Как составить формулу зависимости расстояния от времени

Цели и задачи урока.

Образовательные:

• Активизировать знания учащихся о движении и его характеристиках;
• Создать условия для развития умения решать задачи на описание движения;
• Совершенствовать вычислительные навыки.

Развивающие:

• Развивать логическое мышление, смекалку и наблюдательность;
• Учить рассуждать, используя ранее полученные знания;
• Развивать познавательную активность.
• Учить применять полученные теоретические знания в практике повседневной
  жизни

Воспитательные:

• Развитие коммуникативных способностей учащихся;
• Развитие аккуратности, четкости и правильности при оформлении работ в
  тетрадях и на доске;
• Развитие умения слушать мнение других, высказывать свою точку зрения.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: Презентация, компьютер, телевизор, индивидуальные
пластиковые доски, маркеры.

Ход урока

I. Организационный момент. (Слайд № 3.
Приложение)

– Ребята, давайте поставим для себя цели урока. Я вам предлагаю закончить
предложения:

– Я хочу научиться……

– Я хочу узнать…..

Слайд № 4

Устный счет. Выполните действия и расположите ответы примеров в
порядке возрастания, и вы расшифруете тему сегодняшнего путешествия.

Правильно “Старт”. Мы отправляемся на соревнования. Но это не простые
соревнования, участники должны преодолеть еще и математические препятствия.

Слайд № 5

Внимание, внимание!
В лесу соревнование.

Слайд № 6

На старт выходят мишки,
Два брата, два Топтыжки.
Лисенок Огонеак
И серый зайка Скок.
Все приготовились! Вперед!
Награда чемпиона ждет.

– Пока они в пути мы с вами вспомним, как находятся формулами скорости,
расстояния, времени, и вместе выведем новые формулы.

– Как можно изобразить движение какого-нибудь предмета? (С помощью
числового отрезка.)

– Какие дополнительные отметки нужны на этом луче? (Стрелка указывающая
направление движения и скорость, точка откуда начинается движение.)

Слайд № 7

– Определить какому животному принадлежит скорость.

 
 
 
 

Рыба-парусник – 100 км/ч

Скаковая лошадь – 70 км/ч

Сокол-сапсан – 250 км/ч

Таракан – 30 см/сек

Гепард – 96 км/ч.

Эти данные взяты из книги “Тайны живой природы”.

Слайд № 8. Приложение

Выпишите единицы измерения: км, см/сек., м/мин., сут., км/ч., см, кг, мин., ц,
сек..

1. Скорости.
2. Расстояния.
3. Времени.

Вспомним, как в “формуле пути” обозначают скорость, время и расстояние. Как
найти S, V, t? (Дети называют формулы, запись делается в тетрадях
учеников и проверяется их правильность по появившимся формулам на экране
телевизора.)

V – скорость; V= S : t
t – время; t = S : V
S – расстояние. S = V × t

Слайд № 9–12

С пригорка на пригорок Стрелой летит лисенок. Вдруг остановка… В чем причина?
У Огонька спустила шина.

– Ребята, пока лисенок качает шину решим за него блиц-турнир. (Работая на
досточках, ребята записывают маркером выражение, по которому решается задача, и
показывают учителю. Сверяются с выражением, появившимся на экране, затем устно
решают задачу, подставляя значения a, d, c. Показывают результаты. Сверяются с
ответом, появившимся на экране.)

БЛИЦ-ТУРНИР

Слайд № 10

Составьте и решите задачу по ее краткой записи.

Медведь был в пути по лесу a км, а по полю b км. С какой
скоростью он шел? Если на весь путь затратили t ч. По какой формуле
находим скорость? Запишите выражение, по которому решается задача. (Ответы
детей.)

Решить задачу при а = b = 20 км. t = 4 ч.

Слайд № 11

Перед вами схема задачи. Надо помочь лисенку составить и решить задачу по
этой схеме.

Костя шел лесом a км, по горе на b км больше. Весь путь занял
t ч. С какой скоростью шел Костя? Запишите формулу и выражение, по
которому решается задача. (Ответы детей.) Решить задачу при а = 30 км, t
= 6 ч.

Слайд № 12

От Колобка до дома d км пути. По ровной местности он шел t
часов, со скоростью c км/ч. Сколько км. ему останется до дома по горам?
Запишите выражение, по которому решается задача. (Ответы детей.)

Решить задачу при t = 5 ч. d = 15 км c = 2 км/ч.

III. Актуализация, постановка рабочей цели

Слайд № 13

Молодцы хорошо помогли Огоньку. А где же наш зайка?

Вот зайка набирает ход,
Но он торопится.
Он не заметил поворот
И … в луже оказался.

– Помогите же зайке посчитать сколько ему осталось до финиша от места аварии
в луже.

Слайд № 14

Объяснение новой темы d км – расстояния от Лужи до Финиша, формулу нахождение
этого расстояния мы сами выведем в ходе решения задачи. Заполняем таблицу.

– Зайка сидит в луже расстроенный. До финиша ему ехать? (75 км сиреневый
цвет)

– Через 1час ему осталось…. С какой скорость он едет? (60км дорожка
голубого цвета)

– Он проехал еще 1 час и ему осталось проехать …. (45 км желтый цвет)

– Еще через час у него осталось … (30 км зеленый цвет)

– Он в пути уже 4 часа. Сколько км осталось до финиша? (15 км красный
цвет)

– Он в пути уже 5 часов. Сколько км осталось до финиша? (0 км)

Как мы считали зайкино расстояние? (Ответы детей)

Заменим числа переменными, получим формулу: d = S – V
× t

Делается следующий вывод: Так как Зайка приближаемся к Финишу, то
расстояние уменьшается в зависимости от пройденного пути на первоначальное
расстояние минус скорость, умноженная на время.

Слайд № 15

– Давайте поговорим о том, на каком расстоянии D от Леса Зайка будет,
находиться в зависимости от продвижения к Финишу? (Заслушиваются рассуждения
ребят.)

Задача. На каком расстоянии D от Леса находится Зайка сидя в луже? (75 км)
На каком расстоянии от Леса мы с ним будем через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч? (Идет
аналогичная работа как в слайде 14.)

Записываем формулу, по которой считали расстояние. D = S + V
× t. Заполняем таблицу.

– Таким образом, делаем вывод: Так как мы приближаемся к Финишу, то
расстояние D увеличивается по мере удаления от Лужи на первоначальное расстояние
плюс скорость, умноженная на время.

– Пока зайчонок движется к финишу давайте и мы немного отдохнем.

Физкультминутка.

Мы немножко отдохнем,
Встанем, глубоко вздохнем,
Руки в стороны, вперед.
Дети по лесу гуляли, за природой наблюдали.
Вверх на солнце посмотрели, и их всех лучи согрели.
Стали карликами дети.
А потом все дружно встали, великанами мы стали.
Дружно хлопаем, ногами топаем.
Хорошо мы погуляли
И немножечко устали.

Слайд № 16

Другое дело – Мишки
Два брата, два Топтыжки
Все хорошо у медвежат,
Их шины весело шуршат.
Нам надо помочь им решить задачу.

Слайд № 17

Закрепление нового материала.

Поиск решения

Класс делится на группы. Каждая группа решает задачу самостоятельно.

– Определим по рисунку, откуда начинает свое движение девочка, в каком
направлении она идет? (Девочка из гимназии идет домой).

– Как вы это определили? (По направлению стрелки)

– По рисунку мы можем определить, что нам известно? (Время – 5 ч и
расстояние между пунктами).

– Для нахождения пути, что мы должны еще знать (скорость). Глядя на
рисунок, мы можем найти скорость? (30 : 5 = 6 ч)

– Что нам надо найти? (Как будут изменяться в зависимости от продвижения к
дому расстояния: d – расстояние до дома, D – расстояние до парка)

– При помощи какой формулы мы будем считать расстояние удаления девочки от
дома? (d = S – V × t).

– По какой формуле будем считать расстояние удаления девочки от парка? (D
= S + V × t ).

– Записываем формулы и заполняем таблицу.

 Кто может составить задачу? (Ответы детей)

Задача

Девочка идет из гимназии домой со V = 6 км/ч. На каком расстоянии от дома она
будет через 1 ч, 2 ч,3 ч, 4 ч, 5 ч, t ч? На каком расстоянии от парка она будет
через 1 ч, 2 ч,3 ч, 4 ч, 5 ч, t ч?

Обсуждение всех гипотез.

Анализ правильного решения

Почему расстояние между девочкой и парком будет увеличиваться?	D = S + V ×
– На сколько?	На V ×
Чему будет равно расстояние D через 2 ч., 4 ч., 1 ч.,3 ч., 5 ч., t ч.	42, 54, 36, 48, 60, 30 + 6×
Почему расстояние между девочкой и домом будет уменьшаться?	D = S – V ×
Чему будет равно расстояние d через 0 ч,1 ч., 4 ч., 2 ч.,3 ч., 5 ч., t ч.	30, 24, 12, 18, 6, 0, 30 –  6×
Что находим по формуле – V × ?	расстояние

Вывод:

Решая задачи на движение, мы должны обращать внимание на направление
движения, и какое это движение удаление или приближение.

Слайд № 18. Самостоятельная работа.

Задача.

Мальчик из дома отправился на озеро Медвежье. Первые три часа он ехал на
поезде со скоростью 75 км/ч. Оставшиеся два часа шел со скоростью 4км/час. Какое
расстояние от дома до озера?

Слайд№ 19

Но не сдается Огонек,
Но не сдается серый Скок
Мечтает каждый первым быть!
Но чтобы первым быть надо задачу со звездочкой решить.

Задача. *

Автомобиль должен за 7 часов проехать расстояние 630 км. Первые 2 часа он
ехал со скоростью 70 км/ч, а следующие 3 часа увеличил скорость на 20 км/ч. С
какой скоростью должен ехать автомобиль оставшийся путь, чтобы прибыть в пункт
назначения вовремя?

Слайд № 20

Последний пройден поворот,
Дорога к финишу ведет.
Кто побеждает? Мишки!
Два брата, два Топтыжки.

IX. Подведение итогов

Вам понравился сегодняшний урок? Давайте вспомним, какие задания мы
выполняли. Какое задание вам особенно понравилось? Какое задание было самым
трудным? Самым легким?

Слайд № 21. Самооценка.

Приложение

У вас на партах лежат круги с нарисованным лицом. Кому было интересно –
нарисуйте улыбку; кто иногда скучал – рот без улыбки; кому было не интересно –
рот с опущенными уголками. Переверните круги и поставьте себе отметку за работу
на уроке по следующему правилу:

• Я работал самостоятельно без ошибок. Получил 5.
• Я работал с подсказками без ошибок. Получил 4.
• Я работал с подсказками, допустил ошибки. Получил 3.
• Я совсем не участвовал в работе, оценить себя не могу.

X. Рефлексия.

Оцените свою работу на уроке. Доволен ли ты своими достижениями? Было ли тебе
интересно? Поаплодируйте себе.

Предыдущий урок: Физика для чайников. Урок 3. Кинематика

Говорю сразу, будут формулы. Потом не говорите, что не предупреждал :). Итак, на прошлом уроке мы изучили основные понятие кинематки, такие как относительность движения, материальная точка. Вернемся к нашему примеру с автомобилем, который из города А выехал в город Б. Мы сделали допущение что дорога абсолютно прямая, и уходит в бесконечность в обе стороны. А город А – точка начала отчета. Тогда расстояние от точки А в сторону Б – некое положительное число, а в обратную сторону – отрицательное. И это число мы обозначим S. Если принять допущение, что скорость автомобиля постоянная, то расстояние от точки А будет выражено формулой:

В этой формуле S – это пройдённое расстояние, v – скорость, t – время. То есть при скорости, например, 60 км/ч за полчаса автомобиль проедет 60*0.5=30 км.

Но так же не бывает, чтобы скорость была постоянная. Автомобиль разгоняется, тормозит. Где-то стоит на светофоре, где-то знак ограничение скорости и нарисованная камера, а водитель боится штрафов и соблюдает скоростной режим. А где-то дорога хорошая и камер нет, там водитель может гнать все 150 км/ч а то и 200 км/ч. А еще он может остановиться на заправке. В общем, скорость постоянно меняется со временем. Если мы знаем зависимость скорости от времени, то мы можем сказать, что есть функция скорости от времени, и тогда расстояние от начальной точки можно вычислить вот по такой «страшной», на первый взгляд формуле:

Закорючка называется интеграл. В нем нет ничего страшного, он означает, что надо суммировать все бесконечно малые расстояния, пройденные автомобилем за все бесконечно малые отрезки времени до момента времени t. Выражение v(t) означает, что v (скорость) это функция от t (от времени). Иными словами, скорость меняется со временем. Еще тут есть некое dt – он обозначает бесконечно малый отрезок времени. Таким образом, мы суммируем все расстояния, которые прошла материальная точка за все бесконечно малые моменты времени. Это и есть интеграл. Звучит страшно, но не пугайтесь, для многих функций существуют готовые формулы интегралов. Их легко нагуглить. Если скорость одинакова, то тут все просто – используем предыдущую формулу. А если автомобиль разгоняется или тормозит? Значит, он движется с укореняем. Если ускорение одинаковое, то:

Здесь a – это ускорение – величина, показывающая как быстро менятся скорость. Решив интеграл, мы получим формулу пройденного расстояния:

Это, кстати, очень важная формула. Запомните ее. Очень многие формулы из физики на нее похожи, и я не раз потом будут ссылаться на нее.

А теперь попробуем решить задачку. Нужно рассчитать тормозной путь автомобиля, который движется со скоростью 72 км/ч, ускорение -5 м/с^2. Цифра взята со знаком минус, потому что ускорение против скорости движения. Тогда мы можем вычислить по такой формуле:

Переводим 72 км/ч в м/с. Это будет 72*1000/3600=20 м/с, тогда машина остановиться за 4 секунды, вычисляем:

Таким образом, при данных условиях тормозной путь будет 40 метров.

Следующий урок: Физика для чайников. Урок 5. Криволинейное движение.

Математика

5 класс

Урок № 35

Задачи на движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Понятия скорости, времени, расстояния.
2. Формулы нахождения скорости, времени, расстояния.
3. Понятия скорости сближения, скорости удаления.

Глоссарий по теме

Расстояние – это длина от одного пункта до другого.

Большие расстояния, в основном, измеряются в метрах и километрах.

Расстояние обозначается латинской буквой S.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения:

S = v ∙ t

Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Скорость обозначается латинской буквой v.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения:

v = S : t

Время – это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения:

t = S : v

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К., Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

2. Потапов М. К., Шевкин А. В. Математика. Книга для учителя. 5 – 6 классы — М.: Просвещение, 2010

Дополнительная литература

1. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5 кл. – М.: Академика учебник, 2014

2. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5–6 классы // Составитель Бурмистрова Т. А.

3. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 кл. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2010

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто нам встречаются задачи на нахождение скорости, времени и расстояния. Что же всё это такое? Сейчас нам предстоит в этом разобраться.

Расстояние – это длина от одного пункта до другого. (Например, расстояние от дома до школы 2 километра). В основном большие расстояния измеряются в метрах и километрах. Общепринятое обозначение расстояния – заглавная латинская буква S.

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Скорость обозначается маленькой латинской буквой v.

Рассмотрим задачу:

Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 200 метров. Первый школьник добежал за 50 секунд. Второй за 100 секунд. Кто из ребят бежал быстрее?

Решение:

Быстрее бежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.

Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 200 метров на время движения первого школьника, то есть на 50 секунд:

200 м : 50 с = 4

Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, скорость измеряется в метрах в секунду:

200 м : 50 с = 4 (м/с)

Скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду.

Теперь найдём скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника:

200 м : 100 c = 2 (м/с)

Скорость движения первого школьника – 4 (м/с).

Скорость движения второго школьника – 2 (м/с).

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он бежал до спортплощадки быстрее.

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 1200 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 600 метров в минуту. За какое время мы доедем до спортивной секции?

Решение:

Если за одну минуту мы будем проезжать 600 метров, то сколько таких минут нам понадобится для преодоления тысячи двухсот метров? Очевидно, что надо разделить 1200 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 600 метров. Тогда мы получим время, за которое мы доедем до спортивной секции:

1200 : 600 = 2 (мин)

Ответ: мы доедем до спортивной секции за 2 минуты.

Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

S = v ∙ t

Рассмотрим задачу:

Мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 15 минут. Наша скорость была 60 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Решение:

Если за одну минуту мы прошли 60 метров, то сколько таких отрезков по шестьдесят метров мы пройдём за 15 минут? Очевидно, что умножив 60 метров на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 60 (м/мин)

t = 15 (минут)

S = v ∙ t = 60 ∙ 15 = 900 (метров)

Ответ: мы прошли 900 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = S : t

Рассмотрим задачу:

Расстояние от дома до школы 800 метров. Школьник дошёл до этой школы за 8 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника – это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 800 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

S = 800 метров

t = 8 минут

v = S : t = 800 : 8 = 100 (м/мин)

Ответ: скорость школьника была 100 м/мин.

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = S : v

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 600 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 120 метров в минуту (120 м/мин). За какое время мы дойдём до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 120 метров, то сколько таких минут со ста двадцатью метрами будет в шестистах метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 600 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 120. Тогда мы получим время, за которое мы дойдём до спортивной секции:

S = 600 метров

v = 120 (м/мин)

t = S : v = 600 : 120 = 5 (минут).

Ответ: мы дойдём до спортивной секции за 5 минут.

Итак, все рассмотренные нами формулы мы можем представить в виде треугольника для лучшего запоминания:

Теперь рассмотрим типы задач на движение.

Задачи на сближение.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 метров в минуту, а второго – 105 метров в минуту, то скорость сближения будет составлять 100 плюс 105, то есть 205 метров в минуту. Значит, каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Задача.

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через 3 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

Решение:

1. Найдём скорость сближения велосипедистов:

13 км/ч + 15 км/ч = 28 км/ч

1. Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

28 ∙ 3 = 84 км

Ответ: расстояние между населёнными пунктами 84 км.

Задачи на скорость удаления.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причём скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4 плюс 6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиваться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Рассмотрим задачу:

С причала одновременно в противоположных направлениях отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляла 60 км/ч, скорость катера 130 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Определим скорость удаления. Для этого сложим их скорости:

60 + 130 = 190 км/ч.

Получили скорость удаления равную 190 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между теплоходом и катером будет увеличиваться на 190 километров.

1. Чтобы узнать какое расстояние будет между ними через два часа, нужно 190 умножить на 2:

190 ∙ 2 = 380 км.

Ответ: через 2 часа расстояние между теплоходом и катером будет составлять 380 километров.

Задачи на движение объектов в одном направлении.

В предыдущих пунктах мы рассматривали задачи, в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу друг другу, либо в противоположных направлениях. В первом случае мы находили скорость сближения – в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. Во втором случае мы находили скорость удаления – в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Рассмотрим задачу:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 130 км/ч, а скорость автобуса 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Через 3 часа?

Решение:

1. Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую:

130 км/ч − 90 км/ч = 40 км/ч

1. Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 3 часа в три раза больше:

40 ∙ 3 = 120 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через три часа – 120 км.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Задача.

Пусть на одной улице имеется дом, школа и аттракцион. Дом находится на одном конце улицы, аттракцион на другом, школа между ними. От дома до школы 900 метров. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 90 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 85 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 3 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Решение:

1. Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 90 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 270 метров:

90 ∙ 3 = 270 метров

1. Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 85 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 255 метров:

85 ∙ 3 = 255 метров

1. Теперь найдём расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (900м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255м), и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270м):

900 + 255 = 1155 м

1155 – 270 = 885 м

Либо из расстояния от дома до школы (900 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255 м):

900 – 270 = 630 м

630 + 255 = 885 м

Таким образом, через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров.

1. Теперь давайте ответим на вопрос: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

В самом начале пути между пешеходами было расстояние 900 м. Через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 895 метров, поскольку первый пешеход двигается на 5 метров в минуту быстрее второго:

90 ∙ 1 = 90 м

85 ∙ 1 = 85 м

900 + 85 – 90 = 985 – 90 = 895 м

Через три минуты после начала движения расстояние уменьшится на 15 метров и будет составлять 885 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

90 ∙ 3 = 270 м

85 ∙ 3 = 255 м

900 + 255 – 270 = 1155 – 270 = 885 м

Можно сделать вывод, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 5 метров.

А раз изначальные 900 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 5 метров, то мы можем узнать сколько раз 900 метров содержат по 5 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго:

900 : 5 = 180 минут.

Ответ: через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров, первый пешеход догонит второго через 180 минут = 3 часа.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	____ ч
2.	____ м	12 м/с	4 с
3.	132 м	____ м/мин	11 мин

Для заполнения пропусков воспользуемся формулами нахождения скорости, времени, расстояния:

1. Надо найти время: t = S : v

135 : 9 = 15 часов.

1. Надо найти расстояние: S = v ∙ t

12 ∙ 4 = 48 м.

1. Надо найти скорость: v = S : t

132 : 11 = 12 м/мин.

Верный ответ:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	15 часов
2.	48 м	12 м/с	4 с
3.	132 м	12 м/мин	11 мин

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор

Выберите верный ответ к задаче:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, отправились одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Варианты ответов:

1. 70
2. 30
3. 270
4. 240

Эта задача относится к типу задач на сближение, т.е. нам надо:

1. сложить скорости мотоциклиста и автомобилиста:

60 + 30 = 90 км/ч – скорость сближения;

1. узнать, сколько километров они пройдут за 3 часа вместе. Для этого:

90 ∙ 3 = 270 км;

1. из общего расстояния нам осталось вычесть пройденное:

300 – 270 = 30 км

Верный ответ: 2. 30 км.

Понятие о времени

Существует характеристика, с которой приходится сталкиваться каждый день вне зависимости от возраста, социального статуса, различных способностей и умений. С её помощью определяют будущее, прошедшее и настоящее. По сути, это маркер, определяющий событие. Называют его временем. Рассматривая движение, всегда учитывают эту характеристику, как и её прогрессию.

Время является частью пространственной координаты. Но если относительно других осей можно перемещаться в различных направлениях, относительно него движение определяется только вперёд или назад. Неотъемлемой частью, связанной со временем, является пространство, благодаря которому и возможно понять суть параметра.

Исследованием характеристики занимались философы и учёные в различные периоды существования человечества. Видеть и слышать время невозможно, в отличие от осязаемого пространства, которое возможно наблюдать сразу и везде. Причём в нём можно перемещаться.

Дискуссии, как правильно воспринимать время, не утихают до сих пор. Платон считал, что оно есть не что иное, как движение. Аристотель предполагал, что время – количественное измерение перемещения. Оно было добавлено к классической геометрии Евклида, действующей на ограниченное число измерений. В итоге стало рассматриваться четырёхмерное пространство.

Сегодня так и нет ответов на следующие вопросы о времени:

• из-за чего происходит его течение;
• почему оно определяется только в одном направлении;
• является ли параметр одномерным, как многие учёные считают;
• можно ли обнаружить кванты характеристики.

В классической физике для определения временного изменения используется специальная координата пространство-время. Принято будущие события обозначать знаком плюс, а прошедшие минусом. Единица измерения времени связана с вращением планеты вокруг своей оси и Солнца. Этот выбор был сделан условно и привязан к удобству жизнедеятельности человечества.

В Международной системе единиц принято за секунду принимать интервал, равный 9 192 631 770 периодам излучения атома цезия-133 в покое при нуле градусов по Кельвину. Обозначают параметр латинской буквой t. Таким образом, время — физическая величина, связанная с перемещением какого-либо тела относительно выбранной системы координат.

Расстояние и скорость

Положение каждой физической точки можно описать с помощью координатных осей. Другими словами, системой, которая по отношению к исследуемому телу остаётся неизменной. Изменение положения относительно другого объекта можно представить пройденным расстоянием. Фактически это путь, для которого известно начало и конец. С физической точки зрения, расстояние — величина, являющаяся размерностью длины, и выражающаяся в её единицах.

В математике мера пройденного пути тесно связана с метрическим пространством, то есть положением, где существует пара (x, d), определённая в декартовом произведении. Соответственно, если координату принять за x, y, можно сказать следующее:

• начало пути и его конец обозначают точками с координатами d (x, y) и p (x, y);
• пройденное расстояние можно определить, отняв из конечных координат начальные;
• изменение положения будет нулевым, когда d = p.

В физике расстояние измеряют единицами длины. В соответствии с СИ за размерность берут метр. Расстояние — мера пройденного пути, то есть длина. Если необходимо просто определить изменение положения без учёта, когда и как оно произошло, используют координатные оси. Но при нахождении пройденного пути за время в формуле для расстояния должна учитываться ещё одна величина — скорость.

Обозначают эту характеристику символом V. Характеризует она быстроту перемещения в выбранной системе отсчёта. По определению скорость равняется производной радиус-вектора точки по времени. Иными словами, это значение, задающееся положением в пространстве относительно неизменной координаты, за которую чаще всего принимается начало.

Одно и то же расстояние можно преодолеть за разное время. Например, чтобы пройти 7 километров человеку понадобится затратить порядка одного часа, на автомобиле же этот путь можно преодолеть за 10 минут, а то и меньше. Вот как раз эти отличия и зависят от скорости движения.

Но на самом деле не всё так однозначно. Скорость необязательно должна быть одинаковой на всём пути. На определённых промежутках она может увеличиваться или уменьшаться, поэтому в математике под её значением понимают среднюю величину. Считается, что тело движется равномерно при прохождении установленного расстояния.

Общая формула

Скорость, время, расстояние — это 3 фундаментальных величины, связанные друг с другом. Исследуя одну характеристику, обязательно нужно учитывать две других. Фактически скорость — это физическая величина, определяющая, какую длину преодолеет физическое тело за единицу времени. Например, значение 120 км/ч показывает, что объект сможет преодолеть 120 километров за один час. В математическом виде связь между тремя характеристиками может быть записана в виде следующей формулы:

S = V * t, где:

• S — пройденное объектом расстояние;
• V — средняя скорость тела;
• t — время, затраченное на преодоление пути.

Зная это равенство и любых 2 параметра, можно выполнить расчёт третьего, так для времени она будет иметь вид t = S / V, а скорости V = S / t. Проверить правильность формулы для скорости времени и расстояния можно путём анализа размерности. Если в выражение подставить единицы измерения, то после сокращения должна получиться величина, соответствующая определяемой. S = V * t = (м / с) * с = м (метр). Что и требовалось получить. Аналогично можно проверить и 2 оставшиеся формулы: t = s / v = м / (м/с) = м * с / м = с (секунда) и V = S / t = м / с (метр на секунду).

Действительно, пусть имеется физическое тело, находящееся в каком-то месте. Через некоторое время, неважно по каким причинам, оно переместилось в другую точку, при этом не выходя за пределы установленного пространства. Если тело представить в декартовой плоскости, причём за начало принять координату (0, 0), через время объект изменит своё положение, определяющееся значением (x1, y2). В двухмерном же пространстве это изменение можно описать как переход из точки A в Б.

Значит, чтобы тело достигло второй координаты, ему необходимо затратить время. При этом пройденный путь будет находиться в прямой зависимости от него. Расстояние и время должны связываться третьей величиной, которой как раз и является скорость. То есть параметр, определяющий, за сколько тело сможет преодолеть определённую длину.

Как видно, выражение, связывающее 3 величины, довольно простое. Но оно не учитывает, что скорость может быть непостоянной, поэтому если объект проходит свой путь неравномерно, в выражение подставляют среднее значение. Находится оно как сумма всех отдельных скоростей на неравномерных участках: Vср = ΔS / Δt.

Решение задач

Чтобы уметь решать простые задания в средних классах по математике, связанных с движением, нужно знать всего одну формулу. При этом необходимо пристальное внимание уделять размерности. Все вычисления осуществляются в СИ. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в четвёртом классе средней школы:

1. Из населённого пункта А в точку Б выехала колонна грузовиков. Навстречу им отправился легковой автомобиль. Скорость грузоперевозчиков составляет 80 км/ч, а пассажирской машины 60 км/ч. Встретились они в точке C через полтора часа. Определить расстояние между А и Б. Решение этой задачи будет состоять из нескольких шагов. На первом можно найти путь, который проехала колона: 80 * 1,2 = 96 км. На втором вычислить пройденное расстояние второй: 60 * 1,2 = 72 км. Отсюда общий путь будет равен сумме: АС + СБ = 72 + 96 = 168 км.
2. Корабль, скорость которого в стоячих водах равна 30 км/ч, идёт по течению, а после возвращается. Скорость реки равняется трём километрам в час, промежуточная остановка занимает 5 часов. Путь от начала до возврата корабль проходит за 30 часов. Найти, сколько километров составляет весь рейс. Чтобы решить задачу, удобно составить таблицу. В столбцах нужно записать расстояние, скорость и время, а в строках расчётные данные для таких событий, как стоянка, ход по и против течения. Учитывая условие, рабочая формула примет вид: (S / 28) + (S / 22) + 5 = 30. Выражение можно упростить. В итоге должно получиться: 25 * S / 308 = 25 → S = 308. Так как путь корабля состоял из двух одинаковых расстояний, искомое расстояние будет: P = 2 * S = 308 * 2 = 616 км.
3. Железнодорожный состав проезжает мост за 45 секунд. Длина переправы составляет 450 метров. При этом стрелочник, смотря прямо, видит проходящий поезд всего 15 секунд. Найти длину состава и скорость его движения. Если принять, что поезд движется со скоростью V, то его длина будет равняться D = 15 * V. Так как состав за 45 секунд проходит расстояние 45 * V = 450 + 15 * V, из равенства легко определить скорость: V = 45 * V – 15 * V = 450 → V = 450 / 3 0 = 15 м / с. Следовательно, длина состава: D = 15 * 15 = 225 м.

Все задачи на движение можно разделить на несколько типов: перемещение навстречу, движение вдогонку, нахождение параметров относительно неподвижного объекта. Но, несмотря на их виды, все они решаются по одинаковому алгоритму, поэтому для удобства можно сделать памятку, указав в ней формулы и размерность величин.

Для решения задач на движение по прямой используется одна основная формула:

где:

• Скорость (V) — расстояние, пройденное за единицу времени.
• Время (t) — время в пути.
• Расстояние (S) — пройденный путь, или расстояние.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко  вывести из неё формулу для скорости, или времени.

Если вы запомните эту формулу, то сможете решить любую задачу на движение, так как все задачи на движение по прямой — это применение данной формулы к одному или нескольким взаимосвязанным объектам.

Рассмотрим, как решать разные задачи на движение в зависимости от условий и уровня сложности.

Все задачи на движение делятся на следующие типы:

• простые задачи на скорость, время и расстояние;
• задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
• задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
• решение задач на движение по реке.

Решение простых задач на движение: скорость, время и расстояние

В простых задачах на движение, как правило, есть один движущийся объект, для которого нужно найти неизвестную величину: скорость, время или расстояние. В данном случае применяется формула в ее первоначальном виде:

Задача 1. Автомобиль ехал 2ч со скоростью 85 км/ч. Определите расстояние. 
Решение: Вычислим путь по формуле: S=V × t= 2 ч * 85 км/ч = 170 км.

Задача 2. Велосипедист проехал 60 км за 5ч. Определите скорость.
Решение: Вычислим скорость велосипедиста по формуле: V = S:t = 60 км : 5 ч = 12 км/ч.

Задача 3. Мотоциклист проехал 30 км со скоростью 15км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь? 
Решение: Вычислим время движения мотоциклиста по формуле: t = S:V = 30 км : 15 км/ч = 2 ч.

В таких задачах нужно также следить, чтобы были одинаковыми единицы измерения. Например, если расстояние измеряется в километрах, а время — в часах,  то скорость буде измеряться в км/час. Но если единицы измерения скорости — метр/час, а время дано в минутах, то в этом случае скорость и время нужно привести к одинаковым единица измерения, иначе ответ будет неверным.

Задача 4. Мотоциклист ехал 30 минут со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он проехал?
Решение: для того, чтобы вычислить расстояние, нужно время и скорость привести к одинаковым единицам измерения. При этом есть 2 способа:
1) Переведем время: 30 минут = 30/60 = 0,5 часа.
Найдем расстояние: 60 км/ч * 0,5 ч = 30 км.
2) Переведем скорость: 60 км/ч = 60км / 1час = 60км / 60 мин = 1км/мин.
Найдем расстояние: 1км/мин*30минут = 30 км.

Решение задач на движение в разных направлениях: сближение (встречное движение) и удаление (противоположное движение)

При встречном движении расстояние между объектами уменьшается. Объекты приближаются друг к другу со скоростью сближения.
Скорость сближения находится по формуле:

При движении в противоположных направлениях скорости объектов направлены в разные стороны. Объекты удаляются друг от друга со скоростью удаления.
Скорость удаления находится по формуле: 

При решении подобных задач лучше нарисовать схему движения, чтобы было легче решать.

Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, второго — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 
Решение: 1) Найдем скорость сближения: V=10+8 = 18 км/ч.
2) Найдем время: t = S:V = 36 : 18 = 2 ч.

Задача 6. Два пешехода вышли одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода 3км/ч, второго — 4км/ч. Какое расстояние между ними будет через 30 минут?
Решение: 1) Найдем скорость удаления пешеходов: V = 3+4=7 км/час.
2) Переведем в соответствие единицы измерения: t=30 мин = 0,5 ч.
3) Найдем расстояние: S=V × t = 7 × 0,5 = 3,5 км.

Задача 7. Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км. Через 2 часа они встретились. Найдите второго второго автобуса, если первый ехал со скоростью 70 км/ч.
Решение. 1) Нам известно расстояние и скорость, поэтому найдем скорость по формуле: V = S:t = 300:2=150км/ч. Это скорость сближения.
2) Найдем скорость второго автобуса: 150-70 = 80км/ч.

Решение задач на движение в одном направлении: сближение и удаление

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “догоняет” второй, то расстояние между объектами уменьшается.
Скорость сближения при таком движении определяют по формуле:

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “отстает” от второго, то расстояние между объектами увеличивается.
Скорость удаления при таком движении определяют по формуле:

Если объект движется в стоячей воде (озере), то его скорость называют собственной скоростью объекта. То есть, скорость объекта равная собственной скорости объекта.

Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость равна нулю (V=0). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задача 8. Расстояние между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, составляет 20 км. Первый автомобиль едет со скоростью 40км/ч, второй — со скоростью 30км/ч. Через сколько часов первый автомобиль догонит второй?
Решение. 1) Найдем скорость сближения автомобилей: V=40-30=10км/ч.

2) Зная расстояние (20км) и скорость сближения (10км/ч) найдем время: 20:10=2 часа.

Задача 9. Из одного населенного пункта выехали автомобиль и автобус. скорость автомобиля 70 км/ч, скорость автобуса — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Решение. 1) Найдем скорость удаления : V=70-50=20км/ч.
2) Зная скорость удаления и время, найдем расстояние: S = 20*3 =60 км.

Решение задач на движение по реке

Особенностью задач на движение реке является то, что у объекта появляется дополнительная скорость — скорость течения реки. При этом возможно два варианта:

• по течению реки → скорость увеличивается;
• против течения реки → скорость уменьшается.

Таким образом, в задачах рассматривают 2 скорости: 

• Скорость собственная — Vs;
• Скорость течения реки — Vt.

Задача 9. Собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка через 3 часа, если она плывёт по течению реки?
Решение. 1) Найдем скорость лодки. Так как она плывет по течению реки, ее скорость увеличивается. 
V = Vs+ Vt = 12+3 =15км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 15×3=45км.

Задача 10. Собственная скорость катера составляет 30 км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер через 4 часа, если он плывёт против течения реки?
Решение. 1) Найдем скорость. Так как катер плывет против течения реки, его скорость уменьшится. 
V = Vs- Vt = 30-4 =26 км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 26 * 4 = 104 км.

Задача 10. Скорость лодки равна 10 км/ч. При этом надо успеть проплыть 25 км за 2 часа по течению реки. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы успеть в срок? 
Решение. 1) Найдем нужную скорость: V=S:t = 25:2=12,5 км/ч.
2) Найдем скорость, которую нужно прибавить до нужно (скорость течения реки): 12,5-10=2,5км/ч.

Задача 11. Уровень ЕГЭ.
Катер прошёл по течению реки 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения.
Решение: Пусть Vt — cкорость течения реки, тогда:
1) В одну сторону: 27+Vt  – скорость перемещения катера по течению, S=120км.
2) В обратную сторону: 27-Vt  – скорость перемещения катера против течения, S=120км.
Выразим время:
1) В одну сторону:  t=S:V = 120:(27+Vt) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
2) В обратную сторону:  t=S:V = 120:(27-Vt) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:
120:(27+Vt) +1 = 120:(27-Vt).
Далее решаем уравнение и получаем ответ 3 км/ч.

Больше задач на движение Ваш ребёнок может решить, скачав программы:

Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.

Полезные советы для решения задач на движения

• В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который  будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
• Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.
• При решении задач на движение рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или перемещается между пунктами А и В туда и обратно. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка облегчает составление математической модели.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.