Как составить линейное дифференциальное уравнение по частным решениям

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Как найти общее и частное решение линейных дифференциальных уравнений

СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕЙ СТАТЬИ

  1. Линейное ДУ первого порядка
    1. Метод Бернулли
    2. Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)
  2. Линейное ДУ второго порядка
    1. Метод подбора по правой части
    2. Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)

Линейное дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором все $y$ и его производные, входят только в первой степени и не перемножаются между собой.

В этой статье рассмотрим решение таких уравнений первого и второго порядка с неоднородной правой частью. В зависимости от порядка диффура выбирается метод его решения. Хотя есть универсальный метод вариации произвольных постоянных. Разберем все методы.

Линейное ДУ первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют следующий вид $$y’+g(x)y=f(x),$$ где $g(x)$ и $f(x)$ некоторые функции. Для решения такого типа уравнений можно применить метод Бернулли, либо метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной).

Метод Бернулли

  1. Выполняем подстановку $y=uv, y’=u’v+uv’$, где $u(x),v(x)$ некоторые функции
  2. Строим систему уравнений, чтобы найти $u(x)$ и $v(x)$
  3. Подставляем $u(x), v(x)$ в $y=uv$, чтобы получить общее решение.
Пример 1
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $$y’-y tg x=frac{1}{cos x}, y(0)=0.$$
Решение

Первым шагом делаем подстановку $y=uv, y’=u’v+uv’$ и получаем $$u’v+uv’-uv tg x=frac{1}{cos x}.$$ Теперь выносим за скобки функцию $u$ и составляем систему уравнений: $$u’v+u(v’-v tg x)=frac{1}{cos x}$$ $$begin{cases} v’-v tg x = 0 \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases}.$$ Сначала решаем первое уравнение методом разделяющихся переменных, чтобы из него получить $v(x)$: $$begin{cases} frac{dv}{v} = tg x dx \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases} Rightarrow begin{cases} ln|v| = -int frac{d(cos x)}{cos x} \ u’v = frac{1}{cos x} end{cases}$$ $$begin{cases} ln|v| = -ln|cos x| \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases} Rightarrow begin{cases} v=frac{1}{cos x} \ u’ = 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} v=frac{1}{cos x} \ u=x+C end{cases}.$$

Таким образом подставляем найденные $u$ и $v$ в подстановку $y=uv$, чтобы получить общее решение линейного дифференциального уравнения $$y=frac{x+C}{cos x}.$$ Но по условию требуется найти частное решение, поэтому используя дополнительное условие $y(0)=0$ находим константу $C$ $$frac{0+C}{cos 0} = 0 Rightarrow C = 1.$$ Теперь зная значение $C=1$ подставляем его в общее решение и получаем ответ в виде частного решения линейного дифференциального уравнения $$y = frac{x}{cos x}.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$y = frac{x}{cos x}$$

Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)

  1. Находим общее решение однородного уравнения
  2. В общем решении заменяем постоянную $C$ на функцию $C(x)$
  3. Находим $y’$ и подставляем его вместе с $y$ в исходное уравнение
  4. Получаем чему равно $C(x)$ из последнего равенства
  5. Подставляем $C(x)$ в ранее полученное общее решение и записываем ответ
Пример 2
Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $$y’ cos^2 x + y = tg x, quad y(0)=0.$$
Решение

Сначала приведем уравнение к виду $y’+g(x)=f(x)$ путем деления обеих частей диффура на квадрат косинуса $$y’ + frac{y}{cos^2 x} = frac{sin x}{cos^3 x}.$$

Теперь находим общее решение однородного дифференциального уравнения $$y’+frac{y}{cos^2 x} = 0.$$ Разделяем переменные по разные стороны и интегрируем обе части: $$frac{dy}{dx}=-frac{y}{cos^2 x}$$ $$int frac{dy}{y}=-int frac{dx}{cos^2 x}$$ $$ln|y|=-tg x + C$$ $$y = Ce^{-tg x}.$$

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом Лагранжа варьируя произвольную постоянную. А именно, заменяем в полученном общем решении константу $C$ на функцию $C(x)$ $$y = C(x)e^{-tg x}.$$ Находим производную функции $$y’ = C'(x)e^{-tg x} – C(x)e^{-tg x} frac{1}{cos^2 x}.$$ Подставляем общее решение и его производную в исходное линейное дифференциальное уравнение, чтобы получить $C'(x)$ $$(C'(x)e^{-tg x} – C(x)e^{-tg x} frac{1}{cos^2 x}) cos^2 x + C(x)e^{-tg x} = tg x.$$ После упрощения получаем, что $$C'(x)e^{-tg x} cos^2 x = tg x.$$ Умножаем уравнение на $e^{tg x}$ и делим на $cos^2 x$ $$C'(x) = frac{tg x}{cos^2 x} e^{tg x}.$$

Теперь, можно получить $C(x)$, просто проинтегрировав правую часть уравнения $$C(x) = int frac{tg x}{cos^2 x} e^{tg x} dx. $$ Выполняем подведение под знак дифференциала $frac{1}{cos^2 x}$ $$C(x) = int tg x e^{tg x} d(tg x).$$ Для комфорта взятия интеграла сделаем замену $tg x = t$, а затем применяя метод интегрирования по частям найдем решение интеграла $$C(x)=int t e^t dt = begin{vmatrix} u = t qquad du=dt \ dv=e^t qquad v=e^t end{vmatrix} = te^t – int e^t dt = te^t – e^t + C.$$ Возвращаемся назад к иксам $$C(x) = te^t – e^t + C = tg x e^{tg x} – e^{tg x} + C.$$

Итак, теперь можно записать общее решение линейного дифференциального уравнения неоднородного $$ytext{о.н.} = ( tg x e^{tg x} – e^{tg x} + C)e^{-tg x} = tg x – 1 + Ce^{-tg x}.$$ По условию задачи требуется найти частное решение, значит применяем условие $y(0)=0$ и находим значение постоянной $C$ $$0 – 1 + C = 0 Rightarrow C=1.$$ Теперь можно записать окончательный ответ $$y = e^{-tg x} + tg x – 1.$$

Ответ
$$y = e^{-tg x} + tg x – 1$$

Линейное ДУ второго порядка

Обычно в контрольных работах дают задачи на решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому разберем как решать именно такие уравнения $$y”+py’+qy=f(x).$$

Метод подбора по правой части

Общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.}+y_text{ч.н.}.$$ Поэтому первым делом нужно решить однородное уравнение (т.е. f(x)=0), а затем найти частное решение подобрав правую часть по таблице.

Для того, чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения, требуется составить характеристический многочлен и найти его корни $$lambda^2 + plambda + q = 0.$$ В зависимости от получившихся корней общее решение однородного уравнения выглядит следующим образом:

  1. $lambda_1 neq lambda_2$, то $y_text{о.о.} = C_1 e^{lambda_1 x} + C_2 e^{lambda_2 x}$
  2. $lambda_1 = lambda_2$, то $y_text{о.о.} = C_1 e^{lambda_1 x} + C_2 xe^{lambda_1 x}$
  3. $lambda_{1,2} = alpha pm beta i$, то $y_text{о.о.} = C_1e^{alpha x}cos beta x + C_2 e^{alpha x} sin beta x$.

Далее необходимо по виду правой части подобрать частное решение $y_text{ч.н.}$. Для этого нужно воспользоваться таблицей.

Правая часть Корни характеристического многочлена Вид частного решения
1 $$P_n (x)$$ Число 0 не является корнем характеристического уравнения. $$tilde{P_n}(x)$$
Число 0 – корень характеристического уравнения кратности $S$. $$x^s tilde{P_n}(x)$$
2 $$P_n (x) e^{alpha x}$$ Число $alpha$ не является корнем характеристического уравнения. $$tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
Число $alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$. $$x^s tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
3 $$P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x$$ Число $pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения. $$tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x$$
Число $pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$. $$x^s (tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x)$$
4 $$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$ Число $alpha pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения. $$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$
Число $alpha pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения. $$x^s e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$

Где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ многочлены.

Пример 3
Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка $$y”+y’-2y=8sin 2x.$$
Решение

Первым делом находим общее решение однородного дифференциального уравнения $$y”+y’-2y=0.$$ Для этого составляем характеристический многочлен и находим его корни по общей формуле решения квадратных уравнений: $$lambda^2+lambda-2=0$$ $$lambda_{1,2} = frac{-1pm sqrt{1^2-4cdot 1 cdot (-2)}}{2} = frac{-1pm 3}{2}$$ $$lambda_1 = -2, quad lambda_2 = 1.$$ Теперь, используя корни, записывам $$y_text{о.о.} = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x}.$$

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения $y_text{ч.н.}$ методом подбора правой части. Смотрим на неё и видим, что в нее входит произведение многочлена нулевой степени на косинус. Значит, частное решение будет подбирать в виде $$y_text{ч.н.} = Acos 2x + Bsin 2x,$$ где $A$ и $B$ неизвестные коэффициенты, которые требуется найти на следующем этапе решения.

Найдем первую и вторую производную от частного решения: $$y’_text{ч.н.} = -2Asin 2x + 2Bcos 2x$$ $$y”_text{ч.н.} = -4Acos 2x – 4Bsin 2x$$ Теперь подставим полученные производные от $y_text{ч.н.}$ и его само в исходное дифференциальное уравнение, чтобы получить значения $A$ и $B$ методом неопределенных коэффициентов: $$-4Acos 2x – 4Bsin 2x -2Asin 2x + 2Bcos 2x – 2Acos 2x -2Bsin 2x = 8sin 2x$$ $$(2B – 6A)cos 2x + (-6B – 2A)sin 2x = 8sin 2x.$$

Теперь необходимо составить систему уравнений. Справа видим только синус, значит все что перед косинусом слева равно нулю. А всё что перед синусом равно восьми $$begin{cases} 2B-6A = 0 \ -6B-2A = 8 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} B-3A=0 \ 3B+A=-4 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} B = frac{6}{5} \ A=-frac{2}{5} end{cases}$$

Теперь частное решение неоднородного уравнения выглядит следующим образом $$y_text{ч.н.} = -frac{2}{5} cos 2x – frac{6}{5}sin 2x.$$ Подставляем все найденные данные в окончательную формулу, чтобы записать ответ $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.} = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x} -frac{2}{5} cos 2x – frac{6}{5}sin 2x.$$

Ответ
$$y = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x} -frac{2}{5} cos 2x – frac{6}{5}sin 2x$$
Пример 4
Решить линейное дифференциальное уравнение $$y”-4y=e^{2x}sin 2x.$$
Решение

Сначала получим общее решение однородного уравнения $$y”-4y=0.$$ Составляем характеристическое уравнение и найдем его корни: $$lambda^2 – 4 = 0$$ $$(lambda – 2)(lambda + 2) = 0$$ $$lambda_1 = -2, quad lambda_2 = 2.$$ Записываем теперь решение $$y_text{о.о.} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.$$

Теперь выполним подбор частного решения неоднородного уравнения, основываясь на типе правой части. Она состоит из произведение экспоненты на синус, перед которым многочлен. По таблице находим, что частное решение нужно искать в виде $$y_text{ч.н.} = Ae^{2x}cos 2x + Be^{2x}sin 2x.$$

Необходимо найти коэффициенты $A$ и $B$. Для этого нужно найти вторую производную частного решения и подставить в исходное уравнение $$y’_text{ч.н.} = 2Ae^{2x}cos 2x – 2Ae^{2x}sin 2x + 2Be^{2x}sin 2x + 2Be^{2x}cos 2x = $$ $$ = (2A+2B)e^{2x}cos 2x + (2B-2A)e^{2x}sin 2x$$ $$y”_text{ч.н.} = 2(2A+2B)e^{2x}cos 2x – 2(2A+2B)e^{2x}sin 2x + 2(2B-2A)e^{2x}sin 2x + 2(2B-2A)e^{2x}cos 2x = $$ $$ = 8Be^{2x}cos 2x – 8Ae^{2x}sin 2x.$$ Подставляем в исходное ДУ: $$8Be^{2x}cos 2x – 8Ae^{2x}sin 2x – 4Ae^{2x}cos 2x – 4Be^{2x}sin 2x = e^{2x} sin 2x$$ $$(8B-4A)e^{2x}cos 2x + (-8A-4B)e^{2x}sin 2x = e^{2x}sin 2x.$$ Теперь составляем систему уравнений путем сопоставления левой и правой части. То, что слева перед синусом приравниваем к тому, что справа перед синусом. А справа косинуса нет, значит там ноль. Поэтому приравниваем скобки перед косинусом слева к нулю $$begin{cases} 8B-4A=0 \ -8A-4B = 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2B-A=0 \ -8A-4B=1 end{cases} Rightarrow begin{cases} A = -frac{1}{10} \ B = -frac{1}{20} end{cases}.$$

Теперь частное решение приобретает вид $$y_text{ч.н.} = -frac{1}{10}e^{2x}cos 2x – frac{1}{20} e^{2x} sin 2x,$$ и можно записать окончательный ответ к задаче $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.}+y_text{ч.н.} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}-frac{1}{10}e^{2x}cos 2x – frac{1}{20} e^{2x} sin 2x.$$

Ответ
$$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}-frac{1}{10}e^{2x}cos 2x – frac{1}{20} e^{2x} sin 2x$$

Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)

Данный метод удобно применять тогда, когда правая часть не подходит под формулы из таблицы. Таким образом, метод Лагранжа становится универсальной палочкой-выручалочкой при решении данного типа задач. Алгоритм следующий:

  1. Находим общее решение однородного уравнения $y_text{о.о.} = C_1 y_1 + C_2 y_2$
  2. Заменяем константы $C_1,C_2$ на функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$
  3. Решаем систему методом Крамера $begin{cases} C_1 ‘(x)y_1 + C_2 ‘(x)y_2 = 0 \ C_2 ‘(x)y’_1 + C_2 ‘(x) y’_2 = f(x) end{cases}$
  4. Интегрируем полученные $C’_1 (x)$ и $C’_2 (x)$
  5. Подставляем $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в общее решение $y_text{о.о.}$
Пример 5
Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка $$y”+y=frac{1}{sin x}.$$
Решение

Первым делом находим общее решение однородного уравнения $$y”+y=0, $$ составив характериcтический многочлен $$lambda^2 + 1 = 0, $$ и вычислив его корни $$lambda_{1,2} = pm i.$$ Записываем решение $$y_text{о.о.} = C_1 cos x + C_2 sin x.$$ Далее заменяем в нём постоянные $C_1$ и $C_2$ на функции $C_1(x)$ и соответственно $C_2(x)$. И сразу замечаем, что $y_1 = cos x$ и $y_2 = sin x$. Это пригодится для дальнейшего решения задачи при построении системы уравнений. А сейчас записываем, что $$y_text{о.о.} = C_1 (x) cos x + C_2(x) sin x.$$

Перед тем как составим систему уравнений найдем производные: $$y’_1 = -sin x$$ $$y’_2 = cos x.$$ Теперь получаем систему и решаем её методом Крамера $$begin{cases} C_1 ‘(x)cos x+C_2(x)sin x = 0 \ -C’_1 (x)sin x + C’_2(x) cos x = frac{1}{sin x} end{cases}.$$ Находим значение главного определителя $$Delta = begin{vmatrix} cos x & sin x \ -sin x & cos x end{vmatrix} = cos^2 x + sin^2 x = 1.$$ Найдем значение первого дополнительного определителя $$Delta_1 = begin{vmatrix} 0 & sin x \ frac{1}{sin x} & cos x end{vmatrix} = -1 .$$ Найдем значение второго дополнительного определителя $$Delta_2 = begin{vmatrix} cos x & 0 \ -sin x & frac{1}{sin x} end{vmatrix} = frac{cos x}{sin x}.$$

Теперь можно получить производные от искомых функций: $$C’_1(x) = frac{Delta_1}{Delta} = -1$$ $$C’_2(x) = frac{Delta_2}{Delta} = frac{cos x}{sin x}.$$ А затем путем интегрирования находим первообразные последних функций: $$C_1(x)=int (-1) dx = -x + tilde{C_1}$$ $$C_2(x)=int frac{cos x}{sin x} dx = int frac{d(sin x)}{sin x} = ln|sin x| + tilde{C_2}.$$

Теперь получим общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения путем подстановки найденных $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в $y_text{о.о.}$ $$y_text{о.о.} = (-x + tilde{C_1})cos x + (ln|sin x|+tilde{C_2})sin x.$$

Ответ
$$y = (-x + tilde{C_1})cos x + (ln|sin x|+tilde{C_2})sin x$$

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1·e -3x ·cos(2x)+C’2·e -3x ·sin(2x)=0
C’1(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’2(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -4·e 2x ·sin(2x)
C’2 = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 1
C2 = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * 2e -3x ·sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * 2e -3x ·sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 – 4·1·6 = 1


Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e -2x , y2 = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -2x +C2·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c2·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c2-2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c2-2·c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3·c2-2·c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /13;B = 15 /13;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /13cos(2x) + 15 /13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r 2 + 1 = 0
D = 0 2 – 4·1·1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i, r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e 0 x cos(x) = cos(x)
y2 = e 0 x sin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·cos(x)+C2·sin(x)

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) – некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k – кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) – полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).

Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /2;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме “Дифференциальные уравнения”

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y” – 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

– общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x0) = y0, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x0) = y0,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M0(x0,y0).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

  1. Производную функции переписать через её дифференциалы
  2. Разделить переменные.
  3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
  4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x0 = 1, y0 = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = – 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) – некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k – некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b– некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y – 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v – неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y”) = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C1 и C2.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C1 и C2.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y” + py’ +qy = 0, где pи q– постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y” + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y” через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C1 и C2 – произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

1.

1.

2. а)

2. а)

б)

б)

в)

в)

г)

г)

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/527195

http://nauchniestati.ru/spravka/primery-resheniya-differenczialnyh-uravnenij-s-otvetami/

[/spoiler]

Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение вида
(1)

Дифференциальные уравнения в частных производных

связывающее независимые переменные x1, х2, … , хn искомую функцию и = и(х1, х2,…, хn) и ее частные производные (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь ki,k2,… ,кn — неотрицательные целые числа, такие, что к1 + к2 + … + кп = т.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящие в уравнение частных производных. Так, если х, у — независимые переменные, и = и(х, у) — искомая функция, то

Дифференциальные уравнения в частных производных

— дифференциальное уравнение 1-го порядка;

Дифференциальные уравнения в частных производных

— дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Для упрощения записи пользуются также следующими обозначениями:

Дифференциальные уравнения в частных производных

Пусть имеем дифференциальное уравнение с частными производными (1) порядка т. Обозначим через Сm(D) множество функций, непрерывных в области D вместе со всеми производными до порядка m включительно.

Определение:

Решением дифференциального уравнения (1) в некоторой области D изменения независимых переменных x1, x2…xn,. называется всякая функция и = и(х1, х2,…, xп) ∈ Сm (D) такая, что подстановка этой функции и ее производных в уравнение (1) обращает последнее в тождество по x1, x2, …., хп в области D.

Пример:

Найти решение и = и(х,у) уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных

Равенство (2) означает, что искомая функция и не зависит опт х, но может быть любой функцией от у,

u = φ(y). (3)

Таким образом, решение (3) уравнения (2) содержит одну произвольную функцию. Это — общее решение уравнения (2).

Приме:

Найти решение u = u(z, у) уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных

Положим Дифференциальные уравнения в частных производных= о. Тогда уравнение (4) примет вид Дифференциальные уравнения в частных производных = 0. Его общим решением будет произвольная функция v = w(у). Поскольку v= Дифференциальные уравнения в частных производныхприходим к уравнению Дифференциальные уравнения в частных производных= w(у). Интегрируя по у (считая х параметром), получим

Дифференциальные уравнения в частных производных

где g(x) — произвольная функция. Так как w(у) — произвольная функция, то и интеграл от нее также является произвольной функцией; обозначим его через f(у). В результате получим решение уравнения (4) в виде

u(x, y) = f(y) + g(x) (5)

(f(y)• g(x) ~ произвольные дифференцируемые функции).

Решение (5) уравнения с частными производными 2-го порядка (4) содержит уже две произвольные функции. Его называют общим решением уравнения (4), так как всякое другое решение уравнения (4) может быть получено из (5) подходящим выбором функций f и g.

Мы видим, таким образом, что уравнения с частными производными имеют целые семейства решений. Однако существуют уравнения с частными производными, множества решений которых весьма узки и, в некоторых случаях, да же пусты.

Пример:

Множество действительных решений уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных

исчерпывается функцией u(x, y) = const, а уравнение

Дифференциальные уравнения в частных производных

вовсе не имеет действительных решений.

Мы не ставим пока вопрос об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т.е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и этим дополнительным условиям.

Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Свойства их решений

Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных, входящих в уравнение; в противном случае уравнение называется нелинейным.

Пример:

Дифференциальные уравнения в частных производных

— линейное уравнение; уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных

— нелинейные.

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции двух независимых переменных х, у в общем случае имеет вид
(1)

Дифференциальные уравнения в частных производных

где А(х, у), В(х, у), …, с(х,у), f(x,y) — функции переменных х, у, заданные в некоторой области D плоскости хОу. Если f(x,y) ≡ 0 в D, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Обозначив левую часть уравнения (1) через L[u], запишем (1) в виде

L[u] = f(x, у). (2)

Соответствующее однородное уравнение запишется так:

L[u] = 0. (3)

Здесь L — линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве C2(D) функций и = и(х, у).

Пользуясь свойством линейности оператора L, легко убедиться в справедливости следующих теорем, выражающих свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными.

Теорема:

Если и(х, у) есть решение линейного однородного уравнения (3), то си(х, у), где с — любая постоянная, есть также решение уравнения (3).

Теорема:

Если и1(х, у) и и2(х, у) — решения линейного однородного уравнения (3), то сумма и1(х, у) + и2(x, у) есть также решение этого уравнения.

Следствие:

Если каждая из функций и1(х, у) и и2(х, у), u k(x, у) является решением уравнения (3), то линейная комбинация

Дифференциальные уравнения в частных производных

где c1, c2 …, сk — произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

В отличие от обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения, имеющего конечное число линейно независимых частных решений, линейная

комбинация которых дает общее решение этого уравнения, уравнение с частными производными может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений.

Пример:

Уравнение

Дифференциальные уравнения в частных производных

имеет общее решение k = φ(х), так что решениями его будут, например, функции 1,х,…, хn,… . В соответствии с этим в линейных задачах для уравнений с частными производными нам придется иметь дело не только с линейными комбинациями конечного числа решений, но и с рядами Дифференциальные уравнения в частных производных, членами которых являются произведения постоянных Сп на частные решения иn(х, у) дифференциального уравнения.

Возможны случаи, когда функция и(х, у; λ) при всех значениях параметра λ из некоторого интервала (λо, λ1), конечного или бесконечного, является решением уравнения (3). В этом случае говорят, что решения уравнения зависят от непрерывно меняющегося параметра λ. Если теперь взять функцию С(λ) такую, что первые и вторые производные интеграла

Дифференциальные уравнения в частных производных

по х и по у могут быть получены с помощью дифференцирования под знаком интеграла, то этот интеграл также будет решением уравнения (3). Для линейного неоднородного уравнения

L[u] = f (4)

справедливы следующие предложения.

Теорема:

Если и(х, у) есть решение линейного неоднородного уравнения (4), a v(x, у) — решение соответствующего однородного уравнения (3), то сумма и + v есть решение неоднородного уравнения (4).

Теорема:

Принцип суперпозиции. Если и1(х, у) —решение уравнения L[u] = f1, a u2(x,y) — решение уравнения L[u] = f2, то и1 + u2 — решение уравнения L[u] = f1 + f2.

Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными

Определение:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Дифференциальные уравнения в частных производных

в некоторой области Q на плоскости хОу называется

1) гиперболическим в Ω, если

Дифференциальные уравнения в частных производных

2) параболическим в Ω, если

Дифференциальные уравнения в частных производных

3) эллиптическим в Ω, если

Дифференциальные уравнения в частных производных

Пользуясь этим определением, легко проверить, что уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных

— гиперболические при всех х и у, уравнение

Дифференциальные уравнения в частных производных

— параболическое при всех х и у, а уравнение

Дифференциальные уравнения в частных производных

— эллиптическое при всех х и у. Уравнение

Дифференциальные уравнения в частных производных

— эллиптическое при у > 0, параболическое на линии у = 0 и гиперболическое в полуплоскости у < 0.

Можно показать, что при определенных условиях на коэффициенты уравнения (1) существует неособая замена независимых переменных

Дифференциальные уравнения в частных производных

с помощью которой уравнение (1) преобразуется к более простому, каноническому виду, своему для каждого типа уравнения.

Уравнение гиперболического типа (∆ > 0) преобразуется к вшу

Дифференциальные уравнения в частных производных

или

Дифференциальные уравнения в частных производных

(два канонических вида уравнений гиперболического типа).

Уравнение параболического типа (∆ ≡ 0) преобразуется к виду

Дифференциальные уравнения в частных производных

(канонический вид уравнения параболического типа).

Уравнение эллиптического типа (∆ < 0) преобразуется к виду

Дифференциальные уравнения в частных производных

(канонический вид уравнения эллиптического типа). Здесь F и Ф — некоторые функции, зависящие от искомой функции и, ее первых производных Дифференциальные уравнения в частных производных и независимых переменных ξ, η. Вид функций F и Ф определяется исходным уравнением (1).

В некоторых случаях каноническая форма уравнения позволяет найти общее решение исходного уравнения.

Как правило, приведениеуравнения(1) к каноническому виду путем замены независимых переменных имеет локальный характер, т. е. осуществимо лишь в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки Mo(xo, уo).

Когда число п независимых переменных больше двух, также различают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов. Например, при п = 4 простейшая каноническая форма таких уравнений имеет вид

Дифференциальные уравнения в частных производных

Здесь и = и(х, у, z, t).

Замечание:

В общем случае, когда число независимых переменных больше двух, приведение линейною уравнения с переменными коэффициентами

Дифференциальные уравнения в частных производных

к каноническому виду возможно только в данной точке Дифференциальные уравнения в частных производных и невозможно в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. К таким уравнениям приводит большое количество различных физических задач.

Так, колебательные процессы различной природы (колебания струн, мембран, акустические колебания газа в трубах, электромагнитные колебания и т. д.) описываются уравнениями гиперболического типа. Простейшим из таких уравнений является уравнение колебаний струны (одномерное волновое уравнение): (2)

Дифференциальные уравнения в частных производных

Здесь х — пространственная координата, t — время, Дифференциальные уравнения в частных производных где Т — натяжение струны, р — ее линейная плотность.

Процессы теплопроводности и диффузии приводят к уравнениям параболического типа. В одномерном случае простейшее уравнение теплопроводности имеет вид
(3)

Дифференциальные уравнения в частных производных

Здесь Дифференциальные уравнения в частных производных где р — плотность среды, с — удельная теплоемкость, k — коэффициент теплопроводности.

Наконец, установившиеся процессы, когда искомая функция не зависит от времени, определяются уравнениями эллиптического типа, типичным представителем которых является уравнение Лапласа
(4)

Дифференциальные уравнения в частных производных

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решением уравнения (2) является всякая функция и(х, t) вида

Дифференциальные уравнения в частных производных

где

Дифференциальные уравнения в частных производных

Можно показать, что решениями уравнения (3) являются функции вида

Дифференциальные уравнения в частных производных

(А, а ~ произвольные постоянные, А — числовой параметр). Интегрируя решение и(х, t; λ) = Дифференциальные уравнения в частных производных уравнения (3) по параметру λ в пределах от — ∞ до + ∞ , получим так называемое фундаментальное решение U(x, t) = Дифференциальные уравнения в частных производных уравнения теплопроводности.

Наконец, нетрудно убедиться, что действительнозначные функции Рn(х,у) и Qn(x, у), определяемые из соотношения

Дифференциальные уравнения в частных производных

являются решениями уравнения Лапласа (4) для п = 0, 1, 2…..Этот последний результат есть частный, случай общего утверждения, что и действительная и мнимая части аналитической функции

f(z) = u(x, у) + iv(x, у)

комплексного переменного z = х + iy являются решениями уравнения Лапласа (4).

В силу линейности уравнения (4) ряды

Дифференциальные уравнения в частных производных

тоже будут решениями уравнения (4), если они сходятся равномерно, как и ряды, полученные из них двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов х, у.

Таким образом, для простейшей — канонической — формы уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов мы располагаем о решениях этих уравнений некоторой информацией.

Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Для полного описания того или иного физического процесса мало иметь только дифференциальное уравнение процесса, надо еще задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе S той области Ω, в которой процесс происходит (граничные условия). Это обусловлено неединственностью решения дифференциальных уравнений.

Пример:

Общее решение уравнения

Дифференциальные уравнения в частных производных

имеет вид и(х, у) = f(x) + g(y), где f(x) и g(y) — произвольные дифференцируемые функции. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее данный физический процесс, необходимо задать дополнительные условия.

Различают три основных типа задач для дифференциальных уравнений с частными производными (число независимых переменных равно п):

а) задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область Ω совпадает со всем пространством Rn, граничные условия отсутствуют;

б) краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S области Ω, начальные условия отсутствуют;

в) смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные и граничные условия, Ω ≠ Rn

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Содержание:

Общие свойства линейных однородных дифференциальных уравнений:

В этой лекции мы остановимся на изучении линейных дифференциальных уравнений второго порядка, которые представляют наиболее разработанную часть теории дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что линейные уравнения часто описывают реальные процессы, либо дают первое приближение изучаемого явления.

Определение 24.1.1. Дифференциальное уравнение линейное относительно искомой функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Это уравнение преобразуется к виду

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (24.1.1)

делением всех членов уравнения на коэффициент Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Предположим, что коэффициенты Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияи правая часть Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решениязаданы и непрерывны при всех значенияхЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения ЕслиЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения то уравнение называется линейным неоднородным, если жеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения то уравнение принимает вид

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (24.1.2)

и называется линейным однородным.

Рассмотрим некоторые свойства однородных линейных дифференциальных уравнений (24.1.2).

Теорема 24.1.1. ЕслиЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения– два частных решения линейного однородного уравнения (2.2), тоЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения также является решение этого уравнения.

Доказательство. Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения– решения уравнения (24.1.2), то, подставив решения в уравнение, получим тождества, которые образуют систему:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (24.1.3)

Подставляя в уравнение (24.1.2) сумму Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияи принимая во внимание (24.1.3), получим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

откуда и следует, что Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – решение уравнения (24.1.2).Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Теорема 24.1.2. Если у, – частное решение однородного уравнения (24.1.2). тоЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решениятак же является частным решением уравнения (24.1.2).

Доказательство. Так какЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решениято Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Из условия теоремы следует, что Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияпоэтому и (С,у,) + р,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения а это означает, чтоЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения является частным решением уравнения (24.1.2). Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Следствие 1. ЕслиЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения — частные решения линейного однородного уравнения (24.1.2), тоЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения является частным решением уравнения (24.1.2).

Доказательство. Действительно, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения в силу теоремы 24.1.2.,- частные решения (24.1.2), а в силу теоремы 24.1.1 сумма Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения также является решением уравнения (24.1.2).

Заметим, что при сделанных предположениях относительно коэффициентов уравнения (24.1.2), оно имеет одно и только одно решение, проходящее через точку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Кроме того, уравнение (24.1.2) имеет очевидное решение у = 0 – нулевое решение. В дальнейшем мы будем рассматривать ненулевые решения.

Определение 24.1.2. Определителем Вронского называется выражение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения составленное из решенийЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и we производных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Теорема 24.1.3. Определитель Вронского вычисляется по формуле:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где С = const.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим производную определителя

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так какЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения решения уравнения (24.1.2), то, подставив решения в уравнение (24.1.2), получим тождества:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Умножая первое тождество на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, а второе – на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияи складывая почленно, получим уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, в, котором два первых слагаемых – производная определителя Вронского, а выражение в скобках – определитель Вронского:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Умножив на dx, получим уравнение в дифференциальной форме: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными относительно определителя Вронского. Интегрируя его, получим формулу (24.1.4), называемой формулой Лиувиля.

Выше мы рассматривали частные решения уравнения (24.1.2): Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Теперь возникает вопрос, какой формулой выражается общее решение линейного однородного уравнения второго порядка. Для получения формулы общего решения важную роль играет понятие линейной независимости решений.

Определение 24.1.3. Два ненулевые решения, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, уравнения (24.1.2) называются линейно независимыми, если не существует отличных от нуля коэффициентов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения таких, что выполняется соотношение:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения тождественное относительно х. Если же такие коэффициенты существуют, то Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – линейно зависимы.

Таким образом, из определения 24.1.3 следует, что линейно зависимые (функции) решения отличаются на постоянный множитель.

Теорема 24.1.4. Если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения линейно зависимые на отрезке [a,b], то на этом отрезке определитель Вронского тождественно равен нулю.

Доказательство. Действительно, если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения линейно зависимые решения, то они отличаются на постоянный множитель, т. е.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Поэтому определитель Вронского равен нулю:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Теорема 24.1.5. Если ненулевые решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения уравнения (2.2) линейно независимы на отрезке Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, то определитель Вронского, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.

Доказательство. Предположим, что Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения в некоторой точке х отрезка Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Тогда в силу теоремы 24.1.4 и формулы (24.1.4) он будет равен нулю во всех точках отрезкаЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения т.е. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения то, разделив равенство на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,получим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

В левой части записано значение производной частного решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Тогда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Это означает, что решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения линейно зависимы, что противоречит их линейной независимости (по условию теоремы). Полученное противоречие и доказывает теорему.

Теорема 24.1.6. Если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – два линейно независимых решения уравнения (24.1.2), то функция:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (24.1.5)

гдеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – произвольные постоянные, определяет его общее решение.

Доказательство. Из следствия 1 теоремы 24.1.2 следует, что функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияесть решение уравнения (24.1.2). Докажем теперь, что можно подобрать значения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решениятак, чтобы функция (24.1.5) удовлетворяла любым заданным начальным условиям.

Пусть, приЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения ( начальные условия). Подставляя их в равенство (24.1.5), получим систему линейных неоднородных уравнений, относительно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как определитель системы (24.1.6) , ,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения является определителем Вронского при Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и, следовательно, не равен нулю так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения линейно независимы, то система (24.1.6) имеет решение, значит нужные Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения можно найти. Частное решение, которое получится из семейства (24.1.5), при найденных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, удовлетворяет заданным начальным условиям. А это и означает, что функция (24.1.5) является общим решением уравнения (24.1.2). О

Заметим, что не существует методов для нахождения общего решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами.

Однако, для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (24.2.1)

где р и q – постоянные числа. Нахождение общего решения уравнения (24.2.1) сводится к чисто алгебраическим операциям.

Вид уравнения (24.2.1) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать, прежде всего, среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Таким свойством обладает показательная функция. Поэтому будем искать частные решения в видеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Так какЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, то подставив в (24.2.1) значения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения получим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

МножительЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, не обращается в нуль ни при каких значениях х. Поэтому функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения тогда и только тогда удовлетворяет линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами, когда число к является корнем уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (24.2.2)

Алгебраическое квадратное уравнение (24.2.2) называют характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (24.2.1). Его корни находятся по формулам:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

При этом могут представиться различные случаи, которые мы проанализируем подробнее.

1. Корчи характеристического уравнения действительны и различны: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

В этом случае частными решениями будут функции:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

так как каждому из корней соответствует частное решение. Эти решения линейно независимы, потому что их отношение не равно постоянной величине:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда, в силу теоремы 24.1.6, общее решение уравнения (24.2.1) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

В силу, изложенного выше, составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и находим его корни: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как корни характеристического уравнения различны, то общее решение задается функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

2. Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Частные решения можно записывать в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Это комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (24.2.1). Легко показать, что если какая-либо комплексная функция

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (24.2.3)

действительного аргумента удовлетворяет уравнению (24.2.1), то тгому уравнению удовлетворяют и функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Действительно, подставляя (24.2.3) в (24.2.1), получим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Комплексная функция равняется нулю, когда равны нулю ее действительная и мнимая части. Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Это означает, что функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияявляются решениями уравнения (24.2.1), если функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – решение уравнения (24.2.1).

Перепишем теперь комплексные частные решения в виде суммы действительной и мнимой частей: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда, частными решениями будут действительные функции:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Так как функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения линейно независимы, то общее решение уравнения (24.2.1) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

или

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения– произвольные постоянные.

Заметим, что если в уравнении (24.2.2) р = 0,то характеристические корни чисто мнимые Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияи решение

(24.2.4) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Согласно изложенному выше, составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и находим его корни: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Следовательно, общее решение определяется функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составим характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и найдем его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Поэтому, обutec решение будет определяться функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

3. Корни характеристического уравнения действительные и равные: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения.

В этом случае, на основании случая 1, имеем одно частное решение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияНужно найти второе линейно независимое с первым. Будем его искать в виде Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где и(х) – неизвестная функция, подлежащая определению. Дифференцируя решениеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения находим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Подставляя функциюЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и се производные Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения в уравнение (24.2.1), и выполняя элементарные преобразования, получаем

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – кратный корень характеристического уравнения,

то Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Кроме того,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и поэтому в выражении (24.2.5) остается одно слагаемое, равное нулю: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Следовательно, для нахождения и(х) нужно решить уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Последовательно интегрируя уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, получаем: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. В частности, можно положить Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять функцию Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Это решение линейно независимое с первым:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения.

Поэтому общим решением будет функция:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияи находим его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Так как корни характеристического уравнения кратные действительные, то общее решение определяется функцией:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

В этом параграфе мы остановимся на изучении структуры общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, т. с. уравнения вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Предположим, что уравнение (25.1.1) задано в области

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияназывается общим решением уравнения (25.1.1) в области D, если для любой точки областиЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения равенства

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

разрешимы относительно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Иначе: функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения есть общее решение уравнения (25.1.1), если для любой точки из области D, можно указать такие значения постоянных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения что выполняются равенства (25.1.2), н, при таких значениях постоянных, функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияудовлетворяет уравнению (25.1.1).

Структура общего решения уравнения (25.1.1) определяется следующей теоремой.

Теорема 25.1.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (25.1.1) представляет сумму частного решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (24.1.1).

Доказательство. Пусть Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и Y соответственно частное решение уравнения (25.1.1) и общее решение соответствующего однородного уравнения (24.1.1). Нужно доказать, что произвольные постоянные, входящие в него, можно подобрать так, чтобы выполнялись начальные условия: приЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – линейно независимые решения уравнения (24.1.1), то нужно доказать, что функция:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения является общим решением уравнения (25.1.1), т.е. нужно доказать, что равенства:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения разрешимы относительно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Подставляя в эти равенства начальные условия, получим систему относительно неизвестных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Эту систему можно переписать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Определитель последней системы является определителем Вронского, для функций Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. И так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решеннс. ОпределивЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, найдем функцию Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, которая определяет решение уравнения (25.1.1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Теорема 25.1.2. Если правая часть неоднородного уравнения (25.1.1) равна сумме двух функций:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (25.1.3)

то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Доказательство. Пусть Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решениячастные решения уравнений (25.1.4). Тогда при подстановке их в уравнение (25.1.3), получим тождества:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Складывая, правые и левые части тождеств, получаем:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

откуда следует, что сумма Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения является решением уравнения (25.1.1).

Таким образом, для решения неоднородного линейного уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного и какое-либо частное решение исходного уравнения. Частное решение неоднородного линейного уравнения найти, вообще говоря, трудно Д1я уравнения (25.1.1). Мы остановимся на неоднородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, т.е. уравнениях вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения где р и q- постоянные коэффициенты, для которых существуют общие методы нахождения частных решений в зависимости от вида правой части.

Способы нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Пусть задано уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (25.2.1)

где р и q – действительные числа. Покажем, что частное решение уравнения (25.2.1) иногда можно найти, не прибегая к интегрированию, а методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим эти случаи.

1. Правая часть уравнения (25.1.1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлен n -ой степени.

Если число а не является корнем характеристического уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, составленного для соответствующего однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, то частное решение нужно искать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Действительно, подставляя Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения в уравнение (25.2.1) и сокращая все члены на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияполучаем:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлен степени n. Значит в левой и правой частях равенства (25.2.3) записаны многочлены степени n, которые будут равными, если равны коэффициенты при равных степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему из n + 1 уравнений для определения коэффициентов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Если же число а простой корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.

Действительно, если бы в этом случае стали искать частное решение в форме (25.2.2), то в равенстве (25.2.3) слева получили бы многочлен степени n-1, так как коэффициент при Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, т.е. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, равен нулю. Следовательно, ни при каких значениях Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения равенство (25.2.3) не было бы тождеством. Поэтому мы Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения умножаем на х.

Если же число а двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, так как кроме коэффициента при Q„(x), в равенстве (25.2.3), равен нулю и коэффициент приЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и слева этого равенства будет стоять многочлен степени n – 2. При этом свободный член многочлена Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, в этом случае, и член первой степени исчезнут при дифференцировании и их можно не включать в частное решение.

Замечание. Если правая часть уравнения (25.2.1) не содержит множителя Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, то следует рассматривать а = 0 и частное решение искать в виде Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, учитывая при этом какой кратности нуль является корнем характеристического уравнения.

Пример №1

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Вначале находим общее решение соответствующего однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Оно имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Далее ищем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как правая часть заданного уравнения равна произведению многочлена на экспоненциальную функциюЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и так как коэффициент 3 в показателе экспоненты не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Вычисляя первую и вторую производные этого выражения и подставляя в дифференциальное уравнение, получим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Сокращая на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

решая которую, находим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Следовательно, частным решением является функция:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Общее решение заданного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

1. Пусть теперь правом часть уравнения (25.2.1) представляет собой произведение многочленов на тригонометрические функции и показательную функцию’.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлены степени n и m. Тогда частное решение определяется следующим образом:

а) если число Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения – многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения;

б) если число Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияявляется корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Заметим, что формы частных решений (25.2.5) и (25.2.6) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (25.2.1) один из многочленов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решениятождественно равен нулю, т.е. когда

правая часть равнаЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Кроме того, если правая часть уравнения (25.2.1) имеет вид:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,

где М и N – постоянные числа, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,

где А и В постоянные, подлежащие определению, когда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения не являются корнем характеристического уравнения; если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №2

Найти общее решение линейного неоднородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения определяется функцией:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Согласно теории, изложенной выше, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, где А и В -постоянные, подлежащие определению. Их определим, подставляя частное решение и его производные в заданное уравнение:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cosx и sinx, получаем систему из двух уравнений:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решая эту систему, находим:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения.

Следовательно, частное решение определяется функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения а общее — функцией:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Способы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно производной Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка вида (25.3.1) относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части, зависит только от одного из трех аргументов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Рассмотрим также уравнения, допускающие понижение порядка, в которых функция зависит только от двух из трех аргументов: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Общее решение уравнения (25.3.2) находится двукратным интегрированием. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример №3

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Вычислим интегралы от обеих частей заданного уравнения, представив вторую производную в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения . Поскольку интеграл от производной функции равен самой функции, то, последовательно интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

При интегрировании уравнения (25.3.3) вводится подстановка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Тогда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, и уравнение принимает вид Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения– Аналогично, подстановкойЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения уравнение (25.3.4) приводится к виду Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Преобразованные уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример №4

Найти частное решение дифференциального уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, удовлетворяющее условиям: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения при х = 1.

Решение:

Заданное уравнение относится к виду (25.3.3). Положим Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Подставив, получим уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения с разделяющимися переменными. Умножив на dy, и вычислив интегралы от обеих частей, последовательно находим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Выполним обратную подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения или Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Решение этого уравнения найдем, вычислив интегралы от обеих частей. Интеграл Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения при помощи подстановки Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения сводится к интегралу от рациональной дроби Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения , который вычисляем, разложив рациональную дробь в сумму элементарных дробей:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

УравнениеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения (25.3.5) подстановкой Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения приводится к уравнению первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияc неизвестной функцией p.

Пример №5

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Положим Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения и заданное уравнение примет видЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Это линейное уравнение, которое интегрируем при помощи интегрирующего множителя

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения . Умножив на интегрирующим множитель, получимЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Проинтегрировав обе части, последовательно находим z: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения Подставив Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, получим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Вычислив интегралы левой и правой частей уравнения, находим общий интеграл:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Уравнение (25.3.6), Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, подстановкой Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения сводится к уравнению

первого порядка:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, в котором z функция, а у аргумент.

Пример №6

Проинтегрировать уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Заданное уравнение имеет вид (25.3.6). Применим подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияТогда исходное уравнение преобразуются к уравнению с разделяющимися переменными: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения. Разделив переменные, последовательно находим:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Выполнив обратную подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения, получим два уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения,. Интегрируя эти уравнения, найдем:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решенияЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

  • Системы дифференциальных уравнений
  • Числовые ряды
  • Знакопеременные ряды
  • Степенные ряды
  • Предел и непрерывность функции двух переменны
  • Дифференцируемость функции нескольких переменных
  • Несобственные интегралы
  • Дифференциальные уравнения первого порядка

I. Обыкновенные дифференциальные
уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее между собой
независимую переменную x, искомую
функцию y и её производные или
дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение
записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y”)=0, F(x,y,y’,y”,.., y(n))=0

Дифференциальное уравнение называется
обыкновенным, если искомая функция зависит
от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения
называется такая функция ,
которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной,
входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
первого порядка

Решением этого уравнения является
функция y = 5 ln x. Действительно, ,
подставляя y’ в уравнение, получим
– тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть
решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
второго порядка y” – 5y’ +6y = 0. Функция
– решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение,
получим: ,

– тождество.

А это и значит, что функция
– есть решение этого дифференциального
уравнения.

Интегрированием дифференциальных
уравнений
называется процесс нахождения
решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального
уравнения
называется функция вида
которую входит столько независимых
произвольных постоянных, каков порядок
уравнения.

Частным решением дифференциального
уравнения
называется решение, полученное
из общего решения при различных числовых
значениях произвольных постоянных.
Значения произвольных постоянных
находится при определённых начальных
значениях аргумента и функции.

График частного решения
дифференциального уравнения называется интегральной
кривой
.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального
уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения,
получим

Замечание. Произвольную постоянную С,
полученную в результате интегрирования,
можно представлять в любой форме, удобной
для дальнейших преобразований. В данном
случае, с учётом канонического уравнения
окружности произвольную постоянную С
удобно представить в виде .


– общее решение дифференциального
уравнения.

Частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y =
4 при x = 3 находится из общего
подстановкой начальных условий в общее
решение: 32 + 42= C2; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x2
+y2
= 52.

Это есть частное решение
дифференциального уравнения, полученное из
общего решения при заданных начальных
условиях.

2. Найти общее решение дифференциального
уравнения

Решением этого уравнения является всякая
функция вида ,
где С – произвольная постоянная.
Действительно, подставляя в уравнения ,
получим: ,
.

Следовательно, данное дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество
решений, так как при различных значениях
постоянной С равенство
определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой
можно убедиться, что функции
являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное
решение уравнения y’ = f(x,y) 
удовлетворяющее начальному условию y(x0)
= y0
, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y),
удовлетворяющее начальному условию, y(x0)
= y0
, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой
геометрический смысл. Действительно,
согласно данным определениям, решить
задачу Коши y’ = f(x,y)  при условии y(x0)
= y0
,, означает найти интегральную
кривую уравнения y’ = f(x,y)  которая
проходит через заданную точку M0(x0,y0).

II. Дифференциальные уравнения первого
порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) =
0.

В дифференциальное уравнение первого
порядка входит первая производная и не
входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется
уравнением первого порядка, разрешённым
относительно производной.

Общим решением дифференциального
уравнения первого порядка называется
функция вида ,
которая содержит одну произвольную
постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное
уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является
функция .

Действительно, заменив в данном уравнении,

его значением, получим



то есть 3x=3x

Следовательно, функция
является общим решением уравнения
при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения,
удовлетворяющее начальному условию y(1)=1
Подставляя начальные условия x = 1, y =1 
в общее решение уравнения ,
получим
откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из
общего
подставив в это уравнение, полученное
значение C = 0

– частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными называется
уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через
дифференциалы ,
где f(x)  и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых ,
уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению,

в котором переменная y присутствует
лишь в левой части, а переменная x- лишь в
правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y
разделим переменные».

Уравнение вида
называется уравнением с разделёнными
переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения
по x, получим G(y) = F(x) + C– общее
решение уравнения, где G(y) и F(x)
некоторые первообразные соответственно
функций
и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального
уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными

  1. Производную функции переписать через её
    дифференциалы
  2. Разделить переменные.
  3. Проинтегрировать обе части равенства,
    найти общее решение.
  4. Если заданы начальные условия, найти
    частное решение.

Пример 1

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’
заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy’ = 1- 3x2,
если y0 = 3 при x0 = 1

Это—уравнение с разделенными
переменными. Представим его в
дифференциалах. Для этого перепишем данное
уравнение в виде
Отсюда

Интегрируя обе части последнего
равенства, найдем

Подставив начальные значения x0 = 1,
y0 = 3
найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл
будет
или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым
коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделив переменные, получим:

 Проинтегрировав обе части уравнения,
получим:

Используя начальные условия, x = 2  и y
= – 3
найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет
вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением
первого порядка называется уравнение вида y’
= f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) – некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то
линейное дифференциальное уравнение
называется однородным и имеет вид:  y’ = f(x)y

Если
то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой:
где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением
является  y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет
вид y’ = ky где k – некоторая постоянная, то его общее решение
имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения
соответствующего линейного однородного
уравнения и частного решения
данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения
вида y’
= kx + b
,

где k и b
некоторые числа и частным
решением будет являться постоянная функция
.
Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’
= -2y – 3
где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно,
где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных
уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного
дифференциального уравнения первого
порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных
уравнений с разделенными переменными с
помощью подстановки y=uv,
где u и v – неизвестные функции от x.
Этот метод решения называется методом
Бернулли.

 Алгоритм решения линейного дифференциального
уравнения первого порядка

y’ = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ =
u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение:  
u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ +  f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы
u вынести
за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти
функцию

Это уравнение с разделяющимися
переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда .
.

6. Подставить полученное значение v в уравнение
(из п.4):

и найти функцию
Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: ,
т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y’ = -2y
+3 = 0
  если y =1  при x = 0

Решение. Решим его с помощью
подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’
в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое
левой части уравнения, вынесем общий
множитель u за
скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и,
решив полученное уравнение, найдем функцию v
= v(x)

Получили уравнение с разделенными
переменными. Проинтегрируем обе части
этого уравнения:
Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение
Получим:

Это уравнение с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
Найдем функцию u = u(x,c)
Найдем общее решение:
Найдем частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при
x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших
порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго
порядка называется уравнение, содержащее
производные не выше второго порядка. В
общем случае дифференциальное уравнение
второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y”)
= 0

Общим решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
функция вида ,
в которую входят две произвольные
постоянные C1 и C2.

Частным решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
решение, полученное из общего
при некоторых значениях произвольных
постоянных C1 и C2.

3.2. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с




постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
называется уравнение вида
y” + py’ +qy = 0, где pи q
постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в
виде: y” + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое
уравнение, обозначив y” через r2,
y’  через r, yчерез
1:
r2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p2 -4q
и найти корни характеристического
уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде ,
где C1 и C2 – произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет равные
действительные корни .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде

в) D < 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет
комплексные корни,
Общее решение дифференциального уравнения
выражается, в виде 

Примеры.

1. Найти частное решение дифференциального
уравнения

Решение. Составим характеристическое
уравнение


D>0,

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и

заданные начальные условия:




Таким образом, искомым частным решением
является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

Решение

<0,

Общее решение




частное решение.

IV. Практическая работа

Вариант 1

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(1;2) и имеющей угловой коэффициент .

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)

Вариант 2

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;1) и имеющей угловой коэффициент

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)

V. Ответы

Вариант 1

Вариант 2

1.

 1.

2. а)

2. а)

б)

б)

в)

в)

г)

г)

Добавить комментарий