Как составить каноническое уравнение параболы по точке

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Число $p$ из уравнения носит название “фокальный параметр”.

Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.

Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.

А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = – 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.

«Каноническое уравнение параболы» 👇

Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.

При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так:
$Ax^2 + B cdot x cdot y + Ccdot y^2 + Dcdot x + Ecdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.

Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = frac{p}{2}$ и $y = 0$.

Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = – frac{p}{2}$.

Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:

$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.

Икс и игрек для этой точки равны $frac{p}{2}$ $y$ соответственно.

Запишем уравнение (1) в координатной форме:

$sqrt{(x – frac{p}{2})^2 + y^2 }= x + frac{p}{2}$

Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

$(x – frac{p}{2})^2 + y^2 = x^2 +px^2 + frac{p^2}{4}$

После упрощения получаем каноническое уравнение параболы:
$y^2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:

$y = ax^2 + bx + c$.

Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:

$x_A = – frac{b}{2a}$

$y_A = – frac{D}{4a}$, где $D = b^2 – 4ac$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Парабола — это график функции описанный определённой формулой. Чтобы построить параболу нужно следовать формуле, определениям и уравнениям.

Парабола

Элементы параболы
0F – фокальная ось
0 – вершина
– фокус
ε=1 – эксцентриситет
– фокальный радиус
– директриса
p – фокальный параметр

Каноническое уравнение параболы (ось Ox совпадает с фокальной осью, начало координат – с вершиной параболы): y 2 =2px
При p x 2 =2py
При p>0 ветви параболы направлены вверх, при p 2 /2+(y-1) 2 /2=1, необходимо набрать в поле x^2/2+(y-1)^2/2=1 и нажать кнопку График параболы .

Самостоятельно построить график можно, используя операцию выделения полного квадрата.

Каноническое уравнение параболы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Число $p$ из уравнения носит название “фокальный параметр”.

Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.

Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.

А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = – 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.

Готовые работы на аналогичную тему

Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.

При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B cdot x cdot y + Ccdot y^2 + Dcdot x + Ecdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы

Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.

Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = frac

<2>$ и $y = 0$.

Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = – frac

<2>$.

Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:

$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.

Икс и игрек для этой точки равны $frac

<2>$ $y$ соответственно.

Запишем уравнение (1) в координатной форме:

Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:

Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:

$y_A = – frac<4a>$, где $D = b^2 – 4ac$.

Пример составления классического уравнения параболы

Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.

Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $frac<1><2>$ фокального параметра $frac

<2>= 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.

После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения

Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.

Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:

Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 cdot x$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 03 12 2021

Кривые второго порядка – определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://spravochnick.ru/matematika/parabola/kanonicheskoe_uravnenie_paraboly/

http://www.evkova.org/krivyie-vtorogo-poryadka

[/spoiler]

Парабола:

Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.

Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы

Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисы.

Возведем обе части уравнения в квадрат

Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: (а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).

Рис. 35а. Параболы и их уравнения.

Рис. 356. Параболы и их уравнения.

Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:

• – точка пересечения параболы с осью абсцисс;
• – точка пересечения параболы с осью ординат.

Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.

Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Пример:

Дано уравнение параболы Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.

Решение:

Так как из уравнения параболы следует, что следовательно, Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке а уравнение директрисы имеет вид

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы до её асимптоты.

Решение:

Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.

Гипербола:

Следовательно, действительная полуось гиперболы а мнимая полуось – Гипербола вытянута вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данной гиперболы Итак, Вычислим расстояние от фокуса до асимптоты которое равно параметру р:

Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид:

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса Написать уравнение директрисы.

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как , то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Так как фокус параболы совпадает с одним из фокусов или эллипса, то параметр р найдем из равенства уравнение параболы имеет вид Директриса определяется уравнением

Уравнение параболоида вращения

Пусть вертикальная парабола

расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).

Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).

Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем

Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения

Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.

Парабола

Парабола
– геометрическое
место точек
,
равноудалённых от заданной точки
F(p/2,0)
(фокус)
и от данной прямой (директрисы).

.
,

–
каноническое
уравнение параболы
с вершиной
в начале координат,

точка
О
– вершина;
ox
– ось параболы; точка F(р/2,0)
– фокус;

– уравнение
директрисы;
–
эксцентриситет;
p
– фокальный
параметр
(расстояние от фокуса до директрисы или
половина хорды, проходящей через фокус
перпендикулярно оси ox).

–
каноническое
уравнение
параболы с вершиной в точке (x₀,y₀);

–
уравнение параболы в полярных координатах,
связанных с фокусом;

–
параметрические уравнения параболы.

Уравнения прямых

	– уравнения двух пересекающихся прямых;
	– уравнения двух параллельных прямых;
	– уравнение двух совпадающих с осью ox прямых.

Преобразования координат

Для
приведения кривой

к каноническому виду следует подвергнуть
уравнение преобразованиям:

и

где

и

– уравнение окружности
с центром

в
точке O₁(x₀,y₀)
и радиусом R;

–
уравнения эллипса и гиперболы с

центром
симметрии в точке O₁(x₀,y₀);

–
уравнения асимптот гиперболы;

–
уравнение параболы с вершиной в точке
O₁(x₀,y₀).

При
переходе от одной системы прямоугольных
координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго
порядка другим уравнением

.

При
этом выражения

и

остаются
равными. Они называются инвариантами
(неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью
различают три типа линий второго порядка.

1. Эллиптический
   тип, если
   .

К нему относятся,
кроме действительного эллипса, также
мнимый эллипс

и
пара мнимых прямых, пересекающихся в
действительной точке
.

1. Гиперболический
   тип, если
   .

К
нему относится, кроме гиперболы, пара
действительных пересекающихся прямых
.

1. Параболический
   тип, если
   .

К нему относится,
кроме параболы, пара параллельных
(действительных или мнимых) прямых (они
могут совпадать).

Линии в полярной системе координат

Полярные координаты

,
.

Связь полярных
координат с декартовыми

M(x,y)
и M(,):

Окружности

а=const
>0.

,
а=const >0.

Спирали

А
рхимедова
спираль:
=а,.

Гиперболическая
спираль:
,
a > 0.

Логарифмическая
спираль:
.

Розы

Двухлепестковые
розы:
.

Четырехлепестковые
розы a
> 0

Трёхлепестковые
розы:

Лемниската
Бернулли

Вершины
кривой находятся в точках

Площадь
каждой петли S=a².

Кардиоида

В
полярных координатах

Вершина
кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем,
что площадь кардиоиды
,
а длина L=8a.

Параметрическое
задание линий

Окружность

– параметрические
уравнения окружности.

Исключим
из параметрических уравнений параметр
t.
Для этого возведём эти уравнения в
квадрат и сложим их:

.

Циклоида

где
.

При

получаем первую арку циклоиды. Укажем,
что длина дуги ОА₁О₁=8а,
а площадь одной арки S=3a².

Астроида

где

В декартовых
координатах уравнение астроиды

x^2/3+y^2/3=R^2/3.

Длина
астроиды L=6R,
а площадь, ограниченная астроидой
S=3R²/8.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #