I. Механика
Тестирование онлайн
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают 
Графики равномерного движения
Зависимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) – прямая линия, которая лежит на оси времени.
Зависимость скорости от времени. Скорость со временем не изменяется, график v(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Правило определения пути по графику v(t): Численное значение перемещения (пути) – это площадь прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость пути от времени. График s(t) – наклонная линия.
Правило определения скорости по графику s(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.
Графики равноускоренного движения
Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) – прямая линия, параллельная оси времени.
Зависимость скорости от времени. При равномерном движении путь изменяется, согласно линейной зависимости 
. В координатах 
. Графиком является наклонная линия.
Правило определения пути по графику v(t): Путь тела – это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.
Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела – это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.
Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости 
. В координатах зависимость имеет вид 
. Графиком является ветка параболы.
График движения при 
. График движения при 
График движения при 
. График движения при 
Сравнительная таблица графиков
Если траектория движения точки известна, то зависимость пути
, пройденного точкой, от истекшего промежутка времени
дает полное описание этого движения. Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде формулы (9.2). Связь между
и
для отдельных моментов времени можно задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид
. Составим таблицу пути и времени такого движения:
| t, с | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| s, м | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | … |
Зависимость одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат; одну из них (ось абсцисс) назовем осью времени, а другую (ось ординат) — осью пути. Выберем масштабы для изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для «привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим величинам: пути
и моменту
, — этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой такой пары значений время — путь одну точку на графике. На рис. 18 выполнено такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.
Рис. 18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с
Рис. 19. К упражнению 12.1
В нашем случае график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.
Повторяя построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости (рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.
Рис. 20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с
Рис. 21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе
Наклон графика зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.
С помощью графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем (штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.
На графиках, описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси ординат вместо пути
координату
движущейся точки. Такое описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать направление движения по отношению к оси
. Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени, которые следует считать отрицательными.
Рис. 22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных положениях движущейся точки
Рис. 23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями
Например, на рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в направлении оси
), причем в начальный момент движущаяся точка находилась в точке с координатой
м. Для сравнения на том же рисунке дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой
(прямая II). Прямая. III соответствует случаю, когда в момент
движущаяся точка находилась в точке с координатой
м. Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела координату
в момент
с.
Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси
вверх или вниз на соответственное расстояние.
Графики движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении, противоположном направлению оси
), показаны на рис. 23. Они представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата
точки с течением времени уменьшается.
12.3.
График пути для точки, движущейся со скоростью
, отсекает на оси ординат отрезок
. Как зависит от времени расстояние
от начальной точки? Напишите формулу этой зависимости.
12.4.
Точка, движущаяся со скоростью
, в момент
находится на расстоянии
от начальной. Как зависит от времени расстояние
?
12.5.
Точка, двигаясь равномерно вдоль оси
, имела координаты
м и
м в моменты времени
с и
с соответственно. Найдите графически, в какой момент точка проходила через начало координат и какова была координата
в начальный момент. Найдите проекцию скорости на ось
.
12.6.
Найдите при помощи графика пути, когда и на каком расстоянии от точки А автомашину, вышедшую из точки А, догонит вторая автомашина, вышедшая из той же точки через 20 мин после первой, если первая машина движется со скоростью 40 км/ч, а вторая — со скоростью 60 км/ч.
12.7.
Найдите при помощи графика пути, где и когда встретятся автомашины, вышедшие одновременно навстречу друг другу со скоростями 40 и 60 км/ч из пунктов А и В, лежащих на расстоянии 100 км друг от друга.
Графики пути можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа — со скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа — со скоростью 15 км/ч.
12.8.
Постройте график пути для движения, в котором за последовательные часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение тела?
На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($upsilon = frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($upsilon_{ср} = frac{S}{t}$).
На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела
Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $upsilon = frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:
$S = upsilon t$.
Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.
Выразим время:
$t = frac{S}{upsilon}$.
Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела
При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$upsilon_{ср} = frac{S}{t}$.
Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:
$large S = upsilon_{ср} t$.
Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$.
График скорости равномерного движения
Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.
На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.
Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.
Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.
Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $upsilon = 6 frac{м}{с}$, на график отрицательной — $upsilon = -4 frac{м}{с}$.
Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 space с$.
$S = upsilon t = 6 frac{м}{с} cdot space 4 c = 24 space м$.
График пути равномерного движения
Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.
Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.
Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 space с$, $S = 2 space м$. Тогда,
$upsilon = frac{S}{t} = frac{2 space м}{1 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Задачи
Задача №1
Самым быстрым животным на Земле считается гепард. Он способен развивать скорость до $120 frac{км}{ч}$, но сохранять ее способен в течение короткого промежутка времени. Если за несколько секунд он не настигнет добычу, то, вероятнее всего, уже не сможет ее догнать. Найдите путь, который пробежит гепард на максимальной скорости за $3$ секунды.
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$120 frac{км}{ч} = 120 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} approx 33 frac{м}{с}$.
Дано:
$upsilon = 120 frac{км}{ч}$
$t = 3 space c$
СИ:
$upsilon = 33 frac{м}{с}$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Гепард двигается равномерно в течение 3 с.
Путь, который он проходит за это время:
$S = upsilon t$,
$S = 33 frac{м}{с} cdot 3 с approx 100 space м$
Ответ: $S = 100 space м$.
Задача №2
Колибри – самые маленькие птицы на нашей планете. При полете они совершают около 4000 взмахов в минуту. Тем не менее, они способны пролетать очень большие расстояния. Например, некоторые виды данной птицы перелетают Мексиканский залив длиной $900 км$ со средней скоростью $40 frac{км}{ч}$. Сколько времени у них занимает такой полет?
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$40 frac{км}{ч} = 40 cdot frac{1000 м}{3600 с} approx 11 frac{м}{с}$,
$900 space км = 900 space 000 м$.
Дано:
$upsilon_{ср} = 40 frac{км}{ч}$
$S = 900 space км$
CИ:
$upsilon_{ср} = 11 frac{м}{с}$
$S = 900 space 000 space м$
$t-?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Полет колибри будет примером неравномерного движения. Зная среднюю скорость и путь, рассчитаем время перелета:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$,
$t = frac{900 space 000 space м}{11 frac{м}{с}} approx 82 space 000 space с$.
Переведем время в часы:
$1 space ч = 60 space мин = 60 cdot 60 space c = 3600 space c$.
Тогда:
$t = frac{82 space 000 space c}{3600 space c} approx 23 space ч$.
Ответ: $t = 23 space ч$.
Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.
Упражнения
Упражнение №1
Пользуясь таблицей 1 из прошлого урока, найдите скорости страуса, автомобиля, искусственного спутника Земли. Определите пути, пройденные ими за $5 space с$.
Дано:
$upsilon_1 = 22 frac{м}{с}$
$upsilon_2 = 20 frac{м}{с}$
$upsilon_3 = 8000 frac{м}{с}$
$t = 5 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь, пройденный страусом:
$S_1 = upsilon_1 t$,
$S_1 = 22 frac{м}{с} cdot 5 space с = 110 space м$.
Путь, пройденный автомобилем:
$S_2 = upsilon_2 t$,
$S_2 = 20 frac{м}{с} cdot 5 space с = 100 space м$.
Путь, пройденный искусственным спутником Земли:
$S_3 = upsilon_3 t$,
$S_3 = 8000 frac{м}{с} cdot 5 space с = 40 space 000 space м = 40 space км$.
Ответ: $S_1 = 110 space м$, $S_2 = 100 space м$, $S_3 = 40 space км$.
Упражнение №2
На велосипеде можно без особого напряжения ехать со скоростью $3 frac{м}{с}$. На какое расстояние можно уехать за $1.5 space ч$?
Дано:
$t = 1.5 space ч$
$upsilon = 3 frac{м}{с}$
СИ:
$t = 5400 space с$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем путь, который можно проехать на велосипеде с указанной скоростью:
$S = upsilon t$,
$S = 3 frac{м}{с} cdot 5400 space с = 16 space 200 space м = 16.2 space км$.
Ответ: $S = 16.2 space км$.
Упражнение №3
На рисунке 4 показан график зависимости пути равномерного движения тела от времени ($S$ — ось пройденного пути, $t$ — ось времени). По этому графику найдите, чему равен путь, пройденный телом за $2 space ч$. Затем рассчитайте скорость тела.
Определим из графика путь, пройденный телом за $2 space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 space км$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 200 space км$
$t = 2 space ч$
$upsilon — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Скорость равномерного движения рассчитываем по формуле:
$upsilon = frac{S}{t}$.
$upsilon = frac{200 space км}{2 space ч} = 100 frac{км}{ч}$.
Ответ: $upsilon = 100 frac{км}{ч}$.
Упражнение №4
График зависимости скорости равномерного движения тела от времени представлен на рисунке 5. По этому графику определите скорость движения тела. Рассчитайте путь, который пройдет тело за $2 space ч$, $4 space ч$.
Из графика видно, что скорость тела равна $8 frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$t_1 = 2 space ч$
$t_2 = 4 space ч$
$upsilon = 8 frac{м}{с}$
СИ:
$t_1 = 7200 space с$
$t_2 = 14 space 400 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь рассчитаем по формуле: $S = upsilon t$.
За $2 space ч$ тело пройдет путь:
$S_1 = upsilon t_1$,
$S_1 = 8 frac{м}{с} cdot 7200 space с = 57 space 600 space м = 57.6 space км$.
За $4 space ч$ тело пройдет путь:
$S_2 = upsilon t_2$,
$S_2 = 8 frac{м}{с} cdot 14 space 400 space с = 115 space 200 space м = 115.2 space км$.
Ответ: $S_1 = 57.6 space км$, $S_2 = 115.2 space км$.
Упражнения №5
По графикам зависимости путей от времени (рисунок 6) двух тел, движущихся равномерно, определите скорости этих тел. Скорость какого тела больше?
Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 space м$, за $2 space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 space м$, за $4 space с$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 4 space м$
$t_1 = 2 space с$
$t_2 = 4 space с$
$upsilon_1 — ?$
$upsilon_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем скорость первого тела:
$upsilon_1 = frac{S}{t_1}$,
$upsilon_1 = frac{4 space м}{2 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Рассчитаем скорость второго тела:
$upsilon_2 = frac{S}{t_2}$,
$upsilon_2 = frac{4 space м}{4 space с} = 1 frac{м}{с}$.
Получается, что скорость первого тела больше скорости второго.
Ответ: $upsilon_1 = 2 frac{м}{с}$, $upsilon_2 = 1 frac{м}{с}$, $upsilon_1 > upsilon_2$.
- Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
- Уравнение прямолинейного равномерного движения
- Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
- График движения x=x(t)
- Как найти уравнение движения по графику движения?
- График скорости vx=vx(t)
- Как найти путь и перемещение по графику скорости?
- Задачи
п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.
Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.
Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
Стартуя с точки x0=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: begin{gather*} x=x_0+s=x_0+vt\ x=20+10t end{gather*}
Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 10 | 0 | -10 | -20 |
В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin{gather*} x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end{gather*} Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x0 в любой момент времени t.
п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения
Основная задача механики – уметь определять положение тела в пространстве в любой момент времени.
Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.
Назовем проекцией вектора скорости (overrightarrow{x}) на параллельную ему ось координат OX величину (v_x=pm|overrightarrow{v}|=pm v).
Знак проекции определяется следующим правилом:
- если направление вектора (overrightarrow{v}) совпадает с направлением оси OX, то (v_x=vgt 0)
- если направление вектора (overrightarrow{v}) противоположно направлению оси OX, то (v_x=-vlt 0)
В любой момент времени t координата тела x(t) при прямолинейном равномерном движении описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ где (x_0) – координата в начальный момент времени, (v_x) – проекция вектора скорости движения.
Проекция перемещения (overrightarrow{r}) на параллельную ему ось координат OX в любой момент времени t определяется формулой: $$ triangle x=x(t)-x_0 $$ Знак (triangle x) указывает на направление совершенного перемещения:
- если (triangle xgt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло в направлении оси OX;
- если (triangle xlt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло противоположно направлению оси OX.
п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.
При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.
Прямолинейное движение описывается с помощью координатной прямой, параллельной направлению движения тела.
Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.
п.4. График движения x=x(t)
Сравним полученное уравнение движения (x(t)=x_0+v_x t) с уравнением прямой (y(x)=kx+b) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).
В уравнении движения роль углового коэффициента (k) играет проекция скорости (v_x), а роль свободного члена (b) – начальная координата (x_0).
В осях (t) и (x) график (x(t)=x_0+v_x t) является прямой.
Эта прямая:
- возрастает, если (v_xgt 0)
- убывает, если (v_xlt 0)
- постоянна (параллельна оси (t)), если (v_x= 0)
 |
Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:
x=20+10t – машина движется вправо (в направлении оси OX) |
п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?
Шаг 1. Выбрать на прямой любые две точки (A(t_1,x_1)) и (B(t_2,x_2)).
Шаг 2. Найти проекцию скорости как отношение: $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{triangle x}{triangle t} $$ Шаг 3. Найти начальную координату по одной из формул: $$ x_0=x_1-v_x t_1 text{или} x_0=x_2-v_x t_2 $$ Шаг 4. Записать найденное уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t $$
п.6. График скорости vx=vx(t)
В осях (t) и (x) график (v_x(t)=v_x=const) является прямой, параллельной оси (t).
Эта прямая:
- расположена над осью (t), если (v_xgt 0)
- расположена под осью (t), если (v_xlt 0)
- совпадает с осью (t), если (v_x=0)
Для рассмотренного примера:
Внимание!
В отличие от алгебры, в физике масштабы на осях, как правило, разные.
Поэтому обязательно нужно:
1) указывать обозначения и единицы измерения физических величин, которым соответствуют оси графика;
2) подбирать масштабы так, чтобы с графиком было удобно работать.
п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени (t_1) координата равна (x_1=x_0+v_x t_1).
Несколько позже, в момент времени (t_2gt t_1) координата равна (x_2=x_0+v_x t_2).
Если (v_xgt 0), то пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x triangle t $$ В общем случае, т.к. (v_x) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости: 
На графике скорости путь, пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади прямоугольника, длина которого равна (triangle t), а ширина (triangle |v_x|): $$ s=|v_x|triangle t $$
Проекция скорости (v_x) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ triangle x=v_x triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.
На графике скорости проекция перемещения на ось OX за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равна площади (v_xtriangle t), с учетом знака: $$ triangle x=v_xtriangle t $$
Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.
п.8. Задачи
Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите (x_0=0) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения (x=x(t)) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за (t_1=5 с), за (t_2=10 с);
б) постройте график скорости (v=v(t)) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1)?
По условию (x_0=0, v_x=8).
Уравнение движения: (x=x_0+v_x t=0+8t=8t)
а) Строим график прямой (x=8t) по двум точкам:
По графику находим: begin{gather*} x_1=x(5)=8cdot 5=40 text{(м)}\ x_2=x(10)=8cdot 10=80 text{(м)} end{gather*}
б) Скорость (v_x=8) м/с – постоянная величина, её график:
$$ t_1=5 с, t_2=10 с $$ Пройденный путь за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x triangle t=8cdot (10-5)=40 text{(м)} $$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м
Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?
а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения (x=x(t)).
Найдем скорость корабля (v_x): $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{56-38}{2-1}=18 (text{тыс.км/ч}) $$ Найдем начальную координату (x_0): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18cdot v_1=20 (text{тыс.км/ч}) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t, x(t)=20+18t $$ где (x) – в тыс.км, а (t) – в часах.
б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии (x_0=20) тыс.км от астероида.
в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18cdot 4=92 (text{тыс.км}) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000frac{text{км}}{text{ч}}=frac{18000 text{км}}{1 text{ч}}=frac{18000 text{км}}{3600 text{c}}=5 text{км/c} $$ Ответ:
а) (x(t)=20+18t) ((x) в тыс.км, (t) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с
Физика
Тема 2: Кинематика
Урок 8: Графический способ нахождения пути и перемещения
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
Графический способ нахождения пути и перемещения
При равномерном движении, проекция перемещения на ось х (S x) вычисляется как S x=v x t.
Если мы на графике изобразим зависимость скорости v xот времени, то получим прямую линию, параллельную оси t . Тогда S xна графике – это площадь прямоугольника
Если тело движется против оси х, то проекция скорости vнаправлена против оси х и v x будет отрицательной. Тогда
S x=−vx t.
При неравномерном движении, мы разбиваем проекцию перемещения на маленькие участки, где на каждом участке, скорость практически не менялась и движение равномерно
Сложив площади всех маленьких участков (где площадь каждого участка S x=v x t ¿, мы получим общую площадь под графиком, т. е. проекцию перемещения на ось t .
Задача 1
Электропоезд, отходящий от станции, в течение 0,5 мин двигался с ускорением 0,8 м/с2. Определите путь, который он прошёл за это время, и скорость в конце пути.
Дано
Решение
Задача 2
Тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ (рис 8). График зависимости скорости V x от времени представлен на рисунке 7. По данному графику определите перемещение и путь, пройденные телом за время t = 6 с.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
