Как составить характеристическое уравнение для дифференциального уравнения второго порядка

Линейное
однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами
имеет общее решение,
гдеилинейно-независимые частные решения
этого уравнения.

Общий вид решений
однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами
,
зависит от корней характеристического
уравнения.

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни идействительные и различные
Корни == действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение
линейных однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами:

1)

Решение: Составим
характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем
корни
,действительные и различные. Следовательно,
общее решение имеет вид:.

2)

Решение: Составим
характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем
корни
действительные и одинаковые. Следовательно,
общее решение имеет вид:.

3)

Решение: Составим
характеристическое уравнение:
.

Решив его, найдем
корни
комплексные. Следовательно, общее
решение имеет вид:.

Линейное
неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет
вид

,
где
. (1)

Общее решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка
имеет вид,
где– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего
однородного уравнения, т.е. уравнения.

Вид частного
решения
неоднородного уравнения (1) в зависимости
от правой части:

Правая часть	Частное решение
–многочлен степени	, где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где – число, показывающее, сколько раз=является корнем характеристического уравнения.
	, где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с.
	где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с.

Рассмотрим различные
виды правых частей линейного неоднородного
дифференциального уравнения
:

1.
Пусть правая часть имеет вид
,
где– многочлен степени.
Тогда частное решениеможно искать в виде,
где– многочлен той же степени, что и,
а– число корней характеристического
уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение.
Найдем корни последнего уравнения.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид.

Б) Так как правая
часть уравнения является многочленом
первой степени и ни один из корней
характеристического уравнения
не равен нулю (),
то частное решение ищем в виде,
гдеи– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дваждыи подставляя,ив исходное уравнение, находим.

Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях равенства,,
находим,.
Итак, частное решение данного уравнения
имеет вид,
а его общее решение.

2.
Пусть правая часть имеет вид
,
где– многочлен степени.
Тогда частное решениеможно искать в виде,
где– многочлен той же степени, что и,
а– число, показывающее, сколько разявляется корнем характеристического
уравнения.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение.
Найдем корни последнего уравнения.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид.

Б) Так как правая
часть уравнения есть функция
,
то контрольное число данного уравнения,
оно не совпадает с корнямихарактеристического уравнения.
Тогда частное решение ищем в виде,
где– неизвестный коэффициент. Дифференцируя
дваждыи подставляя,ив исходное уравнение, находим.
Откуда,
то естьили.

Итак, частное
решение данного уравнения имеет вид
,
а его общее решение.

3.
Пусть правая часть имеет вид
,
гдеи– данные числа. Тогда частное решениеможно искать в виде,
гдеи– неизвестные коэффициенты, а– число, равное числу корней
характеристического уравнения,
совпадающих с.
Если в выражение функциивходит хотя бы одна из функцийили,
то внадо всегда вводитьобе
функции.

Пример

Найти общее решение
.

Решение:

А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение.
Найдем корни последнего уравнения.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид.

Б) Так как правая
часть уравнения есть функция
,
то контрольное число данного уравнения,
оно не совпадает с корнямихарактеристического уравнения.
Тогда частное решение ищем в виде

,
где
и– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дважды,
получими.
Подставляя,ив исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные
слагаемые, получим

.

Приравниваем
коэффициенты при
ив правой и левой частях уравнения
соответственно. Получаем систему.
Решая ее, находим,.

Итак, частное
решение исходного дифференциального
уравнения имеет вид
.

Общее решение
исходного дифференциального уравнения
имеет вид
.

Соседние файлы в папке Высшая математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

(схема 47)

Линейным называется дифференциальное уравнение n-го порядка,
если оно 1-ой степени относительно искомой функции y(x) и ее производных , то есть имеет вид:

.                                                                                                          (8.42)

Если коэффициент P₀(x) ≠ 1, то на
него можно поделить и после  соответствующих  переобозначений получить:

.                                                                                                                       (8.43)

Уравнение (8.43) называется уравнением с переменными
коэффициентами. Предположим, что в нем функции , непрерывны на интервале . Тогда для уравнения (8.43) на данном интервале имеет  место задача Коши, сформулированная нами
ранее.

Примечание. Частным случаем (8.43) является линейное
дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами:  

                                                                                                                                                       (8.44)

 Если
в уравнении (8.43) f(x)≡0, то оно
называется однородным, если f(x) ≠ 0, то неоднородным.

Теорема 8.3 (о
структуре общего решения линейного неоднородного ДУ). Общее решение
линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму
общего решения соответствующего однородного и некоторого частного решения
неоднородного уравнения   . Запишем коротко:

 Однородное дифференциальное уравнение,
соответствующее неоднородному уравнению (8.43), имеет вид:

.                                                                                                                              (8.45)

Пусть в уравнении (8.45) функции. Тогда оно принимает вид:  

                                                                                                                                          (8.46)

и
называется линейным однородным дифференциальным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами, где  –
функции, n раз дифференцируемые.

Рассмотрим решения уравнений (8.45) и (8.46).
Обозначим полную совокупность их линейно независимых решений  через . Тогда, по  свойству
решений однородного уравнения, их линейная комбинация также является решением
уравнения (8.45) и (8.46), то есть общее
решение может быть записано в виде:             

 ,                                                                                                                                     (8.47)

где
c_i– константы интегрирования.

Перейдем к конструированию функций . Какого они вида? Так как эти функции в уравнениях (8.45) и
(8.46) n раз дифференцируемы, то  их конструкция при дифференцировании не
меняется. Это возможно в случае экспоненциального вида функций, то есть при

,                                                                                                                                                                     (8.48)

где , . Отсюда, линейная комбинация функций (8.48):   

                                                                                                                                    (8.49)

– также
решение уравнений (8.45) и (8.46).

Рассмотрим одну из функций (8.48) – функцию y=e^λx как решение для уравнения (8.46) с постоянными
коэффициентами. Продифференцируем ее n раз:   

.

По определению решения
дифференциального уравнения при подстановке y=e^λx
и ее производных в (8.46) имеем тождество: . После вынесения общего множителя e^λx получаем:.

Так как   e^λx ≠ 0, то                                                                         (8.50)

–алгебраическое
уравнение n-ой степени относительно λ, называемое характеристическим уравнением для
уравнения (8.46). Известно, что уравнение n-ой степени имеет равно n корней как действительных, так и комплексных, с
учетом их кратности. Значит, характеристическое уравнение (8.50) дает нам n значений
числа λ, ранее обозначенных нами
через , которые при подстановке в (8.49) приводит нас к
окончательному виду общего решения линейного однородного дифференциального
уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим наиболее распространенный частный случай
уравнения (8.46) – его аналог 2-го порядка:

.                                                                                                                                                                   (8.51)

Для данного уравнения характеристическое уравнение (8.50)
принимает вид:

  .                                                                                                                                                                         (8.52)

Уравнение (8.52) является квадратным относительно λ. В зависимости от дискриминанта  D характеристического
уравнения рассматривают три случая, приведенных в таблице 8.1.

 Таблица 8.1                           

Пример 8.17. Найти общее решение уравнений:

Решение.

а)  Составляем характеристическое уравнение λ²+2λ–15 = 0. Корнями этого уравнения
будут λ₁= –5 и λ₂= 3. Тогда, применяя (8.53), получаем общее решение:  y=C₁e
^–5x+C₂e^3x.

б)  Составляем характеристическое уравнение λ²–16λ+64 = 0.

Решая это уравнение,
получим  λ₁= λ₂= 8. Так как корни равные, то, применяя (8.54), будем иметь: 

.

в)   Характеристическое уравнение  λ²–4λ+13 = 0 имеет комплексные корни  λ₁= 2+3i и λ₂= 2–3i. Положив в (8.55) α=2
и β=3, получим общее
решение: .

г)   Характеристическое уравнение λ²+9 = 0 имеет корни λ_1;2= ±3i. Полагая в (8.55) α=0 и
β=3,
получим общее решение 

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное
уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:  

 ,                                                                                                                                                          (8.56)  

являющееся частным случаем уравнения (8.44). Функция f(x) может представлять собой функцию специального вида.
Тогда общее решение уравнения находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 8.4.
Пусть
задано линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

.                                                                                                                 (8.57)

1. Если   не является корнем
характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения,  то  частное
решение уравнения (8.57) имеет вид: 

,                                                                                                            (8.58)

где   – многочлены общего
вида (с неопределенными коэффициентами).

2. Если      – корень
характеристического уравнения кратности s, то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:

,                                                                                                                     (8.59)

  – многочлены общего
вида   

Рассмотрим в
таблице 8.2 некоторые случаи составления частного решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения (8.57) по специальному виду его правой
части.                                                        

 Таблица 8.2                                 

                                                                                              

Пример 8.18. Найти общее решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ: . Характеристическое
уравнение λ²+2λ+1 = 0 имеет корень λ₁= 1 кратности 2 (смотри таблицу 8.1). Значит, y_o.o. = c₁∙e^x+c₂∙x∙e^x.
Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть x–4=(x–4)∙e^0∙x есть
формула вида P₁(x)∙e^0∙x,
причем α=0  не является
корнем характеристического уравнения: α ≠ λ. Поэтому согласно формуле (8.58), частное решение y_ч.н.
ищем в виде y_ч.н. = Q₁(x)∙e^0∙x, т.е.
y_ч.н. = Ax+B, где A и B –
неопределенные коэффициенты.  Тогда 

. Подставив    в исходное уравнение,
получим –2A+Ax+B = x–4
или Ax+(–2A+B) = x–4. Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях x, получим систему уравнений:. Отсюда A=1, B= –2. Поэтому частное решение данного уравнения  имеет вид 
y_ч.н. = x–2. Следовательно, искомое общее решение уравнения  

Пример 8.19. Решить уравнение .

Решение. Находим общее решение 
y_o.o.
соответствующего однородного

уравнения . Характеристическое уравнение λ²–4λ+13 = 0  имеет корни λ₁= 2+3i, λ₂= 2–3i  (смотри таблицу 8.1). Следовательно,.

Находим частное решение y_ч.н.. Правая часть неоднородного уравнения в нашем случае
имеет вид

. Так как  не совпадают с корнями характеристического уравнения, то согласно формуле
(8.58), частное решение ищем в виде . Дифференцируем частное решение, получаем:. Подставляя y_ч.н. и его производные в исходное уравнение, получаем:

Отсюда, сравнивая коэффициенты при косинусе и синусе,
имеем . Следовательно, A=1, B= –3. Поэтому . И наконец, с учетом теоремы 8.3 получаем общее решение
заданного линейного неоднородного  ДУ в виде:

 

Пример 8.20.
Найти
частное решение уравнения , удовлетворяющее 
начальным условиям .

Решение.  Находим общее решение
однородного уравнения. Характеристическое уравнение  λ² – λ – 2 = 0 имеет два корня  λ₁= –1 и λ₂= 2 (смотри таблицу 8.1);  тогда  y_o.o. = C₁∙e^–x+C₂∙e^2x – общее решение
соответствующего однородного ДУ.

    В правой части заданного уравнения имеется
показательная функция. Так как в данном случае α=2 совпадает с одним из
корней характеристического уравнения, то частное решение  следует искать в виде функции  Axe^2x. Таким  образом,  y_ч.н.= Axe^2x.  Дифференцируя  дважды  это  равенство, получим: . Подставим  y_ч.н. и ее производные в левую часть заданного уравнения
и найдем коэффициент A: . Следовательно, частное решение y_ч.н.= 3xe^2x, общее решение    

.                                                                                                                                (8.60)

Используя  начальные условия, определим значения
произвольных    постоянных C₁ и C₂. Дифференцируя общее
решение (8.60), получим:

 .                                                  

Подставим в общее решение  (8.60) значения x=0
и y=2,
будем иметь 2 = C₁+C₂. Подставим  в  выражение для  значения x=0 и , будем иметь: 13 = –C₁+2C₂+3; 10 = –C₁+C₂. Из этих уравнений составим
систему, из которой находим: C₁= –2 и C₂=4.   Таким образом, есть то частное
решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям 

Теорема 8.5
(о наложении решений). Если правая часть
уравнения (8.56) представляет собой сумму двух функций: , а y_1 ч.н. и y_2 ч.н. – частные решения уравнений  и  соответственно, то
функция

                                                                                                                                                                           (8.61)

 является частным решением
данного уравнения

Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Примеры решений.

Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка.

У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков –  что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка. А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.

Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная   и не входят производные более высоких порядков: 

Следует отметить, что некоторые из малышей   (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец  . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так: 

Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.

В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная   и не входят производные более высоких порядков: 

Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так:   – папаша дома, все дети на прогулке.

Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.

Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.

1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка. Налетайте!

2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 
с постоянными коэффициентами

В теории  и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение инеоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где   и   – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где   и   – константы, а   – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция   может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно: 
вместо второй производной записываем  ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции   ничего не записываем.

 – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение   имеет два различных действительных корня  ,   (т.е., если дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения выглядит так: 
, где   – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например,  , тогда общее решение:  .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

, 
Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше сразу же  выполнить проверку, подставив корни в уравнение). 
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой 

Ответ: общее решение: 

Не будет ошибкой, если записать общее решение наоборот:  , но хорошим стилем считается располагать коэффициенты по возрастанию, сначала –2, потом 1.

Придавая константам   различные значения, можно получить бесконечно много частных решений.

Теперь неплохо бы освежить базовые понятия урока Дифференциальные уравнения. Примеры решений. А что значит вообще решить дифференциальное уравнение?Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решением дифференциального уравнения.

Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение   должно удовлетворять исходному уравнению  . Точно так же, как и диффура 1-го порядка, в большинстве случаев легко выполнить проверку:

Берем наш ответ   и находим производную:

Находим вторую производную:

Подставляем  ,   и   в левую часть уравнения  :

Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение   найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет уравнению  ).

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

На самом деле проверка таких простейших примеров практически никогда не выполняется, но, дело в том, что навык и сама техника проверки очень пригодятся, когда вы будете решать более сложные неоднородные уравнения второго порядка. Поэтому было целесообразно сразу же ознакомить вас с алгоритмом.

Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

Если характеристическое уравнение   имеет два кратных (совпавших) действительных корня   (дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: 
, где   – константы. 
Вместо   в формуле можно было нарисовать  , корни всё равно одинаковы.

Если оба корня равны нулю  , то общее решение опять же упрощается:  . Кстати,   является общим решением того самого примитивного уравнения  , о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение:   – действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни  .

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:

(конечно, формулу нужно увидеть, это приходит с опытом решения)

Получены два кратных действительных корня 

Ответ: общее решение: 

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения 

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Желающие могут потренироваться и выполнить проверку, но она здесь будет труднее.

Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Если материал позабылся, прочитайте урок Комплексные числа для чайников, в частности, параграф  Извлечение корней из комплексных чисел.

Если характеристическое уравнение   имеет сопряженные комплексные корни  ,   (дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: 
, где   – константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом: 

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни:  , то общее решение упрощается:

Пример 5

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:


 – получены сопряженные комплексные корни

Ответ: общее решение: 

Пример 6

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в заданиях требуется найти частное решение однородного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется один пункт.

Пример 7

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям  , 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

, 
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:

Сначала используем начальное условие  :

Согласно начальному условию, получаем первое уравнение:   или просто 

Далее берём наше общее решение   и находим производную:

Используем второе начальное условие  :

Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение:   или просто 

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

Допустимо использовать «школьный» метод решения, но в высшей математике чаще применяют метод почленного сложения/вычитания уравнений системы, посетите соответствующий урок, если не знакомы с методом.

В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения:

Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант   в общее решение  :

Ответ: частное решение: 

Проверка осуществляется по следующей схеме:
Сначала проверим, выполняется ли начальное условие  :
 – начальное условие выполнено.

Находим первую производную от ответа:

 – второе начальное условие тоже выполнено.

Находим вторую производную:

Подставим   и   в левую часть исходного дифференциального уравнения  :
, что и требовалось проверить.

Такие образом, частное решение найдено верно.

Пример 8

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям  ,  . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока. Если возникли затруднения с нахождение корней характеристического уравнения, прочитайте параграфИзвлечение корней из комплексных чисел урока Комплексные числа для чайников. Если не помните значения тригонометрических функций, используйтеТригонометрические таблицы.

Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение.

Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде  , где при второй производной есть некоторая константа  , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение   будет иметь два различных действительных корня, например:  , то общее решение запишется по обычной схеме:  .

В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде  . Что делать, ответ придется записать так:

С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие   тоже никаких проблем, общее решение:

То есть, общее решение в любом случае существует. Потому-что любое квадратное уравнение имеет два корня.

В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:

Линейные однородные уравнения высших порядков

Всё очень и очень похоже.

Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где   – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня. 

Пусть, например, все корни действительны и различны:  , тогда общее решение запишется следующим образом:

Если один корень действительный  , а два других – сопряженные комплексные  , то общее решение записываем так:

Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей:  . Характеристическое уравнение   имеет три совпавших нулевых корня  . Общее решение записываем так:

Если характеристическое уравнение   имеет, например, три кратных корня  , то общее решение, соответственно, такое:

Пример 9

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

,   – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.

Ответ: общее решение 

Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами:  , где   – константы.

Соответствующее характеристическое уравнение   всегда имеетровно четыре корня.

Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня  . Тогда общее решение записывается так:
.

Тривиальное уравнение   имеет общее решение:

Пример 10

Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Полагаю, практически все смогут расправиться и с однородными дифференциальными уравнениями 5-го, 6-го и высших порядков. Мне очень не хотелось записывать общие формулы, рассказывать о фундаментальной системе решений и т.д. Но, процесс конструирования общего решения вроде раскрыт мной неплохо.

На посошок предлагаю решить однородный диффур как раз для закрепления вашего понимания. Да чего мелочиться:

Пример 11

Решить однородное дифференциальное уравнение шестого порядка

Полное решение и ответ ближе к подвалу. Караул устал – караул упал.

После такой основательной подготовки можно смело переходить к освоению линейных неоднородных уравнений второго и высших порядков.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

,   – различные действительные корни
Ответ: общее решение: 
Проверка: Найдем производную:

Найдем вторую производную:

Подставим   и   в левую часть исходного уравнения  :
, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 4: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:


Получены два кратных действительных корня 
Ответ: общее решение: 

Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:


 – сопряженные комплексные корни

Решения дифференциальных уравнений второго порядка

Задача 2. Решить задачу Коши 

Посмотреть решение (pdf, 39 Кб)

Задача 15. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами 

Посмотреть решение (pdf, 43 Кб)

Задача 16. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации:

Посмотреть решение (pdf, 57 Кб)

Решения задач на составление дифференциальных уравнений

Задача 11. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Посмотреть решение (pdf, 49 Кб)

Задача 12. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Посмотреть решение (pdf, 50 Кб)

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение 

Посмотреть решение (pdf, 35 Кб)

Задача 14. Решить дифференциальное уравнение 

Посмотреть решение (pdf, 41 Кб)

Содержание:

1. Дифференциальные уравнения второго порядка
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
3. Метод вариации произвольных постоянных
4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядке с постоянными коэффициентами
6. Дифференциальные уравнения второго порядка
7. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случай понижения порядка
8. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
9. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, неизвестную
функцию y и первую и вторую производные от этой функции:
F (x, y, y’, y”) = 0.                                                                                             (7.23)

Определение. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y = φ (x, C₁, C₂), которая удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольных значениях C₁ и C₂.

Любое частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при определенных значениях C₁ и C₂ и удовлетворяет определенным начальным условиям. Начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка является задание значений функции и ее первой производной в некоторой точке x₀:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка формулируется так:

найти частное решение дифференциального уравнения (7.23), которое удовлетворяет начальным условиям.

Геометрический смысл частных решений — это интегральная кривая, которая проходит через точку (x₀, y₀) в данном направлении, то есть задан угловой коэффициент касательной к интегральной кривой.

Рассмотрим задачу, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка.

Согласно теории Дж. Хикса, со стабильным ростом затрат труда при неизменных других факторах производства стоимость выпуска продукции также растет. Скорость ее роста является постоянной положительной величиной V₀. Однако, дополнительное привлечение фактора затрат труда ведет к снижению предельного значения выпуска продукции, причем темпы такого снижения можно считать постоянной отрицательной величиной a₀.

Пусть начальный выпуск продукции характеризуется стоимостью C₀ при затратах труда L₀. Надо найти величину стоимости выпуска продукции при затратах труда, равных L₁.

Обозначим U (L) — стоимость выпуска продукции при затратах труда, равных L. Тогда
— скорость роста стоимости продукции относительно затрат труда L;   — темпы изменения скорости роста стоимости продукции относительно затрат труда L.

По условию задачи ,   проинтегрируем по L:   ,
еще раз проинтегрируем по L, имеем:   .
Определим постоянные a₁ и a₂ :

В нашем случае получим a₂ = 62,5; a₁ = 1. 

Итак,    откуда
.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение
y” + p (x) y’ + g (x) y = 0.                                                                                  (7.24)

Очевидно, что y ≡ 0 является решением уравнения (7.24). Это решение называют нулевым или тривиальным. В дальнейшем мы будем искать только нетривиальные решения дифференциального уравнения (7.24).

Установим некоторые свойства его решений.

1. Если y (x) является решением уравнения (7.24), то Cy (x) также является решением этого уравнения.

2. Если y₁ (x) и y₂ (x) — частные решения уравнения (7.24), то y₁ (x) + y₂ (x) также является решением этого уравнения.

ТЕОРЕМА. Если y₁ (x) и y₂ (x) — частные решения уравнения (7.24), то решением этого уравнения является также функция   y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x).                                 (7.25)

Доказательство. Подставим функцию (7.25) в уравнение (7.24), имеем: 

Выражения в скобках тождественно равны нулю, так как y₁ (x) и y₂ (x) — решения уравнения (7.24), а это означает, что правая часть уравнения равна нулю. Итак, функция (7.25) является решением уравнения (7.24).

Определение. Система функций y₁ (x) и y₂ (x) называется линейно независимой на отрезке [a, b], если равенство
C₁ y₁  + C₂ y₂ ≡ 0                                                                                                  (7.26)
выполняется для всех x тогда и только тогда, когда C₁  = C₂ = 0.

Если равенство (7.26) выполняется, когда хотя бы один из C_i ≠ 0 , то система называется линейно зависимой.

Пусть C₁ y₁  + C₂ y₂ ≡ 0  ; если C₁ ≠ 0, тогда    или    откуда
где λ — постоянное число.

Иными словами, две функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны.

Определение. Линейно независимая система решений линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений.

ТЕОРЕМА (о структуре решения однородного дифференциального уравнения). Если y₁ (x) и y₂ (x) образуют фундаментальную систему решений уравнения (7.24), то y = C₁ y₁ (x) +     C₂ y₂ (x), где C₁, C₂ — произвольные постоянные, является общим решением уравнения (7.24).

Доказательство. Известно, что решение называется общим, если из него при определенных числовых значениях постоянных можно получить любое частное решение. А по теореме о существовании и единстве любое частное решение однозначно определяется начальными условиями.

Покажем, что можно найти C₁ и C₂ такие, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Пусть, когда x = x₀, имеем:

Тогда

Решим эту систему относительно C₁ и C₂, получим:

Поскольку Δ₀ ≠ 0, так как система решений y₁  и y₂  фундаментальна, то для C₁ и C₂ действительно найдем нужные значения.

Таким образом, из решения  y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x)  можно найти любое частное решение, то есть решение, соответствующее любым начальным условиям, а это значит, что решение y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x)  является общим решением уравнения (7.24).

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение:
y” + p (x) y’ + g (x) y = f (x),                                                                                      (7.27)
где функция f (x) называется правой частью уравнения.

Уравнение  y” + p (x) y’ + g (x) y = 0,  которое получается из уравнения (7.27), когда f (x) = 0, называется однородным уравнением, отвечающим уравнению (7.27).

ТЕОРЕМА (о структуре решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и любого частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

В дальнейшем будем пользоваться обозначением:
y = y_о.о. + y_ч.н.,                                                                                             (7.28)
где  у — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка; y_о.о. — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; y_ч.н. — любое частное решение линейного неоднородного уравнения.

Доказательство. Найдем производные:

Подставим y = y_о.о. + y_ч.н.  и найденные производные y’, y” в уравнение (7.27), получим:
или
  Поскольку y_о.о. является общим решением однородного уравнения
y” + p (x) y’ + g (x) y = 0, то в последнем равенстве .
А из того, что y_ч.н. — частное решение уравнения (7.27), имеем тождество:

Итак, мы доказали, что функция y = y_о.о. + y_ч.н. — решение дифференциального уравнения (7.27).

Легко показать, что каждое решение уравнения (7.27), которое удовлетворяет любые начальные условия (из определенной области их определения), можно найти из функции y = y_о.о. + y_ч.н.. Следовательно, эта функция является общим решением. Доказать это утверждение можно аналогично доказательству такого же утверждение для соответствующего однородного уравнения, которое мы привели выше, поэтому здесь на этом доказательстве не останавливаемся.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения.

Суть этого метода заключается в следующем: чтобы найти частное решение неоднородного линейного уравнения (7.27), достаточно в выражение для общего решения y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x) соответствующего однородного уравнения вместо постоянных C₁ и C₂ подставить функции независимой переменной x, производные от которых   и  удовлетворяют такую систему алгебраических уравнений:

Докажем это утверждение.
Запишем решение дифференциального уравнения в виде:
y = C₁ y₁ (x) + C₂ y₂ (x)
Найдем производную:

Мы хотим определить две функции C₁ (x) и C₂ (x).

Одно соотношение между ними мы можем выбрать произвольным. Поставим требование, чтобы  C₁ (x) и C₂ (x)  удовлетворяли равенство
тогда

Найдем вторую производную:

Подставим значение  y, y’, y”  в дифференциальное уравнение (7.27), получим:

Поскольку y₁ (x) и y₂ (x) являются решениями однородного уравнения, то выражения:

Отсюда .

Итак, для того чтобы функция y = C₁ (x) y₁ (x) + C₂ (x) y₂ (x), которая удовлетворяет условию ,  была решением уравнения (7.27), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: .
Таким образом получаем систему

из которой определяем   и  . Эта система имеет единственное решение, потому что по нашему предположению y₁ (x) и y₂ (x) — линейно независимые решения однородного уравнения.

Пусть   и  ,  тогда, интегрируя, получим , где  — произвольные постоянные. Подставим найденные C₁ (x) и C₂ (x)  в соотношение y = C₁ (x) y₁ (x) + C₂ (x) y₂ (x) и получим общее решение дифференциального уравнения (7.27).

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Найдем общее решение этого уравнения методом вариации произвольных постоянных. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 0
.
Интегрируя обе части уравнения, получим
,  откуда   .

Теперь предположим, что C₁ и C₂ являются функциями от x, и складываем систему для нахождения и  :

Откуда  .
В результате интегрирования, имеем
 ,  где — произвольные постоянные.

Подставляем C₁ (x) и C₂ (x) в общее решение соответствующего однородного уравнения

y = C₁ (x) x₂ + C₂ (x) ,
получим общее решение данного уравнения:
   или    .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Уравнение вида
y” + py’ + gy = 0,                                                                                                                    (7.29)
где p, g — постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Найдем общее решение этого уравнения. По теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеем:

y = C₁y₁ (x) + C₂y₂ (x),

где y₁ (x), y₂ (x) — линейно независимые частные решения.

Частное решение уравнения (7.29) будем искать в виде y = e^kx, k — постоянная, которую надо найти.

Найдем y’ = ke^kx, y” = k²e^kx и подставим в уравнение (7.29), имеем: e^kx (k² + pk + g) = 0. Поскольку e^kx ≠ 0 всегда, то  k² + pk + g = 0.                                                                        (7.30)

Уравнение (7.30) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (7.29).

Обозначим через k₁, k₂  корни характеристического уравнения.

При решении характеристического уравнения, которое является квадратным уравнением относительно k, возможны три случая:

1) Корни характеристического уравнения действительны, различные k₁ ≠ k₂ , (D > 0).

2) Корни характеристического уравнения действительны и равны k₁ = k₂ , (D = 0).

3) Корни характеристического уравнения — комплексные числа  (D < 0).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Корни характеристического уравнения действительны, различные k₁ ≠ k_{2 .} Частными решениями уравнения (7.29) в этом случае будут функции   и  .
Эти решения линейно независимы, потому что

Итак, общее решение уравнения (7.29) запишется
                                                                                     (7.31)

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение y” + y’ – 2 y = 0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение: k² + k – 2 = 0. Здесь корни k₁ = 1, k₂ = -2 — действительно, разные. Общее решение дифференциального уравнения запишется: .

2) Корни характеристического уравнения действительны и равны k₁ = k₂. Одно частное решение может быть .

Решение линейно зависимое с первым , поэтому его рассматривать в качестве второго частного решения нельзя. Будем искать другое частное решение в виде ,  где u (x) — неизвестная функция, которую можно найти.

Найдем     и   :


 и  подставим в уравнение (7.29):

Поскольку k₁ — кратный корень характеристического уравнения (7.30), то Кроме того  или  2k₁ = -p,    2k₁ + p = 0.

Итак, для того, чтобы найти u (x), надо решить уравнение   или u’ = 0. Интегрируя дважды, получим u = Аx + B. Если положить A = 1, B = 0, то u = x.

Таким образом, в качестве второго частного решения будем брать функцию . Решения y₁ и y₂ будут линейно независимыми, поскольку
Итак, общее решение дифференциального уравнения (7.29) будет:
.                                                  (7.32)

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение   y” – 4 y’ + 4 y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение k² – 4k + 4 = 0, корни которого k₁ = k₂ = 2 —действительные, равные.

Общее решение дифференциального уравнения будет:

3) Корни характеристического уравнения — комплексные числа.
Если дискриминант характеристического уравнения D < 0, то действительных корней это уравнение не имеет. Введем понятие комплексного числа. Любое комплексное число можно представить в виде:
z = α + βi , где    или  i² = –1.

При этом α называется действительной частью комплексного числа; β — мнимой частью комплексного числа.

Числа z = α + βi   и   z = α – βi  называются комплексно сопряженными числами.

Вернемся теперь к решению характеристического уравнения (7.30), дискриминант которого меньше нуля. Тогда его корни будут комплексно сопряженными числами, то есть .

В случае, когда  , решение дифференциального уравнения будет .

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корень
k₁ = α + βi , то оно имеет и сопряженный с ним корень k₂ = α – βi ,  а поэтому
.

По формулам Эйлера:   , запишем функции y₁ и y₂  в виде:

Далее используем следующую теорему.

Теорема. Если дифференциальное уравнение (7.29) имеет решением функцию u(x) + iv(x), то каждая из функций u (x) и v (x) является решением уравнения (7.29).

Доказательство. Действительно, подставим функцию u (x) + iv (x) в уравнение (7.29), имеем:

или  

Но комплексная функция равна тождественно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю ее действительная и мнимая части, то есть:
u” + pu’ + qu = 0,
v” + pv’ + qv = 0.

А это значит, что  u (x)  и  v (x)  являются решениями уравнения (7.29).

На основе доказанной выше теоремы, частными решениями будут функции ,  причем они будут линейно независимыми, поскольку

Итак, общее решение уравнения (7.29) будет
   или
.                                                                       (7.33)

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнении  y” + 2 y’ + 5 y = 0, удовлетворяющий таким начальным условиям .

Решение. Ищем сначала общее решение. Для этого составляем характеристическое уравнение и решаем его:
k² + 2k + 5 = 0,      D = 4 – 20 = –16 < 0,
— корни комплексно сопряженные числа. Общее решение запишется:

Найдем частное решение, используя начальные условия:


откуда  

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядке с постоянными коэффициентами

Определение. Уравнение
y” + py’ + gy = f (x),                                                                                                (7.34)
где p, g — постоянные числа, f (x) ≠ 0, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

По теореме о структуре решения линейного неоднородного уравнения второго порядка общее решение уравнения (7.34) является суммою общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Это утверждение записано формулой (7.28): y = y_о.о. + y_ч.н. .

Общее решение однородного уравнения мы подробно рассмотрели выше. Теперь перейдем к нахождению частного решения неоднородных уравнений со специальной правой частью, решение которых можно найти не прибегая к интегрированию.

1) Пусть правая часть уравнения (7.34) имеет вид ,  где P_n (x) — многочлен n-й степени. Здесь возможны два случая:

а) α — не является корнем характеристического уравнения, тогда , где   Q_n (x) — многочлен n-й степени с неопределенными коэффициентами.

б) α — является корнем характеристического уравнения кратности r (r = 1 или r = 2), тогда . 

Замечание. Если f (x) = P_n(x) , то считаем, что α = 0 и проверяем, является ли 0 корнем характеристического уравнения.

Пример 1. Найти общее решение уравнения
.                                                                             (7.35)

Решение. Общее решение ищем в виде y = y_о.о. + y_ч.н. .
Сначала найдем общее решение y_о.о. соответствующего однородного уравнения:

y_о.о. =   .

Частное решение  y_ч.н.  неоднородного уравнения ищем в виде правой части уравнения, а именно  ,  поскольку  α = 2  не является корнем характеристического уравнения. Здесь нужно найти неопределенные коэффициенты A и В. Для этого найдем     и    , имеем:
 ;

Подставляем    в уравнение (7.35), получим:
8Axe^2x + 8Be^2x + 8Ae^2x – 2Axe^2x – 2Be^2x – A^e2x – Axe^2x – Be^2x = 4xe^2x.

Разделим левую и правую части уравнения на e^2x, имеем:
8Ax + 8B + 8A – 2Ax – 2B – A – Ax – B = 4 x,
5Ax + 5B + 7A = 4x.

Решение. Здесь характеристическое уравнение k² – 2k + 1 = 0 имеет действительные, равные корни  k₁ = k₂ = 1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y_о.о. =

Правая часть уравнения (7.36) имеет вид P_n (x) = 1 + x,  причем α = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения будем искать в виде  y_ч.н. = Ax + B. Продифференцировав y_ч.н., подставим в уравнение (7.36), имеем:
–2A + Аx + B = 1 + x, откуда  A = 1;   –2A + B = 1;     B = 3.

Частным решением данного уравнения является функция y_ч.н. = x + 3, а его общим решением функция
.

Найдем теперь частное решение уравнения (7.36), которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Для этого найдем
,   тогда

         Откуда С₁ = -1 , С₂ = -3.

Искомым частным решением будет

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:
y” – 7 y’ + 6 y = (x – 2) e^x.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: k² – 7 k + 6 = 0,  k₁ = 1,   k₂ = 6;  
y_о.о. = .
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , потому что α = 1  является корнем характеристического уравнения. Выполнив необходимые вычисления, найдем
   Тогда   .
Итак, общее решение заданного уравнения будет

2) Пусть правая часть уравнения (7.34) имеет вид
.
Проверяем, является ли     корнем характеристического уравнения:

а)    не является корнем характеристического уравнения, тогда
  где — многочлены k-й степени с неопределенными коэффициентами (k = max (m, n)).
б)    является корнем характеристического уравнения, тогда
.

Замечание 1. Если α = 0, то проверяем, является ли β корнем характеристического уравнения.

Замечание 2. Если в правой части есть одна из тригонометрических функций, например, cos x, то в частное решение должна входить и функция sin x.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение:
y” + y’ – 2 y = e^x сos x.                                                                                            (7.37)

Решение. Составляем характеристическое уравнение и решаем его: k² + k – 2 = 0; k₁ = -2, k₂ = 1.

Общее решение однородного уравнения   .
Правая часть неоднородного уравнения f (x) = e^x cos x, то есть имеет вид
,
где

Поскольку α + βi = 1 + i  не является корнем характеристического уравнения,
а      многочлены нулевого степени, то 

Найдем    и  :

Подставляем  и в уравнение (7.37):

Сокращая обе части равенства на e^x и сводя подобные члены, получим:
(–3A – B) sin x + (3B – A) cos x = cos x

Уравнивая коэффициенты при сos x и sin x в обеих частях
уравнения, получим:
              Откуда   .

Общее решение уравнения (7.37) будет:

Пример 5. Решить уравнение y” – 2 y + y = xe^x.

Решение. k² – 2k + 1 = 0, k₁ = k₂ = 1,  .
f (x) = xe^x, α = 1. Число 1 — двукратный корень характеристического уравнения. Итак, r = 2.

Подставляем  в данное уравнение:

или 6Ax + 2B = x, отсюда 6A = 1,2B = 0.
Итак,     Поэтому ,
а  — общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 6. Решить уравнение y” – 3 y’ = x² + 1.

Решение.
.
  Число 0 — корень характеристического уравнения, поэтому r = 1.
Итак,   или  

Подставляем    в данное уравнение:
6Ax + 2B – 6Ax² – 4Bx – 2C = x² + 1 или
–6Ax² + (6A – 4B) x + 2B – 2C = x² + 1;

Отсюда,  
Итак, 

  — общее решение данного уравнения.

Пример 7.  Найти частное решение уравнения  y ” – 2 y ‘= e x (x2 + x – 3), удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Ищем сначала общее решение данного уравнения. Для этого найдем у_о.о. и у_ч.н. :
k² – 2k = 0,   k (k – 2) = 0, k₁ = 0, k₂ = 2.

Поэтому у_о.о. = С₁ + С₂e^2x   

, ( = 1 — не является корнем характеристического уравнения).

Подставляем   в данное уравнение, получим:


или  .
Отсюда

Итак,   а     — общее решение данного уравнения.

Решим задачу Коши.

Используем начальные условия

Итак, y = e^2x + e^x (–x² – x + 1) — искомое частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Пример 8. Решить уравнение у’ + 2 у = 5 x cos x + 3 sin x.

Решение. k² + 2 = 0, k² = –2,

α = 0, β = 1, α + βi = i,   i — не является корнем характеристического уравнения.

Поэтому r = 0.

(Cx D) sin x.

Подставляем   данное уравнение, получим:

Таким образом,  а общее решение

Мы рассмотрели метод неопределенных коэффициентов для отыскания частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Рассмотрим пример, когда частное решение уравнения нельзя найти методом неопределенных коэффициентов.

Пример 9. Решить методом вариации произвольных постоянных уравнение

Решение. Ищем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид k² + 3k + 2 = 0, корни которого k₁ = -2; k₂ = –1, поэтому общее решение однородного уравнения запишется:
Положим С₁ = С₁ (x),  С₂ = С₂ (x) и запишем систему уравнений:

Решаем систему уравнений относительно  и C’ (x) .  Из первого уравнения: 

Подставим найденные C₁ (x) и C₂ (x) в общее решение однородного уравнения, получим общее решение данного неоднородного уравнения:
     или

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение относительно неизвестной функции, ее первой и второй производной.

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде можно записать так:

где – функция своих аргументов, – независимая переменная, – искомая функция, – ее производные.

Если равенство (1) разрешимо относительно то уравнение принимает вид

Решением дифференциального уравнения второго порядка называют любую функцию, обращающую данное уравнение в тождество.

Задача Коши: 

Найти решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет условиям:

при или

где – заданные числа.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называют функцию , обладающую следующими свойствами:

1. при любых значениях произвольных постоянных и функция обращает уравнение в тождество;
2. постоянные и можно определить так, чтобы выполнялись условия: при , где – любые числа из области задания уравнения (т.е. можно решить задачу Коши).

Общим интегралом дифференциального уравнения второго порядка называют его общее решение, заданное в неявном виде

Частным решением называют решение, полученное из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных:

, где – некоторые числа.

Частным интегралом называют решение, полученное из общего интеграла фиксированием произвольных постоянных:

, где – числа.

Если известно общее решение , то решение задачи Коши сводится к определению из системы уравнений

Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случай понижения порядка

Простейшими дифференциальными уравнениями второго порядка являются уравнения, в которых функция зависит только от одного из аргументов:

Общее решение первого уравнения находится с помощью двукратного интегрирования. При интегрировании второго и третьего

уравнения пользуются подстановкой . С помощью этой подстановки уравнения

приводятся к уравнениям первого порядка.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение имеет вид , где – числа. Алгебраическое уравнение называют характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения. Корни характеристического уравнения вычисляются по формуле

В зависимости от этих корней определяется общее решение дифференциального уравнения.

Если корни действительные и разные , то общее решение дифференциального уравнения выражается формулой

В случае равных корней общее решение имеет вид

Когда корни комплексно-сопряженные: , то общее решение дифференциального уравнения определяется формулой:

Если корни чисто мнимые , то

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнение вида , где – числа, -заданная функция. Общее решение такого уравнения определяется формулой

, или

где – общее решение соответствующего однородного уравнения , a – частное решение данного неоднородного уравнения. Это частное решение в простейших случаях – полином алгебраический или тригонометрический находится способом неопределенных коэффициентов.

Примеры с решением

Пример 1.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Это уравнение вида Так как откуда Поскольку откуда

Следовательно, общее решение данного уравнения выражается формулой

Пример 2.

Найти общее решение уравнения

Первая часть уравнения зависит только от . Это уравнение вида Полагая находим:

Итак, общее решение имеет вид

Пример 3.

Проинтегрировать уравнение

Это уравнение вида Полагая находим общее решение уравнения

Следовательно, общее решение выражается формулой

Пример 4.

Проинтегрировать уравнение

Это уравнение вида (функция не зависит от ).

Применяя подстановку , получаем уравнение

(так как )- Интегрируем уравнение:

Пример 5.

Проинтегрировать уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условиям: при.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет корни: , поэтому общее решение определяется формулой . Чтобы найти указанное частное решение, необходимо определить значения постоянных и . Подставляя значения в выражения для и, получаем систему уравнений:

откуда

Следовательно, – искомое частное решение.

Пример 6.

Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнение имеет равные кор-

ни поэтому общее решение дифференциального уравнения выражается формулой .

Пример 7.

Найти общее решение уравнения . Характеристическое уравнение имеет комплексные

корни , поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой .

Пример 8.

Проинтегрировать уравнение .

Характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни

Общее решение дифференциального уравнения выражается формулой

Пример 9.

Проинтегрируйте уравнение

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного

уравнения Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , где – пока неизвестные коэффициенты. Подставляя выражения для в исходное уравнение, получаем тождество

Прировняв коэффициенты при одинаковых степенях запишем систему уравнений

из которой находим значения коэффициентов: ;значит частное решение имеет вид .

Так как общее решение неоднородного уравнения выражается формулой , то общее решение исходного уравнения имеет вид:

Пример 10.

Проинтегрировать уравнение

В этом уравнении , поэтому частное решение ищем в виде

, или Поскольку

то

Так как , то общее решение выражается формулой

Пример 11.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Так как характеристическое уравнение имеет корни , то . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде (число не является корнем характеристического уравнения). Находя производные функции и подставляя их выражения в исходное уравнение, получаем:

Поскольку – решение уравнения, то последнее равенство должно выполняться для всех а это возможно, когда . Следовательно .

Общее решение данного уравнения выражается формулой

Пример 12.

Проинтегрировать уравнение Общее решение соответствующего однородного уравнения имеетвид так как -корни характеристического уравнения . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в форме

Находим производные этой функции:

Подставим функцию и ее производные в левую часть уравнения:

откуда Следовательно,

Общее решение исходного уравнения выражается формулой