Как составить каноническое уравнение эллипса зная его фокус

F₁ и F₂ – фокусы эллипса;

а – большая полуось;

b – малая полуось

с – фокусное расстояние

Доказательство:

Когда точка M на линии эллипса находится на его пересечении с вертикальной осью, из теоремы Пифагора выходит, что

r₁ + r₂ = 2*√(b² + c²)

Когда точка M пересекает горизонтальную ось

r₁ + r₂ = а – c + а + c

По определению эллипса r₁ + r ₂ = const

Это позволяет после приравнивания получить

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2а

Что и требовалось доказать.

Уравнение эллипса

Доказательство уравнения:

Введём прямоугольную декартову систему координат.

Сначала докажем, что координаты любой из точек на эллипсе удовлетворяют приведённому каноническому уравнению. Затем покажем, что любое из решений уравнения является координатами точки, лежащей на линии эллипса. Из этого будет следовать удовлетворение каноническому уравнению только тех точек, которые лежат на поверхности эллипса. Опираясь на этот факт и на определение эллипса можно будет однозначно сделать вывод, что написанное нами уравнением является каноническим уравнением или, как ещё говорят, основной формулой эллипса.

1. Пусть М(х, у) будет точкой эллипса, т.е. сумму её фокальных радиусов примем равной 2а, т. е. r₁ + r₂ = 2a.
   С помощью формулы расстояния, разделяющего две точки на координатной плоскости, можно легко найти фокальные радиусы точки M.

   r₁ = √[(x + c)² + y²]
   r₂ = √[(x — c)² + y²]

   Из этих уравнений получаем √[(x + c)² + y²] + √[(x — c)² + y²] = 2a

   Если один из корней перенести в правую часть и возвести всё в квадрат, то придём к выражению
   (x + c)² + y² = 4a² – 4a√[(x — c)² + y²] + (x – c)² + y²

   После сокращения приходим к 2xc = 4a² – 4a√[(x-c)² + y²] – 2xc
   После приведения подобных членов, сокращения на 4 и уединения радикала будем иметь
   a√[(x-c)² + y²] = a² – xc

   Возведём это выражение в квадрат
   a²(x-c)² + a² y2 = a⁴ – 2a²xc + x²c²

   Если раскрыть скобки и сократить на -2a² xc, то a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + x²c²
   Отсюда легко получить (a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²)
   Из этого следует, что b²x² +a²y² = a²b²

2. Пусть некоторые числа (x, y) полностью удовлетворяют каноническому уравнению
   1 = (x²/a²) + (y²/b²)
   Пусть нам дана точка M(x,y) на координатной плоскости 0xy
   Из канонического уравнения следует, что Y² = b²(1- x²/a²)
   Если это равенство подставить в выражение для фокальных радиусов, которые имеет точка M, то можно получить
   r₁ = √[(x + c)² +y²] = √[x² +2xc + c² +b² – b²x²/a²] = √[x²(1 – b²/a²) + 2xc +c² +b²] =
   = √[x²(a² – b²)/a² + 2xc + (c² + b²)] = √[x² (c²/a²) + 2xc +a²] = √[x(c/a) +a]² = |a +xε|
   т. е. r₁ = |a +xε|
   Отношение 2с/2a = c/a = ε называется эксцентриситетом эллипса. Оно у него всегда меньше 1.
   То же самое просчитываем для r_2.
   Т. к. x²/a² больше или равно 1 или x больше или равно большой полуоси (a), то можно сделать вывод о справедливости неравенства a≥|x|> |x|* ε = |xε|
   Отсюда явно следует, что a+-|xε|>0 или a+-xε > 0 и r₁ = a + xε, r₂ = a — xε
   Из полученных равенств выходит, что r₁ + r₂ = 2a, это значит, что точка M однозначно является точкой эллипса. Это нам и нужно было доказать.

Свойства эллипса

• У эллипса имеются две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
  
  Доказательство:
  Переменные x и y в уравнение эллипса входят лишь во второй степени. Это означает, что если точка M с координатами (x,y) ему принадлежит, то и точки М₁ (-x, y) и M₂ (x, -y) тоже принадлежат ему. Легко проверить, что указанные координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса. M₁ симметрична по отношению к оси X, а M₂ по отношению к оси Y. Получается, что у эллипса есть две взаимно перпендикулярные точки симметрии.
• У эллипса есть центр симметрии.
  
  Доказательство:
  Если координаты точки М(x,y) будут удовлетворять уравнению эллипса, то и точка
  N (–x; –y) ему тоже будет удовлетворять. M и N симметричны по отношению к началу координат. Это как раз и означает, что у эллипса имеется центр симметрии.
• Эллипс пересекает каждую из осей в двух точках.
  
  Доказательство:
  Возьмём произвольную точку эллипса M(x,y). Расстояние этой точки до фокусов будет

  r₁ = √[(x + c)² + y²]
  r₂ = √[(x — c)² + y²]

  Теперь давайте рассмотрим выражение

  (x+-c)² + y² = x² +- 2xc + c²+ y² =
  = x² +- 2xc + a² – b² +y² = x² +- 2xc+ a² — b² + b²(1-x²/a²) =
  = (a² – b²)*x²/a² +-2xc +a² = c²*x²/a²+-2xa(c/a) + a² = (a +c*x/a)²

  Эксцентриситет эллипса, как сказано ранее, меньше 1. Т. к. |x|≤ a, то a – εx > 0. Поэтому
  F₁M = a + εx и F₂M = a – εx. Напомним, что ε – это эксцентриситет эллипса.

А теперь несколько свойств эллипса без доказательств.

• Эллипс можно получить, сжав окружность.
• Если через эллипс проходят две прямые, то отрезок, концами которого являются середины отрезков созданных при пересечении прямых, обязательно пересекает середину, центр эллипса.
• Угол, созданный касательной к эллипсу и его радиусом, проходящем через фокусы указанной геометрической фигуры, в любых случаях пересекает середину эллипса.
• Уравнение касательной к эллипсу в точке М, имеющей координаты x_M и y_M 
  1 = (x*x_M)/a² + (y*y_M)/b²
• Эволюта эллипса представляет собой астероиду, растянутую вдоль его малой оси.
• Угол между касательной к эллипсу и одним его фокальным радиусом (r₁) имеет ту же величину, что и угол, разделяющий касательную и другой фокальный радиус (r₂) фигуры.

Как построить эллипс

Расскажем, как построить эллипс по его большой и малой полуосям и с помощью циркуля.

Построение эллипса по его большой и малой осям

Считается самым простым, не требующим серьёзных навыков.

Проведите две перпендикулярные оси;

От места пересечения осей на вертикальной отложите верх и вниз отрезки. Они будут составлять малую ось эллипса. На горизонтальной отложите отрезки вправо и влево. Из них будет состоять большая ось;

Проведите две концентрические окружности. Одну диаметром AB, диаметром CD;

Проведите ещё диаметры в различных направлениях;

В местах, где лучи соприкасаются с окружностями, проведите линии параллельные малой и большой осям эллипса, пока они не пересекутся в точках, которые принадлежат эллипсу;

Соедините полученные точки плавной линией.

Как построить эллипс с помощью циркуля

Во многом здесь всё аналогично предыдущему способу, поэтому перегружать текст иллюстрациями не будем.

Порядок действий следующий:

• Проведите две перпендикулярные линии. Они будут осями эллипса, а точка их пересечения центром геометрической фигуры;
• Определитесь с величиной большой и малой полуосей, если их значения не заданы в условии задачи;
• Установите раствор циркуля на длину большой полуоси (a). Поместите циркуль в точку O и отметьте на одной из линий две точки, P₁ и P₂. Установите раствор циркуля на длину малой полуоси. Опять поместите его в точку O и отметьте на другой из линий ещё две точки, обозначьте их как Q₁ и Q₂. Отрезки P₁P₂ и Q₁Q₂ будут большой и малой полуосями будущего эллипса;
• Установите раствор циркуля на величину a. Поместите циркуль в точке Q₁ или Q₂. После этого обозначьте циркулем на отрезке P₁P₂ точки F_{1 и} F₂. Это будут фокусы фигуры.
• Отметьте на P₁P₂ любую точку и обозначьте её T. Поставьте в этой точке циркуль и измерьте этим инструментом расстояние до P₁. Затем начертите окружность данного радиуса из фокуса F₁. После этого нужно сделать ещё одну окружность с радиусом величиной с расстояние от T до P₂, но уже с центром из F₂;
• Отметьте точки, в которых пересекаются обе окружности. Повторяйте процедуру, описанную в предыдущем пункте с новыми точками, отмечаемыми на отрезке P₁P₂;
• Соедините точки пересечения окружностей сплошной линией, когда построите их достаточное количество. Так у вас получится построить фигуру эллипс с помощью циркуля.

Примеры решения задач

Задача 1

Эллипс задан уравнением 16x² + 25y² = 400. Требуется найти большую и малую полуоси эллипса, координаты его фокусов и эксцентриситет.

Решение:

Разделим полученное уравнение на 400. Этим мы приведём его к виду

(x²/25) + (y²/16) =1. Большая полуось равна 5, корню квадратному из 25, а малая 4, корню квадратному из 16.

Из соотношения a² = b² + c² находим фокусное расстояние. Оно равно

c=+-√(a² – b²) = +-√(25-16) = +-3, а значит координаты фокусов будут

 F₁(-3,0) и F₂ (3,0). Эксцентриситет ε = с/a = 3/5.

Ответ: a = 5, b = 4, ε = 3/5.

---

Задача 2

Выяснить, является ли эллипсом линия, заданная как

 9x² + 25y² – 225 = 0

Преобразуем данное нам уравнение к каноническому виду. Для этого:

Перенесём 225 в правую сторону

 9x² + 25y² = 225

Поделим обе части этого уравнения на 225

(9x²/225) + (25y²/225) = 1

Сократим дроби и получим

(x²/25) + (y²/9) = 1

Как видим, нам удалось получить каноническое уравнение эллипса в чистом виде, т. е. исходное уравнение представляет собой эллипс, что и требовалось выяснить.

Ответ: 9x² + 25y² – 225 = 0 является уравнением эллипса.

---

Задача 3

Составить каноническое уравнение эллипса если расстояние между фокусами равно 8, а большая ось 10.

Решение:

Если большая ось равняется 10, значит полуось будет 5.

Если фокусное расстояние равно 8, то число c из координат фокусов будет 4.

Далее нужно подставить и вычислить

4 = √(25-b²)

Возведём это уравнение в квадрат

16 = 25 – b²

Перенесём b² влево, а 16 вправо

b² = 25 – 16 =9

В результате этих не сложных преобразований и вычислений получим каноническое уравнение

(x²/25) + (y²/9) = 1

Ответ: (x²/25) + (y²/9) = 1.

---

Задача 4

Получить каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 12/13, а большая полуось равна 26.

Решение:

Из уравнения эксцентриситета ε = с/a находим, что a = 13, а величина с = 12. Далее нужно вычислить квадрат длины меньшей полуоси

c = √(169 – b²)

Возведём обе части уравнения в квадрат

c² = 169 – b²

Отсюда

b² = 169 – 144 = 25

Далее остаётся лишь составить каноническое уравнение

(x²/169) + (y²/25) = 1

Ответ: (x²/169) + (y²/25) = 1

---

Задача 5

Найти фокусы у эллипса, который задан уравнением (x²/25) + (y²/16) = 1

Решение:

Нам нужно найти число с, которое определяет первые координаты фокусов

c = √(25-16) =3

Фокусы заданного эллипса будут равны

F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Ответ: F₁(-3,0) и F₂(3,0).

444 Составить уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того,
что: 444.1 его полуоси ранвы 5
и 2; 444.2 его большая ось
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8; 444.3 его малая ось равна
24, а расстояние между фокусами 2c=10; 444.4 расстояние между
его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5. 444.5 его большая ось
равна 20, а эксцентриситет e=3/5. 444.6 его малая ось равна
10, а эксцентриситет e=12/13; 444.7 расстояние между
его директрисами равно 5 и расстояние между
фокусами 2c=4; 444.8 его большая ось
равна 8, а расстояние между директрисами равно 16; 444.9 его малая ось равна
6, а расстояние между директрисами равно 13; 444.10 расстояние между
его директрисами равно 32 и e=1/2. 445 Составить
уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси
ординат симметрично начала координат, зная,
кроме того, что: 445.1 его полуоси равны
соответственно 7 и 2; 445.2 его большая ось
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8; 445.3 расстояние между
его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13. 445.4 его малая ось равна
16, а эксцентриситет e=3/5. 445.5 расстояние между
его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами
равно 50/3; 445.6 расстояние между
его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4. 446 Определить полуоси
каждого из следующих эллипсов: 446.1  ; 446.2 ; 446.3 ; 446.4 ; 446.5  ; 446.6 ; 446.7 ; 446.8 ; 446.9 ; 446.10 . 447 Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы,
эксцентриситет, уравнения директрис. 448 Вычислить площадь
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса , а две другие
совпадают с концами его малой оси. 449 Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы,
эксцентриситет, уравнения директрис. 450 Вычислить площадь
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса , две другие лежат с
концами его малой оси. 451 Вычислить
расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса до
односторонней с этим фокусом директрисы. 452 Пользуясь одним
циркулем, построить фокусы эллипса (считая,
что изображены оси координат и задана масштабная
единица). 453 На эллипсе найти точку, абсцисса которых равна
–3. 454 Определить, какие
из точек A₁(-2; 3), A₂(2; -2), A₃(2;
-4), A₄(-1; 3), A₅(-4; -3), A₆(3; -1), A₇(3;
-2), A₈(2; 1), A₉(0; 15), A₁₀(0; -16) лежат на эллипсе , какие
внутри и какие вне его. 455 Установить, какие
линии опеределяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 455.1 ; 455.2 ; 455.3 ; 455.4 . 456 Эксцентриситет
эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса
равен 10. Вычислить расстояние от точки М до
односторонней с этим фокусом директрисы. 457 Эксцентриситет
эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до
директрисы равно 20. Вычислить расстояние от
точки М до фокуса, односторонней с этой
директрисой. 458 Дана точка М₁(2; -5/3) на эллипсе ; составить
уравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М₁.
459 Убедившись, что
точка M₁(-4; 2,4) лежит
на эллипсе , определить фокальные радиусы точки
М₁. 460 Эксцентриситет
эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом
координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить
расстояние от точки М₁ эллипса с абсциссой, равной 2, до
директрисы, односторонней с данным фокусом. 461 Эксцентриситет
эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом
координат, одна из директрис дана уравнением x=16.
Вычислить расстояние от точки M₁
эллипса с абсциссой, равной –4, до
фокуса, одностороннего с данной директрисой. 462 Определить точки
эллипса , расстояние которых до
правого фокуса равно 14. 463 Определить точки
эллипса , расстояние которых до
левого фокуса равно 2,5. 464 Через фокус эллипса
проведен перпендикуляр к его
большой оси. Определить расстояния от точек
пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до
фокусов. 465 Составить
уравнения эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если даны: 465.1 точка М₁(; 2) эллипса
и его малая полуось b=3; 465.2 точка М₁(2;
-2) эллипса и его большая полуось
a=4; 465.3 точки М₁(4;
) и
М₂(; 3) эллипса; 465.4 точка М₁(; -1) эллипса
и его эксцентриситет e=2/3; 465.5 точка М₁(2;
-5/3) эллипса и его эксцентриситет
e=2/3; 465.6 точка М₁(8;
12) эллипса и расстояние r₁=20
от нее до левого фокуса. 465.7 точка М₁(; 2) эллипса
и расстояние между его директрисами, равное 10. 466 Определить
эксцентриситет e эллипса, если: 466.1 его малая ось видна
из фокусов под углом 60⁰; 466.2 отрезок между
фокусами виден и вершин малой оси под прямым
углом; 466.3 расстояние между
директрисами в три раза больше расстояния между
фокусами; 466.4 отрезок
перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на
его директрису, делится вершиной эллипса
пополам. 467 Через фокус F
эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси
(см. рис.). Определить, при каком значении
эксцентриситета эллипса отрезки и будут
параллельны.

468 Составить
уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x₀, y₀), если
известно, что оси симметрии эллипса параллельны
осям координат. 469 Эллипс касается оси
абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4).
Составить уравнение этого эллипса, зная, что его
оси симметрии параллельны координатным осям. 470 Точка С(-3; 2)
является центром эллипса, касающегося обеих
координатных осей. Составить уравнение этого
эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны
координатным осям. 471 Установить, что
каждое из следующих уравнений определяет эллипс,
и найти координаты его центра С, полуоси,
эксцентриситет и уравнения директрис: 471.1 ; 471.2 ; 471.3 . 472 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 472.1  ; 472.2 ; 472.3 ; 472.4 . 473 Составить
уравнение эллипса, зная, что: 473.1 его большая ось
равна 26 и фокусы суть F₁(-10; 0), F₂(14;0);
473.2 его малая ось равна
2 и фокусы суть F₁(-1; -1), F₂(1;
1);
473.3 его фокусы суть F₁(-2; 3/3), F₂(2; -3/2) и
эксцентриситет e=.
473.4 его фокусы суть F₁(1; 3), F₂(3; 1) и
расстояние между директрисами равно .
474   Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет
,
фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей
директрисы
475 Составить
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы . 476 Точка А(-3; -5) лежит
на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а
соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса. 477 Составить
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение
соответствующей директрисы . 478 Точка M₁(2;
-1) лежит на эллипсе, фокус
которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана
уравнением . Составить уравнение этого эллипса. 479 Точка M₁(3;
-1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить
уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет
e=. 480 Найти точки
пересечения прямой и эллипса . 481 Найти точки
пересечения прямой и эллипса . 482 Найти точки
пересечения прямой и эллипса . 483 Определить, как
расположена прямая относительно эллипса:
пересекает ли, касается или проходит вне его,
если прямая и эллипс заданы следующими
уравнениями: 483.1 , ; 483.2 , ; 483.3 , . 484 Определить, при
каких начениях m прямая : 484.1 пересекает эллипс ; 484.2 касается его; 484.3 проходит вне этого
эллипса. 485 Вывести условие,
при котором прямая касается эллипса . 486 Составить
уравнение касательной к эллипсу в его
точке M₁(x₁; y₁). 487 Доказать, что
касательные к эллипсу , проведенные
в концах одного и того же диаметра, параллельны.
(Диаметром эллипса называется его хорда,
проходящая через его центр). 488 Составить
уравнения касательных к эллипсу, параллельных
прямой . 489 Составить
уравнения касательных к эллипсу , перпендикулярных
к прямой . 490 Провести касательные к эллипсу параллельно
прямой и вычислить расстояние d между ними. 491 На эллипсе найти точку М₁,
ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до
этой прямой. 492 Из точки А(10/3; 5/3)
проведены касательные к эллипсу . Составить
их уравнения. 493 Из точки С(10; -8)
проведены касательные к эллипсу . Составить
уравнение хорды, соединяющей точки касания. 494 Из точки Р(-16; 9)
проведены касательные к эллипсу . Вычислить
расстояние d от точки Р до хорды эллипса,
соединяющей точки касания. 495 Эллипс проходит
через точку А(4; -1) и касается прямой . Составить
уравнение этого эллипса при условии, что его оси
совпадают с осями координат. 496 Составить
уравнение эллипса, касающегося двух прямых , , при
условии, что его ося совпадают с осями координат. 497 Доказать, чо
произведение расстояний от центра эллипса до
точки пересечения любой его касательной с
фокальной осью и до основания перпендикуляра,
опущенного из точки касания на фокульную ось,
если величина постоянная, равная квадрату
большой полуоси эллипса. 498 Доказать, что
произвдение расстояний от фокусов до любой
касательной к эллипсу равно квадрату малой
полуоси. 499 Прямая касается
эллипса, фокусы которого находятся в точках F₁(-3;
0), F₂(3; 0). Составить
уравнение этого эллипса. 500 Составить
уравнение эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если известны уравнение касательной к
эллипсу и его малая полуось b=2. 501 Доказать, что
прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М,
составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит
вне угла F₁MF₂. 502 Из левого фокуса
эллипса под тупым углом к оси
Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя
до эллипса, луч на него отразился. Составить
уравнение прямой, на которой лежит отраженный
луч. 503 Определить точки
пересечения эллипсов , . 504 Убедившись, что
эллипсы , () пересекаются
в четырех точках, лежающих на окружности с
центром в начале координат, определить радиус R
этой окружности. 505 Плоскости и образуют угол =30⁰. Опредлить
полуоси эллипса, полученного проектированием на
плоскость окружности радиуса R=10,лежащей на
плоскости . 506 Эллипс, малая
полуось которого равна 6, является проекцией
окружности радиуса R=12. Опредилть угол между плоскостями, в которых лежат
эллипс и окружность. 507 Направляющей
круглого цилиндра является окружность радиуса
R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в
сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к
его оси под уголом =30⁰. 508 Направляющей
круглого цилиндра является окружность радиуса R=. Определить, под каким углом к оси
цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в
сечении получить эллипс с большой полуосью a=2. 509 Равномерным
сжатием (или равномерным растяжением) плоскости
к оси абсцисс называется такое преобразование
точек плоскости, при котором произвольная точка
M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что
x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая
коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично
рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется
равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2).
Определить, в какую линию преобразуется
окружность , если коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.

510 Коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4.
Определить уравнение линии, в которую при таком
сжатии преобразуется эллипс . 511 Найти уравнение
линии, в которую преобразуется эллипс при двух последовательных
равномерных сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия
плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и
6/7. 512 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Ox, при котором эллипс преобразуется
в эллипс . 513 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Oy, при котором эллипс преобразуется
в эллипс . 514 Определить
коэффициенты q₁, q₂ двух последовательных равномерных
сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых
эллипс преобразуется в окружность .

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства – вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b – малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина – в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Эллипс в высшей математике

Рассмотрим уравнение

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

или

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

(рис. 206). Отсюда

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Эллипс: определение, свойства, построение

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек , и есть величина постоянная , бо́льшая расстояния между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Фокальное свойство эллипса

Точки , и называются фокусами эллипса, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки и , соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Из определения следует, что . При , т.е. при , фокусы и , а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса (рис.3.36,6).

Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).

Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов . Для произвольной точки , принадлежащей эллипсу, имеем:

Записывая это равенство в координатной форме, получаем:

Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:

Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:

Обозначив , получаем . Разделив обе части на , приходим к каноническому уравнению эллипса:

Следовательно, выбранная система координат является канонической.

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке , a уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом, равным .

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.

---

Директориальное свойство эллипса

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее. При , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Эллипс с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство эллипса). Здесь и — один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. или .

В самом деле, например, для фокуса и директрисы (рис.3.37,6) условие можно записать в координатной форме:

Избавляясь от иррациональности и заменяя , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса и директрисы .

---

Уравнение эллипса в полярной системе координат

Уравнение эллипса в полярной системе координат (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид

где фокальный параметр эллипса.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус эллипса, а в качестве полярной оси — луч (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем . Выражаем расстояние между точками и (см. пункт 2 замечаний 2.8):

Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса имеет вид

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

Выражаем полярный радиус и делаем замену :

что и требовалось доказать.

---

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса

Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число — большой полуосью эллипса. Подставляя , получаем . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число — малой полуосью эллипса.

Действительно, , причем равенство получается только в случае , когда эллипс является окружностью. Отношение называется коэффициентом сжатия эллипса.

---

Замечания 3.9

1. Прямые ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).

2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.

Действительно, пусть в прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид . При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом координаты произвольной точки , принадлежащей окружности, изменяются по закону

Подставляя в уравнение окружности и , получаем уравнение для координат образа точки :

поскольку . Это каноническое уравнение эллипса.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр — центром симметрии.

Действительно, если точка принадлежит эллипсу . то и точки и , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.

4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси ( при ).

5. Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше , тем эллипс более вытянут, а чем ближе к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что и , получаем

где — коэффициент сжатия эллипса, . Следовательно, . Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия и больше эксцентриситет. Для окружности и .

6. Уравнение при определяет эллипс, фокусы которого расположены на оси (рис.3.38,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение определяет эллипс с центром в точке , оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

При уравнение описывает окружность радиуса с центром в точке .

---

Параметрическое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству .

---

Пример 3.20. Изобразить эллипс в канонической системе координат . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: — большая полуось, — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя в уравнение эллипса, получаем

Следовательно, точки с координатами — принадлежат эллипсу.

Вычисляем коэффициент сжатия ; фокусное расстояние ; эксцентриситет ; фокальный параметр . Составляем уравнения директрис: .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.