Как составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с комплексными корнями и коэффициентами

Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a$, $b$ и $c$ – в общем случае являются комплексными. Его решение находим с помощью дискриминанта

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются комплексными числами.

Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни $z_<1>=1-i$ и $z_<2>=4-5i$. Решить его.

Решение. Известно, что если $z_1$, $z_2$ – корни квадратного уравнения $z^2+bz+c=0$, то указанное уравнение можно записать в виде $(z-z_1)(z-z_2)=0$. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:

Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:

$z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$ – искомое квадратное уравнение.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D=(-5+6 i)^<2>-4 cdot 1 cdot(-(1+9 i))=-11-60 i+4+36 i=$$ $$=-7-24 i$$

Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде $sqrt=a+b i$. То есть

$$sqrt<-7-24 i>=a+b i Rightarrow-7-24 i=(a+b i)^ <2>Rightarrow$$ $$Rightarrow-7-24 i=a^<2>+2 a b i-b^<2>$$

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений $a$ и $b$:

решив которую, имеем, что $a_1=3$, $b_1=-4$ или $a_2=-3$, $b_2=4$. Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что $sqrt=3-4 i$, а тогда

Ответ. $z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$

Комплексные числа. Лекция 2. Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.
учебно-методический материал по теме

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине “Математика”. раздел 1. Алгебра

Скачать:

Вложение	Размер
lektsiya_2_reshenie_kvadratnykh_uravneniy_s_deystvitelnymi_i_kompleksnymi_koeffitsientami.docx	20.03 КБ

Предварительный просмотр:

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

В зависимости от значения дискриминанта D = b 2 − 4 ac уравнения с действительными коэффициентами возможны следующие случаи:

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

D – действительное число
D – комплексное число

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω 2 = z.

Теорема . Пусть z = a + b i – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти числа выражаются формулой:

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)

Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

D – действительное число
D – комплексное число

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω 2 = z.

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)

Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Комплексные числа. Лекция 1. Основы теории комплексных чисел.

Опорный конспект для студентов СПО технических специальностей по дисциплине “Математика”. раздел 1. Алгебра.

Комплексные числа. Лекция 3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Комплексные числа. Лекция 4. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме записи.

«Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов»

Ознакомление еще с одним способом решения квадратных уравнений, который поможет быстро найти корни квадратного уравнения. Его можно назвать так: свойства коэффициентов квадратного уравнения.

конспект урока по алгебре 8 класс “Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом”

План конспект открытого урока по алгебре “Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом” в рамках ФГОС в 8 классе.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Презентация по теме “Решение квадратных уравнений с помощью переноса старшего коэффициента”

При решении квадратных уравнений удобно использовать теорему Виета. Но данную теорему проблематично использовать для решения не приведенных квадратных уравнений. Метод переноса старшего коэффициента п.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Всем известно из школы квадратное уравнение:

поиск дискриминанта и решение вопроса: имеет ли квадратное уравнение корни или корень или нет. Как следует из основной теоремы алгебры, любое уравнение – ой степени имеет ровно корней с учетом кратности этих корней. Таким образом, любое квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно два корня. При этом кратные корни в комплексном анализе считаются ровно столько раз, какая у них кратность.

Утверждение. Пусть коэффициенты многочлена – ой степени

– действительные и его комплексный корень, тогда тоже является корнем этого многочлена.

Доказательство. Перейдем к комплексному сопряжению в равенстве : , так как . Поскольку коэффициенты многочлена действительны, то: .

Получили , следовательно, – также корень многочлена .

Если коэффициенты квадратного трехчлена действительны, а дискриминант отрицательный, то пару сопряженных корней можно найти через дискриминант.

При этом в формуле

нужно учесть что .

Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами: .

Решаем по «половинной» формуле: .

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один не действительный коэффициент, то корни не будут комплексно сопряженными.

Рассмотрим уравнение с комплексными коэффициентами:

Решаем через дискриминант. .

Таким образом, – корни нашего уравнения.

Пример 3

Решить квадратное уравнение:

Опять используем школьную формулу решения. Находим дискриминант:

Чтобы извлечь корень из дискриминанта обратимся к формуле извлечения корня ой степени из комплексного числа. Если , то корни ой степени из имеют вид:

В нашем случае .

Так что корни такие:

Теперь запишем корни исходного квадратного уравнения: .

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

[spoiler title=”источники:”]

http://nsportal.ru/shkola/raznoe/library/2014/09/21/kompleksnye-chisla-lektsiya-2-reshenie-kvadratnykh-uravneniy-s

http://khab.work5.ru/spravochnik/matematika/kvadratnoe-uravnenie-s-kompleksnymi-kornyami

[/spoiler]

Источник

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x 2 − 4 = 0 .

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак, в уравнении x 2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x 2 = 4 . Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a , где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4 . Очевидно, что при значениях 2 и −2 . Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a , если b 2 = a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x 2 = 4 ? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x . Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2 .

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2 . То есть корнями уравнения x 2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2) 2 = 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25 . Какое число в квадрате равно 25 ? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5 . Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2) 2 = 25 являются числа 3 и −7 .

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2) 2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25 . Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5 . Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7 .

Запишем полностью решение уравнения (x + 2) 2 = 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x₁ , а корень −7 через x₂

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x 2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2 . Эти корни можно было обозначить как x₁ = 2 и x₂ = −2.

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2) 2 = 25 . Подставим в него корни 3 и −7 . Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25 , то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25 . Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0 ,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x 2 + 2x = 16 . В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Для этого в уравнении 3x 2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

Получили уравнение 3x 2 + 2x − 16 = 0 . В этом уравнении a = 3 , b = 2 , c = −16 .

В квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа a , b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x 2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3 ; вторым коэффициентом является число 2 ; свободным членом является число −16 . Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x 2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3 , 2 и −16 .

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x 2 + x = 0 , то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax 2 + bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x 2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5 , он должен располагаться в конце левой части. Член 4x 2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a , b и с .

Если коэффициенты a , b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 .

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6 ), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 . В этом уравнении a = 2 , b = 6 , c = −8 . Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x 2 − 8 = 0 . Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x 2 = 4 , то . Отсюда x = 2 и x = −2 .

Значит корнями уравнения 2x 2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax 2 + bx + c = 0 , то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 .

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0 . В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x 2 − 4 = 0 .

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x 2 − 4 = 0 . Оно тоже является уравнением вида ax 2 + c = 0 , то есть неполным. В нем a = 1 , b = 0 , с = −4 .

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x 2 + 6x=0 , которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0 . Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0 . Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x 2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3 . Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x 2 = 0 . Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0 . Действительно, 2 × 0 2 = 0 . Отсюда, 0 = 0 . При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания « b равно нулю » или « с равно нулю «, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x 2 − 32 = 0 , то мы говорим, что b = 0 . Потому что если сравнить с полным уравнением ax 2 + bx + c = 0 , то можно заметить, что в уравнении 2x 2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a , равный 2; присутствует свободный член −32 ; но отсутствует коэффициент b .

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . В качестве примера решим квадратное уравнение x 2 − 2x + 1 = 0 .

Итак, требуется найти x , при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1) 2 .

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0 . Поэтому наша задача найти x , при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0 , можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1) 2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0 . Отсюда x = 1 .

Значит корнем уравнения x 2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x 2 + 2x − 3 = 0 .

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1) 2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4 . Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2 . Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2 , корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3 .

Пример 3. Решить уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x 2 + 28x − 72 = 0 , выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

Пример 5. Решить уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x 2 . Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x , то есть (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4x 2 . Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x 2 . Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x 2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x 2 . Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2 . Это позвóлит избавиться от двойки перед x 2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Значит корнями уравнения 2x 2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 , в самом начале мы разделили обе его части на 2 . В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x 2 равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x 2 + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x , при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x 2 + x + 2 = 0 , то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax 2 + bx + c = 0 , и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 . В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a , b , с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax 2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax 2 + bx + c = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a , b и c .

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b 2 − 4ac .

Выражение b 2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель . Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x 2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x 2 + x + 2 = 0 коэффициенты a , b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b 2 −4ac

D = b 2 − 4ac = 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b 2 − 4ac ) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x 2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b 2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b 2 − 4ac . Подставим в уравнении вместо выражения b 2 − 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D , то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0) , то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения .

Чаще всего эти формулы обозначаются как x₁ и x₂ . То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x 2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1 , 2 и −8 . То есть, a = 1 , b = 2 , c = −8 .

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b 2 − 4 ac . Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x 2 + 2x − 8 = 0

D = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4 . Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1 , b = −6 , c = 9 . Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b 2 − 4ac = (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0) . Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

Пример 3. Решить уравнение 5x 2 − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x 2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x 2 + 4x + 4 = 0 является число −2 .

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение (x + 4) 2 = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения (x + 4) 2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8 .

Ответ: 3 ; −8.

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2 . Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1 .

Ответ: 23; −1.

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6 . Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x 2 = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9 .

Пример 2. Решить уравнение x 2 − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9 .

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5 .

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5 , .

Пример 6. Решить уравнение x 2 = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3) 2 + (x − 2) 2 = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0 , −1,6 .

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x , при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м 2 . При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x . А длину комнаты через 2x , потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

По условию задачи площадь должна быть 8 м 2 . Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x 2 = 4 , то . Отсюда x = 2 и x = −2 .

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2 . Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x . Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

Значит длина равна 4 м , а ширина 2 м . Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м 2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м , а ширина 2 м .

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м 2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м 2 . Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200 , получим уравнение:

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30 . Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10 . Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30 ) получится 1200 м 2

40 × 30 = 1200 м 2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

http://spacemath.xyz/kvadratnoe-uravnenie/

Источник

Нам требуется составить квадратное уравнение вида

$az^{2} +bz+c=0$

Где a, b и c – действительные числа

z_0=2+i

Допустим мы составляем приведенное уравнение (a=1).

Тогда по теореме Виета

Для того, чтобы коэффициент c был действительным, мы можем принять z_1 за сопряженное с z_0 , т.е. z_1=2-i .

Логично, что для того, чтобы коэффициент b был действительным, требуется чтобы z_1 содержал комплексную часть, равную . Данное условие у нас уже соблюдается.

Теперь мы можем составить уравнение:

$z^{2}-4z+5=0$

Проверка:

$D=16-20=-4=(2i)^{2}$

$z_0=frac{4+2i}{2} =2+i$

z_1=2-i

Ответ: $z^{2}-4z+5=0$

Источник

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0,;aneq 0,}$

в котором — неизвестное, а коэффициенты , и — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ — это значение неизвестного , обращающее квадратный трёхчлен ${displaystyle ax^{2}+bx+c}$ в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена ${displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :

${displaystyle x^{2}+px+q=0,quad p={dfrac {b}{a}},quad q={dfrac {c}{a}}.}$

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]

Древний Вавилон[править | править код]

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

$x^{2}+x={frac {3}{4}}; x^{2}-x=14{frac {1}{2}}.$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия[править | править код]

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ${displaystyle ax^{2}+bx=c;}$ притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел[править | править код]

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта[править | править код]

Дискриминантом квадратного уравнения ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ называется величина ${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$ .

Условие
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}}$ (1)	${displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}$	—

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]

Для уравнений вида $ax^{2}+2kx+c=0$ , то есть при чётном , где

$k={frac {1}{2}}b,$

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант	Корни
неприведённое	приведённое	D > 0	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: ${frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Все необходимые свойства при этом сохраняются.	${frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .	$x_{1,2}={frac {-kpm {sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-kpm {sqrt {k^{2}-c}}$
D = 0	$x={frac {-k}{a}}$

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]

Если в квадратном уравнении $ax^{2}+bx+c=0$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a+c=b , то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ( $-{frac {c}{a}}$ ).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}$

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов $(a-c)^{2}geqslant 0$ , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если anot =c , то уравнение имеет два корня, если же a=c , то оно имеет только один корень.
Найдём эти корни:

${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}={frac {-(a+c)pm {sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={frac {-a-cpm |a-c|}{2a}}={frac {-a-cpm amp c}{2a}}}$

$x_{1}={frac {-a-c-a+c}{2a}}={frac {-2a}{2a}}=-1;$

$x_{2}={frac {-a-c+a-c}{2a}}={frac {-2c}{2a}}=-{frac {c}{a}}.$

В частности, если a=c , то корень будет один: -1.

Способ 2.

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы $y=ax^{2}+bx+c$ с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой $x=-{frac {b}{2a}}$ . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: $-{frac {b}{2a}}+rho (x_{1};-{frac {b}{2a}})=x_{2}$ (если $x_{1}<x_{2}$ ) или $-{frac {b}{2a}}-rho (-{frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что $x_{1}=-1$ (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: $acdot (-1)^{2}+bcdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ , поэтому -1 – корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: $-{frac {b}{2a}}pm |-{frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем – отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве b-a=c , раскрываем модуль: $x_{2}=-{frac {b}{2a}}-{frac {b}{2a}}+1=-{frac {2b-2a}{2a}}=-{frac {b-a}{a}}=-{frac {c}{a}}$ . Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ( a+b+c=0 ), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ( ${frac {c}{a}}$ ).

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства a+b+c=0 следует, что
Установим количество корней:

${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.}$

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов $(a-c)^{2}geqslant 0$ , а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если anot =c , то уравнение имеет два корня, если же a=c , то только один.
Найдём эти корни:

${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {mathcal {D}}}}{2a}}={frac {a+cpm {sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={frac {a+cpm |a-c|}{2a}}={frac {a+cpm amp c}{2a}};}$

$x_{1}={frac {a+c+a-c}{2a}}={frac {2a}{2a}}=1;$

$x_{2}={frac {a+c-a+c}{2a}}={frac {2c}{2a}}={frac {c}{a}},$

что и требовалось доказать.

В частности, если a=c

, то уравнение имеет только один корень, которым является число

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: $acdot 1^{2}+bcdot 1+c=0$ – верное равенство, следовательно, единица – корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту – $x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}Rightarrow x_{2}={frac {c}{ax_{1}}}={frac {c}{acdot 1}}={frac {c}{a}}$ , ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]

Если трёхчлен вида ${displaystyle ax^{2}+bx+c~(anot =0)}$ удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ — ими будут $-{frac {m}{k}}$ и $-{frac {n}{l}}$ , действительно, ведь ${displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow {biggl [}{begin{array}{lcl}kx+m=0,\lx+n=0,end{array}}}$ а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)[править | править код]

Если квадратный трёхчлен имеет вид $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$ , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

${displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},}$

${displaystyle (ax+b)^{2}=0,}$

$x=-{frac {b}{a}}.$

Выделение полного квадрата суммы (разности)[править | править код]

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

прибавляют и отнимают одно и то же число:
$x^{2}+px+({frac {p}{2}})^{2}-({frac {p}{2}})^{2}+q=0;$ .
применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
${displaystyle (x^{2}+2{frac {p}{2}}x+({frac {p}{2}})^{2})+(-({frac {p}{2}})^{2}+q)=0,}$
$(x+{frac {p}{2}})^{2}={frac {p^{2}}{4}}-q;$
извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
${displaystyle x+{frac {p}{2}}=pm {sqrt {{frac {p^{2}}{4}}-q}},}$
$x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {{frac {p^{2}}{4}}-q}}.$

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[править | править код]

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) $x_{1},x_{2}$ , будучи решением системы уравнений

${displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\x_{1}x_{2}=q,end{cases}}}$

являются корнями уравнения $x^{2}+px+q=0$

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»[править | править код]

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0quad mid ;cdot a,}$

${displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0;}$

2) заменяем

${displaystyle y^{2}+by+ac=0.}$

Далее решаем уравнение относительно y по методу, описанному выше, и находим x = y/a.

Как можно заметить, в методе «переброски» старший коэффициент как раз «перебрасывается» к свободному члену.

Графическое решение квадратного уравнения[править | править код]

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений[править | править код]

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I[править | править код]

Для решения квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ строится график функции $y=ax^{2}+bx+c$
и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью .

Приём II[править | править код]

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду $ax^{2}=-bx-c$
и строят в одной системе координат графики квадратичной функции $y=ax^{2}$ и линейной функции y=-bx-c , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III[править | править код]

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду $a(x+l)^{2}+m=0$ , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в $a(x+l)^{2}=-m$ . После этого строятся график функции $y=a(x+l)^{2}$ (им является график функции $y=ax^{2}$ , смещённый на |l| единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую y=-m , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к виду $ax^{2}+c=-bx$ , строят график функции $y=ax^{2}+c$ (им является график функции $y=ax^{2}$ , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и y=-bx , находят абсциссы их общих точек.

Приём V[править | править код]

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

${displaystyle {dfrac {ax^{2}}{x}}+{dfrac {bx}{x}}+{dfrac {c}{x}}={dfrac {0}{x}};}$

${displaystyle ax+b+{dfrac {c}{x}}=0;}$

затем

${displaystyle ax+b=-{dfrac {c}{x}}.}$

Совершив преобразования, строят графики линейной функции y=ax+b и обратной пропорциональности $y=-{frac {c}{x}}; (cnot =0)$ , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если c=0 , то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки[править | править код]

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

Построить в системе координат окружность с центром в точке ${displaystyle Sleft(-{dfrac {b}{2a}};{dfrac {a+c}{2a}}right)}$ , пересекающую ось в точке .
Далее возможны три случая:

Доказательство

Иллюстрация к доказательству.

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ , где $x_{1},x_{2}$ , естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку $D(0;{frac {c}{a}})$ . Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: ${displaystyle OD={dfrac {OAcdot OB}{OC}}={frac {x_{1}x_{2}}{1}}={frac {c}{a}}}$ (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае ( ${displaystyle {dfrac {c}{a}}not =1}$ ), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой ${displaystyle {dfrac {c}{a}}}$ . Если c/a и 1 – совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна – её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус – стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S – центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD – ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой ${displaystyle x=-{dfrac {b}{2a}}}$ , то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число – абсцисса центра. Её ординату найдём так: ${displaystyle {dfrac {CD}{2}}={dfrac {OC+(OC+CD)}{2}}={dfrac {OC+OD}{2}}={dfrac {1+{dfrac {c}{a}}}{2}}={dfrac {a+c}{2a}}}$ . В третьем из возможных случаев, когда ca=1 (и, значит, a=c), то ${displaystyle {dfrac {c}{a}}=1={dfrac {2a}{2a}}={dfrac {a+c}{2a}}}$ .

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке ${displaystyle S(-{dfrac {b}{2a}};{dfrac {c+a}{2a}})}$ , проходящую через точку C(0;1) , то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел[править | править код]

Уравнение с действительными коэффициентами[править | править код]

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,~b,~c всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

Уравнение с комплексными коэффициентами[править | править код]

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Квадратное уравнение вида $x^{2}+px+q=0,$ в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {left({frac {p}{2}}right)^{2}-q}}.$

Мнемонические правила:

Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное^[2] q.

Из «Радионяни» (второй вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):

Чтобы x найти к половине p,

Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,

Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Теорема Виета ^[3][править | править код]

Формулировка для приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Сумма корней приведённого квадратного уравнения $x^{2}+px+q=0$ (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену :

$x_{1}+x_{2}=-p,quad x_{1}x_{2}=q.$

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравнения[править | править код]

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0colon }$

${displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\x_{1}x_{2}=c/a.end{cases}}}$

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

${displaystyle {begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&mid cdot a,\x_{1}x_{2}=c/a&mid cdot a^{2};end{cases}}}$

${displaystyle {begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\(ax_{1})(ax_{2})=ac,end{cases}}}$

по которой можно устно находить ax₁, ax₂, а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого[править | править код]

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

${displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$

(2)

Доказательство[править | править код]

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни $x_{1}$ и $x_{2}$ квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ образуют соотношения с его коэффициентами: ${displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}}, x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}}$ . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

${displaystyle {begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{frac {b}{a}}x+{frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\&=a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\&=a(x-x_{1})(x-x_{2}).end{alignedat}}}$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1[править | править код]

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство[править | править код]

Пусть $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$ . Тогда, переписав это разложение, получим:

$(kx+m)(nx+l)=k(x+{frac {m}{k}})n(x+{frac {l}{n}})=kn(x-(-{frac {m}{k}}))(x-(-{frac {l}{n}}))$

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются $-{frac {m}{k}}$ и $-{frac {l}{n}}$ . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества .

Следствие 2[править | править код]

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство[править | править код]

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным[править | править код]

Алгебраические[править | править код]

Уравнение вида $acdot f^{2}(x)+bcdot f(x)+c=0$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой где — множество значений функции , c последующим решением квадратного уравнения $acdot t^{2}+bcdot t+c=0$ .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

$f(x)={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4cdot acdot c}}}{2a}}$

$f(x)={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4cdot acdot c}}}{2a}}$

К примеру, если $f(x)=x^{2}$ , то уравнение принимает вид:

${displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0.}$

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным^[4]^[1].

С помощью замены

$y=x+{dfrac {k}{x}}$

к квадратному уравнению сводится уравнение

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,$

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение^[1].

Дифференциальные[править | править код]

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

подстановкой $y=e^{kx}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

$k^{2}+pk+q=0$

Если решения этого уравнения $k_{1}$ и $k_{2}$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

$y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}$

, где

— произвольные постоянные.

Для комплексных корней $k_{1,2}=k_{r}pm k_{i}i$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

${displaystyle y=e^{k_{r}x}left(Acos {k_{i}x}+Bsin {k_{i}x}right)=Ce^{k_{r}x}cos(k_{i}x+varphi ),}$

где A, B, C, φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают $k_{1}=k_{2}=k$ , общее решение записывается в виде:

$y=Axe^{kx}+Be^{kx}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом Архивная копия от 28 января 2016 на Wayback Machine / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
Математические методы

Источник

Задать свой вопрос

*более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 60104 Составить квадратное уравнение с…

Условие

60b77ffca1c50e1d3043a110

03.06.2021 14:25:58

Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами одним из корней является число

математика 10-11 класс
1587

Решение

5f3eaa23faf909182968dde0

03.06.2021 15:25:35

★

Написать комментарий

Присоединяйся в ВК

Источник

Квадратное уравнение с комплексными корнями и коэффициентами

Комплексные числа. Лекция 2. Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами. учебно-методический материал по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Комплексные числа. Лекция 1. Основы теории комплексных чисел.

Комплексные числа. Лекция 3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Комплексные числа. Лекция 4. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме записи.

«Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов»

конспект урока по алгебре 8 класс “Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом”

Презентация по теме “Решение квадратных уравнений с помощью переноса старшего коэффициента”

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Решение неполных квадратных уравнений

Как решить уравнение ax 2 = 0

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Как разложить квадратное уравнение

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Примеры решения квадратных уравнений

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула Виета

Упрощаем вид квадратных уравнений

Связь между корнями и коэффициентами

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Формулы корней квадратного уравнения

Примеры решения квадратных уравнений

Примеры решения задач

Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]

Древний Вавилон[править | править код]

Индия[править | править код]

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел[править | править код]

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта[править | править код]

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]

Использование формулы квадрата суммы (разности)[править | править код]

Выделение полного квадрата суммы (разности)[править | править код]

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета[править | править код]

VII способ. Метод «переброски»[править | править код]

Графическое решение квадратного уравнения[править | править код]

Графический способ решения квадратных уравнений[править | править код]

Приём I[править | править код]

Приём II[править | править код]

Приём III[править | править код]

Приём IV[править | править код]

Приём V[править | править код]

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки[править | править код]

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел[править | править код]

Уравнение с действительными коэффициентами[править | править код]

Уравнение с комплексными коэффициентами[править | править код]

Корни приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Теорема Виета [3][править | править код]

Формулировка для приведённого квадратного уравнения[править | править код]

Для неприведённого квадратного уравнения[править | править код]

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого[править | править код]

Доказательство[править | править код]

Следствие 1[править | править код]

Доказательство[править | править код]

Следствие 2[править | править код]

Доказательство[править | править код]

Уравнения, сводящиеся к квадратным[править | править код]

Алгебраические[править | править код]

Дифференциальные[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Задача 60104 Составить квадратное уравнение с…

Условие

Решение

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК

Вам также может понравиться

Как найти высоту в параллелипипиде

Составьте интеллект карту путешествие чичикова как мотив движения вниз

Комплексные числа. Лекция 2. Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.
учебно-методический материал по теме

Теорема Виета ^[3][править | править код]