Как составить математическую модель нас

Как составить математическую модель нас

Модель

Когда мы передаем какую-то информацию, мы ее упрощаем. То есть передаем не всё, а только самое важное. Причём степень подробности, т.е. выделения важного, определяется целью.

Вам звонит друг и спрашивает: «Ты где?» Если вы знаете, что он заболел и сидит дома, то ответите: «В школе» (Рис. 1).

Рис. 1. Ответ на вопрос в зависимости от ситуации

А если сейчас перемена и вы знаете, что он пошёл в столовую? Вряд ли ответ «В школе» можно назвать полезным и содержательным. Скорее всего, вы ответите: «В 305 кабинете» (Рис. 2).

Рис. 2. Ответ на вопрос в зависимости от ситуации

На один и тот же вопрос можно давать ответы с разной степенью точности в зависимости от ситуации или цели. В жизни для описания того или иного события или задачи не нужно учитывать все возможные факторы. Более того, все учесть невозможно. То есть всегда необходимо упростить ситуацию, выделить главное, чтобы её описать. По-другому говорят «составить модель».

Математическая модель

Мы постоянно сталкиваемся с моделями. План зрительного зала – это модель настоящего зала. Она упрощает задачу – найти место в зале (Рис. 3).

Рис. 3. План зрительного зала – модель

Ту же самую функцию выполняют карта страны или мира (Рис. 4).

Рис. 4. Карта мира – тоже модель

Когда мы идем по улице и смотрим на номера домов, то знаем, что 19-й дом будет после 15-го и 17-го. Мы это понимаем, потому что в голове у нас есть модель – натуральные числа и порядок, по которому они расположены (Рис. 5).

Рис. 5. Модель нумерации номеров домов

Когда мы хотим решить какую-то задачу, найти какую-нибудь величину, мы тоже упрощаем. Реальные объекты мы обозначаем числами или буквами (переменными). В таком случае говорят, что мы строим математическую модель.

Построение математической модели

Задача 1

В одной вазе 10 яблок, во второй – 12 (Рис. 6). Сколько всего яблок в двух вазах?

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Если вы ответили , значит, вы уже успели построить математическую модель и с её помощью решить задачу.

Ответ: 22.

Без модели эта задача решается так. В одной вазе 10 яблок, во второй – 12. Ссыпаем их в одну вазу и руками пересчитываем (Рис. 7).

Рис. 7. Решение задачи без построения математической модели

Но мы поступаем не так. Все яблоки разные (разного цвета, размера), но нас интересует только их количество. Поэтому яблоки в обеих вазах мы заменяем числами, их количеством: 10 и 12.

Теперь нам не надо складывать яблоки вместе, а остается сложить только числа 10 и 12 и получить 22.

Это и есть математическая модель, математическое упрощение реальности. Действия мы произвели с моделью, но выводы сделали относительно реальной ситуации.

Кроме того, что модель упростила решение, мы с помощью нее решили сразу много реальных задач. Например, в одном дворе 10 машин, во втором – 12 (Рис. 8). Сколько всего машин?

Рис. 8. С помощью одной математической модели решаются многие реальные задачи

В одной комнате 10 человек, в другой – 12. Сколько всего человек? Везде один и тот же ответ: .

Алгоритм решения задач при помощи математической модели

Обратите внимание: если записать количества словами – «десять» и «двенадцать», то сложить не получится. А если записать в правильном виде (т.е. в десятичной записи): , то для решения есть своя техника – сложение в столбик.

То есть цель составления математической модели – переписать задачу с русского языка на математический в таком виде, для которого есть своя техника выполнения работ.

На математике мы будем изучать много техник решения для различных математических конструкций. Зачем это нужно? Овладев техникой решения математической конструкции, мы можем решить любую задачу, которая сводится к этой конструкции.

Этот же приём мы используем в жизни: вместо того чтобы таскать кирпичи руками на 3-й, 4-й, 5-й этажи, мы придумали механизм – лебедку, которая облегчает нашу задачу и позволяет поднять кирпичи на любой этаж (Рис. 9).

Рис. 9. Лебедка позволяет не таскать кирпичи

Иногда может казаться, что изучаемая техника решения задач (решение уравнений, неравенств и т.д.) сама по себе бессмысленна. Если вас будет мучить эта мысль, попробуйте разобрать часы и посмотреть на детали, из которых они состоят. Каждая из них по отдельности кажется бесполезной для определения времени. А вот собранные вместе эти детали позволяют решить важную задачу – узнать время (Рис. 10).

Рис. 10. Собранные вместе детали позволяют определить время

Но этот урок мы посвятим не технике решения, а более важному этапу решения задач – составлению математической модели (т.е. переписыванию условия с русского языка на математический).

Чтобы решить какую-то задачу, обычно поступают так:

  1. Переходят от реальной ситуации к модели.
  2. Решают модель по некоторому алгоритму.
  3. Возвращаются от модели к реальной ситуации.

Уравнения в математических моделях

Очень часто математическая модель содержит уравнение. Уравнение – это аналог ситуации, когда объект неизвестен, но кое-что мы про него знаем.

Задача 2. В двух вазах 17 яблок, причем во второй на 3 больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой вазе? (Рис. 11)

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Для решения этой задачи мы составляем математическую модель. От яблок мы переходим к числам. Яблоки в каждой вазе мы заменяем числом (т.е. количеством).

Т.к. нам неизвестно количество яблок в одной вазе, то мы вводим переменную . В одной вазе  яблок, во второй – на 3 больше, т.е. .

Таким образом,

  1.  – количество яблок в первой вазе.
  2.  – количество яблок во второй вазе.

Тогда всего яблок: .

Вот мы и построили математическую модель. Мы не думаем больше о яблоках, а только о том, как решить это уравнение:

Корень уравнения , тогда .

Мы решили модель. Теперь возвращаемся к реальной ситуации и получаем ответ: 7 – это количество яблок в первой вазе и 10 – во второй.

Ответ: .

Для решения этой же задачи мы могли составить другую модель.

Пусть:

  1.  – количество яблок в первой вазе.
  2.  – количество яблок во второй вазе.

Тогда у нас есть два условия: в двух вазах 17 яблок:  и во второй вазе яблок на 3 больше, чем в первой: . Причём эти условия должны выполняться одновременно.

В таких случаях говорят о системе уравнений и записывают следующим образом:

Фигурная скобка означает, что оба условия должны выполняться одновременно.

Обратите внимание, что для любой модели ответ в задаче получится один и тот же (при условии, что модель составлена и решена правильно).

В ответвлении вы можете подробнее узнать о системах уравнений.

Системы уравнений

Рассмотрим такой пример. Если сыщик знает про одного преступника, что тот высокий, а про второго, что тот блондин, то эти два условия не объединены в систему, они относятся к разным неизвестным – к разным преступникам.

Рис. 1. Пример условий, которые не объединены в систему

Если это информация про одного и того же преступника, то это уже система. Оба условия выполняются одновременно. Одну информацию можно использовать для уточнения другой. Преступник – высокий блондин.

Рис. 2. Пример условий, которые объединены в систему

Рассмотрим ещё один пример. Пусть нам известно, что дом находится на ул. Гоголя. Вариантов, где точно расположен дом, много – целая улица. Дом находится на проспекте Мира. То же самое – вариантов много.

Но если эта информация относится к одному и тому же дому, то сразу понятно, что дом находится на перекрестке (Рис. 3). Два условия объединены в систему.

Рис. 3. Ещё один пример условий, которые объединены в систему

Итак, система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно.

Теперь рассмотрим систему уравнений в математике.

Задача 1. Два человека вскопали огород площадью . Сколько вскопал каждый, если они вскопали одинаковую площадь?

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Запишем условие уравнением: , где  – площадь, которую вскопал первый человек,  – площадь, которую вскопал второй человек.

Решение такого уравнения – пара чисел. Их бесконечно много. Например, один вскопал , другой – . Или один вскопал все , другой – ничего (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Запишем условие, что два человека вскопали равные площади (Рис. 6), уравнением: .

Здесь тоже бесконечно много решений.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

А если речь идет про один и тот же огород, про одних и тех же людей, то эти два условия выполняются одновременно. Двое вскопали огород , причем поровну.

Уравнения нужно объединить в систему. Договорились обозначать это фигурной скобкой:

Здесь уже только одно решение – каждый вскопал по : .

Эта пара чисел является решением каждого из уравнений системы.

Ответ: .

Пример составления математической модели

Задача 3

Смешали два водно-солевых раствора с концентрацией  и получили 400 граммов раствора с концентрацией . Сколько взяли граммов каждого раствора?

Решение

Запишем условие в другом виде.

  1. Смешали два раствора и получили 400 граммов раствора:
  2. В первом растворе содержится соли:
  3.  Во втором растворе содержится соли:

В смеси с одной стороны,

а с другой,

Получаем еще одно условие: .

То есть

Для того чтобы не переписывать так длинно, введем удобные обозначения , а ещё лучше ввести – :

Тогда получим систему уравнений:

Что мы сделали? Мы записали условие задачи на математическом языке. В таком виде легко будет найти ответ, решив систему уравнений.

Почему мы можем работать с неизвестными переменными

Обратите внимание, что во всех задачах мы использовали один и тот же приём – обозначали неизвестную за  и переписывали условие на математическом языке, используя это обозначение. То есть мы ещё не знаем, чему равен , но уже его используем.

Этот метод мы применяем для решения любой задачи: не знаем, что ищем, но делаем некоторые допущения, без которых невозможно было бы даже приступить к решению.

Например, детектив, прежде чем искать преступника, делает предположение – это человек. Он ещё не знает – мужчина или женщина, какой рост, вес, цвет кожи и т.д. (Рис. 1).

Рис. 1. Прежде чем искать преступника, необходимо сделать предположение

Как иначе искать отпечатки пальцев на ручке, если не предполагать, что это человек? Сделав такое предположение, детектив позволяет себе начать думать о решении и использовать «технику»: по размерам отпечатков искать размер обуви, по пеплу искать марку сигарет и т.д. (Рис. 2).

Рис. 2. По размеру отпечатка можно определить размер обуви

В алгебре своя техника, которую мы будем изучать на уроках, – решение уравнений, систем и т.д. Но если использовать только числа и не вводить переменные, то не получится «забежать вперёд», т.е. составить уравнение или систему, которая позволит решить задачу.

Математические модели для задач, которые сводятся к линейным уравнениям

Для решения задач нам нужно сделать следующее.

  1. Составить математическую модель (т.е. переписать условие на математическом языке).
  2. Решить полученное уравнение или систему. 

Как решать полученную систему уравнений – это техника, о которой мы будем говорить позже, поскольку это отдельная задача.

Научившись решать какой-то тип уравнений или их систем, мы научимся решать целый класс задач. Например, мы умеем решать линейные уравнения:  где  – числа,  – переменная. Поэтому мы умеем решать все задачи, условие которых можно переписать в таком виде.

Рассмотрим три такие задачи.

Задача 1

Автомобиль 3 часа ехал с некоторой постоянной скоростью, затем увеличил скорость на 20 км/ч и проехал так 5 часов.

С какой скоростью автомобиль ехал первые3 часа, если весь путь составил 750 км?

Задача 2

Килограмм апельсинов стоит на 10 рублей больше, чем килограмм яблок. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм апельсинов, если за 2 кг яблок и 3 кг апельсинов заплатили 500 руб?

Задача 3

Второй рабочий делает в час на 5 деталей меньше первого. Если он проработает 7 часов, а потом его сменит первый и проработает 3 часа, то вместе они сделают 235 деталей.

Сколько деталей делает каждый рабочий в час?

Из определения скорости вы можем выразить пройденный путь:  где  – путь,  – скорость,  – время.

Пусть  – скорость за 3 часа, тогда:

Пусть  – цена за  яблок, тогда:

Пусть  – количество деталей в час у первого рабочего, тогда:

У нас были совершенно разные задачи, но, составив математическую модель, мы увидели, что все эти задачи сводятся примерно к одинаковым уравнениям. Поэтому мы учимся решать не уравнения к каждой конкретной задаче, а сразу некоторый тип уравнений.

Например, в задачах, рассмотренных выше, мы везде получили линейные уравнения:  где  – числа,  – переменная.

Такие уравнения мы уже умеем решать, значит, умеем решать и все такие задачи.

Модель на уроках математики и физики

Обратите внимание: в учебниках по математике вам сразу даются задачи в математической модели, в них выделено всё важное.

Например: моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени.

Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч.

Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

Нам не даны размеры лодки, мощность мотора, ширина реки, наличие ветра и его скорость и т.д.

Подразумевается, что для решения достаточно данных в условии значений: длина пути, время, скорости движения лодки и течения реки (Рис. 1). То есть задача уже упрощена.

Рис. 1. Для решения задачи достаточно данных в условии значений

Нам остаётся текстовую модель реальной ситуации переписать на математическом языке, составить математическую модель и решить её.

На уроках по физике вам будут попадаться задачи, в которых саму модель ещё надо будет составить (например, пренебречь трением между каким-то телами или массой лёгкого объекта). И только после того, как будет составлена модель, можно будет составлять математическую модель и её решать. Собственно, физическая часть решения задачи – это как раз составление модели. И сложность заключается в том, что мы должны выделить самое важное и отбросить неважное до того, как решим задачу.

Дальше остается техника, для которой как раз и нужна математика. То есть математики создают удобные инструменты и отрабатывают технику работы с этими инструментами, а физики выбирают, какие инструменты понадобятся для решения той или иной физической задачи, а какие – нет (Рис. 2).

Рис. 2. Математики создают удобные инструменты для решения задач, а физики выбирают, какие из инструментов понадобятся

Математические модели для текстовых задач

В завершении рассмотрим задачу, которая не застанет вас врасплох, если вы умеете составлять и решать математические модели.

Задача 4. Кирпич весит килограмм и еще полкирпича. Сколько весит кирпич?

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 4

Эта задача нацелена на то, чтобы вы ответили сходу и дали неправильный ответ. Конечно же, ответ «полтора килограмма» неверный. А потом, когда рассказчик вам даст правильный ответ, вы должны восхититься этим фокусом. На самом деле восхищаться здесь нечем. Математическая модель дает нам очень быстрое решение.

Решение (с использованием математической модели)

Нам неизвестна масса кирпича, поэтому обозначим ее. Пусть  – масса кирпича. Тогда масса половины кирпича .

Тогда условие задачи перепишем в следующем виде: .

Это и есть наша математическая модель. Так как она сохраняет только важное для задачи, то здесь лишние слова нас не вводят в заблуждение, и мы легко решаем эту смоделированную задачу, т.е. уравнение:

Итак, – это решение нашей модели – уравнения. Таким образом, масса кирпича равна  кг.

Ответ: 2.

Можно решить эту задачу и без математического моделирования.

Кирпич весит килограмм и еще полкирпича. Кладем это всё на весы. Кирпич мы можем расколоть на две половины. Мы можем с обеих сторон убрать полкирпича (Рис. 13).

Рис. 13. Раскололи кирпич пополам и убрали с обеих чаш по половине

То есть мы уже поняли, что полкирпича весит килограмм. Значит, весь кирпич весит 2 кг.

Но здесь на последнем шаге мы снова применили математическую модель, а собирались без нее.

Доведем дело до конца по-честному. Раз полкирпича весит столько же, сколько гиря, то добавим слева полкирпича, а справа гирю. Склеим снова кирпич. Таким образом, масса кирпича 2 кг (Рис. 14).

Рис. 14. Добавили слева полкирпича, а справа – гирю и склеили кирпич

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели два этапа решения текстовых задач – составление математической модели (переписывание условия задачи на математическом языке) и техника (расчёт полученной модели). И подробно остановились на первом этапе, потренировались составлять математические модели к разным задачам.

Список рекомендованной литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
  2. Интернет-портал school-assistant.ru (Источник)
  3. Интернет-портал edufuture.biz (Источник)

Домашнее задание

  1. В одной кассе кинотеатра продали на  билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано  билета?
  2. Двое рабочих изготовили  деталей, причем первый изготовил на  деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
  3. На путь по течению реки пароход затратил  ч, а на обратный путь –  ч. Скорость течения  км/ч. Какова скорость парохода в стоячей воде?
Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Математическая модель описывает поведение какой-либо системы математическим языком. Математические модели используются не только в естественных науках и инженерном деле, но и в биологии, экономике и социологии. Математические модели могут быть самыми разными и иметь различную степень сложности.[1]
 Прочтите данную статью, чтобы узнать, как создавать математические модели.

  1. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 1

    1

    Определите, что именно необходимо узнать. Какова цель создания модели? Составьте список данных, которые необходимо определить с помощью математической модели. Прежде чем приступить к построению модели, следует поставить перед собой конкретные цели, иначе вы рискуете создать модель, которая не будет соответствовать стоящей перед вами задаче.[2]

    • Хотите ли вы что-либо предсказать? Или выяснить, как управлять чем-либо? А может, вы собираетесь достичь чего-нибудь другого?[3]
    • Предположим, вы хотите узнать, сколько места в вашей кладовке, чтобы определить, какое количество коробок поместится в нее. Для этого можно создать подходящую модель.

  2. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 2

    2

    Определите, что вам известно. Какими исходными данными вы располагаете? Выпишите все, что вам известно. При составлении списка посмотрите, какие данные имеют первоочередное значение, а какие не столь важны.[4]

    • Следует также записать любую информацию, которую можно вынести из исходных данных.
    • Учтите, что для получения необходимых данных вам, возможно, придется провести некоторые измерения.
    • Чтобы найти объем вашей кладовой комнаты, необходимо измерить ее высоту, ширину и длину.

  3. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 3

    3

    Определите физические принципы, которые лежат в основе создаваемой вами модели. Следует ли учитывать такие факторы, как сила тяжести, объем, время и так далее? Запишите все факторы, которые придется принять во внимание при построении модели.[5]

    • Чтобы определить, сколько места в кладовке, необходимо найти ее объем.
    • Следует также помнить о том, что определенная часть объема останется незанятой, так как хранящиеся предметы могут иметь неправильную форму, и будет непросто использовать каждый сантиметр кладовки.[6]

  4. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 4

    4

    Определите уравнения, которые понадобятся вам для решения поставленной задачи. Какие уравнения и формулы потребуются для того, чтобы найти ответ? Каким образом их следует использовать? Необходимо ясно представлять себе, как именно вы будете подставлять исходные данные в имеющиеся формулы.

    • Чтобы найти объем кладовой, следует умножить ее высоту на ширину и длину: V= h x w x l[7]

  5. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 5

    5

    Посмотрите, что уже было сделано другими. Нет никакой надобности изобретать велосипед в том случае, если кто-то уже создал модель, которая подходит вам. Загляните в учебник или посоветуйтесь со своим преподавателем. При этом следует убедиться в том, что готовую модель можно использовать в вашем случае.

    • Чтобы узнать, как найти объем какого-либо тела, загляните в учебник или проконсультируйтесь с преподавателем.

  6. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 6

    6

    Изобразите модель в виде схемы. В случае простой математической модели можно обойтись и без схемы. Однако если вы рассматриваете более сложные вопросы, схема поможет вам разобраться, как именно работает ваша модель. Попробуйте схематически изобразить создаваемую модель.[8]

    • Обязательно включите в схему исходные данные — это поможет вам при дальнейшей разработке модели.

    Реклама

  1. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 7

    1

    Создайте модель. После стадии предварительной подготовки и планирования следует приступить к построению самой модели. Используйте при этом созданную ранее схему, исходные данные и другую полезную информацию. Почаще проверяйте свои действия, чтобы не допустить ошибку.[9]

    • Убедитесь в том, что ваша модель действительно описывает наблюдаемые соотношения между данными величинами и процессами.
    • Для создания сложной модели может понадобиться компьютерная программа.

  2. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 8

    2

    Проверьте свою модель. Прежде чем использовать модель, необходимо проверить ее правильность. Подставьте численные данные и посмотрите, получатся ли правильные результаты. Ожидали ли вы получить именно эти результаты? Имеют ли они смысл? Воспроизводимы ли они?[10]

    • Подставьте численные значения в формулу V = h x w x l и определите, имеет ли смысл полученный результат. Повторите свои действия, чтобы убедиться, что получаются воспроизводимые результаты.

  3. Изображение с названием Make a Mathematical Model Step 9

    3

    Подумайте, как можно улучшить модель. Не исключено, что вам удастся улучшить свою модель, и она станет более пригодной для дальнейшего использования. Существуют ли дополнительные факторы, которые следует учесть? Обладает ли модель ограничениями, которых можно избежать? Прежде чем использовать модель в дальнейшем, подумайте над тем, как ее можно улучшить.[11]

    • Например, если в кладовой необходимо оставить проход шириной 1 метр, можно учесть это в уравнении. Просто вычтите ширину прохода из общей ширины помещения. В результате уравнение приобретет следующий вид: V = h x (w-1) x l[12]
    • После того, как вы определите способы улучшения своей модели, внесите в нее соответствующие изменения и вновь проверьте ее.

    Реклама

Советы

  • Если вам что-либо неясно, посоветуйтесь со своим преподавателем математики.
  • Прежде чем приступить к созданию модели, несколько раз внимательно перечитайте условие задачи.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 20 471 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

3.1 Математическая модель задачи о назначениях

Имеется nисполнителей (машин, механизмов, людей
и т. п.),
которые могут выполнятьnработ.
Известна полезность (производительность,
прибыль) или затратыот выполнения-ым
()
исполнителем-ой
()
работы.

Требуется так
назначить исполнителей на работы, чтобы
добиться максимальной полезности или
минимальных затрат при условии, что
каждый исполнитель может быть назначен
только на одну работу, и за каждой работой
должен быть закреплен только один
исполнитель.

Для наглядности,
условие задачи о назначениях можно
представить таблицей (таблица 3.1).

Таблица 3.1

Исполнители

Работы

Число
исполнителей

…

…

1

…

1

…

…

…

…

…

…

…

1

Число
работ

1

1

…

1

Составим
математическую модель задачи о
назначениях.

Введем переменные
– факт назначения-го
исполнителя на-ую
работу (,
если назначается и,
если не назначается).

Матрицу
будем называтьматрицей назначений.

Цель задачи о
назначениях – добиться максимальной
полезности или минимальных затрат при
назначении исполнителей на работы,
следовательно, целевая функция будет
иметь вид:

(3.1)

Составим систему
ограничений (3.2) в случае, когда число
исполнителей равно количеству работ.


(3.2)

Задача о назначениях
– частный случай транспортной задачи
при
и,.

Закрытая и открытая модели задачи назначениях

Модель задачи о
назначениях называют закрытой
(сбалансированной), если число
исполнителей равно числу работ. В
противном случае модель задачи называютоткрытой (несбалансированной).

Для составления
математической модели и для решения
задачи о назначениях с открытой моделью
необходимо преобразовать ее в закрытую
модель.

Так, если меньше
число работ, то необходимо ввести
фиктивную работу
,
при этом в матрице задачи добавляется
столбец, причем.
Если переменная,
то исполнительне будет выполнять работ.

Аналогично, если
меньше число исполнителей, то необходимо
ввести фиктивного исполнителя
,
при этом в матрице задачи добавляется
строка, причем.
Если переменная,
то работане будет выполнена.

Целевая функция
(3.1) и система ограничений (3.2) являются
математической моделью сбалансированной
задачи о назначениях.

3.2 Решение задачи о назначениях

Элементы матрицы
называются независимыми, если
никакие два из них не лежат на одной
линии (строке, столбце).

Таким образом
задача сводится к определению nнезависимых элементов матрицы полезности
(затрат), так чтобы сумма их была
максимальной (минимальной). Места
расположения этих элементов определяют
оптимальное решение.

Учитывая специфику
задачи (в решении только nпеременных имеют значение 1), разработаны
специальные алгоритмы ее решения. Одним
из них, наиболее эффективным,является
венгерский метод.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

На прошлом уроке нами была установлена взаимозависимость между математическим языком и математической моделью. Теоретический базис заложен, так что теперь самое время переходить к практике. Далее мы подробнее рассмотрим составление математической модели и простые задачи, решаемые с помощью математической модели.

На первых порах тема может даваться с трудом. Но есть хорошая новость. Составление математической модели — это во многом навык.

Чем больше типовых задач вы нарешаете, тем проще вам будет ориентироваться в моделировании.

Этапы составления математической модели

Ранее мы описывали, что этапы составления математической модели включают в себя:

1. Наблюдение 2. Моделирование 3. Предсказание
Анализ задачи; на основе анализа подготовка частей будущей математической модели. Логическое объединение частей и составление математической модели. Использование составленной математической модели для заключений по вопросу задачи.

С практической точки зрения наибольшую сложность представляют два первых этапа — наблюдение и моделирование. Чтобы их успешно завершать, необходимо умение правильно переводить текстовые утверждения на язык математики.

Что нужно хорошо понимать. На этапе наблюдения обычно переводятся части будущего алгебраического выражения. В процессе этапа моделирования эти части объединяются.

«Типовая задача»?

Еще раз подчеркнем, что задачи для седьмого класса, решаемые с помощью математической модели, являются типовыми. Что это означает? Они отличаются одинаковостью алгоритма решения.

Логика вычислений в них зациклена. А составление математической модели от задачи к задаче также следует одной схеме.

Например, пусть дана части задачи:

«Стоимость яблочного сока $x$ рублей, а томатного — $y$ рублей. Известно, что $5$ стаканов яблочного сока стоят столько же, сколько $6$ стаканов томатного…»

То, как составлена задача, подводит нас к двум концепциям — приравниванию и умножению. Опорным для решения будет следующее алгебраическое выражение:

$$5x=6y$$

Раз задача типовая, то выражения наподобие «$ax=by$» непременно встретятся еще раз, просто уже, так скажем, не в контексте сока. Вот почему мы выше говорили про то, что составление математической модели — это навык. Оно же умение отбросить текст и увидеть алгебру за ним.   

Задачи на наблюдение и моделирование

Рассмотрим далее некоторые задачи, решаемые с помощью математической модели, в которых опущен этап наблюдения — где нет вывода ответа. Это поможет освоиться в основных типах учебных задач и научит выражать важные части текста алгебраически.

Операции сложения и вычитания

Задача. Первый рабочий выполняет порученное задание за $x$ часов, второй то же задание — за $y$ часов, при этом первый работает на три часа больше, чем второй.

Решение

Между производительностью двух рабочих можно установить отношение равенства, но с учетом условия «на три часа больше». Для начала составим каркасное тождество, которое дополним далее:

$$x=y$$

«Полноправно» приравнять данные переменные мы можем, только дополнив, что первый рабочий ($x$) работает на три часа больше. Интуитивно так и хочется переписать тождество следующим образом:

$$x+3=y$$

Однако это неверное составление математической модели для данной задачи. Мало того, что по условию очевидно неравенство $x>y$, так еще и тождество с частью «$x+3$» увеличивает разрыв между значениями $x$ и $y$ на лишние три раза.

Чтобы производительность рабочих все-таки приравнять, у первого, наоборот, нужно «отобрать» три часа и «отдать» их тому, кто работает быстрее:

$$x=y+3$$

Операции умножения и деления

Задача. На двух стройках трудится одинаковое количество рабочих. На первой стройке работает 5 бригад по $x$ человек в каждой, на второй стройке — 3 бригады по $y$ человек в каждой.

РЕШЕНИЕ

Первая стройка. В одной бригаде трудится $x$ человек. По условию таких бригад пять. Откуда получаем количество человек всего, трудящихся на первой стройке: $5x$.

Вторая стройка. Здесь же в одной бригаде трудится $y$ человек. По условию имеем три бригады. Следовательно количество работников, трудящихся на второй стройке: $3y$.

Также нам известно, что на двух стройках работает одно и то же количество рабочих. Остается данные части приравнять, чтобы получить тождество:

$$5x=3y$$

Вот, буквально мгновение — и мы вновь увидели составление математической модели коэффициентного типа «$ax=bx$».

Задачи, решаемые с помощью математической модели, со смешанной арифметикой

Задача. У Кати $x$ марок, а у Димы $y$ марок. Если Катя отдаст Диме 5 марок, то у Димы станет марок вдвое больше, чем останется у Кати.

РЕШЕНИЕ

Внимание на следующие части текста задачи:

«Отдаст пять марок…» «Вдвое больше»
Сложение/вычитание Умножение/деление

В зависимости от того, какая часть тождества отражает данные положения, операция может быть как прямой («Катя отдаст, $x-5$»), так и обратной («Дима возьмет, $y+5$).

Разделим составление математической модели задачи на два шага.

1. Катя отдает Диме 5 марок и у нее остается $x-5$ марок. Теперь у Димы $y+5$ марок.

2. В результате у Димы марок в два раза больше.

Однако нам нужно количество марок ребят приравнять. Раз у Димы их по условию задачи больше, то для равенства с количеством марок Кати у него их должно быть меньше. Значит, мы можем либо умножить количество марок Кати на 2, либо разделить количество марок Димы на 2:

$$2(x-5)=y+5$$ $$x-5=frac{y+5}{2}$$
Утверждение «у Димы станет марок вдвое больше, чем останется у Кати».

Составление математической модели — полные задачи

Самое время усложнить содержание задач и ввести все этапы составления математической модели, включая этап планирования. Далее мы решим ряд показательных задач, где требуется дать ответ.

Задача. В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?

РЕШЕНИЕ

Заметим, что в данном случае составление математической модели задачи будет вестись в двух направлениях. С одной стороны, устанавливается алгебраическое равенство между количеством мест в залах. С другой стороны, нам известна их сумма. Составим эти выражения.  

Приравнивание. Пусть количество мест в большом зале равняется $x$. Вместо того, чтобы вводить лишнюю переменную $y$ для количества мест в малом зале, выразим места малого зала через уже введенную переменную $x$ — как $frac{x}{3}$. Это краткая модель записи:

$$y=frac{x}{3}$$

Сложение. Всего в залах 460 мест. Количество мест в большом зале $x$, в малом — $frac{x}{3}$, одна треть от мест в большом. Вместе:

$$x+frac{x}{3}=460$$

Задаче требуется ответ; этапы составления математической модели должны завершаться в полном объеме. С этой целью мы и взяли за «главную» переменную количество мест в большом зале. Остается решить уравнение выше.

$$frac{4}{3}x=460\x=345$$

Ответ: 345.

Составление математической модели — задачи на движение

Задача. От пристани отошел теплоход со скоростью 22 км/ч, а от другой пристани навстречу ему через три часа отошел теплоход со скоростью 26 км/ч. Расстояние между пристанями составляет 306 км. Сколько времени в пути был каждый из теплоходов до встречи?

Для решения нам понадобится формула пути:

$$S=vt$$

Этап наблюдения

Время в пути — искомый параметр, введем его в качестве переменной $t$.

Пусть $t_1$ — это количество времени, затраченное первым теплоходом на преодоление всего своего пути. Сколько при этом затратил времени второй теплоход? На три часа меньше, ведь по условию от пристани он отошел в сравнении с первым с задержкой:

$$t_1-3$$

Этап моделирования

Каркасная модель выглядит так:

$$v_{1}t_1+ v_{2}t_2=S,$$

где $S$ — расстояние между пристанями, $v_1$ — скорость первого теплохода, $v_2$ — скорость второго, $t_1$ и $t_2$ — соответствующее время в пути.  

Откуда взялась модель? Зарисуем перемещение теплоходов, что бывает иногда очень полезно при решении задач на движение. Теплоходы двигаются навстречу друг другу. Значит, в сумме они проходят расстояние между пристанями.

Доработаем модель и добавим в нее имеющиеся у нас данные:

$$22t_1+26(t_{1}-3)=306$$

Этап предсказания

Остается решить уравнение, найти значение $t_1$ и вычесть из него 3, чтобы получить $t_2$.

$$22t_1+26t_1=306+78\t_1=8$$

Первый теплоход затратил 8 часов. Второй, соответственно, 5 часов.

Ответ: 8 и 5.

Решите сами!

Показать решение

Спрятать решение

🔵 РЕШЕНИЕ

Не очевидно, но за переменную $x$ удобно взять количество учащихся в старших классах. Почему — увидите далее.

Выразим количество учащихся в начальных и средних классах также через $x$. Для этого проанализируем утверждения, заданные условием задачи.   

Утверждение первое: «В начальных классах учащихся в три раза больше, чем в старших». Раз их в три раза больше, то количество учеников в начальных классах через $x$ — это $3x$.

Утверждение второе: «В начальных классах учащихся в два раза меньше, чем в средних». Количество учащихся в начальных классах мы выразили ранее как $3x$. Сколько тогда учеников в средних классах? В два раза больше, то есть $2cdot{3x}=6x$.

Остается составить модель:

$$x+3x+6x=900$$

Решаем и находим количество учеников в старших классах ($x$):

$$10x=900\x=90$$

Откуда получаем, что в начальных классах учится 270 учеников ($3x$), а в средних классах — 540 учеников ($6x$).

Ответ: 270, 540, 90.

Источник

Добавить комментарий