Как составить график функцию прямой

b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)). 

Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.

В случае

Определение

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
2. Областью значений также является множество всех действительных чисел.
3. Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
4. При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
5. При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
6. При k=0 прямая параллельна оси х.
7. Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2×0 – 1= –1;

у=2х – 1=2×3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами      А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

Задание OM1106o

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ:

1) k>0, b<0                   2) k>0, b>0                    3) k<0, b<0 

---

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>90⁰) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<90⁰). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ: 213

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1103o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = 3x

Б) y = -3x

В) y = (1/3)x

Графики:

---

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

y = kx + b

График данной функции зависит от k и b.

• если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
• если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
• коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
• если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1

Ответ: 231

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 6.1k

Вспомним, что такое график функции:

Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$, а ординаты – соответствующим значениям функции $y$.

Как мы уже выяснили, график линейной функции представляет из себя прямую линию. 

Построение графиков

Для его построения нет необходимости находить координаты более двух точек. То есть, чтобы построить график линейной функции, достаточно подставить в заданную формулу всего два значения $x$.

Значит, нужно:

Пример

Построим график функции $y=2x+1$

Для удобства состоим таблицу значений $x$ и $y$.

Переменная	Значение 1	Значение 2
$x$
$y$

Какие $x$ взять? Удобно брать небольшие числа, например $0$ и $1$

Переменная	Значение 1	Значение 2
$x$	$color{#3D68EB}0$	$color{#ED7858}1$
$y$

Теперь нужно посчитать $y$. Подставляем по очереди 2 значения $x$ в нашу функцию:

$x=color{#3D68EB}0$
$y=2x+1$
$y=2 cdot 0 + 1 = color{#253f8d}1$

$x=color{#ED7858}1$
$y=2x+1$
$y=2 cdot 1 + 1 = color{#eb3d3d}3$

Вписываем полученные значения в таблицу и отмечаем точки:

Переменная	Значение 1	Значение 2
$x$	$color{#3D68EB}0$	$color{#ED7858}1$
$y$	$color{#253f8d}1$	$color{#eb3d3d}3$

Проводим через эти точки прямую линию. График готов.

Доведите навык до совершенства с помощью тренажёра построения графиков линейной функции.

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2
• y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 5x + 3	k = 5	b = 3
y = −x + 1	k = −1	b = 1
y = 2 3 x − 2	k = 2 3	b = −2
y = 0,5x	k = 0,5	b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

x	Расчет «y = −2x + 1»
0	y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1	y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx» (абсцисса)	Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A	0	1
(·)B	1	−1

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»

Рассмотрим задачу.

---

Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
2. значение «x», если значение «y» равно
   1; 4; 0; −1.

---

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».

---

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.

---

Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x»	Полученное с графика значение «y»
−1	1
2	7
3	9
5	13

---

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y»	Полученное с графика значение «x»
−1	−2
0	−1,5
1	−1
4	0,5

---

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).

---

Подставим в функцию
«y = 2x −
»

координаты точки (0;
− ).

− = 2 · 0
−

   − =
−

(верно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).

---

Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1 −

        −2 = 1 (неверно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).

---

Как найти точки пересечения графика с осями

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.

Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3        
1,5x = 3        | :(1,5)
x = 3 : 1,5           
x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.

Линейной функцией называется функция вида

В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции ;

в уравнении функции    ;

в уравнении функции   ;

в уравнении функции   .

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять   и , тогда ординаты эти точек будут равны  и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции :

2. В уравнении функции  коэффициент  отвечает за наклон графика функции:

Коэффициент  отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

На рисунке ниже изображены графики функций ; ; 

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций ; ; 

На этот раз  во всех  функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций  ; ;

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) –  начале координат.

График функции (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если  k<0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k=0 , то  функция превращается в функцию    и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции  равны 

Если b=0, то график функции  проходит через начало координат:

 Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси  все точки которой имеют абсциссу .

Например, график уравнения  выглядит так:

Внимание! Уравнение  не является функцией, так  как различным значениям функции соответствует одно и то же значение аргумента, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции  параллелен графику функции , если 

5. Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции  перпендикулярен графику функции , если  или 

6. Точки пересечения графика функции  с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):

Рассмотрим решение задач.

1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции   два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции  параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции  проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

  отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции 

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой  . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение   и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой .

3. Постройте график уравнения

Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя. 

Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения  :

4. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой  и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид 

б) Мы знаем, что  график функции  проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

, отсюда .

Следовательно, наша функция имеет вид: .

5. Постройте график функции 

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.

Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому , .

Тогда наша функция принимает вид:

То есть нам надо построить график функции  и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.