Как составить линейную зависимость векторов - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

10. Определение линейной зависимости и независимости векторов. Введем важные понятия, играющие большую роль в линейных уравнениях, например, – понятия линейной зависимости и независимости векторов

Определение 1. Линейной
комбинацией векторовназывается сумма произведений этих
векторов на скаляры:

.
(2.8)

Определение 2. Система
векторовназывается линейно зависимой системой,
если линейная комбинация их (2.8) обращается
в нуль:

=0,
(2.9)

причем среди чиселсуществует хотя бы одно, отличное от
нуля.

Определение 3. Векторыназываются линейно независимыми, если
их линейная комбинация (2.8) обращается
в нуль лишь в случае, когда все числа.

Из этих определений можно
получить следующие следствия.

Следствие 1. В линейно
зависимой системе векторов хотя бы один
вектор может быть выражен как линейная
комбинация остальных.

Доказательство. Пусть
выполнено (2.9) и пусть для определенности,
коэффициент.
Имеем тогда:.
Заметим, что справедливо и обратное
утверждение.

Следствие 2. Если система
векторовсодержит нулевой вектор, то эта система
(обязательно) линейно зависима –
доказательство очевидно.

Следствие 3. Если средиnвекторовкакие либоk()
векторов линейно зависимы, то и всеnвекторов линейно зависимы (опустим
доказательство).

2⁰. Линейные
комбинации двух, трех и четырех векторов.
Рассмотрим вопросы линейной зависимости
и независимости векторов на прямой,
плоскости и в пространстве. Приведем
соответствующие теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы
два вектора были линейно зависимы,
необходимо и достаточно, чтобы они были
коллинеарны.

Необходимость. Пусть векторыилинейно зависимы. Это означает, что их
линейная комбинация=0
и (ради определенности).
Отсюда следует равенство,
и (по определению умножения вектора на
число) векторыиколлинеарны.

Достаточность. Пусть векторыиколлинеарны (║)
(предполагаем, что они отличны от нулевого
вектора; иначе их линейная зависимость
очевидна).

По теореме (2.7)
(см. §2.1,п.2⁰) тогдатакое, что,
или– линейная комбинация равна нулю, причем
коэффициент приравен 1 – векторыилинейно зависимы.

Из этой теоремы вытекает
следующее следствие.

Следствие. Если векторыине коллинеарны, то они линейно независимы.

Теорема 2. Для того чтобы
три вектора были линейно зависимы,
необходимо и достаточно, чтобы они были
компланарны.

Необходимость. Пусть векторы,илинейно зависимы. Покажем, что они
компланарны.

Из определения
линейной зависимости векторов следует
существование чисел
итаких, что линейная комбинация,
и при этом (для определенности).
Тогда из этого равенства можно выразить
вектор:=,
то есть векторравен диагонали параллелограмма,
построенного на векторах, стоящих в
правой части этого равенства (рис.2.6).
Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости.

Достаточность. Пусть векторы,икомпланарны. Покажем, что они линейно
зависимы.

Исключим случай
коллинеарности какой либо пары векторов
(ибо тогда эта пара линейно зависима и
по следствию 3 (см.п.1⁰) все три
вектора линейно зависимы). Заметим, что
такое предположение исключает также
существование нулевого вектора среди
указанных трех.

Перенесем три компланарных
вектора в одну плоскость и приведем их
к общему началу. Через конец вектора
проведем прямые, параллельные векторами;
получим при этом векторыи(рис.2.7) – их существование обеспечено
тем, что векторыине коллинеарные по предположению
векторы. Отсюда следует, что вектор=+.
Переписав это равенство в виде
(–1)++=0,
заключаем, что векторы,илинейно зависимы.

Из доказанной теоремы вытекает
два следствия.

Следствие 1. Пустьине коллинеарные векторы, вектор– произвольный, лежащий в плоскости,
определяемой векторамии,
вектор. Существуют тогда числаитакие, что

=+.
(2.10)

Следствие 2. Если векторы,ине компланарны, то они линейно независимы.

Теорема 3. Любые четыре
вектора линейно зависимы.

Доказательство опустим; с
некоторыми изменениями оно копирует
доказательство теоремы 2. Приведем
следствие из этой теоремы.

Следствие. Для любых
некомпланарных векторов,,и любого вектораитакие, что

.
(2.11)

Замечание. Для векторов в
(трехмерном) пространстве понятия
линейной зависимости и независимости
имеют, как это следует из приведенных
выше теорем 1-3, простой геометрический
смысл.

Пусть имеются два линейно
зависимых вектора
и.
В таком случае один из них является
линейной комбинацией второго, то есть
просто отличается от него численным
множителем (например,).
Геометрически это означает, что оба
вектора находятся на общей прямой; они
могут иметь одинаковое или противоположное
направления (рис.2.8 хх ).

Если же два вектора расположены
под углом друг к другу (рис.2.9 хх ), то в
этом случае нельзя получить один из них
умножением другого на число – такие
векторы линейно независимы. Следовательно,
линейная независимость двух векторов
иозначает, что эти векторы не могут быть
уложены на одну прямую.

Выясним геометрический смысл
линейной зависимости и независимости
трех векторов.

Пусть векторы
,илинейно зависимы и пусть (для определенности)
векторявляется линейной комбинацией векторови,
то есть расположен в плоскости, содержащей
векторыи.
Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости. Справедливо и
обратное утверждение: если векторы,илежат в одной плоскости, то они линейно
зависимы.

Таким образом,
векторы
,илинейно независимы в том и только в том
случае, если они не лежат в одной
плоскости.

3⁰. Понятие
базиса. Одним из важнейших понятий
линейной и векторной алгебры является
понятие базиса. Введем определения.

Определение 1. Пара векторов
называется упорядоченной, если указано,
какой вектор этой пары считается первым,
а какой вторым.

Определение 2. Упорядоченная
пара,неколлинеарных векторов называется
базисом на плоскости, определяемой
заданными векторами.

Теорема 1. Всякий векторна плоскости может быть представлен
как линейная комбинация базисной системы
векторов,:

(2.12)

и это представление единственно.

Доказательство. Пусть
векторыиобразуют базис. Тогда любой векторможно представить в виде.

Для доказательства единственности
предположим, что имеется еще одно
разложение
.
Имеем тогда=0,
причем хотя бы одна из разностей отлична
от нуля. Последнее означает, что векторыилинейно зависимы, то есть коллинеарны;
это противоречит утверждению, что они
образуют базис.

Но тогда
– разложение единственно.

Определение 3. Тройка
векторов называется упорядоченной,
если указано, какой вектор ее считается
первым, какой вторым, а какой третьим.

Определение 4. Упорядоченная
тройка некомпланарных векторов называется
базисом в пространстве.

Здесь также справедлива теорема
разложения и единственности.

Теорема 2. Любой векторможет быть представлен как линейная
комбинация базисной системы векторов,,:

(2.13)

и это представление единственно
(опустим доказательство теоремы).

В разложениях (2.12) и (2.13) величины
называются координатами векторав заданном базисе (точнее, аффинными
координатами).

При фиксированном базисе
иможно писать.

Например, если задан базис
и дано, что,
то это означает, что имеет место
представление (разложение).

4⁰. Линейные
операции над векторами в координатной
форме. Введение базиса позволяет
линейные операции над векторами заменить
обычными линейными операциями над
числами – координатами этих векторов.

Пусть задан некоторый базис
.
Очевидно, задание координат вектора в
этом базисе полностью определяет сам
вектор. Имеют место следующие предложения:

а) два вектора
иравны тогда и только тогда, когда равны
их соответственные координаты:

;
(2.14)

б) при умножении вектора
на числоего координаты умножаются на это число:

;
(2.15)

в) при сложении векторов
складываются их соответственные
координаты:

.
(2.16)

Доказательства этих свойств
опустим; докажем лишь для примера
свойство б). Имеем

==.

Замечание. В пространстве
(на плоскости) можно выбрать бесконечно
много базисов.

Приведем пример перехода от
одного базиса к другому, установим
соотношения между координатами вектора
в различных базисах.

Пример 1. В базисной системезаданы три вектора:,и.
В базисе,,векторимеет разложение.
Найти координаты векторав базисе.

Решение. Имеем разложения:,,;
следовательно,=+2+=
=,
то естьв базисе.

Пример 2. Пусть в некотором
базисечетыре вектора заданы своими координатами:,,и.

Выяснить,
образуют ли векторы
базис; в случае положительного ответа
найти разложение векторав этом базисе.

Решение. 1) векторы образуют
базис, если они линейно независимы.
Составим линейную комбинацию векторов()
и выясним, при какихиона обращается в нуль:=0.
Имеем:

=++=

По определению
равенства векторов в координатной форме
получим следующую систему (линейных
однородных алгебраических) уравнений:
;;,
определитель которой=1,
то есть система имеет (лишь) тривиальное
решение.
Это означает линейную независимость
векторови, следовательно, они образуют базис.

2) разложим вектор
в этом базисе. Имеем:=или в координатной форме.

Переходя к
равенству векторов в координатной
форме, получим систему линейных
неоднородных алгебраических уравнений:
;;.
Решая ее (например, по правилу Крамера),
получим:,,и ().
Имеем разложение векторав базисе:=.

5⁰. Проекция
вектора на ось. Свойства проекций. Пусть
имеется некоторая осьl,
то есть прямая с выбранным на ней
направлением и пусть задан некоторый
вектор.Определим
понятие проекции векторана осьl.

Определение. Проекцией
векторана осьlназывается
произведение модуля этого вектора на
косинус угла между осьюlи вектором (рис.2.10):

.
(2.17)

Следствием этого определения
является утверждение о том, что равные
векторы имеют равные проекции (на одну
и ту же ось).

Отметим свойства
проекций.

1) проекция суммы векторов на
некоторую ось lравна
сумме проекций слагаемых векторов на
ту же ось:

.
(2.18)

2) проекция произведения скаляра
на вектор равна произведению этого
скаляра на проекцию вектора на ту же
ось:

=.
(2.19)

Следствие. Проекция линейной
комбинации векторов на ось равна линейной
комбинации их проекций:

.
(2.20)

Доказательства свойств опустим.

6⁰. Прямоугольная
декартова система координат в пространстве.Разложение вектора по ортам осей.
Пусть в качестве базиса выбраны три
взаимно перпендикулярных орта; для них
вводим специальные обозначения.
Поместив их начала в точкуO,
направим по ним (в соответствии с ортами)
координатные осиOx,OyиOz(ось с выбранным на ней положительным
направлением, началом отсчета и единицей
длины называется координатной осью).

Определение. Упорядоченная
система трех взаимно перпендикулярных
координатных осей с общим началом и
общей единицей длины называется
прямоугольной декартовой системой
координат в пространстве.

Ось Ox
называется осью абсцисс,Oy– осью ординат иOz
– осью аппликат.

Займемся
разложением произвольного вектора по
базису
.
Из теоремы (см.§2.2,п.3⁰, (2.13)) следует,
чтоможет быть и единственным образом
разложен по базису(здесь вместо обозначения координатупотребляют):

.
(2.21)

В (2.21)
суть (декартовы прямоугольные) координаты
вектора.
Смысл декартовых координат устанавливает
следующая теорема.

Теорема. Декартовы
прямоугольные координатывектораявляются проекциями этого вектора
соответственно на осиOx,OyиOz.

Доказательство.Поместим
векторв начало системы координат – точкуO.
Тогда его конец будет совпадать с
некоторой точкой.

Проведем через
точку
три плоскости, параллельные координатным
плоскостямOyz,OxzиOxy(рис.2.11 хх ). Получим
тогда:

.
(2.22)

В (2.22) векторы
и
называются составляющими векторапо осямOx,OyиOz.

Пусть через
иобозначены соответственно углы,
образованные векторомс ортами.
Тогда для составляющих получим следующие
формулы:

==,
==,
==(2.23)

Из (2.21), (2.22) (2.23)
находим:

==;==;==(2.23)

– координаты
вектораесть проекции этого вектора на координатные
осиOx,OyиOzсоответственно.

Замечание . Числаназываются направляющими косинусами
вектора.

Модуль вектора
(диагональ прямоугольного параллелепипеда)
вычисляется по формуле:

.
(2.24)

Из формул (2.23) и (2.24) следует,
что направляющие косинусы могут быть
вычислены по формулам:

=;=;=.
(2.25)

Возводя обе части каждого из
равенств в (2.25) и складывая почленно
левые и правые части полученных равенств,
придем к формуле:

(2.26)

– не любые три угла образуют
некоторое направление в пространстве,
но лишь те, косинусы которых связаны
соотношением (2.26).

7⁰. Радиус-вектор
и координаты точки.Определение
вектора по его началу и концу. Введем
определение.

Определение. Радиусом-вектором
(обозначается)
называется вектор, соединяющий начало
координатOс этой
точкой (рис.2.12 хх ):

.
(2.27)

Любой точке пространства
соответствует определенный радиус-вектор
(и обратно). Таким образом, точки
пространства представляются в векторной
алгебре их радиус-векторами.

Очевидно, координаты
точкиMявляются
проекциями ее радиус-векторана координатные оси:

(2.28’)

и, таким образом,

(2.28)

– радиус-вектор точки есть
вектор, проекции которого на оси координат
равны координатам этой точки. Отсюда
следует две записи:
и.

Получим формулы для вычисления
проекций вектора
по координатам его начала – точкеи конца – точке.

Проведем радиус-векторы
и вектор(рис.2.13). Получим, что

==(2.29)

– проекции вектора на координатные
орты равны разностям соответствующих
координат конца и начала вектора.

8⁰. Некоторые
задачи на декартовы координаты.

1) условия коллинеарности
векторов. Из теоремы (см.§2.1,п.2⁰,
формула (2.7)) следует, что для коллинеарности
векторовинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось
соотношение:=.
Из этого векторного равенства получаем
три в координатной форме равенства:,
откуда следует условие коллинеарности
векторов в координатной форме:

(2.30)

– для коллинеарности векторов
инеобходимо и достаточно, чтобы их
соответствующие координаты были
пропорциональны.

2) расстояние между
точками. Из представления (2.29)
следует, что расстояниемежду точкамииопределяется формулой

==.
(2.31)

3) деление отрезка в
данном отношении. Пусть даны точкиии отношение.
Нужно найти– координаты точкиM
(рис.2.14).

Имеем из условия коллинеарности
векторов:
,
откудаи

.
(2.32)

Из (2.32) получим в координатной
форме:

.
(2.32’)

Из формул (2.32’) можно получить
формулы для вычисления координат
середины отрезка
,
полагая:

.
(2.32”)

Замечание. Будем считать
отрезкииположительными или отрицательными в
зависимости от того, совпадает их
направление с направлением от началаотрезка к концу,
или не совпадает. Тогда по формулам
(2.32) – (2.32”) можно находить координат
точки, делящей отрезоквнешним образом, то есть так, что делящая
точкаMнаходится на
продолжении отрезка,
а не внутри его. При этом конечно,.

4) уравнение сферической
поверхности. Составим уравнение
сферической поверхности – геометрического
места точек,
равноудаленных на расстояниеот некоторого фиксированного центра –
точки.
Очевидно, что в данном случаеи с учетом формулы (2.31)

.
(2.33)

Уравнение (2.33) и есть уравнение
искомой сферической поверхности.

Источник

В данной статье мы расскажем:

что такое коллинеарные векторы;
какие существуют условия коллинеарности векторов;
какие существуют свойства коллинеарных векторов;
что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Коллинеарные векторы

Определение 1

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ, что a=λb;
условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a=(a1; a2), b=(b1; b2)⇒a∥b⇔a1b1=a2b2

условие 3. Векторы aи b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a∥b⇔a, b=0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Исследуем векторы а=(1; 3) и b=(2; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

12=-31

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a=(1; 2) и b=(-1; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

1-1=2m

Отсюда видно, что m=-2.

Ответ: m=-2.

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e1, e2, …, en является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a1e1+a2e2+…+anen=0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть ak≠0 k∈1, 2, …, n.

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

ak-1(ak-1a1)e1+(ak-1ak)ek+…+(ak-1an)en=0

Обозначим:

-ak-1am, где m∈1, 2,…, k-1, k+1, n

В таком случае:

β1e1+…+βk-1ek-1+βk+1ek+1+…+βnen=0

или ek=(-β1)e1+…+(-βk-1)ek-1+(-βk+1)ek+1+…+(-βn)en

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

ek=γ1e1+…+γk-1ek-1+γk+1ek+1+…+γnen

Переносим вектор ek в правую часть этого равенства:

0=γ1e1+…+γk-1ek-1-ek+γk+1ek+1+…+γnen

Поскольку коэффициент вектора ek равен -1≠0, у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e1, e2, …, en, а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
Для n-мерных векторов выполняется условие: n+1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Проверим векторы a=3, 4, 5, b=-3, 0, 5, c=4, 4, 4, d=3, 4, 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a=1, 1, 1, b=1, 2, 0, c=0, -1, 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x1a+x2b+x3c1=0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x1+x2=0x1+2×2-x3=0x1+x3=0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

110|012-1|0101|0~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

~110|01-12-1-1-0|0-01-10-11-0|0-0~110|001-1|00-11|0~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~1-01-10-(-1)|0-001-1|00+0-1+11+(-1)|0+0~010|101-1|0000|0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x1, x2, x3, при которых линейная комбинация a, b, c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a, b, c являются линейно зависимыми.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Линейные системы векторов – зависимые и независимые системы (определение и примеры)

Линейные системы векторов бывают как зависимые, так и независимые. Линейно зависимые системы могут быть тогда, когда из векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, а линейно независимая система – когда любая линейная комбинация не равняется нулевому вектору.

Помощь в написании работы

Линейно зависимая система векторов

Система векторов $l_{1}, l_{2},...l_{n}$ называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору:

$lambda_{1}overrightarrow{l}_{1} + lambda_{2}overrightarrow{l}_{2} + ... + lambda_{n}overrightarrow{l}_n$ =

(1)

при условии, если хотя бы один из коэффициентов $lambda_{k}(k = 1, 2, 3,..., n)$ не равен нулю.

Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из них можно преподнести в виде линейной комбинации других. Действительно, если, например, , тогда согласно формуле (1) получается:

$overrightarrow{l}_{1}$ = – $lambda_{2}over{lambda_1}$ x $overrightarrow{l_2}$ -… – $lambda{n}over{lambda_1}$ x $overrightarrow{l_n}$

Наоборот, если $overrightarrow{l_1}$ линейная комбинация векторов $overrightarrow{l_2}, overrightarrow{l_3}, overrightarrow{l_n}$ , то есть

$overrightarrow{l_1} = lambda_{2}overrightarrow{l_2} + ... + lambda_{n}overrightarrow {l_n}$ ,

тогда вся система $overrightarrow{l_1}, overrightarrow{l_2}, ..., overrightarrow{l_n}$ – линейно зависимая, так как:

x $overrightarrow{l_1}$ + $(-lambda_{2})overrightarrow{l_2} + ... + (- lambda_{n})overrightarrow{l}_{n} = 0$

где

Линейно независимая система векторов

Линейные системы векторов – это не только зависимые системы, но и независимые.

Так вот, линейно независимая система векторов $overrightarrow{l_1}, overrightarrow {l_2},...,overrightarrow{l_n}$ называется тогда, когда их линейная комбинация равняется нулевому вектору:

$lambda_{1}overrightarrow{l_1} + lambda_{2}overrightarrow {l_2} + ... + lambda{n}overrightarrow{l_n} = overrightarrow{0}$

только при условии равенства нулю всех коэффициентов: $lambda_{1} = lambda_{2} = ... = lambda_{n} = 0$ .

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Доказательства линейной зависимости и линейной независимости

Понятие линейной зависимости векторов позволяет характеризовать их взаимное положение в пространстве.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные.

Произвольные три вектора линейно зависимые тогда и только тогда, когда они компланарные.

Действительно, если предположить , что существует ещё одно решение:

$overrightarrow{a} = alpha_{1}overrightarrow{l_1} + beta_{1}overrightarrow{l_2} + gamma_{1}overrightarrow{l_3}$ .

Тогда, отнимая из (2) последнее равенство, получим:

= $(alpha - alpha_{1})$ x $overrightarrow{l_1}$ + $(beta - beta_{1})$ x $overrightarrow{l_2}$ + $(gamma - gamma_{1})$ x $overrightarrow{l_3}$ .

Как видим, $overrightarrow{l_1}, overrightarrow{l_2}, overrightarrow{l_3}$ – линейно независимы (они не компланарные), тогда решение возможно при условии:

$alpha - alpha_{1}$ = $beta - beta_{1}$ = $gamma - gamma_{1}$ = = $alpha_{1}$ , $beta = beta_{1}$ , $gamma = gamma_{1}$

Примеры задач

Задача

Проверить будут ли вектора = , , , линейно независимыми.

Решение

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Задача

Проверить будут ли вектора = , = , = линейно независимыми.

Решение

Найти значение коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору:

$x_{1}overline {a} + x_{2}overline {b} x_{3}c_{1} = overline {0}$

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений:

$left{ begin{aligned} x_{1} + x_{2} = 0\ x_{1} + 2x_{2} - x_{3} = 0\ x_{1} + x{3} = 0 end{aligned} right$

Решим эту систему используя метод Гаусса:

$begin{pmatrix} 1&1&0\ 1&2&-1\ 1&0&1 end{pmatrix} right$

Везде получаются нули. Теперь из второй строки вычтем первую; из третьей строки вычтем первую:

$begin{pmatrix} 1&1&0\ 1-1&2-1&-1-0\ 1-1&0-1&1-0 end{pmatrix} to begin{pmatrix} 1&1&0\ 0&1&-1\ 0&-1&1 end{pmatrix} right$

из первой строки вычтем вторую; к третьей строке добавим вторую:

$begin{pmatrix} 1-0&1-1&0-(-1)\ 0&1&-1\ 0+0&-1+1&1+(-1) end{pmatrix}to begin{pmatrix} 1&0&1&\ 0&1&-1\ 0&0&0& end{pmatrix} right$

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ таких, что линейная комбинация векторов , , равна нулевому вектору, например

+ + = .

А это значит, что вектора , , линейно зависимы.

Ответ: вектора , , линейно зависимы.

Источник

Коллинеарные векторы

Условия коллинеарности векторов

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Свойства линейно зависимых векторов

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Линейные системы векторов – зависимые и независимые системы (определение и примеры)

Линейно зависимая система векторов

Линейно независимая система векторов

Доказательства линейной зависимости и линейной независимости

Примеры задач

Вам также может понравиться

Как найти свою пароль на госуслугах

Как можно найти работу в стамбуле

The android sdk location is inside studio install location как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ