный вопрос… Элементарно! Смотрите!

Чему равен второй член прогрессии? Не вопрос! Прямо по смыслу геометрической прогрессии пишем:

b₂ = b₁·q

А третий член? Тоже не проблема! Второй член помножаем ещё раз на q.

Вот так:

b₃ = b₂·q

Вспомним теперь, что второй член, в свою очередь, у нас равен b₁·q и подставим это выражение в наше равенство:

b₃ = b₂·q = (b₁·q)·q = b₁·q·q = b₁·q²

Получаем:

b₃ = b₁·q²

А теперь прочитаем нашу запись по-русски: третий член равен первому члену, умноженному на q во второй степени. Улавливаете? Пока нет? Хорошо, ещё один шаг.

Чему равен четвёртый член? Всё то же самое! Умножаем предыдущий (т.е. третий член) на q:

b₄ = b₃·q = (b₁·q²)·q = b₁·q²·q = b₁·q³

Итого:

b₄ = b₁·q³

И снова переводим на русский язык: четвёртый член равен первому члену, умноженному на q в третьей степени.

И так далее. Ну и как? Уловили закономерность? Да! Для любого члена с любым номером количество одинаковых множителей q (т.е. степень знаменателя) всегда будет на единичку меньше, чем номер искомого члена n.

Стало быть, наша формула будет, без вариантов:

b_n = b₁·qⁿ^-1

Вот и все дела.)

Ну что, порешаем задачки, наверное?)

Решение задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Начнём, как обычно, с прямого применения формулы. Вот типичная задачка:

В геометрической прогрессии известно, что b₁ = 512 и q = -1/2. Найдите десятый член прогрессии.

Конечно, эту задачку можно вообще безо всяких формул решить. Прямо по смыслу геометрической прогрессии. Но нам ведь с формулой n-го члена размяться нужно, правда? Вот и разминаемся.

Наши данные для применения формулы следующие.

Известен первый член. Это 512.

b₁ = 512.

Известен также знаменатель прогрессии: q = -1/2.

Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нас интересует десятый член? Вот и подставляем в общую формулу десятку вместо n.

И аккуратно считаем арифметику:

Ответ: -1

Как видим, десятый член прогрессии оказался с минусом. Ничего удивительного: знаменатель прогрессии у нас -1/2, т.е. отрицательное число. А это говорит нам о том, что знаки у нашей прогрессии чередуются, да.)

Здесь всё просто. А вот похожая задачка, но немного посложнее в плане вычислений.

В геометрической прогрессии известно, что:

b₁ = 3

Найдите тринадцатый член прогрессии.

Всё то же самое, только в этот раз знаменатель прогрессии — иррациональный. Корень из двух. Ну и ничего страшного. Формула — штука универсальная, с любыми числами справляется.

Работаем прямо по формуле:

Формула, конечно, сработала как надо, но… вот тут некоторые и зависнут. Что дальше делать с корнем? Как возвести корень в двенадцатую степень?

Как-как… Надо понимать, что любая формула, конечно, дело хорошее, но знание всей предыдущей математики при этом не отменяется! Как возвести? Да свойства степеней вспомнить! Превратим корень в степень с дробным показателем и — по формуле возведения степени в степень.

Вот так:

Ответ: 192

И все дела.)

В чём состоит основная трудность при прямом применении формулы n-го члена? Да! Основная трудность — это работа со степенями! А именно — возведение в степень отрицательных чисел, дробей, корней и тому подобных конструкций. Так что те, у кого с этим проблемы, настоятельная просьба повторить степени и их свойства! Иначе и в этой теме будете тормозить, да…)

А теперь порешаем типовые задачки на поиск одного из элементов формулы, если даны все остальные. Для успешного решения таких задач рецепт един и прост до ужаса — пишем формулу n-го члена в общем виде! Прямо в тетрадке рядышком с условием. А затем из условия соображаем, что нам дано, а чего не хватает. И выражаем из формулы искомую величину. Всё!

Например, такая безобидная задачка.

Пятый член геометрической прогрессии со знаменателем 3 равен 567. Найдите первый член этой прогрессии.

Ничего сложного. Работаем прямо по заклинанию.

Пишем формулу n-го члена!

b_n = b₁·qⁿ^-1

Что нам дано? Во-первых, дан знаменатель прогрессии: q = 3.

Кроме того, нам дан пятый член: b₅ = 567.

Всё? Нет! Ещё нам дан номер n! Это — пятёрка: n = 5.

Надеюсь, вы уже понимаете, что в записи b₅ = 567 скрыты сразу два параметра — это сам пятый член (567) и его номер (5). В аналогичном уроке по арифметической прогрессии я об этом уже говорил, но и здесь считаю не лишним напомнить.)

Вот теперь подставляем наши данные в формулу:

567 = b₁·3^5-1

Считаем арифметику, упрощаем и получаем простенькое линейное уравнение:

81b₁ = 567

Решаем и получаем:

b₁ = 7

Как вы видите, с поиском первого члена проблем никаких. А вот при поиске знаменателя q и номера n могут встречаться и сюрпризы. И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да.)

Например, такая задачка:

Пятый член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В этот раз нам даны первый и пятый члены, а найти просят знаменатель прогрессии. Вот и приступаем.

Пишем формулу n-го члена!

b_n = b₁·qⁿ^-1

Наши исходные данные будут следующими:

b₅ = 162

b₁ = 2

n = 5

Не хватает значения q. Не вопрос! Сейчас найдём.) Подставляем в формулу всё что нам известно.

Получаем:

162 = 2·q^5-1

2q⁴ = 162

q⁴ = 81

Простенькое уравнение четвёртой степени. А вот сейчас — аккуратно! На данном этапе решения многие ученики сразу же радостно извлекают корень (четвёртой степени) и получают ответ q=3.

Вот так:

q⁴ = 81

q = 3

Но вообще-то, это недоделанный ответ. Точнее, неполный. Почему? Дело в том, что ответ q = -3 тоже подходит: (-3)⁴ тоже будет 81!

Всё из-за того, что степенное уравнение xⁿ = a всегда имеет два противоположных корня при чётном n. С плюсом и с минусом:

Оба подходят.

Например, решая неполное квадратное уравнение (т.е. второй степени)

x² = 9

вы же почему-то не удивляетесь появлению двух корней x=±3? Вот и тут то же самое. И с любой другой чётной степенью (четвёртой, шестой, десятой и т.д.) будет так же. Подробности — в теме про арифметический корень n-й степени.

Поэтому правильное решение будет таким:

q⁴ = 81

q = ±3

Хорошо, со знаками разобрались. Какой же из них правильный — плюс или минус? Что ж, читаем ещё раз условие задачи в поисках дополнительной информации. Её, конечно, может и не быть, но в данной задаче такая информация имеется. У нас в условии прямым текстом сказано, что дана прогрессия с положительным знаменателем.

Поэтому ответ очевиден:

q = 3

Здесь-то всё просто. А как вы думаете, что было бы, если бы формулировка задачи была бы вот такой:

Пятый член геометрической прогрессии равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В чём отличие? Да! В условии ничего не сказано про знак знаменателя. Ни прямо, ни косвенно. И вот тут задачка уже имела бы два решения!

q = 3 и q = -3

Да-да! И с плюсом и с минусом.) Математически сей факт означал бы, что существуют две прогрессии, которые подходят под условие задачи. И для каждой — свой знаменатель. Ради интереса, потренируйтесь и выпишите первые пять членов каждой из них.)

А теперь потренируемся номер члена находить. Эта задачка самая сложная, да. Но зато и более творческая.)

Дана геометрическая прогрессия:

3; 6; 12; 24; …

Под каким номером в этой прогрессии стоит число 768?

Первый шаг всё тот же: пишем формулу n-го члена!

b_n = b₁·qⁿ^-1

А теперь, как обычно, подставляем в неё известные нам данные. Гм… не подставляется! Где первый член, где знаменатель, где всё остальное?!

Где-где… А глазки нам зачем? Ресницами хлопать? В этот раз прогрессия задана нам напрямую в виде последовательности. Первый член видим? Видим! Это — тройка (b₁ = 3). А знаменатель? Пока не видим, но он очень легко считается. Если, конечно, понимать, что такое знаменатель геометрической прогрессии.

Вот и считаем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии: берём любой её член (кроме первого) и делим на предыдущий.

Хотя бы вот так:

q = 24/12 = 2

Что ещё нам известно? Нам ещё известен некоторый член этой прогрессии, равный 768. Под каким-то номером n:

b_n = 768

Номер его нам неизвестен, но наша задача как раз и состоит в том, чтобы его отыскать.) Вот и ищем. Все необходимые данные для подстановки в формулу мы уже скачали. Незаметно для себя.)

Вот и подставляем:

768 = 3·2ⁿ^-1

Делаем элементарные тождественные преобразования — делим обе части на тройку и переписываем уравнение в привычном виде: неизвестное слева, известное – справа.

Получаем:

2ⁿ^-1 = 256

Вот такое интересное уравнение. Надо найти “n”. Что, непривычно? Да, я не спорю. Вообще-то, это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное (в данном случае это — номер n) стоит в показателе степени.

На этапе знакомства с геометрической прогрессией (это девятый класс) показательные уравнения решать не учат, да… Это тема старших классов. Но страшного ничего нет. Даже если вы не в курсе, как решаются такие уравнения, попробуем найти наше n, руководствуясь простой логикой и здравым смыслом.

Начинаем рассуждать. Слева у нас стоит двойка в какой-то степени. Мы пока не знаем, что это конкретно за степень, но это и не страшно. Но зато мы твёрдо знаем, что эта степень равна 256! Вот и вспоминаем, в какой же степени двойка даёт нам 256. Вспомнили? Да! В восьмой степени!

256 = 2⁸

Если не вспомнили или с распознаванием степеней проблемы, то тоже ничего страшного: просто последовательно возводим двойку в квадрат, в куб, в четвёртую степень, пятую и так далее. Подбор, фактически, но на данном уровне — вполне прокатит.

Так или иначе, мы получим:

2ⁿ^-1 = 2⁸

А дальше что напрашивается? Правильно, просто убрать одинаковые основания (двойки) и приравнять показатели! Это можно, математика позволяет. Убираем двойки и получаем:

n-1 = 8

n = 9

Итак, 768 — это девятый член нашей прогрессии. Всё, задача решена.)

Ответ: 9

Что? Скучно? Надоела элементарщина? Согласен. И мне тоже. Шагаем на следующий уровень.)

Более сложные задачи.

А теперь решаем задачки покруче. Не то чтобы совсем уж сверхкрутые, но над которыми предстоит немного поработать, чтобы добраться до ответа.

Например, такая.

Найдите второй член геометрической прогрессии, если четвёртый её член равен -24, а седьмой член равен 192.

Это классика жанра. Известны какие-то два разных члена прогрессии, а найти надо ещё какой-то член. Причём все члены НЕ соседние. Что и смущает поначалу, да…

Как и в уроке по арифметической прогрессии, для решения таких задач рассмотрим два способа. Первый способ — универсальный. Алгебраический. Работает безотказно и с любыми исходными данными. Поэтому именно с него и начнём.)

Расписываем каждый член по формуле n-го члена!

Всё точь-в-точь как с арифметической прогрессией. Только в этот раз работаем с другой общей формулой. Вот и всё.) Но суть та же самая: берём и поочерёдно подставляем в формулу n-го члена наши исходные данные. Для каждого члена — свои.

Для четвёртого члена записываем:

b₄ = b₁·q³

-24 = b₁·q³

Есть. Одно уравнение готово.

Для седьмого члена пишем:

b₇ = b₁·q⁶

192 = b₁·q⁶

Итого получили два уравнения для одной и той же прогрессии.

Собираем из них систему:

Несмотря на её грозный вид, системка совсем простая. Самый очевидный способ решения — обычная подстановка. Выражаем b₁ из верхнего уравнения и подставляем в нижнее:

Немного повозившись с нижним уравнением (сократив степени и поделив на -24), получим:

q³ = -8

К этому же уравнению, между прочим, можно прийти и более простым путём! Каким? Сейчас я вам продемонстрирую ещё один секретный, но оч-чень красивый, мощный и полезный способ решения подобных систем. Таких систем, в уравнениях которых сидят только произведения. Хотя бы в одном. Называется метод почленного деления одного уравнения на другое.

Итак, перед нами система:

В обоих уравнениях слева — произведение, а справа — просто число. Это очень хороший знак.) Давайте возьмём и… поделим, скажем, нижнее уравнение на верхнее! Что значит, поделим одно уравнение на другое? Очень просто. Берём левую часть одного уравнения (нижнего) и делим её на левую часть другого уравнения (верхнего). С правой частью аналогично: правую часть одного уравнения делим на правую часть другого.

Весь процесс деления выглядит так:

Теперь, сократив всё, что сокращается, получим:

q³ = -8

Чем хорош этот способ? Да тем, что в процессе такого деления всё нехорошее и неудобное может благополучно сократиться и остаться вполне безобидное уравнение! Именно поэтому так важно наличие только умножения хотя бы в одном из уравнений системы. Нету умножения — нечего и сокращать, да…

А вообще, этот способ (как и многие другие нетривиальные способы решения систем) даже заслуживает отдельного урока. Обязательно его разберу поподробнее. Когда-нибудь…

Впрочем, неважно, как именно вы решаете систему, в любом случае теперь нам надо решить получившееся уравнение:

q³ = -8

Никаких проблем: извлекаем корень (кубический) и — готово!

Прошу заметить, что здесь при извлечении ставить плюс/минус не нужно. Нечётной (третьей) степени у нас корень. И ответ — тоже один, да.)

Итак, знаменатель прогрессии найден. Минус два. Отлично! Процесс идёт.)

Для первого члена (скажем, из верхнего уравнения) мы получим:

Отлично! Знаем первый член, знаем знаменатель. И теперь у нас появилась возможность найти любой член прогрессии. В том числе и второй.)

Для второго члена всё совсем просто:

b₂ = b₁·q = 3·(-2) = -6

Ответ: -6

Итак, алгебраический способ решения задачи мы с вами разложили по полочкам. Сложно? Не очень, согласен. Долго и нудно? Да, безусловно. Но иногда можно существенно сократить объём работы. Для этого есть графический способ. Старый добрый и знакомый нам по задачкам на арифметическую прогрессию.)

Рисуем задачу!

Да! Именно так. Снова изображаем нашу прогрессию на числовой оси. Не обязательно по линеечке, не обязательно выдерживать равные интервалы между членами (которые, кстати, и не будут одинаковыми, т.к. прогрессия – геометрическая!), а просто схематично рисуем нашу последовательность.

У меня получилось вот так:

А теперь смотрим на картинку и соображаем. Сколько одинаковых множителей “q” разделяют четвёртый и седьмой члены? Верно, три!

Стало быть, имеем полное право записать:

-24·q³ = 192

Отсюда теперь легко ищется q:

q³ = -8

q = -2

Вот и отлично, знаменатель у нас уже в кармане. А теперь снова смотрим на картинку: сколько таких знаменателей сидит между вторым и четвёртым членами? Два! Стало быть, для записи связи между этими членами знаменатель будем возводить в квадрат.

Вот и пишем:

b₂·q² = -24, откуда b₂ = -24/q²

Подставляем наш найденный знаменатель в выражение для b₂, считаем и получаем:

Ответ: -6

Как видим, всё гораздо проще и быстрее, чем через систему. Более того, здесь нам вообще даже не понадобилось считать первый член! Совсем.)

Вот такой простой и наглядный способ-лайт. Но есть у него и серьёзный недостаток. Догадались? Да! Он годится только для очень коротких кусочков прогрессии. Таких, где расстояния между интересующими нас членами не очень большие. А вот во всех остальных случаях картинку рисовать уже затруднительно, да… Тогда решаем задачу аналитически, через систему.) А системы — штука универсальная. С любыми числами справляются.

Ещё одна эпичная задачка:

Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого, а третий член на 30 больше второго. Найдите знаменатель прогрессии.

Что, круто? Вовсе нет! Всё то же самое. Снова переводим условие задачи в чистую алгебру.

1) Расписываем каждый член по формуле n-го члена!

Второй член: b₂ = b₁·q

Третий член: b₃ = b₁·q²

2) Записываем связь между членами из условия задачи.

Читаем условие: “Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого”. Стоп, это ценно!

Так и пишем:

b₂ = b₁+10

Читаем дальше: “…третий член на 30 больше второго”.

И эту фразу переводим в чистую математику:

b₃ = b₂+30

Получили два уравнения. Объединяем их в систему:

Система на вид простенькая. Но что-то уж много различных индексов у буковок. Подставим-ка вместо второго и третьего членов их выражения через первый член и знаменатель! Зря, что ли, мы их расписывали?

Получим:

А вот такая система — уже не подарок, да… Как такое решать? К сожалению, универсального секретного заклинания на решение сложных нелинейных систем в математике нет и быть не может. Это фантастика! Но первое что должно приходить вам в голову при попытке разгрызть подобный крепкий орешек — это прикинуть, а не сводится ли одно из уравнений системы к красивому виду, позволяющему, например, легко выразить одну из переменных через другую?

Вот и прикинем. Первое уравнение системы явно проще второго. Его и подвергнем пыткам.) А не попробовать ли из первого уравнения что-то выразить через что-то? Раз уж мы хотим найти знаменатель q, то выгоднее всего нам было бы выразить b₁ через q.

Вот и попробуем проделать эту процедуру с первым уравнением, применяя старые добрые тождественные преобразования:

b₁q = b₁+10

b₁q — b₁ = 10

b₁(q-1) = 10

Всё! Вот мы и выразили ненужную нам переменную (b₁) через нужную (q). Да, не самое простое выражение получили. Дробь какую-то… Но и система у нас приличного уровня, да.)

А дальше дело техники. Обычный метод подстановки. Подставляем наше полученное выражение для b₁ в нижнее уравнение:

Типичное дробно-рациональное уравнение. Что делать — знаем.

Пишем ОДЗ (обязательно!):

q ≠ 1

Умножаем всё на знаменатель (q-1) и сокращаем все дроби:

10q² = 10q + 30(q-1)

Делим всё на десятку, раскрываем скобки, собираем всё слева:

q² — 4q + 3 = 0

Решаем получившееся квадратное уравнение и получаем два корня:

q₁ = 1

q₂ = 3

И что дальше? И какой из корней нам выбрать? Так, стоп! Чего же я туплю-то? А ОДЗ зачем мы выписывали? Для красоты?) Единица никак не катит! В отвал единицу!

Окончательный ответ один: q = 3.

Ответ: 3

Как вы видите, путь решения большинства задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии всегда един: читаем внимательно условие задачи и с помощью формулы n-го члена переводим всю полезную информацию в чистую алгебру.

А именно:

1) Расписываем отдельно каждый данный в задаче член по формуле n-го члена.

2) Из условия задачи переводим связь между членами в математическую форму. Составляем уравнение или систему уравнений.

3) Решаем полученное уравнение или систему уравнений, находим неизвестные параметры прогрессии.

4) В случае неоднозначного ответа читаем внимательно условие задачи в поисках дополнительной информации (если таковая присутствует). Также сверяем полученный ответ с условиями ОДЗ (если таковые имеются).

А теперь перечислим основные проблемы, наиболее часто приводящие к ошибкам в процессе решения задач на геометрическую прогрессию.

1. Элементарная арифметика. Действия с дробями и отрицательными числами.

2. Действия со степенями и действия с корнями. Возведение в степень дробей, корней, отрицательных чисел. Извлечение корней n-й степени при решении уравнений.

3. Решение уравнений и (особенно!) систем уравнений. Тождественные преобразования уравнений.

Если хотя бы с одним из этих трёх пунктов проблемы, то неизбежно будете ошибаться и в этой теме. К сожалению… Так что не ленитесь и повторите то о чём упомянуто выше. И по ссылочкам — сходите. Иногда помогает.)

Видоизменённые и рекуррентные формулы.

А теперь рассмотрим парочку типичных экзаменационных задачек с менее привычной подачей условия. Да-да, вы угадали! Это видоизменённые и рекуррентные формулы n-го члена. С такими формулами мы уже с вами сталкивались и работали в соответствующем уроке по арифметической прогрессии. Здесь всё аналогично. Суть та же.

Например, такая задачка из ОГЭ:

Геометрическая прогрессия задана формулой b_n = 3·2ⁿ. Найдите сумму первого и четвёртого её членов.

В этот раз прогрессия нам задана не совсем привычно. В виде какой-то формулы. Ну и что? Эта формула — тоже формула n-го члена! Мы же с вами знаем, что формулу n-го члена можно записать как в общем виде, через буквы, так и для конкретной прогрессии. С конкретными первым членом и знаменателем.

В нашем случае нам, на самом деле, задана формула общего члена для геометрической прогрессии вот с такими параметрами:

b₁ = 6

q = 2

Проверим?) Запишем формулу n-го члена в общем виде и подставим в неё b₁ и q. Получим:

b_n = b₁·qⁿ^-1

b_n = 6·2ⁿ^-1

Упрощаем, используя разложение на множители и свойства степеней, и получаем:

b_n = 6·2ⁿ^-1 = 3·2·2ⁿ^-1 = 3·2ⁿ^-1+1 = 3·2ⁿ

Как видите, всё честно. Но наша с вами цель — не продемонстрировать вывод конкретной формулы. Это так, лирическое отступление. Чисто для понимания.) Наша цель – решить задачу по той формуле, что дана нам в условии. Улавливаете?) Вот и работаем с видоизменённой формулой напрямую.

Считаем первый член. Подставляем n=1 в общую формулу:

b₁ = 3·2¹ = 3·2 = 6

Вот так. Кстати, не поленюсь и ещё раз обращу ваше внимание на типовой ляп с подсчётом первого члена. НЕ НАДО, глядя на формулу b_n = 3·2ⁿ, сразу бросаться писать, что первый член — тройка! Это — грубейшая ошибка, да…)

Продолжаем. Подставляем n=4 и считаем четвёртый член:

b₄ = 3·2⁴ = 3·16 = 48

Ну и наконец, считаем требуемую сумму:

b₁ + b₄ = 6+48 = 54

Ответ: 54

Ещё задачка.

Геометрическая прогрессия задана условиями:

b₁ = -7;

b_n₊₁ = 3b_n

Найдите четвёртый член прогрессии.

Здесь прогрессия задана рекуррентной формулой. Ну и ладно.) Как работать с такой формулой — тоже знаем.

Вот и действуем. По шагам.

1) Считаем два последовательных члена прогрессии.

Первый член нам уже задан. Минус семь. А вот следующий, второй член, легко можно посчитать по рекуррентной формуле. Если понимать принцип её работы, конечно.)

Вот и считаем второй член по известному первому:

b₂ = 3b₁ = 3·(-7) = -21

2) Считаем знаменатель прогрессии

Тоже никаких проблем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии, делим второй член на первый.

Получаем:

q = -21/(-7) = 3

3) Пишем формулу n-го члена в привычном виде и считаем нужный член.

Итак, первый член знаем, знаменатель — тоже. Вот и пишем:

b_n = -7·3ⁿ^-1

Осталось лишь посчитать четвёртый член:

b₄ = -7·3³ = -7·27 = -189

Ответ: -189

Как вы видите, работа с такими формулами для геометрической прогрессии ничем по своей сути не отличается от таковой для прогрессии арифметической. Важно лишь понимать общую суть и смысл этих формул. Ну и смысл геометрической прогрессии тоже надо понимать, да.) И тогда глупых ошибок не будет.

Ну что, порешаем самостоятельно?)

Совсем элементарные задачки, для разминки:

1. Дана геометрическая прогрессия, в которой b₁ = 243, а q = -2/3. Найдите шестой член прогрессии.

2. Общий член геометрической прогрессии задан формулой b_n = 5∙2ⁿ⁺¹. Найдите номер последнего трёхзначного члена этой прогрессии.

3. Геометрическая прогрессия задана условиями:

b₁ = -3;

b_n₊₁ = 6b_n

Найдите пятый член прогрессии.

Чуть посложнее:

4. Дана геометрическая прогрессия:

b₁=2048; q=-0,5

Чему равен шестой отрицательный её член?

Что, кажется суперсложно? Вовсе нет. Спасёт логика и понимание смысла геометрической прогрессии. Ну и формула n-го члена, само собой.

5. Третий член геометрической прогрессии равен -14, а восьмой член равен 112. Найдите знаменатель прогрессии.

6. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите шестой член прогрессии.

Ответы (в беспорядке): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Вот почти и всё. Осталось лишь научиться нам считать сумму n первых членов геометрической прогрессии да открыть для себя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумму. Очень интересную и необычную штуку, между прочим! Об этом — в следующих уроках.)

Источник

запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:

S=b11−q=0,81−0,1

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

0,81−0,1=0,80,9=89

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Источник

Геометрическая прогрессия

Понятие геометрической прогрессии
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Свойства геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Примеры

п.1. Понятие геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой b_n, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена b_n-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b₁ = 1, q = 3.

2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b₁ = 9, (mathrm{q=-frac13}).

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: b_n = b_n-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

b₂ = b₁q, b₃ = b₂q = (b₁q)q = b₁q², b₄ = b₃q = (b₁q²)q = b₁q³,…

Получаем:

b_n = b₁q^n-1

Например:
Найдём b₅, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b₁ > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqⁿ: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$

При b₁ > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт

При b₁ > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает

Свойство 2. Признак геометрической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} – text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$

Например:
Найдём b₉, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если {b_n} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$

Например:
Найдём b₆, если известно, что b₂ = 5, b₄ = 10, b₈ = 40
По равенству сумм индексов b₂b₈ = b₄b₆
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$

Если учесть, что b_n = b₁q^n-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰
В этом случае b₁ = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b₅ = 9, b₈ = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S₁₀ = (mathrm{3280frac49})

б) b₁ = 3, b_n = 96, S_n = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S₁₀ = 3069

Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b₄=b₂q², b₅=b₃q². Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b₇ = b₁q⁶ = 0,1 · 2⁶ = 6,4
Ответ: b₁ = 0,1; b₇ = 6,4

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором S_n = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b₃ = b₁q², b_4=b_2q². Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

N = N₀ · 2ⁿ, где N₀ = 1
N = 2⁷² = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 10²¹

Ответ: 4,7 · 10²¹ бактерий

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 декабря 2022 года; проверки требуют 37 правок.

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , ldots (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на фиксированное число (знаменатель прогрессии). При этом ${displaystyle b_{1}neq 0,qneq 0;b_{n}=b_{n-1}q,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2}$ ^[1].

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей^[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Произведением первых членов геометрической прогрессии ${displaystyle left{b_{n}right}}$ называется произведение от $b_{1}$ до b_n , то есть выражение вида ${displaystyle prod limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}cdot b_{2}cdot b_{3}cdot ldots cdot b_{n-2}cdot b_{n-1}cdot b_{n}.}$
Обозначение: $P_{n}$ .

Описание[править | править код]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

${displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}$

Если ${displaystyle b_{1}>0}$ и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при q<0 — знакочередующейся^[3], при q=1 — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

${displaystyle |b_{n}|={sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов^[4].

Примеры[править | править код]

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[5]^:8—9.
Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
, , , — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства[править | править код]

Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

${displaystyle q={dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

${displaystyle q={sqrt[{n-k}]{dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}$

Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]

Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

${displaystyle b_{n}=b_{n-1}cdot q}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

Формула общего (-го) члена:

${displaystyle b_{n}=b_{1}cdot q^{n-1}.}$

Обобщённая формула общего члена:

${displaystyle b_{n}=b_{k}cdot q^{n-k},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}$

Доказательство

${displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

${displaystyle log(b_{n})=log(b_{1}q^{n-1})=log(b_{1})+(n-1)cdot log(q)}$
Формула общего члена арифметической прогрессии:
${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot d}$ .
В нашем случае
$a_{1}=log(b_{1})$ ,
.

Доказательство

${displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Пусть ${displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}}$ — соответственно -й, -й, -й члены геометрической прогрессии, где . Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии:

${displaystyle b_{k}^{l-m}cdot b_{l}^{m-k}cdot b_{m}^{k-l}=1.}$

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

${displaystyle P_{k,n}={dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Доказательство

${displaystyle P_{k,n}=prod _{i=k}^{n}b_{i}={frac {prod _{i=1}^{n}b_{i}}{prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Сумма всех членов убывающей прогрессии:

, то ${displaystyle b_{n}to 0}$

при

, и

${displaystyle S_{n}to {frac {b_{1}}{1-q}}}$

при

Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]

${displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}$
${displaystyle S_{n}=sigma _{n}cdot b_{1}b_{n}}$

где ${displaystyle sigma _{n}}$ — сумма обратных величин, т. е. ${displaystyle sigma _{n}={dfrac {1}{b_{1}}}+{dfrac {1}{b_{2}}}+cdots +{dfrac {1}{b_{n-1}}}+{dfrac {1}{b_{n}}}}$ .

Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]

См. также[править | править код]

Арифметическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия
Числа Фибоначчи
Показательная функция
Сумма ряда

Примечания[править | править код]

↑ Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
↑ Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей, только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны.
↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивная копия от 19 мая 2017 на Wayback Machine

Источник

— это числовая последовательность, при которой каждое последующее число(начиная со второго) больше предыдущего в одно и тоже количество раз.

Разберём символы геометрической прогрессии:

q- знаменатель геометрической прогрессии. Обозначает, во сколько раз последущий член прогрессии больше предыдущего;

bₙ- член геометрической прогрессии (n- номер члена геометрической
прогрессии; н-р третий по счёту)

Формулы:

1. Формула для нахождения n-ного члена геометрической прогрессии (пример- нахождение пятого члена геометрической прогрессии).

2. Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии (знаменатель находится путём вычисления разницы, во сколько следующий член геометрической прогрессии больше предыдущего).

3. Также для некоторых случаев может пригодится формула нахождения n-ного члена геометрической прогрессии в квадрате.

4. Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (пример- нахождение суммы первых 15 членов геометрической прогрессии)

Вы также можете закрепить полученные знания практикой и потренироваться на возможных вариантах ОГЭ

Надеюсь, данная статья поможет вам быть готовым к заданиям данного типа. Не забудьте поделится ею со своими друзьями! 🙂

Геометрическая прогрессия

п.1. Понятие геометрической прогрессии

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

п.3. Свойства геометрической прогрессии

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

п.5. Примеры

Описание[править | править код]

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Формулы:

Вам также может понравиться

Как найти горизонтальные приложения

Ошибка 1009 как исправить

Как найти папку найдено видео

Добавить комментарий Отменить ответ