Как составить квадратное уравнение с заданными корнями

Уведомление

Cookie

Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты
$a$,
$b$ и
$c$ – в общем случае являются комплексными.
Его решение находим с помощью дискриминанта

$$D=b^{2}-4 a c$$

тогда

$$x_{1,2}=frac{-b pm sqrt{D}}{2 a}$$

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются
комплексными числами.

Читать дальше: элементарные функции комплексного аргумента.

Класс: 8
«Б»                      Предмет: Алгебра                          Дата:
_______

Урок
№ 64        Тема: «Составление
квадратного трехчлена по  его корням»

Цели
урока: научить составлять
квадратный трехчлена по  его корням.

Задачи
урока:

Обучающая: повторить
понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по  его корням.

Развивающая:
развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание  организованности,
дисциплинированности, аккуратности, усидчивости.

Тип
урока: урок изучения нового
материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое  обеспечение: дидактический материал.

План
урока:                                                                                                                        

I.     
Организационный
момент

II.     
Актуализация  знаний

III.     
Первичное усвоение новой учебной информации

IV.     
Осознание и осмысление

V.     
Закрепление

VI.     
Информация о домашнем задании

VII.     
Подведение итогов урока

Ход урока

І.
Организационный момент

– Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: «Составление квадратного трехчлена по  его корням». Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по  его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение темы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация  знаний

– Давайте вспомним пройденный материал –  Разложите на множители выражение: –  а) Х2– 9;       б) Х2 – 9Х; –  Найдите корень уравнения: –  а) Х2– 9 = 0;  б) Х2 – 9Х = 0;  в) Х2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

ІІІ. Первичное усвоение
новой учебной информации

§  54 . Разложение  квадратного   трехчлена  на линейные множители

В этом
параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае  квадратный  трехчлен  ax²  + bx + c можно
представить в   виде   произведения

(a₁x + b₁)
(a₂x + b₂)

двух
линейных  относительно х множителей  с действительными
коэффициентами     a₁, b₁, a₂, b₂     (a₁ =/=0, a₂ =/=0) ?

1.
 Предположим, что данный  квадратный   трехчлен  ax²  + bx + c  представим
в виде

ax²  + bx
+ c  = (a₁x
+ b₁) (a₂x + b₂).
                  (1)

Правая
часть формулы (1) обращается в нуль при  х =  —  b₁/ a₁ и х = —  b₂/ a₂  (a₁иa₂ по условию не равны нулю). Но
в таком случае числа  —  b₁/ a₁ и  —  b₂/ a₂  являются
корнями уравнения

ax²  + bx + c = 0.

Следовательно,
дискриминант  квадратного   трехчлена  ax²  + bx + c должен  быть  неотрицательным.

2.
 Обратно,   предположим,   что
  дискриминант  D = b² — 4ас квадратного трехчлена ax²  + bx + c  неотрицателен.
 Тогда этот  трехчлен  имеет
действительные корни x₁
и x₂.
Используя  теорему Виета,  получаем:

ax²  + bx + c  = а (x² + ^b/_a х + ^c/_a)
= а [x² — (x₁ + x₂) х + x₁x₂]
=

= а [(x²— x₁x ) — (x₂x — x₁x₂)]
= а [х (х — x₁)
— x₂(х — x₁)
=

= a(х — x₁)(х — x₂).

Итак,

ax²  + bx + c = a(х — x₁)(х — x₂),
                (2)

где x₁ и x₂ — корни  трехчлена  ax²  + bx + c. Коэффициент а можно отнести к любому из двух
линейных множителей,  например,

a(х — x₁)(х — x₂)
= (aх — ax₁)(х — x₂).

Но это
означает, что в рассматриваемом случае  квадратный   трехчлен  ax²  + bx + c представим в
виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя
результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема.  Квадратный   трехчлен  ax²  + bx + c тогда и тoлько
тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с
действительными коэффициентами,

ax²  + bx + c = (aх — ax₁)(х — x₂),

когда
дискриминант этого  квадратного   трехчлена  неотрицателен
(то есть когда этот  трехчлен  имеет
действительные корни).

Пример
1.
  Разложить на линейные множители 6x² — х —1.

Корни
этого  квадратного   трехчлена  равны x₁ = ¹/₂  и x₂ = — ¹/₃.

Поэтому
по формуле (2)

6x² — х —1 = 6 (х — ¹/₂)(х + ¹/₃)
= (2х — 1) (3x + 1).

Пример
2.
 Разложить на линейные множители x² + х + 1. Дискриминант
   этого     квадратного      трехчлена     отрицателен:

D = 1² — 4•1•1 = — 3 <
0.

Поэтому
данный   квадратный   трехчлен   на линейные множители с
действительными  коэффициентами   не раскладывается.

Упражнения

Разложить
  на   линейные   множители   следующие
 выражения (№ 403 — 406):

403. 6x² —
7х + 2.
                 405. x² — х + 1.

404.
  2x² —
7ах + 6а².
            406. x² — 3ах + 2а² — аb— b².

Предположим,
что нам нужно  составить  квадратное уравнение, корнями которого
были бы числа x₁ и x₂. Очевидно,
что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

a(х — x₁)(х — x₂)
= 0,
                     (1)

где а — любое отличное от нуля
действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое
квадратное уравнение с корнями x₁
и x₂ можно
записать в виде (1).

Таким
образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных
уравнений корни x₁ и x₂ имеют
уравнения вида (1) и только, они.

ІV.Осознание и осмысление

Пример. Составить квадратное уравнение,
корни которого равны  1  и — 2.

Ответ.
  Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

а(х — 1)(х + 2) = 0,

или

ах² + ах — 2а = 0,

где а — любое отличное от нуля
действительное число. Например,   при   а = 1   получается
  уравнение

х² + х — 2 = 0.

V. Закрепление

Упражнения

1.
 Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы  числа:

а) 2 и
— 3;    б) — 1 и — 5;      в) ¹/₄ и ¹/₆;
   г) — ¹/₂ и
— ¹/₃ .

2.
 Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его
корни были равны:

а) — ¹/₅   и
 ²/₃;    б) ⁴/₇  и
5;    в) — ³/₂
 и  ²/₉;
   г) — ³/₁₀  и — ²/₅.

3.
  Составить квадратное
уравнение с целыми  коэффициентами, корни которого равны ⁵/₇ и — ¹/₂, а сумма
всех коэффициентов равна 36.

Решение:
(х-5/7)(х-1/2)=0    х²-17/14х+5/14=0    14х²-17х+5=0  
14+17+5=36

4.
 Могут ли  корнями  квадратного уравнения с натуральными коэффициентами
  быть  числа ⁶/₅ и
— ¹/₇?

Решение:
(х-6/5)(х+1/7)=0      35х²-37х-6=0  (да)

5.
 Составить
квадратное уравнение с целыми  коэффициентами, если известно, что один из
его корней равен:

а) 2 +
√3 ;       б) 3
—√2   

в)
√3-5

Решение

Второй корень будет сопряжён первому, т. е.   x₁ =
√3−5; x₂ = −√3−5.
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b =
0,
тогда по теореме Виета    a = −(_x1+x2)
= −2•(−5) = 10,   b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22.
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242
(1,2).

VI.Информация о домашнем задании

 №228, №234+ Повторить пройденную
тему§12.

VII.Подведение итогов
урока

Давайте
теперь подведем итоги урока :

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.

Составьте квадратное уравнение по его корням 5 и 3

По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x с обратным знаком, то есть:

Также, по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, то есть:

По условию x₁ = 5 и x₂ = 3.

Следовательно, квадратное уравнение с корнями x₁ = 5 и x₂ = 3 имеет вид:

Нам нужно составить квадратное уравнение по его корням. Корни равны 5 и 3.

Решать задание будем по алгоритму

• вспомним определение полного квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения;
• вспомним теорему Виета;
• найдем коэффициента уравнения, используя теорему Виета;
• запишем уравнение;
• сделаем проверку — решим полученное уравнение.

Определение квадратного уравнения и теорема Виета

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ^2 + bx + c = 0;

где a, b — коэффициенты, а с — свободный член. Так же обязательно должно выполняться условие, что коэффициента a не равен нулю (a ≠ 0).

Если в уравнении ax^2 + bx + c = 0, коэффициент a = 1, то уравнение называется полным приведенное квадратное уравнение.

Мы в ответе получим уравнение с коэффициентом а = 1, то есть приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней уравнения равна коэффициенту b с противоположным знаком.

А произведение корней уравнения равно свободному члену уравнения с.

Находим коэффициенты для нашего уравнения

Корни уравнения имеют значения x1 = 5; x2 = 3.

При условии, что уравнение приведенное, то есть а = 1, находим коэффициенты b и c.

Как составить квадратное уравнение по его корням

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x₁ и x₂. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

a(х — x₁)(х — x₂) = 0, (1)

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

а(х — 1)(х + 2) = 0,

ах 2 + ах — 2а = 0,

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

х 2 + х — 2 = 0.

Упражнения

411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /₄ и 1 /₆; г) — 1 /₂ и — 1 /₃ .

412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /₇ и — 1 /₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /₅ и — 1 /₇?

415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:

Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D ge 0$) справедливо следующее:

$$ x_1+x_2 = -b, quad x_1 x_2 = c $$

$$ x_1 = -6, x_2 = 1, quad x_1+x_2 = -5, quad x_1 x_2 = -6 $$

Теорема Виета

Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D ge 0$) справедливо следующее:

$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ 2x^2+5x-3 = 2 left(x-frac right)(x+3) $$

$$ x_1 = frac, x_2=-3, quad x_1+x_2=-frac, quad x_1 x_2 = — frac $$

Примеры

Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:

Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$

Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$

$$ left(x-frac right) left(x-frac right) = x^2- left(frac+frac right)x+frac cdot frac = x^2-frac x+frac $$

Искомое уравнение: $x^2-frac x+frac = 0 или 6x^2-5x+1 = 0$

$г) frac$ — один корень

$$ left(x-frac right)^2 = x^2-2 cdot frac x+ left(frac right)^2 = x^2-frac x+frac$$

Искомое уравнение: $x^2-frac x+ frac = 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$

Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.

По теореме Виета можем записать:

Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -7, b = 4

Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.

По теореме Виета можем записать:

$$ x_2+12 = -3 \ 12x_2 = c end right.> Rightarrow x_2 = -15 \ c = 12 cdot (-15) = -180 end right.> $$