Функция распределения случайной величины
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Краткая теория
Пусть
– действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что
примет значение, меньшее
, то есть вероятность
события
обозначим через
. Разумеется, если
изменяется, то, вообще говоря, изменяется и
, то есть
– функция от
.
Функцией распределения называют функцию
, определяющую вероятность
того, что случайная величина
в результате испытания примет значение,
меньшее
, то есть:
Геометрически
это равенство можно истолковать так:
есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки
.
Иногда
вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная
функция».
Функцию
распределения дискретной случайной величины
можно представить следующим соотношением:
Это
соотношение можно переписать в развернутом виде:
Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции
равна 1.
Свойства функции распределения
Свойство 1.
Значения
функции распределения принадлежат отрезку
:
Свойство 2.
– неубывающая функция, то есть:
,
если
Свойство 3.
Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу
,
то:
1)
при
;
2)
при
Свойство 4.
Справедливо равенство:
Свойство 5.
Вероятность того, что непрерывная случайная
величина
примет одно определенное значение, равна нулю.
Таким образом, не представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал,
пусть даже сколь угодно малый.
Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности
означает, что событие
невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным
.
Свойство 6.
Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси
,
то справедливы следующие предельные соотношения:
Свойство 7.
Функция распределения непрерывная слева, то есть:
Смежные темы решебника:
- Дискретная случайная величина
- Непрерывная случайная величина
- Математическое ожидание
- Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Примеры решения задач
Пример 1
Дан ряд
распределения случайной величины
:
|
|
1 | 2 | 6 | 8 |
|
|
0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
Найти и изобразить ее функцию распределения.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Будем задавать различные значения
и находить для них
1. Если
,
то, очевидно,
в том числе и при
2. Пусть
(например
)
Очевидно, что и
3. Пусть
(например
);
Очевидно, что и
4. Пусть
Очевидно, что и
5. Пусть
Итак:
График функции распределения
Пример 2
Случайная
величина
задана функцией распределения:
Найти
вероятность того, что в результате испытания
примет значение:
а) меньше
0,2;
б) меньше
трех;
в) не
меньше трех;
г) не
меньше пяти.
Решение
а) Так
как при
функция
, то
то есть
при
б)
в)
События
и
противоположны, поэтому
Отсюда:
г) сумма
вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому
Отсюда, в
силу того что при
функция
, получим:
Пример 3
Задана
непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей f(x). Требуется:
1)
определить коэффициент A;
2) найти
функцию распределения F(x);
3)
схематично построить графики функций f(x) и F(x);
4)
вычислить математическое ожидание и дисперсию X;
5)
определить вероятность того, что X примет значение из
интервала (a,b).
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
1)
Постоянный параметр
найдем из
свойства плотности вероятности:
В
нашем случае эта формула имеет вид:
Получаем:
2)
Функцию распределения
найдем из
формулы:
Учитывая
свойства
, сразу можем отметить,
что:
и
Остается
найти выражение для
, когда х принадлежит интервалу
:
Получаем:
3) Построим графики функций:
График плотности распределения
График функции распределения
4) Вычислим
математическое ожидание:
В нашем случае:
Вычислим дисперсию:
Искомая дисперсия:
5) Вероятность того, что
примет значение из интервала
:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Закон
распределения случайной величины X задан таблицей.
Найти ее
математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной
точке.
F(1)=
M[X]=
D[X]=
Задача 2
Случайная
величины X задана функцией распределения
Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8),
(1,8; 2,3)
Задача 3
Дискретная
случайная величина X задана рядом распределения. Найти:
1)
функцию распределения F(x) и ее график;
2)
математическое ожидание M(X);
3)
дисперсию D(X).
|
|
-5 | 5 | 25 | 45 | 65 |
|
|
0.2 | 0.15 | 0.3 | 0.25 | 0.1 |
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 4
В задаче
дискретная случайная величина задана рядом распределения.
Найти
; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)
Задача 5
В задаче
непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x).
Найти a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)
Начертить
графики функций f(x);F(x).
Задача 6
Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна
(
). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.
Задача 7
Функция
распределения непрерывной случайной величины задана выражением:
Найдите:
1)
параметр a;
2)
плотность вероятностей;
4) P(0<x<1)
Постройте
графики интегральной и дифференциальной функции распределения.
Задача 8
Дана
интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).
Задача 9
Дана
функция распределения F(х) случайной величины Х.
Найти плотность
распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X) и вероятность попадания X на
отрезок [a,b]. Построить графики
функций F(x) и f(x).
Задача 10
НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)
Найти:
а)
постоянную C=const;
б)
функцию распределения F(x);
в)
вероятность попадания в интервал -1<x<1
г)
построить графики f(x), F(x).
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
2.2.7. Функция распределения случайной величины
Стандартное обозначение: 
И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:
, где 
– вероятность того, что случайная величина
примет значение,
МЕНЬШЕЕ, чем переменная 
, которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до
«плюс» бесконечности.
Построим функцию распределения для нашей подопытной игры:
Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение 
? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: 
. Совершенно понятно, что 
и для всех «икс» из интервала 
, а также для 
. Почему? По определению функции распределения:
– вы согласны? Функция
возвращает вероятность того,
что в точке 
выигрыш
будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.
Таким образом: 
, если 
.
На интервале 
функция 
, поскольку левее
любой точки этого интервала есть только одно значение 
случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того,
сюда же следует отнести точку 
,
так как:
– очень хорошо осознайте этот
момент!
Таким образом, если 
, то 
Далее рассматриваем промежуток 
. СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша 
, поэтому:
И, наконец, если 
, то 
, ибо все значения
случайной величины 
лежат СТРОГО левее
любой точки интервала 
Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция 
характеризует вероятность, то
она может принимать значения лишь из промежутка 
– и никакие другие!
Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать
фигурные скобки:
График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:
Причём, функция 
или её
график однозначно определяют сам закон распределения: в точке 
высота «ступеньки» (разрыв) составляет 
(следим по графику), в точке 
«скачок» разрыва равен 
и, наконец, в точке 
он равен в точности 
.
Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ
особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и
несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время, и НСВ – тоже.
Освоим технические моменты решения типовой задачи:
Задача 93
Построить функцию распределения случайной величины 
Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:
…, пожалуй, достаточно.
Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения функции распределения:
Сначала берём первое значение 
и составляем нестрогое неравенство 
. На этом промежутке 
.
На промежутке 
(между
и 
):
На промежутке 
(между
и 
):
На промежутке 
(между
и 
):
И, наконец, если 
строго
больше самого последнего значения 
, то:
Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию 
иногда называют интегральной функцией распределения. В
практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку:
Выполним чертёж:
и проконтролируем правильность решения с помощью «скачков» графика: в точке 
«скачок» равен 
, в точке 
составляет 
, в точке 
равен 
, и, наконец, в точке 
– 
.
При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб:
горизонтальная ось: 1 ед. = 2 или 1 тетрадная клетка;
вертикальная ось: 0,1 = 1 тетрадная клетка.
На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. Левый нижний луч следует прочертить жирно
(чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше
острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. То было ручное
построение. Ну а о том, как строить такие красивые графики в Экселе можно узнать в этом ролике на Ютубе, к слову, полигон (многоугольник) распределения строится ещё проще.
Переходим ко второй части задания, её коротко можно сформулировать так:
2.2.8. Вероятность попадания в промежуток
2.2.6. Многоугольник распределения
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Дискретные распределения вероятностей и их параметры
- Общие свойства дискретного распределения
- Функция распределения дискретной случайной величины
- Числовые характеристики дискретного распределения
- Таблица дискретных распределений, их параметров и числовых характеристик
- Примеры
п.1. Общие свойства дискретного распределения
Величина, которая в результате испытания может принимать то или иное числовое значение, называется случайной величиной.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более чем счетное количество значений.
Дискретная случайная величина называется конечной, если она принимает конечное число значений.
Согласно данному определению дискретная величина может быть определена либо на бесконечном счетном множестве, либо на конечном множестве (которое всегда счетное).
Напомним, что счетным называется множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы которого можно пронумеровать (см. §11 справочника для 8 класса).
Например:
1) При подбрасывании игрального кубика мы получаем всего 6 исходов. Случайная величина X – выпавшее число очков – принимает конечное число значений (Omega=left{1;2;3;4;5;6right}), т.е. является дискретной конечной случайной величиной.
2) Случайная величина X – количество поступивших вызовов на сервер за сутки – не ограничена сверху и может принимать значения (Omega=left{1;2;3;…right})
Правило, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностью получения каждого из этих значений в испытании, называется законом распределения.
Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.
Закон распределения конечной дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, называют рядом распределения.
Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:
| t, °C | 36,3 | 36,4 | 36,5 | 36,6 | 36,7 | 36,8 | 36,9 | 37,0 | 37,1 |
| p(t) | 0,05 | 0,07 | 0,15 | 0,33 | 0,31 | 0,11 | 0,04 | 0,01 | 0,01 |
Значения (left{x_1,x_2,…,x_kright}), которые может принимать конечная случайная величина X, являются несовместными и образуют полную группу событий. Сумма их вероятностей: $$ sum_{i=1}^k p_i=1, p_igeq 0 $$
Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.
Например:
Пусть в урне находится 2 белых и 3 черных шара. Мы достаем шар, смотрим на его цвет, возвращаем его обратно и все шары перемешиваем. Таким образом, событие A=«достали белый шар» каждый раз является независимым от предыдущих и имеет вероятность (p=frac25).
Пусть мы провели n=3 испытания. В 3 испытаниях можно получить от 0 до 3 белых шаров. Вероятность событий (kinleft{0;1;2;3right}) описывается биномиальным законом распределения (см. §40 справочника для 9 класса): $$ P_3(k)=C_3^k p^k q^{3-q}, k=overline{0;3} $$ Получаем закон распределения: begin{gather*} P_3(0)=C_3^0 p^0 q^{3-0}=q^3=left(frac35right)^3=frac{27}{125}\ P_3(1)=C_3^1 p^1 q^{3-1}=3pq^2=3cdot frac25cdot left(frac35right)^2=frac{54}{125}\ P_3(2)=C_3^2 p^2 q^{3-2}=3p^2q=3cdot left(frac25right)^2cdot frac35=frac{36}{125}\ P_3(3)=C_3^3 p^3 q^{3-3}=p^3=left(frac25right)^3=frac{8}{125} end{gather*}
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| (P_3(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) |
Сумма вероятностей: $$ sum_{k=0}^3 P(k)=frac{27+54+36+8}{125}=1 $$
п.2. Функция распределения дискретной случайной величины
Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию, которая определяет вероятность, что значение случайной величины X не превышает граничное значение x: $$ F(x)=P(Xleq x) $$
Для дискретной случайной величины функция распределения будет ступенчатой кусочно-непрерывной функцией, область значений которой: (F(x)in[0;1]).
Слева на графике функции распределения будет нулевая «ступенька», а справа – единичная «ступенька».
Например:
Найдем из закона распределения случайной величины k, полученного в предыдущем примере для урны с шарами, функцию распределения.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| (P_3(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) |
| (F(k)) | (frac{27}{125}) | (frac{27+54}{125}=frac{81}{125}) | (frac{81+36}{125}=frac{117}{125}) | (frac{117+8}{125}=1) |
Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:
Построим график для функции распределения: begin{gather*} F(k)= begin{cases} 0, kleq 0\ frac{27}{125}, 0lt kleq 1\ frac{81}{125}, 1lt klt 2\ frac{117}{125}, 2lt kleq 3\ 1, kgt 3 end{cases} end{gather*} 
п.3. Числовые характеристики дискретного распределения
Числовыми характеристиками дискретного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Подробно о свойствах этих характеристик – см. §41 справочника для 9 класса.
Здесь мы приведем только основные определения.
Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {xi} равно сумме произведений всех возможных значений xi на соответствующие вероятности pi: $$ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.
Дисперсия дискретной случайной величины X = {xi} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ D(X)=M(X-M(X))^2 $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) $$
Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {xi} – это корень квадратный от дисперсии: $$ sigma(X)=sqrt{D(X)} $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.
Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:
| (x_i) | 0 | 1 | 2 | 3 | ∑ |
| (p_i) | (frac{27}{125}) | (frac{54}{125}) | (frac{36}{125}) | (frac{8}{125}) | (1) |
| (x_i p_i) | (0) | (frac{54}{125}) | (frac{72}{125}) | (frac{24}{125}) | (1,2) |
| (x_i^2) | 0 | 1 | 4 | 9 | – |
| (x_i^2 p_i) | (0) | (frac{54}{125}) | (frac{144}{125}) | (frac{72}{125}) | (2,16) |
Получаем begin{gather*} M(X)=sum_{i=0}^3 x_i p_i=1,2=frac65\ D(X)=sum_{i=0}^3 x_i^2 p_i-M^2(X)=2,16-1,2^2=0,72=frac{18}{25}\ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{frac{18}{25}}=frac{3sqrt{2}}{5} end{gather*} В научных статьях и технической документации принято записывать случайные величины в виде (x=M(X)pmsigma (X)).
В данном случае для числа вынутых белых шаров в 3 испытаниях можем записать: $$ k=frac{6pm 3sqrt{2}}{5} $$
п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров
| Название | Принятое обозначение |
Плотность распределения |
Мат. ожидание |
Дисперсия |
| Дискретное равномерное | (U(N)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac1N\ Ninmathbb{N}, kinleft{1,…,Nright} end{gather*} | (frac{N+1}{2}) | (frac{N^2-1}{12}) |
| Бернулли | (B(1,p)) | begin{gather*} P(0)=1-p=q\ P(1)=p\ kinleft{0;1right} end{gather*} | (p) | (pq) |
| Биномиальное | (B(n,p)) | begin{gather*} P(left{kright})=C_n^k p^k q^{n-k}\ ninmathbb{N}, k=inleft{0,1,…,nright} end{gather*} | (np) | (npq) |
| Пуассона | (Pois(lambda)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}\ lambdagt 0, k=inleft{0,1,…,nright} end{gather*} | (lambda) | (lambda) |
| Геометрическое | (Geopm(p)) | begin{gather*} P(left{kright})=pq^{k-1}\ k=inleft{0,1,2,…right} end{gather*} | (frac1p) | (frac{q}{p^2}) |
| Гипер-геометрическое | (HG(D,N,n)) | begin{gather*} P(left{kright})=frac{C_D^k C_{N_D}^{n-k}}{C_N^n} end{gather*} | (frac{nD}{N}) | $$frac{frac{nD}{N}left(1-frac DNright)(N-n)}{N-1}$$ |
п.5. Примеры
Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения
Случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число N значений с равными вероятностями. Значения исходов (k_iinleft{1,…,Nright}). Вероятность каждого из исходов (p_i=frac1N, i=overline{1,N}).
Предварительно заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии: $$ sum_{i=1}^N k_i=1+2+…+N=frac{N(N+1)}{2} $$ А сумму квадратов можно найти по формуле Архимеда (доказательство – см. пример 2 в §25 справочника для 9 класса): $$ sum_{i=1}^N k_i^2=1^2+2^2+…+N^2=frac{N(N+1)(2N+1)}{6} $$ Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=sum_{i=1}^N k_ip_i=sum_{i=1}^N k_icdot frac1N=frac1N(1+2+…+N)=frac1Ncdotfrac{N(N+1)}{2}=frac{N+1}{2} $$ Найдем дисперсию: begin{gather*} D(X)=sum_{i=1}^N k_i^2 p_i-M^2(X)=sum_{i=1}^N k_i^2cdotfrac1N-M^2(X)=\ =frac1Ncdotfrac{N(N+1)(2N_1)}{6}-left(frac{N+1}{2}right)^2=frac{(N+1)(2N+1)}{6}-frac{(N+1)^2}{4}=\ =frac{N+1}{2}left(frac{2N+1}{3}-frac{N+1}{2}right)=frac{N+1}{2}cdotfrac{4N+2-3N-3}{6}=frac{N+1}{2}cdotfrac{N-1}{6}=frac{N^2-1}{12} end{gather*} В частности, для игрального кубика: $$ N=6; p_i=frac16; M(X)=frac{6+1}{2}=3,5; D(X)=frac{6^2-1}{12}=2frac{11}{12} $$
Ответ: (M(X)=frac{N+1}{2}; D(X)=frac{N^2-1}{12})
Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.
Случайная величина k имеет распределение Бернулли, если k принимает значения 1 или 0 с вероятностями p и 1-p соответственно. $$ P(0)=1-p=1, P(1)=p, kinleft{0;1right} $$
Закон распределения:
| (k_i) | 0 | 1 |
| (p_i) | 1-p | p |
Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=0cdot (1-p)+1cdot p=p $$ Найдем дисперсию: begin{gather*} D(X)=(0^2cdot(1-p)+1^2cdot p)-M^2(X)=p-p^2=p(1-p)=pq end{gather*}
Типичным примером является бросание монеты, где (M(X)=p=0,5) и (D(X)=0,5cdot 0,5=0,25). Дисперсия максимальна для нефальшивой монеты.
Рассмотрим другой пример – бросание фальшивой монеты, для которой вероятность выпадения орла (k=1) равна p=0,7. Тогда (M(k)=p=0,7), дисперсия (D(k)=0,7cdot 0,3=0,21). Как и ожидалось, для фальшивой монеты средняя величина возрастает (70% бросков заканчивается выпадением орла). При этом дисперсия уменьшается.
Ответ: (M(X)=p, D(X)=pq)
Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.
Схема Бернулли – это последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода – «успех» и «неудача».
При этом вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна (pin(0;1)).
Вероятность неудачи в каждом испытании (q=1-p).
Вероятность того, что событие A появится в n испытаниях Бернулли ровно k раз, выражается биномиальным распределением: $$ P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k} $$
Математическое ожидание и дисперсию для одного опыта Бернулли мы получили в примере 2: (M(X)=p, D(X)=pq).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (X=X_1+X_2+…+X_n). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): begin{gather*} M(X)=M(X_1+X_2+…+X_n)=M(X_1)+M(X_2)+…+M(X_n)=\ =underbrace{p+p+…+p}_{n раз}=np end{gather*} По свойству дисперсии суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): begin{gather*} D(X)=D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)=\ =underbrace{pq+pq+…+pq}_{n раз}=npq end{gather*} Например, пусть событие A=«уронить молоток на ногу» имеет вероятность p=0,1.
Тогда для n=100 забиваний гвоздей вы в среднем уроните молоток на ногу
(M(X)=np=100cdot 0,1=10) раз
Дисперсия этого события (D(X)=npq=100cdot 0,1cdot 0,9=9)
СКО (sigma(X)=sqrt{D(X)}=3)
По правилу «трех сигм» интервал оценки: begin{gather*} 10-3cdot 3lt Xlt 10+3cdot 3\ -17lt Xlt 37\ 0leq Xleq 36 end{gather*} Скорее всего (вероятность 99,72%), вы уроните молоток от 0 до 36 раз.
Ответ: (M(X)=np, D(X)=npq)
Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.
Если проводится очень много испытаний Бернулли, для каждого из которых вероятность появления события A мала: (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda), вероятность того, что событие A появится ровно k раз выражается распределением Пуассона: $$ p_k(lambda)=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda}, k=inleft{0,1,2,…right} $$
Распределение Пуассона получается из биномиального распределения предельным переходом (nrightarrowinfty, prightarrow 0, nprightarrowlambda).
Найдем математическое ожидание как предел мат. ожидания биномиального распределения: $$ M(X)=lim_{nprightarrowlambda}M_B(X)=lim_{nprightarrowlambda}(np)=lambda $$ Т.е. параметр (lambda) является средним числом удачных исходов.
Дисперсия, если учесть что (prightarrow 0), а значит (q=1-prightarrow 1) $$ D(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}} D_B(X)=underset{qrightarrow 1}{lim_{nprightarrowlambda}}(npq)=lambdacdot 1=lambda $$
Например, в городе размерами 10х10 км болеет гриппом 1000 человек.
С какой вероятностью в комнате размерами 10х10 м:
а) не окажется больных;
б) окажется 1 больной?
Площадь города в метрах (S=(10^4)^2=10^8) м2
Площадь комнаты в метрах (s_0=10^2) м2
Среднее количество больных в комнате: (lambda=Nfrac{s_0}{S}=10^3cdotfrac{10^2}{10^3}=10^{-3}=0,001)
а) вероятность того, что в комнате не окажется больных: $$ p_0=frac{0,001^0}{0!}e^{-0,001}=e^{-0,001}approx 1-0,001=0,999 $$ Здесь мы использовали формулу приближенных вычислений (e^xapprox 1+x, xrightarrow 0) (см. §52 данного справочника).
б) вероятность того, что в комнате окажется один больной: $$ p_1=frac{0,001^1}{1!}e^{-0,001}=0,000999approx 0,001 $$ Вероятность всех остальных случаев пренебрежимо мала.
Таким образом, при малых (lambda) вероятности (p_0approx 1-lambda, p_1approxlambda), т.е. фактически мы получаем распределение Бернулли.
Ответ: (M(X)=lambda , D(X)=lambda)
Дискретная случайная
величина может быть задана перечнем
всех ее возможных значений и их
вероятностей. Такой способ задания не
является общим: он не применим, например,
для непрерывных случайных величин.
Действительно,
рассмотрим случайную величину Х,
возможные значения которой сплошь
заполняют интервал (а,
b).
Очевидно, что нельзя составить перечень
всех возможных значений Х.
Этот пример указывает на целесообразность
дать общий способ задания любых типов
случайных величин. С этой целью и вводят
функции распределения вероятностей
случайной величины.
Пусть х
– действительное число. Вероятность
события, состоящего в том, что Х
примет значение, меньшее х,
т. е. вероятность события
,
обозначим
.
Разумеется, если
х изменяется,
то, вообще говоря, изменяется и
,
т. е.
– функция от х.
Функцией распределения
называют функцию
,
определяющую вероятность того, что
случайная величина Х
в результате испытания примет значение,
меньшее х,
т. е.
.
Геометрически это
равенство можно истолковать так:
есть вероятность того, что случайная
величина примет значение, которое
изображается на числовой оси точкой,
лежащей левее точки х.
Иногда вместо
термина «функция распределения»
используют термины «интегральная
функция» или «интегральный закон
распределения». Теперь можно дать более
точное определение непрерывной случайной
величины: случайную величину называют
непрерывной, если ее функция распределения
есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая
функция с непрерывной производной.
Функция распределения
случайной величины
Х
имеет следующие свойства:
1.
Все значения функции распределения
принадлежат отрезку [0, 1], т. е.
Свойство вытекает
из определения функции распределения
как вероятности: вероятность всегда
есть неотрицательное число, не превышающее
единицы.
2.
– неубывающая функция, т. е.
≥
,
если
.
Из этого свойства
вытекают два важных следствия:
а) вероятность
того, что случайная величина примет
значение, заключенное в интервале [a,
b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале:
.
Пример
2.1.
Случайная величина Х
задана функцией распределения:
Найти вероятность
того, что в результате испытания Х
примет значение, принадлежащее интервалу
(0, 2):
.
Так как на интервале
(0, 2) по условию
то
.
Итак:
;
б) вероятность
того, что непрерывная случайная величина
Х
примет одно определенное значение,
равна нулю.
Таким образом, не
представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная
случайная величина примет одно
определенное значение, но имеет смысл
рассматривать вероятность попадания
ее в интервал, пусть даже сколь угодно
малый. Этот факт полностью соответствует
требованиям практических задач. Например,
интересуются вероятностью того, что
размеры деталей не выходят за дозволенные
границы, но не ставят вопроса о вероятности
их совпадения с проектным размером.
Заметим, что было
бы неправильным думать, что равенство
нулю вероятности
означает, что событие
невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности).
Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет
одно из возможных значений, в частности,
это значение может оказаться равным
х1.
3. Если возможные
значения случайной величины принадлежат
интервалу
,
то
при
,
при
.
С л е д с т в и е.
Если возможные значения непрерывной
случайной величины расположены на всей
оси х,
то справедливы следующие предельные
соотношения:
;
.
4. Функция
в точке х0
непрерывна слева, т. е.
.
Функция распределения
для дискретной случайной величины Х,
которая может принимать значения х1,
х2,
… хп
с соответствующими вероятностями, имеет
вид
,
где символ
<
х
означает, что суммируются вероятности
тех значений, которые меньше х.
В данном случае функция является
разрывной (имеет ступенчатый вид).
Приведенные свойства позволяют
представить, как выглядит график функции
распределения.
Для дискретных
случайных величин функция распределения
есть разрывная ступенчатая функция,
непрерывная слева (рис. 2.1):
Рис. 2.1
График
расположен в полосе, ограниченной
прямыми
.
При возрастании х
в интервале
,
в котором заключены все возможные
значения случайной величины, график
«поднимается вверх». При
ординаты графика равны нулю, при
ординаты графика равны единице.
Пример
2.2. Дана
функция
Показать, что эта
функция является функцией распределения
некоторой случайной величины Х.
График функции
имеет вид:
Рис. 2.2
Все значения этой
величины принадлежат отрезку
,
так как
Функция
является неубывающей: в промежутке
она постоянная, равна нулю, в промежутке
возрастает, в промежутке
также постоянная, равная единице. Функция
непрерывна в каждой точке х0
области ее определения – промежутка
,
поэтому непрерывна слева и справа.
Следовательно,
функция
удовлетворяет всем свойствам, характерным
для функции распределения. Функция
является
функцией распределения некоторой
случайной величины Х.
Пример
2.3.
Дискретная случайная величина Х
задана рядом
распределения
|
хi |
1 4 8 |
|
рi |
0,3 |
Найти функцию
распределения и вычертить ее график.
Если
,
то
(третье свойство). Если
,
то
.
Действительно, Х
может принять значение 1 с вероятностью
0,3. Если
то
.
Действительно, если х1
удовлетворяет неравенству
,
то
равна вероятности события
,
которое может быть осуществлено, когда
Х
примет значение 1 (вероятность этого
события равна 0,3) или значение 1 (вероятность
этого события равна 0,1). Поскольку эти
два события несовместны, то по теореме
сложения вероятность события
равна сумме вероятностей
.
Если
то
=1.
Действительно, событие
достоверно, следовательно, его вероятность
равна единице.
Итак, функция
распределения аналитически может быть
записана так:
График этой функции
приведен на рис. 2.3.
Рис. 2.3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Дискретная случайная величина
На этой странице мы собрали краткую теорию и примеры решения учебных задач, в которых дискретная случайная величина уже задана своим рядом распределения (табличный вид) и требуется ее исследовать: найти числовые характеристики, построить графики и т.д. Примеры на известные виды распределения вы можете найти по ссылкам:
- Биномиальный закон распределения
- Гипергеометрический закон распределения
- Геометрический закон распределения
- Закон распределения Пуассона
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Краткая теория о ДСВ
Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений $x_i$, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей $p_i=P(X=x_i)$. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай $i=overline{1,n}$. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:
$$
begin{array}{|c|c|}
hline
X_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \
hline
p_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \
hline
end{array}
$$
При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице
$$sum_{i=1}^{n} p_i=1$$
Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами $(x_i,p_i)$ и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете ниже.
Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание:
$$M(X) = sum_{i=1}^{n} x_i cdot p_i$$
Дисперсия:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = sum_{i=1}^{n} x_i^2 cdot p_i – (M(X))^2$$
Среднее квадратическое отклонение:
$$sigma (X) = sqrt{D(X)}$$
Коэффициент вариации:
$$V(X) = frac{sigma(X)}{M(X)}$$.
Мода: значение $Mo=x_k$ с наибольшей вероятностью $p_k=max_i{p_i}$.
Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ.
Функция распределения ДСВ
По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины $F(x)=P(Xlt x)$. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение меньшее некоторого числа $x$. Примеры построения с подробными вычислениями и графиками вы найдете в примерах ниже.
Примеры решенных задач
Задача 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Построить многоугольник распределения и функцию распределения $F(x)$. Вычислить: $M[X], D[X], sigma[X]$, а также коэффициент вариации, асимметрии, эксцесса, моду и медиану.
Задача 2. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:
а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х;
б) построить график этого распределения.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Задача 3. Для случайной величины Х с данным рядом распределения
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) найдите $р_1$ и $р_2$ так, чтобы $М(Х)=0,5$
Б) после этого вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$ и постройте график ее функции распределения
Задача 4. Дискретная СВ $X$ может принимать только два значения: $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 lt x_2$. Известны вероятность $P$ возможного значения, математическое ожидание $M(x)$ и дисперсия $D(x)$. Найти: 1) Закон распределения этой случайной величины; 2) Функцию распределения СВ $X$; 3) Построить график $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$
Задача 5. Случайная величина Х принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.
Задача 6. Дан ряд распределения дискретной с.в. $Х$. Найти числовые характеристики положения и рассеивания с.в. $Х$. Найти м.о. и дисперсию с.в. $Y=X/2-2$, не записывая ряда распределения с.в. $Y$, проверить результат с помощью производящей функции.
Построить функцию распределения с.в. $Х$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦
Задача 7. Распределение дискретной случайной величины $Х$ задано следующей таблицей (рядом распределения):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Определить недостающее значение в таблице распределения. Вычислить основные числовые характеристики распределения: $M_x, D_x, sigma_x$. Найти и построить функцию распределения $F(x)$. Определить вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значения:
А) больше чем 6,
Б) меньше чем 12,
В) не больше 9.
Задача 8. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).
Задача 9. Задан закон распределения дискретной случайной величины $X$ (в первой строке указаны возможные значения $x_i$, во второй строке – вероятности возможных значений $p_i$).
Найти:
А) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$;
Б) составить функцию распределения случайной величины $F(x)$ и построить ее график;
В) вычислить вероятности попадания случайной величины $X$ в интервал $x_2 lt X lt x_4$, пользуясь составленной функцией распределения $F(x)$;
Г) составить закон распределения величины $Y=100-2X$;
Д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины $Y$ двумя способами, т.е. пользуясь
свойством математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Задача 10. Дискретная случайная величина задана таблице. Вычислить ее начальные и центральные моменты до 4 порядка включительно. Найти вероятности событий $xi lt Mxi$, $xi ge M xi$, $xi lt 1/2 M xi$, $xi ge 1/2 M xi$.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей
Решебник по терверу
Нужны еще решения? Более 11000 подробно решенных и оформленных задач. Найди в решебнике сейчас:
