Как составить матричное уравнение для схемы

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам
Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально
рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее
топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование
матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений
электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно
существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где – источник тока. В соответствии
с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы
можно записать:

.

(1)

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток
как сумму токов k-й
ветви и источника тока, т.е.:

.

(2)

Подставив (2) в (1), получим:

.

(3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка
цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы
в виде матричного равенства

или

,

(4)

где Z
– диагональная квадратная (размерностью n x n)
матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не
учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В 
и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

то

,

(6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров
В, записываемой для
главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи,
которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа;
их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е.
числу ветвей связи c=n–m+1.
Выражение (6) запишем следующим образом:

.

(7)

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены
как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей
связи. Если элементы j–го столбца матрицы В
умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений
и будет выражением тока j–й
ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано
в виде матричного соотношения

,

(8)

где – столбцовая матрица контурных
токов; – транспонированная контурная
матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,

(10)

.

(11)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных
токов:

,

(12)

где – матрица контурных сопротивлений;
– матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

,

(13)

то есть получили известный из
метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4)
и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая
будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит
только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей
связи, получим:

B

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z

Матрица контурных сопротивлений

Z_k=BZB^T

.

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

.

Матрица контурных токов

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем,
которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам
составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было
указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

где – диагональная матрица проводимостей
ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны
нулю.

Матрицы Z
и Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа,
согласно которому

,

(15)

получим:

..

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения
на зажимах ветвей:

.

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

.

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если
обозначить

(20)

,

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых
потенциалов:

(22)

где – матрица узловых проводимостей;
– матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3)
и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен
на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые
можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления
уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
   С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
   цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
   специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В чем заключаются преимущества использования матричных методов
   расчета цепей?
2. Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
3. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
4. Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Ответ:



5. Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано
   ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Ответ:

Содержание:

1. Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией
2. Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками

Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией

Как было показано ранее (см. лекцию N 6), для схем, не содержащих индуктивно связанные элементы, матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей являются диагональными, т.е. все их элементы, за исключением стоящих на главной диагонали, равны нулю.

В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей имеет вид

Здесь элементы главной диагонали , – комплексные сопротивления ветвей схемы; элементы вне главной диагонали – комплексные сопротивления индуктивной связи i- й и k – й ветвей (знак “+” ставится при одинаковой ориентации ветвей относительно одноименных зажимов, в противном случае ставится знак “-”). Матрица проводимостей ветвей в цепях со взаимной индукцией определяется согласно

Зная матрицы и Y, можно составить контурные уравнения, а также узловые, т.е. в матричной форме метод узловых потенциалов распространяется на анализ цепей с индуктивно связанными элементами.

Следует отметить, что обычно не все ветви схемы индуктивно связаны между собой. В этом случае с помощью соответствующей нумерации ветвей графа матрице Z целесообразно придать квазидиагональную форму

что облегчает ее обращение, поскольку

где подматрицы могут быть квадратными диагональными или недиагональными.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В качестве примера составим матрицы Z и Y для схемы на рис. 1,а, граф которой приведен на рис. 1,б.

Для принятой нумерации ветвей матрица сопротивлений ветвей

В этой матрице можно выделить три подматрицы, обращая которые, получим

Таким образом, матрица проводимостей ветвей

Отметим, что при принятой ориентации ветвей

В качестве примера матричного расчета цепей с индуктивными связями запишем контурные уравнения в матричной форме для цепи рис. 2,а.

Решение

1. Для заданной цепи составим граф (см. рис. 2,6), выделив в нем дерево, образованное ветвью 3.

Тогда матрица главных контуров имеет вид

2. Запишем матрицу сопротивлений ветвей с учетом их принятой ориентации

3. Определим матрицу контурных сопротивлений

4. Запишем столбцовую матрицу контурных ЭДС

5. Подставив найденные выражения в , окончательно получим

Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками

В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При написании уравнений без использования матричных отношений такие бифуркации не вводят функциональность в конфигурацию. Однако, если уравнения записываются по второму закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут соответствовать диагональные элементы . Поэтому при наличии таких ветвей исходная схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему преобразованию, иллюстрируемому рис. 3.

Здесь идеальный источник тока (см. рис. 3,а) включен между узлами кип. Подключение к узлам I и m по два одинаковых по величине и противоположно направленных источника тока (см. рис. 3,б) не влияет на режим работы цепи, что указывает на эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б.

Есть и другие случаи, когда матричное уравнение формы записывается в соответствии с первым законом Кирхгофа, или используется матричная форма формы узла, и цепочка имеет ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им диагональные элементы матрицы Y будут равны . Поэтому при наличии таких ветвей исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, поясняемому рис. 4.

Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС Включение в каждую ветвь, соединенную с узлом п, источника с ЭДС, равной , и направлением действия, указанным на рис. 4,6, позволяет (в силу того, что ) трансформировать исходную цепь в схему, представленную на рис. 4,в.

Если вы перешли к изучению данной темы, то уже знаете, что такое матрица и определитель матрицы, умеете находить определители второго, третьего и высших порядков, а также обратные матрицы. Если какая-то из этих тем вам незнакома, то следует изучить сначала ее.

Приступим к рассмотрению понятия матричного уравнения.

Матричные уравнения

Матричные уравнения устроены практически также как и числовые, только вместо чисел в них содержатся числовые матрицы. Как правило, типовое матричное уравнение состоит из нескольких матриц и некоторой неизвестной матрицы XX, которую и требуется найти.

Рассмотрим примеры наиболее простых матричных уравнений и их решения.

Пример 1

Решить матричное уравнение

(1234)+x=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

x=(1101)−(1234)x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}-begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

x=(1−11−20−31−4)x=begin{pmatrix}1-1&1-2\0-3&1-4end{pmatrix}.

Значит, x=(0−1−3−3)x=begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}.

Можно провести проверку:

(1234)+(0−1−3−3)=(1+02−13−34−3)=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+0&2-1\3-3&4-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix},

(1101)=(1101)begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.

Пример 2

Решить матричное уравнение (58−469−5)−12x=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

−12x=(341212)−(58−469−5)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}-begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

−12x=(3−54−81−(−4)2−61−92−(−5))-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3-5&4-8&1-(-4)\2-6&1-9&2-(-5)end{pmatrix},

−12x=(−2−45−4−87)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на -2:

x=−2(−2−45−4−87)x=-2begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix},

x=(48−10816−14)x=begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}.

Можно провести проверку:

(58−469−5)−12(48−10816−14)=(58−469−5)−(24−548−7)=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}=begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-begin{pmatrix}2&4&-5\4&8&-7end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix},

(341212)=(341212)begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.

Такие уравнения элементарны, поэтому они довольно редко встречаются на практике.

Простейшие матричные уравнения

Обычно решение матричных уравнений сводится к одному из двух видов:

1. A⋅X=BAcdot X=B;
2. X⋅A=BXcdot A=B.

Рассмотрим, как решается каждое из этих уравнений.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида A⋅X=BAcdot X=B.

Пример 1

Решить матричное уравнение (3728)⋅X=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(3728)A=begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}, B=(4862)B=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:

A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,

E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,

X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣3728∣=3⋅8−2⋅7=24−14=10≠0begin{vmatrix}3&7\2&8end{vmatrix}=3cdot8-2cdot7=24-14=10neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(3728∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Вычтем из строки №1 строку №2:

(3728∣1001)∼(1−128∣1−101)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(1−128∣1−101)∼(1−1010∣1−1−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №1 на 10:

(1−1010∣1−1−23)∼(10−10010∣10−10−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:

(10−10010∣10−10−23)∼(100010∣8−7−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №1 и №2 на 110frac{1}{10}:

(100010∣8−7−23)∼(1001∣810−710−210310)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(810−710−210310)=110(8−7−23)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}.

A−1⋅B=110(8−7−23)⋅(4862)=110(−105010−10)=(−151−1)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}-10&50\10&-10end{pmatrix}=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=X.

Проверка:

(3728)⋅(−151−1)=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(−151−1)X=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}.

Пример 2

Решить матричное уравнение (0230)⋅X=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(0230)A=begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}, B=(243−6)B=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:

A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,

E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,

X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣0230∣=0⋅0−3⋅2=0−6=−6≠0begin{vmatrix}0&2\3&0end{vmatrix}=0cdot0-3cdot2=0-6=-6neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(0230∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(0230∣1001)∼(3002∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №1 на 13frac{1}{3}, а строку №2 на 12frac{1}{2}:

(3002∣0110)∼(1001∣013120)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(013120)=16(0230)A^{-1}=begin{pmatrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}.

A−1⋅B=16(0230)⋅(243−6)=16(6−12612)=(1−212)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}6&-12\6&12end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=X.

Проверка:

(0230)⋅(1−212)=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(1−212)X=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида X⋅A=BXcdot A=B.

Пример 3

Решить матричное уравнение

X⋅(9711)=(201812)Xcdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(9711)A=begin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}, B=(201812)B=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:

X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},

X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,

X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣9711∣=9⋅1−1⋅7=9−7=2≠0begin{vmatrix}9&7\1&1end{vmatrix}=9cdot1-1cdot7=9-7=2neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(9711∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Поменяем строки №1 и №2 местами:

(9711∣1001)∼(1197∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -9:

(1197∣0110)∼(110−2∣011−9)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №2 на −12-frac{1}{2}:

(110−2∣011−9)∼(1101∣01−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(1101∣01−1292)∼(1001∣12−72−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(12−72−1292)=12(1−7−19)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}.

B⋅A−1=(201812)⋅12⋅(1−7−19)=12(201812)⋅(1−7−19)=12(2−146−18)=(1−73−9)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdot frac{1}{2}cdot begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&-14\6&-18end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}=X.

Проверка: (1−73−9)⋅(9711)=(201812).begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(1−73−9)X=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}.

Пример 4

Решить матричное уравнение X⋅(1325)=(4−132)Xcdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(1325)A=begin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}, B=(4−132)B=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:

X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},

X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,

X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.

Найдем матрицу A−1A^{-1}.

∣1325∣=1⋅5−2⋅3=5−6=−1≠0begin{vmatrix}1&3\2&5end{vmatrix}=1cdot5-2cdot3=5-6=-1neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(1325∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(1325∣1001)∼(130−1∣10−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:

(130−1∣10−21)∼(100−1∣−53−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №2 на -1:

(100−1∣−53−21)∼(1001∣−532−1)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\2&-1end{matrix}end{pmatrix}.

Значит, A−1=(−532−1)A^{-1}=begin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}.

B⋅A−1=(4−132)⋅(−532−1)=(−2213−117)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}=X.

Проверка:

(−2213−117)⋅(1325)=(4−132)begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(−2213−117).X=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}.

Существует третий вид матричных уравнений: A⋅X⋅B=CAcdot Xcdot B=C, но в действительности он встречается редко.

Обе части уравнения умножим на A−1A^{-1} слева: A−1⋅A⋅X⋅B=A−1⋅CA^{-1}cdot Acdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.

Зная, что A−1⋅A=EA^{-1}cdot A=E, получим: E⋅X⋅B=A−1⋅CEcdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.

Поскольку E⋅X=XEcdot X=X, то X⋅B=A−1⋅CXcdot B=A^{-1}cdot C.

Обе части уравнения умножим на B−1B^{-1} справа: X⋅B⋅B−1=A−1⋅C⋅B−1Xcdot Bcdot B^{-1}=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.

Зная, что B⋅B−1=EBcdot B^{-1}=E, получим: X⋅E=A−1⋅C⋅B−1Xcdot E=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.

Поскольку X⋅E=XXcdot E=X, то X=A−1⋅C⋅B−1X=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.