Как составить квадратное уравнение для задачи - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Например:

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

Шаг 4. Решаем:

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{cc} x_1 = -16 \ x_2 = 11 end{array} right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Ответ: 54 см

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

Подставляем:

$$x^2-36x+315 = 0 $$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac{36 pm 6}{2} = left[ begin{array}{cc} x_1 = 15 \ x_2 = 21 end{array} right. $$

Ответ: 15 и 21

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y – искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

Решаем уравнение:

$$ x^2-9x-162 = 0 $$

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac{9 pm 27}{2} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -9 \ x_2 = 18 end{array} right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end{array} right.} end{array} right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x – искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{cc} x_1 = 6 \ x_2 = 18 end{array} right. $$

Ответ: 6 или 18

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 – данные три числа.

По условию:

$$ (n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 590 $$

$$ n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1 = 590 $$

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt{196} = pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Пусть t- обычное время поездки в часах.

Заполним таблицу:

Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

Обычно

$frac{700}{t}$

700

В непогоду

$frac{700}{t + 1 frac{2}{3}}$

t + 1 $frac{2}{3}$

700

По условию скорость в непогоду на 10 км/ч меньше. Получаем:

$$ frac{700}{t} – frac{700}{t + 1 frac{2}{3}} = 10 $$

$$ frac{700(t+ 1 frac{2}{3} -t)}{t(t+1 frac{2}{3})} = 10 Rightarrow t(t+1 frac{2}{3}) = frac{700 cdot 1 frac{2}{3}}{10} = frac{350}{3} $$

$$ t^2+ frac{5}{3} t- frac{350}{3} = 0 | times 3 $$

$$ 3t^2+5t-350 = 0 $$

$$ D = 5^2-4 cdot 3 cdot (-350) = 25+4200 = 4225 = 65^2$$

$$ t = frac{-5 pm 65}{6} = left[ begin{array}{cc} t_1 = – frac{35}{3} lt 0 \ t_2 = 10 end{array} right. $$

Выбираем положительный корень.

Дорога обычно занимает t=10 часов.

Ответ: 10 часов

Пример 6. Сплав золота и серебра, в котором было 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. Содержание золота в новом сплаве увеличилось на 20%. Сколько в сплаве серебра?

Золото, г

Серебро, г

Всего, г

Сплав 2

80+100 = 180

180+x

По условию часть золота увеличилась на 20%:

$$ frac{180}{180+x} – frac{80}{80+x} = 0,2 $$

$$ frac{180(80+x)-80(180+x)}{(180+x)(80+x)} = frac{1}{5} Rightarrow frac{100x}{(180+x)(80+x)} = frac{1}{5} Rightarrow $$

$$ Rightarrow (180+x)(80+x) = 500x $$

$$ x^2+80x+180x-500x+180 cdot 80 = 0 $$

$$ x^2-240x+14400 = 0 Rightarrow (x-120)^2 = 0 Rightarrow x = 120 $$

В сплаве 120 г серебра.

Ответ: 120 г

Пример 7. Бассейн наполняется с помощью двух труб за 2 ч 55 мин.

Первая труба наполняет его на 2 часа быстрее, чем вторая.

За какое время каждая труба отдельно может наполнить бассейн?

Пусть t – время первой трубы, V – объём бассейна.

Заполним таблицу:

Напор, $м^3/ч$

Время, ч

Объем, $м^3$

Первая труба

$frac{V}{t}$

Вторая труба

$frac{V}{t+2}$

t+2

Две трубы вместе

$frac{V}{t} + frac{V}{t+2}$

$2 frac{11}{12}$

Из последней строки получаем:

$$2 frac{11}{12} Biggl( frac{V}{t} + frac{V}{t+2} Biggr) = V |:V $$

$$ 2 frac{11}{12} Biggl( frac{1}{t} + frac{1}{t+2} Biggr) = 1 |: 2 frac{11}{12} $$

$$ frac{1}{t} + frac{1}{t+2} = frac{12}{35} $$

$$ frac{t+2+t}{t(t+2)} = frac{12}{35} Rightarrow 35(2t+2) = 12t(t+2) |:2 $$

$$ 35(t+1) = 6t(t+2) Rightarrow 35t+35 = 6t^2+12t $$

$$ 6t^2-23t-35 = 0 $$

$$ D = 23^2-4 cdot 6 cdot (-35) = 529+840 = 1369 = 37^2 $$

$$ t = frac{23 pm 37}{12} = left[ begin{array}{cc} t_1 = – frac{7}{6} lt 0 \ t_2 = 5 end{array} right. $$

Выбираем положительный корень t = 5.

Первая труба наполняет бассейн за 5 часов.

Вторая труба – на 2 часа дольше, т.е. за 7 часов.

Ответ: 5 ч и 7 ч

Пример 8*. Катер проплыл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он бы проплыл против течения 70 км. Какое расстояние за это же время проплывёт плот?

Пусть v – собственная скорость катера, u – скорость течения (и плота), s – искомое расстояние, которое проплывёт плот.

Заполним таблицу:

Скорость, км/ч

Время, ч

Расстояние, км

Катер по течению

v+u

$frac{90}{v+u}$

Катер против течения

v-u

$frac{70}{v-u}$

По условию все три времени равны:

$$ frac{90}{v+u} = frac{70}{v-u} = frac{s}{u} $$

Из первого уравнения:

$$ 90(v-u) = 70(v+u) Rightarrow 90v-90u = 70v+70u Rightarrow 20v = 160u Rightarrow v = 8u $$

Скорость катера в 8 раз больше скорости течения.

Тогда во втором уравнении:

$$ frac{70}{ underbrace{v}_{text{= 8u}} -u} = frac{s}{u} Rightarrow frac{70}{7u} = frac{s}{u} Rightarrow s = 10 $$

Значит, плот проплывёт 10 км.

Ответ: 10 км

Источник

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = -16 \ x_2 = 11 end right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac<36 pm 6> <2>= left[ begin x_1 = 15 \ x_2 = 21 end right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y – искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac<9 pm 27> <2>= left[ begin x_1 = -9 \ x_2 = 18 end right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin <left< begin x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end right.> \ <left< begin x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end right.> end right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x – искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 6 \ x_2 = 18 end right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 – данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt <196>= pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

1. Произведение двух натуральных чисел равно 180, причем одно число больше другого на 3. Найдите эти числа.

Пусть х – первое натуральное число, тогда (х + 3) – второе натуральное число. По условию задачи произведение этих чисел равно 180. Составим и решим уравнение.

х = -15 – не является решением задачи, так как не является натуральным числом.

Значит х = 12 – первое число, 12 + 3 = 15 – второе натуральное число.

Решите задачу самостоятельно:

Одно число меньше другого на 7, а произведение этих чисел равно 330. Найдите эти числа.

2. Первая мастерская получила заказ сшить 600 рубашек, а вторая – 560 рубашек. Первая мастерская выполнила заказ за 4 дня до срока, а вторая за 1 день до срока, причем первая мастерская шила ежедневно на 4 рубашки больше, чем вторая. Сколько рубашек каждая мастерская шила ежедневно?

Примечание: в данной задаче удобнее за неизвестное обозначить время, которое было дано на выполнение работы обеим мастерским.

Пусть х дней было дано мастерским на выполнение заказа, тогда (х – 4) дня работала первая мастерская, а (х – 1) дня работала вторая мастерская. Первой мастерской нужно было сшить 600 рубашек, а второй 560. Следовательно, первая мастерская в день шила рубашки, а вторая . По условию задачи первая мастерская в день шила на 4 рубашки больше, чем вторая. Составим и решим уравнение.

. Помножим обе части уравнения на общий знаменатель и раскроем скобки. Получим:

. Упростим данное выражение и запишем в стандартном виде.

. Разделим каждое слагаемое на (-4).

Находим корни уравнения методом перебора. .

х=-14 не является решением задачи, так как дни не могут быть отрицательными.

Найдем сколько рубашек в день шила первая мастерская:

(рубашки). Вторая мастерская: 24 – 4 = 20 (рубашек).

Ответ: 24 и 25 рубашек

Решите задачу самостоятельно:

Велосипедист и мотоциклист проехали 60 км, причем мотоциклист был в пути на 3 ч меньше. Вычислите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

Рекомендация: составьте таблицу.

Задачи для закрепления.

1. Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и 25 км против течения, затратив на весь путь столько же времени, сколько ей потребовалось бы на прохождение 54 км по озеру. Найдите скорость моторной лодки по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2. Участок имеет форму прямоугольника площадью 2800 м2. Вычислите длину и ширину участка, если длина больше ширины на 30 м.

3. Расстояние между двумя городами равно 420 км. Из первого города во второй выехали одновременно два автомобиля, причем скорость одного автомобиля больше скорости другого на 10 км/ч, поэтому он прибыл во второй город на 1 ч раньше, чем другой автомобиль. Вычислите скорости этих автомобилей.

4. В зрительном зале 270 мест, поровну в каждом ряду. Сколько рядов в зрительном зале, если число рядов в зале на 3 меньше числа мест в ряду?

5. В саду было 180 деревьев. При расширении сада количество рядов увеличили на 5 и в каждом ряду добавили по 3 дерева. В результате общее количество деревьев увеличилось на 120. Сколько рядов в саду было до расширения?

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

x 2 — 2x + 6 = 0
x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = – c,
разделим обе части на a: x 2 = – c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 – 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 – ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=”705″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png” width=”588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 – ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 – ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”215″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE” width=”393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG” width=”125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo” width=”112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png” width=”117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 – 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 – 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 – 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

[spoiler title=”источники:”]

http://pandia.ru/text/79/432/27157.php

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

[/spoiler]

Источник

«Посредством уравнений, теорем я уйму всяких реазрешил проблем…»

Чосер

Английский поэт средних веков

Квадратное уравнение

Определение. Уравнение вида

где любые действительные числа, причем а переменная, называется квадратным уравнением.

В уравнении называют первым коэффициентом, вторым коэффициентом и свободным членом.

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой

Формула читается так: корни квадратного уравнения равны дроби, знаменателем которой является удвоенный первый коэффициент, а числителем – второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс и минус квадратный корень из дискриминанта уравнения.

Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта. Здесь имеют место три случая.

При уравнение имеет два различных корня. В этом случае корни находим по формуле
При уравнение имеет два равных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле
При уравнение не имеет корней.

Я придумал для них хорошую теорему,

а они все равно решают через дискриминант

Франсуа Виет

Французский математик

Теорема Виета

Разделив обе части на первый коэффициент уравнения можно получить приведенное квадратное уравнение:

Приведенное квадратное уравнение принято записывать в виде

Сопоставив и , можно заключить, что

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным путем. Задачи же, приводящиеся к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению.

Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени.

При решении задач с помощью уравнений можно придерживаться следующей схемы:

Необходимо изучить ее условие так, чтобы определить зависимость между величинами, о которых говорится в тексте задачи;
Искомую величину обозначить буквой. Очень часто решение задачи и составление уравнения упрощается, если обозначить буквой какую-нибудь вспомогательную переменную, через которую выражается искомая;
Выразить искомую переменную через данные и вспомогательные величины, обозначенные буквами;
Составить уравнение, т.е. два выражения, представляющие одну и ту же величину, и приравнять их;
Найти корни (решения) составленного уравнения;
Проверить, удовлетворяют ли найденные значения условию задачи.

Пример 1. В квартире проектируются две комнаты одинаковой ширины. Длина первой комнаты в 1,5 раза больше ее ширины, а длина второй равна 7,2 м. Найдите ширину этих комнат, если площадь квартиры должна быть равной 56,7 м².

Решение. Обозначим ширину комнат, выраженную в метрах, буквой . Тогда длина первой комнаты будет равна м, а ее площадь – а площадь второй комнаты –

Согласно условию задачи, имеем:

Решая последнее квадратное уравнение, получим:

Оба эти числа удовлетворяют уравнению, составленному по условию задачи. Но условию задачи удовлетворяет лишь первый корень, т.е. так как ширина комнаты должна быть больше нуля. Проверка по условию задачи показывает, что 4,2 м удовлетворяет задаче.

Ответ: 4,2 м.

Пример 2. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин. И ликвидировал опоздание не перегоне в 192 км со скоростью, превышающей на 10 км/ч положенную по расписанию. Найдите первоначальную скорость движения поезда.

Решение. Обозначим скорость поезда по расписанию через Если бы поезд шел на перегоне в 192 км со скоростью то на это понадобилось бы время Так как поезд на этом перегоне шел со скоростью то на этот путь он потратил и ликвидировал опоздание на 16 мин Следовательно, корнями которого будут: Так как по условию то Выполнив проверку, убеждаемся, что 80 км/ч удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 80 км/ч.

Пример 3. Двое рабочих обязались выполнить определенную работу за 16 дней. После четырехдневной совместной работы первый рабочий перешел на другую работу. А второй рабочий один закончил оставшуюся часть работы, потратив на 12 дней больше того времени, за которое первый рабочий один может выполнить всю работу.

За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всю работу?

Решение. Предположим, что первый рабочий может выполнить всю работу за дней, тогда за один рабочий день он должен выполнить часть всей работы.

При совместной работе производительность за день равна части всей работы; следовательно, на долю второго рабочего приходится в день части всей работы. С другой стороны, второй рабочий должен выполнить в день части всей работы, так как за 4 дня их совместной работы была выполнена всей работы; следовательно, на долю второго рабочего осталось выполнить всей работы за дней.

Отсюда: Левая и правая части уравнения выражают одну и ту же величину – дневную норму второго рабочего.

Преобразуя полученное уравнение, имеем:

Решая квадратное уравнение, находим: Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Первый рабочий выполнит всю работу за 24 дня. Теперь можно вычислить, за сколько дней выполнил бы всю работу второй рабочий. За один рабочий день он выполнит часть всей работы.

Следовательно, всю работу второй рабочий выполнит за 48 дней.

Ответ: 24 дня; 48 дней.

Упражнения

Упражнения из группы А

Задача 1.

Первое число больше второго на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56.

Задача 2.

Одно число меньше другого на 16, а их произведение равно 80. Найдите эти числа.

Задача 3.

Ширина прямоугольника на 3 см меньше его длины. Найдите ширину прямоугольника, если его площадь равна 130 см².

Задача 4.

Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, зная, что его площадь равна 180 см².

Задача 5.

Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится Найдите исходную дробь.

Задача 6.

Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 7. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, то получится Найдите исходную дробь.

Задача 7.

Моторная лодка прошла 10 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки.

Задача 8.

Моторная лодка прошла 17 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки равна 15 км/ч.

Задача 9.

Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?

Задача 10.

Двое рабочих, работая вместе, завершили работу за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждому рабочему на выполнение этой работы, если одному для этого требуется на 5 дней меньше, чем другому?

Задача 11.

Пройдя 12 км, лыжник увеличил скорость на 3 км/ч и проехал еще 30 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на весь путь он потратил 3 ч.

Задача 12.

Проехав 45 км, лыжник уменьшил скорость на 3 км/ч и проехал еще 24 км. Найдите первоначальную скорость лыжника, если на начальное расстояние он потратил на 1 ч больше.

Упражнения из группы В

Задача 13.

На чемпионате команды встречались со всеми другими командами по одному разу. Сколько было команд, если они провели 78 встреч?

Задача 14.

Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов – 250.

Задача 15.

Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность квадратов – 104.

Задача 16.

Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов – 56. Найдите сумму квадратов этих чисел.

Задача 17.

Среднее арифметическое двух чисел равно 6, а квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

Задача 18.

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157. Найдите эти числа.

Задача 19.

Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 612. Найдите эти числа

Задача 20.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен а второй катет на 2 см меньше гипотенузы. Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.

Задача 21.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а разность катетов – 3 см. Найдите катеты и периметр прямоугольного треугольника.

Задача 22.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен а периметр – Найдите второй катет и гипотенузу данного треугольника.

Задача 23.

Токарь должен был обработать 180 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на 30 деталей в день больше и поэтому закончил работу на один день раньше срока. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за день?

Задача 24.

Мастер и ученик должны были выполнить работу к определенному сроку. Однако, когда была выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мог бы выполнить всю работу каждый из них, работая по одному, если мастеру на это потребовалось бы на 5 дней меньше, чем ученику?

Задача 25.

Пешеход прошел расстояние АВ за 3 ч. Возвращясь он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем понизил на 1 км/ч, и таким образом затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние между А и В.

Задача 26.

Моторная лодка прошла 58 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 100 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Задача 27.

Турист проплыл на байдарке 10 км против течения реки и 18 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть по озеру 28 км. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите собственную скорость байдарки.

Задача 28.

Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше числителя. Если к числителю прибавить 8, а к знаменателю – 2, то данная дробь увеличивается на Найдите исходную дробь.

Задача 29.

Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше знаменателя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю – 3, то данная дробь увеличивается на Найдите первоначальную дробь.

Задача 30. Задача Бхаскары

(Бхаскара Агарья (1114 – 1185 г.г.) индийский математик и астроном)

Обезьянок резвых стая, власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А 12 по лианам…. стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Прежде чем решать задачу – прочитай условие

Жак Адамар

Упражнения из группы А

Задача 1.

Первое число больше второго на 10. Найдите эти числа, если их произведение равно 56.

Решение:

Первое число

Второе число

По условию задачи:

Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

Если первое число равно 4, то второе число равно 4+10=14.

Если первое число равно –14, то второе число равно –14 +10= –4.

Ответ: 4 и 14; –14 и –4.

Задача 2.

Одно число меньше другого на 16, а их произведение равно 80. Найдите эти числа.

Решение:

Первое число

Второе число

По условию задачи:

Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

Если первое число равно –4, то второе число равно – 4 – 16 = – 20.

Если первое число равно 20, то второе число равно 20 – 16 =4.

Ответ: –4 и – 20; 20 и 4.

Задача 3.

Ширина прямоугольника на 3 см меньше его длины. Найдите ширину прямоугольника, если его площадь равна 130 см².

Решение:

Ширина (см)

Длина (см)

Площадь (см²) 130

По условию задачи:

Получим приведенное квадратное уравнение:

Решим полученное уравнение по теореме Виета:

Если длина прямоугольника равна 13 см, то ширина равна 13 – 3 = 10 (см).

Ответ: 10 см и 13 см.

Задача 4.

Решение:

Ширина (см)

Длина (см)

Сумма двух смежных сторон(см)

Площадь (см²)

По условию задачи:

Ответ: 12 см и 15 см.

Задача 5.

Решение:

Числитель дроби:

Знаменатель дроби:

Дробь:

Обратная дробь:

Cумма дробей:

По условию задачи:

Получим приведенное квадратное уравнение:

Решим данное уравнение по теореме Виета:

Если знаменатель дроби равен 9, то числитель дроби будет равен 9 – 2 =7.

Ответ: Искомая дробь равна .

Задача 6.

Решение:

Числитель дроби

Знаменатель дроби

Дробь

Обратная дробь

Сумма дробей:

По условию задачи:

Решим полученное уравнение

Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим это уравнение по теореме Виета:

Числитель дроби 3, знаменатель дроби 3+7=10.

Искомая дробь:

Обратная дробь:

Ответ: Исходная дробь равна .

Задача 7.

Решение:

Дадим условие задачи в виде таблицы.

По течению

Против течения

Из таблицы следует

Решим полученное уравнение:

Ответ: Скорость моторной лодки равна 12км/ч.

Задача 8.

Решение:

По течению

Против течения

Из таблицы следует:

Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч

Задача 9.

Решение:

Производительность труда первого рабочего , он выполняет работу в одиночку за дней

Производительность труда второго рабочего , он выполняет работу в одиночку за дней

Вместе они выполняют эту же работу за 12 дней, то есть производительность труда

По условию задачи:

Решим данное уравнение

Второй рабочий выполняет эту работу за 20 дней, а первый рабочий выполняет эту работу за 20+10=30 дней.

Ответ: первый рабочий за 30 дней; второй рабочий за 20 дней.

Задача 10.

Решение:

Воспользуемся таблицей

I – рабочий

II – рабочий

По условию задачи:

Первый рабочий выполнит эту работу за 15 дней, а второй рабочий выполнит эту работу за 15 – 5 =10 дней.

Ответ: 15 дней и 10 дней.

Задача 11.

Решение:

Составим таблицу для данной задачи

По условию задачи:

Первоначальная скорость лыжника равна 12 км/ч, после увеличения 12 км/ч+3 км/ч=15 км/ч

Ответ: первоначальная скорость лыжника равна 12 км/ч

Задача 12.

Решение:

Составим условие задачи по таблице:

По условию задачи:

Ответ: Первоначальная скорость лыжника 9 км/ч. или 15 км/ч.

Упражнения из группы В

Задача 13.

Решение:

Количество всех команд

Количество игр каждой команды

Количество встреч 156

По условию задачи:

Ответ: Всего было 13 команд

Задача 14.

Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов – 250.

Решение:

Первое число

Второе число

Сумма 22

Сумма квадратов 250

По условию задачи:

Первое число 9 или 13, второе число 22 – 9 =13 или 22 – 13=9.

Ответ: Меньшее число равно 9.

Задача 15.

Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность квадратов – 104.

Решение:

Меньшее число

Большее число

Разность квадратов 104

По условию задачи:

Ответ: Большее число равно 15.

Задача 16.

Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов – 56. Найдите сумму квадратов этих чисел.

Решение:

Так как среднее арифметическое двух чисел равно 7, то полная сумма равна 14.

Первое число

Второе число

Сумма 14

Разность квадратов 56

По условию задачи:

Если первое число равно 9, то второе число равно 14-9=5. Сумма квадратов этих чисел равна

Ответ: 106

Задача 17.

Решение:

Если среднее арифметическое двух чисел равно 6, то полная сумма будет равна 12.

Первое число

Второе число

Сумма 12

По условию задачи:

Если первое число равно 7, то второе число равно 12-7=5. Если первое число равно 5, то второе число будет равно 12-5=7.

Ответ: 5 и 7.

Задача 18.

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157. Найдите эти числа.

Решение:

Первое число

Второе число

По условию задачи:

Если первое число равно 12, то второе число равно 12+1=13.

Ответ: 12 и 13.

Задача 19.

Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 612. Найдите эти числа

Решение:

Первое число

Второе число

По условию задачи:

Если первое число равно 17, то второе число равно 17+1=18.

Ответ: 17 и 18.

Задача 20.

Решение:

Первый катет

Второй катет

Гипотенуза

По теореме Пифагора:

Если гипотенуза равна 7, то катет равен 7 – 2 =5.

Ответ: Гипотенуза 7 см, катет 5 см.

Задача 21.

Решение:

Гипотенуза

Первый катет

Второй катет

Периметр – ?

Катеты – ?

По теореме Пифагора:

Если первый катет равен 3 см, то второй катет будет равен 3+3=6 см.

Ответ: 3 см, 6 см,

Задача 22.

Решение:

Первый катет

Периметр

Гипотенуза –?

Второй катет –?

По теореме Пифагора:

Ответ: второй катет равен 4 см, гипотенуза равна 6 см.

Задача 23.

Решение:

По плану

Выполнено

180

По условию задачи:

Ответ: 60 деталей по плану за день

Задача 24.

Решение:

По условию задачи:

Получилось приведенное квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

Если мастер выполняет работу за 10 дней , то ученик выполняет эту работу за 10+5=15 дней.

Ответ: Мастер за 10 дней; ученик за 15 дней.

Задача 25.

Решение:

Весь путь (км) 3x

Время (ч) 3

Скорость (км/ч) x

На обратном пути:

Первые 16 км пройдены с той же скоростью

Скорость на остатке пути (км/ч) х – 1

Потраченное время на обратный путь (ч) 3 ч и 4 мин т.е.

По условию задачи:

Расстояние между А и В равно 6*3=18 км.

Ответ: 18 км.

Задача 26.

Решение:

По течению 58 км

Против течения 42 км

В стоячей воде 100 км

Скорость течения 4 км/ч

Составим таблицу:

По течению

Против течения

В стоячей воде

100

По условию задачи:

Ответ: Скорость лодки в стоячей воде равна 25 км/ч.

Задача 27.

Решение:

Против течения (км) 10

По течению (км) 18

По озеру (км) 28

Скорость течения (км/ч) 2

Составим таблицу:

Пройденный путь (км)

Скорость (км/ч)

Время (ч)

Против течения

По течению

По озеру

По условию задачи:

Ответ: Собственная скорость байдарки равна 7 км/ч.

Задача 28.

Решение:

Числитель дроби

Знаменатель дроби

Исходная дробь

По условию задачи:

Если числитель равен 5, то знаменатель равен 5+3=8. Исходная дробь: .

Ответ: Исходная дробь равна .

Задача 29.

Решение:

По условию задачи:

Если знаменатель равен 8, то числитель будет равен 8-7=1. Искомая дробь равна .

Ответ: Искомая дробь равна .

Задача 30. Задача Бхаскары

Обезьянок резвых стая, власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А 12 по лианам…. стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение:

Пусть было обезьянок, тогда не поляне забавлялось

Составим уравнение:

домножим все на 64

Ответ: 16 обезьянок или 48 обезьянок

Тестовые задания

Квадрат суммы трех последовательных чисел больше суммы их квадратов на 862. Найдите эти числа.

11; 12; 13
20; 21; 22
10; 11; 12
9; 10; 11

Решение:

Первое число

Второе число

Третье число

По условию задачи:

По теореме Виета:

Первое число 11

Второе число 12

Третье число 13

Ответ: Искомые числа: 11; 12; 13.

Сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел меньше квадрата суммы этих чисел на 2644. Найдите эти числа.

20; 21; 22
19; 20; 21
18; 19; 20
15; 16; 17

Решение:

Первое число

Второе число

Третье число

По условию задачи:

По теореме Виета:

Первое число 20

Второе число 21

Третье число 22

Ответ: Искомые натуральные числа: 20; 21; 22.

Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 дней. Если бы сначала первая бригада, работая одна, выполнила всей работы, а затем вторая бригада – оставшуюся часть, то на ремонт всего шоссе потребовалось бы 40 дней. Определите, за сколько дней каждая бригада, работая отдельно, могла бы отремонтировать шоссе.

45 дней, 30 дней или 24 дня и 72 дня.
46 дней, 12 дней или 24 дня и 74 дня.
24 дня, 45 дней или 41 дней и 10 дней.
12 дней, 15 дней или 40 дней и 12 дней.

Решение:

Первая бригада за дней, производительность труда первой бригады

Вторая бригада за дней, производительность труда второй бригады .

По условию задачи две бригады работая вместе за один день выполняют часть работы. Тогда получим:

Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?

90 ступенек
45 ступенек
40 ступенек
35 ступенек

Решение:

количество ступенек неподвижного эскалатора, тогда количество недосчитанных ступенек, а количество пересчитанных ступенек. Тогда, или

Ответ: 90 ступенек.

Паасажир метро спускается по движущемуся эскалатору за 24 с. Если он пройдет по неподвижному эскалатору с той же скоростью, то спустится вниз за 42 с. За какое время пассажир спустится вниз, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

56 c.
42 c.
46 c.
58 c.

Два токаря, работая вместе, могут выполнить заказ за 7 дней, причем второй начинает работу на 1,5 дня позже первого. За сколько дней каждый из них может выполнить этот заказ, работая отдельно, если второму потребуется на 3 дня меньше, чем второму?

14 дней; 11 дней.
15 дней; 12 дней.
13 дней; 11 дней.
10 дней; 11 дней.

Решение:

Пусть второй рабочий выполняет работу за дней, тогда первому рабочему понадобится дней. Учитывая условие задачи получим дробно-рациональное уравнение:

Отсюда корни этого уравнения являются числа 11 и – 1,5. Таким образом, второй рабочий выполняет работу за 11 дней, а первый за 14 дней.

Ответ: 14 дней, 11 дней.

Двое рабочих, выполняя определенный задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит другой, то все задание будет сделано за 25 дней. За сколько дней каждый из них выполнит это задание?

20 дней, 30 дней
10 дней, 30 дней
20 дней, 25 дней
10 дней, 15 дней

Решение:

Первый рабочий за дней, значит производительность труда первого рабочего

Второй рабочий за дней, значит производительность труда второго рабочего

Количество работы принимаем за единицу, тогда половина работы будет Из условия задачи следует:

Ответ: 20 и 30 дней

Из города по двум перпендиклярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость одного из них равна 4 км/ч, а другого – 5 км/ч. Первый находится в 7 км от города, а второй – в 10. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет 25 км?

2 ч.
3 ч.
4 ч.
5 ч.

Решение:

искомое время. Тогда, Таким образом, По теореме Пифагора, или . Последнее уравнение имеет два корня: 2 и Так как условию задачи удовлетворяет число 2. Таким образом после двух часов расстояние между двумя пешеходами будет равно 25 км.

Ответ : 2 часа.

Правильные ответы:

Используемая литература:

А.Е.Абылкасымова, З.А.Жумаголова, А.Абдиев, В.Е.Корчевский , 2008. Издательство «Мектеп»
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков Т.И., Суворова С.Б., 2001. Издательство «Мектеп» 2001
Б.Баймухнов, Е.Медеуов, С.Базаров, 2004. «Мектеп» 2004.
Барыбын К.С. Методика преподавания алгебры. – М.: Просвещение. 1995.
Жұбаев Қ.Ж. Теңдеулерді шешу барысында оқушыларды зерртей білуге Үйрету. – Ақтөбе, 1989
А.Абылкасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев «Алгебра» Методическое руководство, Алматы «Мектеп» 2008
Алгебра – 8. С.А.Теляковский ред. – Алматы. 1992.
Алгебра – 9. С.А.Теляковский ред. – Алматы. 1992.

Источник

Цель: совершенствование навыков
составления уравнения по условию задачи.

Задачи.

Обучающие.

Познакомить с применением способа решения
задач с помощью квадратного уравнения.
Создать условия для формирования мотивации
выбора математики для последующего углубленного
изучения.
Сформировать умения составлять алгоритмы для
решения задач с помощью квадратных уравнений.
Развивать вычислительные навыки.
Развивать кругозор учащихся.

Развивающие.

Развивать умение наблюдать, анализировать.
Способствовать интеллектуальному развитию
учащихся, формированию качеств мышления,
познавательных интересов, творческих
способностей учащихся.
Развивать логическое мышление учащихся.

Воспитательные.

Воспитывать навыки сотрудничества в процессе
совместной работы.
Содействовать воспитанию интереса к
математике, активности, мобильности, отношения
ответственной зависимости, взаимопомощи, умения
общаться, толерантности у детей.

Оборудование и материалы.

Проектор, компьютер, презентация.
Бланки ответов.

План урока.

№	Этап урока	Содержание (цель урока)	Время (мин.)
1	Организационный момент	Нацелить учащихся на урок.	2
2	Проверка домашнего задания	Коррекция ошибок.	5
3	Актуализация опорных знаний. Математический диктант	Актуализировать теоретические и практические знания для усвоения нового материала.	13
4	Изучение нового материала	Показать расширение аппарата уравнений для решения текстовых задач.	8
5	Тренировочные упражнения	Совершенствовать навыки составления уравнений по условию задачи.	13
6	Подведение итогов. Рефлексия	Обобщить знания, полученные на уроке.	2
7	Сообщение домашнего задания	Разъяснить содержание домашнего задания	2

Ход урока

1. Организационный момент. Вступительное слово
учителя (презентация).

Добрый день дорогие ребята! Я рада
приветствовать Вас на нашем уроке, и прошу всех
вас улыбнуться друг другу, и мысленно пожелать
успехов и себе и товарищам. Садитесь.

Тема сегодняшнего урока “Решение задач с
помощью квадратных уравнений”.

Сегодня мы с вами закрепим умение решать
квадратные уравнения, а также узнаем, как можно
решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Слайд 2. Великий, немецкий ученый А. Эйнштейн
говорил о себе: “Мне приходится делить своё
время между политикой и уравнениями. Однако
уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что
политика существует только до данного момента, а
уравнения будут существовать вечно”.

Итак, откройте тетради и запишите сегодняшнее
число, классная работа.

2. Проверка домашнего задания (выборочно, слайды
5-6).

3. Актуализация опорных теоретических и
практических знаний (слайды 4-9).

Что написано на доске? ах² + bх + с = 0 (Квадратное
уравнение)

Всегда ли имеет корни квадратное уравнение? (Нет,
не всегда)

От чего зависит количество корней? (От
дискриминанта)

Сколько корней имеет квадратное уравнение, если
D > 0?
Сколько коней имеет квадратное уравнение если D
= 0?
Сколько корней имеет квадратное уравнение, если
D < 0?

Итак, ребята, давайте повторим основные понятия
и формулы для решения квадратных уравнений. Я
предлагаю вам написать математический диктант
по теме “квадратные уравнения”.

Математический диктант. (Cлайды 11-18)

Ответы на вопросы диктантов записываем на
бланках ответов (приложение 1).
Записывать только коротко ответы. У каждого
варианта будет по 8 вопросов.

Норма выставления оценок:

Число верных ответов	Оценка
Всего в диктанте 8 вопросов
8	“5”
7	“4”
5-6	“3”
менее 5	“2”

1.1. Сформулируйте определение квадратного
корня.

2.1. Какое уравнение называют неполным
квадратным уравнением.

1.2. Запишите пример неполного квадратного
уравнения.

2.2. Запишите пример квадратного уравнения.

1.3. Запишите, чему равен второй коэффициент в
уравнении: 2х² + х – 3 = 0.

2.3. Запишите, чему равен первый коэффициент в
уравнении: -х² + 4х – 7 = 0.

1.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: – 3х²
+ 5х = 0.;

2.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: 5х²
– 8= 0.

1.5. Сколько корней может иметь неполное
квадратное вида ах² + с = 0?

2.5. Сколько корней может иметь неполное
квадратное вида ах² + bх = 0?

1.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение,
если дискриминант положительный?

2.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение,
если дискриминант отрицательный?

1.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного
уравнения.

2.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного
уравнения, в котором второй коэффициент является
четным числом.

1.8. Напишите формулу корней квадратного
уравнения, в котором второй коэффициент является
четным числом.

2.8. Напишите формулу корней квадратного
уравнения.

Давайте проверять ваши работы. Обмениваемся
своими бланками ответом с соседом по парте. И
сравниваем ваши ответы с ответами на доске (слайд
20). Против правильного ответа ставим “+”, против
ошибочного – “-”, если в ответе есть недочет,
можно поставить “±”. Выставляем отметки и
возвращаем бланки обратно.

Правильные ответы:

1. Квадратным уравнением называется
квадратное уравнение вида ах² + bх + с = 0, где
х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а
? 0.

2.1. квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, в
котором хотя бы один из коэффициентов b или c
равен 0.

1.2. пример 5х²-4х = 0 или 4х² – 9 = 0.

2.2. пример 14х² – 5х – 1 = 0.

1.3. 1

2.3. – 1

1.4. а = – 3, b = 5, с = 0.

2.4. а = 5, b = 0, с = – 8.

1.5. два или не имеет корней.

2.5. два.

1.6. два.

2.6. не имеет корней.

1.7. D = b² – 4ac.

2.7. D₁ =k² – ac.

1.8. х_1,2=.

2.8. х_1,2=

Учитель собирает работы, проходя по классу,
сразу по вариантам, чтобы облегчить работу.

4. Изучение нового материала (слайды 21–24).

С помощью квадратных уравнений решаются многие
задачи в математике, физике, технике.
Разобрать решение задачи 1 (слайды 21–22).
Рассмотреть решение задачи 2 (слайды 22 – 23),
повторив теорему Пифагора.
Рассмотреть решение задачи 2 по учебнику Ю.Н.
Макарычева на стр. 124, связанную с физикой.

5. Тренировочные упражнения (слайды 24–38).

А теперь давайте потренируемся в составлении
уравнений по условию задачи, а также закрепим
навык решения квадратных уравнений с помощью
небольшого тренажера.

(Примечание: Если есть возможность нужно
установить такой тренажер на каждый компьютер
отдельно, чтобы учащийся мог самостоятельно
выполнять тест. Если нет, то проводим
тренировочные упражнения коллективно или по
очереди отвечая на вопрос.)

При этом, этом если учащийся неправильно
ответил на вопрос, он возвращается опять к этому
заданию. Если ответил правильно, то переходит к
выполнению следующего.

Дается пять заданий. Три задания на составление
уравнения по условию задачи, а два задания на
решение задачи с помощью квадратного уравнения.

1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х
меньшее из чисел: Одно из чисел на 12 больше
другого, а их произведение равно 315. Найдите эти
числа.

х( х – 12) = 315
х(х + 12) = 315
2х + 12 = 315
2х – 12 = 315

2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х
меньшее из чисел: Одно из чисел на 17 больше
другого, а их произведение равно 468. Найдите эти
числа.

х( х + 17) = 468
х(х – 17) = 468
2х – 12 = 468
2х + 12 = 468

3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х
меньшее из чисел: Произведение двух
последовательных натуральных нечетных чисел
равно 575. Найдите эти числа.

х( х + 2) = 575
х(х + 1) = 575
х • х + 1 = 575
2х – 2 = 575

4. Один из катетов прямоугольного
треугольника на 6 см меньше гипотенузы, а другой
на 3 см больше первого. Найдите гипотенузу, если
площадь треугольника равна 54 см².

1. 9

2. 6

3. 15

4. 12

5. Найдите катеты прямоугольного треугольника,
если один из них на 7 см меньше другого, а
гипотенуза равна 17 см.

1. 10 см и 24 см

2. 8 см и 15 см

3. 10 см и 8 см

4. 8 см и 66 см

Правильные ответы: 1 – 2; 2 – 1; 3 – 1; 4 – 3; 5 – 2.

6. Подведение итогов. Рефлексия (слайд 39).

Что мы сегодня повторили на уроке?
А что нового мы с вами сегодня узнали на уроке?
Кто доволен своей работой сегодня?
Какой этап урока вам понравился больше всего?

Хочется отметить, что никто из вас не отнеся к
работе равнодушно, и если у кого-то не всё
получилось не огорчайтесь: “Дорогу осилит
идущий”.

7. Домашнее задание (слайд 40).

П.23, №№ 561, 564, 568 – 570.

Список литературы

1. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 8 класса
общеобразовательных учреждений. Под ред.
С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2009.

2. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8
класс, М., ВАКО, 2008.

3. Ерина Т.М. Поурочное планирование по алгебре: 8
класс, М., “Экзамен”, 2008.

4. Афанасьева Т.Л. Поурочные планы по учебнику: 8
класс, Волгоград, Учитель, 2007.

5. Глазков Ю.А. Тесты по алгебре: 8 класс, М.,
“Экзамен”, 2010.

6. Конте А.С. Алгебра 7–9 классы. Математические
диктанты, Волгоград, Учитель, 2006.

7. Островский С.Л. “Как сделать презентацию к
уроку?”, Первое сентября, 2010.

8. Интернет-ресурсы

Спасибо за урок!

Источник

В алгебре, геометрии, физике и др. науках очень часто решение
задач сводится к нахождению корней квадратных уравнений. Решение квадратных
уравнений особых трудностей не вызывает, если знать основные формулы.

Поэтому очень важно при решении задач научиться составлять квадратные
уравнения, т.е. переводить условия задач на математический язык.

Решение несколько задач, которые сводятся к решению
квадратных уравнений.

Задача 1. В зрительном зале рядов в 2 раза больше,
чем мест в каждом ряду. Если при перепланировке зала число рядов увеличить на
1, а число мест в каждом ряду увеличить на 8, то в зале будет 500 мест. Сколько
мест в зале?

Решение:

Обозначим за – число мест в ряду. Тогда – число рядов. Число мест после перепланировки будет , а число рядов . Так как по условию задачи после перепланировки число
мест в зале будет равно , то можем составить уравнение:

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см.
Найдите его катеты, если их сумма равна 14 см.

Решение:

По теореме
Пифагора , где и –
катеты, – гипотенуза. Пусть
(см) – длина одного из катетов. Тогда см – длина второго катета. По условию задачи известно
что гипотенуза прямоугольного треугольника равна см. Составим уравнение:

Задача 3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 30
м/с. Считая ускорение земного притяжения равным 10 м/с в квадрате и не учитывая
сопротивление воздуха, найдите, через сколько секунд мяч будет на высоте 25 м.

Решение.

Итоги:

Итак,
мы решили несколько разных текстовых задач. Обратите внимание, что оформлять
решения задач можно и значительно короче. Только необходимо показать, какое
неизвестное обозначается буквой. Записать уравнение. Решить его. И сделать
вывод о том, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи. Ну и, конечно же,
не забыть ответить на вопрос задачи.

Источник

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Примеры

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Примеры

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения

Понятие квадратного уравнения

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Полные и неполные квадратные уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Как решить уравнение ax 2 = 0

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Как разложить квадратное уравнение

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Примеры решения квадратных уравнений

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула Виета

Упрощаем вид квадратных уравнений

Связь между корнями и коэффициентами

Вам также может понравиться

Как найти предназначенного мне богом человека

Как найти значение центростремительного ускорения

Как найти на компьютере дефрагментацию

Добавить комментарий Отменить ответ