Как составить функцию распределения дсв



2.2.7. Функция распределения случайной величины

Стандартное обозначение:

И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

, где – вероятность того, что случайная величина

 примет значение,

МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до

«плюс» бесконечности.

Построим функцию распределения для нашей подопытной игры:

Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: . Совершенно понятно, что   и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения:
 – вы согласны?  Функция

 возвращает вероятность того,

что в точке  выигрыш

будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

Таким образом: , если .
На интервале  функция , поскольку левее

любой точки этого интервала есть только одно значение  случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того,

сюда же следует отнести точку ,

так как:
 – очень хорошо осознайте этот

момент!

Таким образом, если , то

Далее рассматриваем  промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:

И, наконец, если , то , ибо все значения

 случайной величины  лежат СТРОГО левее

любой точки интервала

Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция  характеризует вероятность, то

она может принимать значения лишь из промежутка  – и никакие другие!

Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать

фигурные скобки:

График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:

Причём, функция  или её

график однозначно определяют сам закон распределения: в точке  высота «ступеньки» (разрыв) составляет  (следим по графику), в точке  «скачок» разрыва равен  и, наконец, в точке  он равен в точности .
Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ

особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и

несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время, и НСВ – тоже.

Освоим технические моменты решения типовой задачи:

Задача 93
Построить функцию распределения случайной величины

Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:

…, пожалуй, достаточно.

Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения функции распределения:

Сначала берём первое значение   и составляем нестрогое неравенство . На этом промежутке .

На промежутке  (между

 и ):

На промежутке  (между

 и ):

На промежутке  (между

 и ):

И, наконец, если  строго

больше самого последнего значения , то:

Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию  иногда называют интегральной функцией распределения. В

практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку:

Выполним чертёж:

и проконтролируем правильность решения с помощью «скачков» графика: в точке  «скачок» равен , в точке составляет , в точке  равен , и, наконец, в точке  – .

При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб:
горизонтальная ось:  1 ед. = 2 или 1 тетрадная клетка;
вертикальная ось: 0,1 = 1 тетрадная клетка.

На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. Левый нижний луч следует прочертить жирно

(чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше

острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. То было ручное

построение. Ну а о том, как строить такие красивые графики в Экселе можно узнать в этом ролике на Ютубе, к слову, полигон (многоугольник) распределения строится ещё проще.

Переходим ко второй части задания, её коротко можно сформулировать так:

2.2.8. Вероятность попадания в промежуток

2.2.6. Многоугольник распределения



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Функция распределения случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Пусть

 – действительное число. Вероятность события,
состоящего в том, что

 примет значение, меньшее

, то есть вероятность
события

 обозначим через

. Разумеется, если

 изменяется, то, вообще говоря, изменяется и

, то есть

 – функция от

.

Функцией распределения называют функцию

, определяющую вероятность
того, что случайная величина

 в результате испытания примет значение,
меньшее

, то есть:

Геометрически
это равенство можно истолковать так:

 есть вероятность того, что случайная величина примет
значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки

.

Иногда
вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная
функция».

Функцию
распределения дискретной случайной величины

 можно представить следующим соотношением:

Это
соотношение можно переписать в развернутом виде:

Функция
распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция,
скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям
случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков
функции

 равна 1.

Свойства функции распределения

Свойство 1.

Значения
функции распределения принадлежат отрезку

:

---

Свойство 2.

 – неубывающая функция, то есть:

,
если

---

Свойство 3.

Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу

,
то:

1)

 при

;

2)

 при

---

Свойство 4.

Справедливо равенство:

---

Свойство 5.

Вероятность того, что непрерывная случайная
величина

 примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не представляет интереса говорить о
вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное
значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал,
пусть даже сколь угодно малый.

Заметим, что было бы неправильным думать, что
равенство нулю вероятности

 означает, что событие

 невозможно (если, конечно, не ограничиваться
классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания
случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности,
это значение может оказаться равным

.

---

Свойство 6.

Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси

,
то справедливы следующие предельные соотношения:

---

Свойство 7.

Функция распределения непрерывная слева, то есть:

Смежные темы решебника:

• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина
• Математическое ожидание
• Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач

---

Пример 1

Дан ряд
распределения случайной величины

:

	1	2	6	8
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти и изобразить ее функцию распределения.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Будем задавать различные значения

 и находить для них

1. Если

,
то, очевидно,

в том числе и при

2. Пусть

 (например

)

Очевидно, что и

3. Пусть

 (например

);

Очевидно, что и

4. Пусть

Очевидно, что и

5. Пусть

Итак:

График функции распределения

---

Пример 2

Случайная
величина

 задана функцией распределения:

Найти
вероятность того, что в результате испытания

 примет значение:

а) меньше
0,2;

б) меньше
трех;

в) не
меньше трех;

г) не
меньше пяти.

Решение

а) Так
как при

 функция

, то

то есть
при

б)

в)
События

 и

 противоположны, поэтому

Отсюда:

г) сумма
вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому

Отсюда, в
силу того что при

 функция

, получим:

---

Пример 3

Задана
непрерывная случайная величина X своей плотностью
распределения вероятностей f(x). Требуется:

1)
определить коэффициент A;

2) найти
функцию распределения F(x);

3)
схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4)
вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5)
определить вероятность того, что X примет значение из
интервала (a,b).

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

1)
Постоянный параметр

 найдем из
свойства плотности вероятности:

В
нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

2)
Функцию распределения

 найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

,  сразу можем отметить,
что:

и

Остается
найти выражение для

, когда х принадлежит интервалу

:

Получаем:  

3) Построим графики функций:

График плотности распределения

График функции распределения

4) Вычислим
математическое ожидание:

В нашем случае:

Вычислим дисперсию:

Искомая дисперсия:

5) Вероятность того, что

 примет значение из интервала

:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Закон
распределения случайной величины X задан таблицей.

Найти ее
математическое ожидание, дисперсию и значение функции распределения в заданной
точке.

F(1)=

M[X]=

D[X]=

---

Задача 2

Случайная
величины X задана функцией распределения

Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить графики дифференциальной и интегральной функций.
Найти вероятность попадания случайной величины X в интервалы (1,2; 1,8),
(1,8; 2,3)

---

Задача 3

Дискретная
случайная величина X задана рядом распределения. Найти:

1)
функцию распределения F(x) и ее график;

2)
математическое ожидание M(X);

3)
дисперсию D(X).

	-5	5	25	45	65
	0.2	0.15	0.3	0.25	0.1

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

В задаче
дискретная случайная величина задана рядом распределения.

Найти

; M(X), D(X), P(0≤X≤2); F(x).
Начертить график F(x)

---

Задача 5

В задаче
непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x).

Найти  a; f(x); M(X); D(X); P(X<0.2)

Начертить
графики функций f(x);F(x).

---

Задача 6

Функция
распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна

 (

). Найти вероятность безотказной
работы устройства за время x больше либо равно T.

---

Задача 7

Функция
распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найдите:

1)
параметр a;

2)
плотность вероятностей;

4) P(0<x<1)

Постройте
графики интегральной и дифференциальной функции распределения.

---

Задача 8

Дана
интегральная функция распределения. Найти: дифференциальную функцию f(x),M(X),σ(X),D(X).

---

Задача 9

Дана
функция распределения F(х) случайной величины Х.

Найти плотность
распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X),
дисперсию D(X) и вероятность попадания X на
отрезок [a,b]. Построить графики
функций F(x) и f(x).

---

Задача 10

НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)

Найти:

а)
постоянную C=const;

б)
функцию распределения F(x);

в)
вероятность попадания в интервал -1<x<1

г)
построить графики f(x), F(x).

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения — малыми буквами

Из приведенного выше  примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения  СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ  — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

 – первой вынули  стандартную деталь;

 — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

 — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

 — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) :

 — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

 — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

 — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

 — выборка содержит три изделия с дефектом;

Найдем соответствующие им вероятности :

   

   

   

   

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

	0	1	2	3

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник  распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны , тогда вероятности их промахов равны . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х – числа попаданий в цель.

 – ни один из стрелков не попал в цель;

 – один из стрелков попал в цель;

 – двое стрелков поразили цель;

 – три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности :

Запись вида означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

 — (двое из трех поразили цель);

 — (три стрелка поразили цель).

Контроль:

	0	1	2	3
	0,04	0,26	0,46	0,24

Многоугольник распределения:

Функция распределения

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения

   

Свойства функции распределения:

1.  
2.   – неубывающая функция, т.е. ,  если
3.  
4.   непрерывна слева в любой точке , т.е. 
5.  

Функция распределения ДСВ имеет вид

   

где суммирование ведется по всем индексам , для которых

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

	-2	-1	0	2	3
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если , то , так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если , то

если , то , так как может принять значения -2 или -1

если , то

если , то

если , то

Таким образом, функция распределения имеет вид:

   

II. Операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения с вероятностями и ДСВ Y, принимающей значения с вероятностями  называется ДСВ, принимающая все значения вида  (соответственно, или ) с вероятностями

Обозначение:  (соответственно,  или ).

Произведением ДСВ Х на число  называется ДСВ  , принимающая значения  с вероятностями

Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения  (соответственно, ) с вероятностями  Обозначение:  (соответственно, ).

Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события  и  при любых 

2.1. Задано распределение ДСВ Х

	-2	-1	1	2	3
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

Построить ряд распределения случайных величин:

а)

б) 

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

   

   

   

   

   

Вероятности значений СВ Y равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например, и т. д.), т.е. каждое значение СВ Х мы умножаем на 2, а вероятности оставляем прежними. Таким образом

	-4	-2	2	4	6
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

б) Значения СВ Z таковы (возведем каждое значение СВ Х в квадрат): 

   

   

Составим вспомогательную таблицу для распределения СВ

	4	1	1	4	9
	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

При этом мы должны помнить, что при одинаковых значениях СВ Z, соответствующие им вероятности нужно сложить, т.е.

   

   

Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

Построить:

а) ряд распределения СВ

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения  СВ Y,  подставляя соответствующие значения в формулу :

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

Составим ряд распределения.

При этом

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин ;

в) ;

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения , т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить  последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0+2=2	1+2=3	2+2=4
0+3=3	1+3=4	2+3=5
0+4=4	1+4=5	2+4=6

Т. е. случайная величина принимает значения:

   

Найдем вероятности этих значений:

   

Запись вида означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.

Для нахождения вероятностей воспользуемся правилом сложения несовместных событий:

Запишем ряд распределения ДСВ

	2	3	4	5	6
	0,06	0,18	0,32	0,28	0,16

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ

Найдем всевозможные значения .

Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0-2=-2	1-2=-1	2-2=0
0-3=-3	1-3=-2	2-3=-1
0-4=-4	1-4=-3	2-4=-2

Таким образом случайная величина принимает значения:

   

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ

	-4	-3	-2	-1	0
	0,08	0,22	0,34	0,24	0,12

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V :  .  Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0·2=0	1·2=2	2·2=4
0·3=0	1·3=3	2·3=6
0·4=0	1·4=4	2·4=8

Таким образом случайная величина принимает значения: 

   

Найдем вероятности этих значений:

Запишем ряд распределения ДСВ

	0	2	3	4	6	8
	0,2	0,12	0,12	0,28	0,12	0,16

Сделаем проверку:

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем  . Пусть .

Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, .

Получим ряд

	0	1	2	3	4
	0,12	0,24	0,34	0,22	0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.

Дискретная случайная величина

На этой странице мы собрали краткую теорию и примеры решения учебных задач, в которых дискретная случайная величина уже задана своим рядом распределения (табличный вид) и требуется ее исследовать: найти числовые характеристики, построить графики и т.д. Примеры на известные виды распределения вы можете найти по ссылкам:

• Биномиальный закон распределения
• Гипергеометрический закон распределения
• Геометрический закон распределения
• Закон распределения Пуассона

Краткая теория о ДСВ

Дискретная случайная величина задается своим рядом распределения: перечнем значений $x_i$, которые она может принимать, и соответствующих вероятностей $p_i=P(X=x_i)$. Количество значений случайной величины может быть конечным или счетным. Для определенности будем рассматривать случай $i=overline{1,n}$. Тогда табличное представление дискретной случайной величины имеет вид:

$$
begin{array}{|c|c|}
hline
X_i & x_1 & x_2 & dots & x_n \
hline
p_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \
hline
end{array}
$$

При этом выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице

$$sum_{i=1}^{n} p_i=1$$

Графически ряд распределения можно представить полигоном распределения (или многоугольником распределения). Для этого на плоскости откладываются точки с координатами $(x_i,p_i)$ и соединяются по порядку ломаной линией. Подробные примеры вы найдете ниже.

Числовые характеристики ДСВ

Математическое ожидание:

$$M(X) = sum_{i=1}^{n} x_i cdot p_i$$

Дисперсия:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = sum_{i=1}^{n} x_i^2 cdot p_i – (M(X))^2$$

Среднее квадратическое отклонение:

$$sigma (X) = sqrt{D(X)}$$

Коэффициент вариации:

$$V(X) = frac{sigma(X)}{M(X)}$$.

Мода: значение $Mo=x_k$ с наибольшей вероятностью $p_k=max_i{p_i}$.

Вы можете использовать онлайн-калькуляторы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ.

Функция распределения ДСВ

По ряду распределения можно составить функцию распределения дискретной случайной величины $F(x)=P(Xlt x)$. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение меньшее некоторого числа $x$. Примеры построения с подробными вычислениями и графиками вы найдете в примерах ниже.

Примеры решенных задач

Задача 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

1 2 3 4 5 6 7

0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Построить многоугольник распределения и функцию распределения $F(x)$. Вычислить: $M[X], D[X], sigma[X]$, а также коэффициент вариации, асимметрии, эксцесса, моду и медиану.

Задача 2. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Требуется:
а) определить математическое ожидание М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратическое отклонение (х) случайной величины Х;
б) построить график этого распределения.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Задача 3. Для случайной величины Х с данным рядом распределения
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) найдите $р_1$ и $р_2$ так, чтобы $М(Х)=0,5$
Б) после этого вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $Х$ и постройте график ее функции распределения

Задача 4. Дискретная СВ $X$ может принимать только два значения: $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 lt x_2$. Известны вероятность $P$ возможного значения, математическое ожидание $M(x)$ и дисперсия $D(x)$. Найти: 1) Закон распределения этой случайной величины; 2) Функцию распределения СВ $X$; 3) Построить график $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$

Задача 5. Случайная величина Х принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.

Задача 6. Дан ряд распределения дискретной с.в. $Х$. Найти числовые характеристики положения и рассеивания с.в. $Х$. Найти м.о. и дисперсию с.в. $Y=X/2-2$, не записывая ряда распределения с.в. $Y$, проверить результат с помощью производящей функции.
Построить функцию распределения с.в. $Х$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦

Задача 7. Распределение дискретной случайной величины $Х$ задано следующей таблицей (рядом распределения):
-6 3 9 15

0,40 0,30 ? 0,10
Определить недостающее значение в таблице распределения. Вычислить основные числовые характеристики распределения: $M_x, D_x, sigma_x$. Найти и построить функцию распределения $F(x)$. Определить вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значения:
А) больше чем 6,
Б) меньше чем 12,
В) не больше 9.

Задача 8. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X по заданному закону её распределения, заданному таблично (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке – вероятности возможных значений).

Задача 9. Задан закон распределения дискретной случайной величины $X$ (в первой строке указаны возможные значения $x_i$, во второй строке – вероятности возможных значений $p_i$).
Найти:
А) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$;
Б) составить функцию распределения случайной величины $F(x)$ и построить ее график;
В) вычислить вероятности попадания случайной величины $X$ в интервал $x_2 lt X lt x_4$, пользуясь составленной функцией распределения $F(x)$;
Г) составить закон распределения величины $Y=100-2X$;
Д) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины $Y$ двумя способами, т.е. пользуясь
свойством математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины $Y$.
10 20 30 40 50

0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Задача 10. Дискретная случайная величина задана таблице. Вычислить ее начальные и центральные моменты до 4 порядка включительно. Найти вероятности событий $xi lt Mxi$, $xi ge M xi$, $xi lt 1/2 M xi$, $xi ge 1/2 M xi$.

X 0 0,3 0,6 0,9 1,2

P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Более 11000 подробно решенных и оформленных задач. Найди в решебнике сейчас:

37

СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ

Выше рассматривались события, состоящие
в появлении того или иного числа в
результате проведения некоторого
вероятностного эксперимента. Например,
при бросании игральной кости могли
появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед
определить число выпавших очков
невозможно, поскольку оно зависит от
многих случайных причин, которые
полностью не могут быть учтены. В этом
смысле появление числа очков на игральной
кости есть величина случайная, т.е. числа
1, 2, 3, 4, 5 и 6 естьвозможные значенияэтой величины.

Определение 1.Величина, которая в
зависимости от случая может принимать
те или другие числовые значения,
называетсяслучайной.

Надо отметить то, что случайные величины
(сокращенно СВ) естьматематические моделивероятностных экспериментов.

Примерами случайных величин являются:
количество деталей высокого качества,
сошедших с конвейера в течение смены;
количество зерен в случайно взятом
колосе; результат измерения длины,
массы, времени и т.д.

Уже из рассмотренных примеров можно
заключить о целесообразности различать
случайные величины, принимающие лишь
отдельные, изолированные значения и
случайные величины, возможные значения
которых сплошь заполняют некоторый
промежуток. Поэтому рассматривают
дискретные инепрерывныеслучайные величины (обозначаются кратко
СВ).

Определение 2.Дискретной
(прерывной) (обозначаются ДСВ)
называется случайная величина, которая
принимает отдельные, изолированные
возможные значения с определенными
вероятностями. Число возможных значений
ДСВ может быть конечным или бесконечным.

Определение 3.Непрерывной
(обозначается НСВ) называют случайную
величину, которая может принимать все
значения из некоторого конечного или
бесконечного промежутка. Очевидно,
число возможных значений НСВ – бесконечно.

Замечание:
Настоящее определение НСВ не является
точным. Более строгое определение будет
дано позднее.

В дальнейшем случайные величины будем
обозначать заглавными буквами латинского
алфавита X,Y,Zи т.д. Значения,
которые эти величины могут принимать,
обозначаются малыми буквамиx,y,z,a,b,,и т.д.

1. Дискретные одномерные

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.1. Закон распределения дсв. Функция распределения дсв

Значения ДСВ можно записать в виде
конечной или бесконечной последовательности
. Для каждого из этих значенийопределяют соответствующую вероятность.

Определение 1.1.Законом
распределения ДСВ называют
соответствие между возможными значениями
СВи их вероятностями.

Закон распределения ДСВ можно задать
таблично, аналитически (в виде формулы)
и графически.

Если закон распределения ДСВ задают
таблично, иначе называют рядом
распределения, то таблица принимает
следующий вид:

Таблица 1.1

			…		…
			…		…

Для ряда распределения должны выполняться
два требования:

1)
(вероятности не могут быть отрицательными
величинами);

2)
.

Если Xпринимает
конечное число значений, то такая ДСВ
называетсяконечнозначной.

В целях наглядности закон распределения
ДСВ можно изобразить и графически, для
чего в прямоугольной системе координат
строят точки
,
а затем соединяют их отрезками прямых.
Полученную фигуру называютмногоугольником
распределения.

Закон распределения ДСВ задается еще
функцией распределения.

Определение 1.2.Для ДСВXс законом распределенияфункция распределения имеет вид

,
(1.1)

где суммирование распространяется на
все те индексы
,
для которых.

Графиком функции распределения для ДСВ
является кусочно-постоянная функция.

Соседние файлы в папке математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #