Как составить матрицу линейного оператора

Светлой
памяти

Чубича
Михаила Петровича

посвящается

§ 7.1. Определение линейного оператора.

Матрица линейного оператора

Пусть

и
– линейные пространства над одним и тем
же полем .
Будем говорить, что из
пространства

в пространство

действует оператор

или, что то же самое, отображение

,
преобразование
,
если каждому вектору
по какому – либо правилу поставлен в
соответствии определенный вектор
из .

Наиболее
простыми являются линейные операторы.
Отображение
называется линейным
оператором
(линейным
преобразованием),
действующим из
в ,
если оно удовлетворяет следующим двум
условиям:

;

,
.

Совокупность
условий 1 и 2 равносильна следующему
условию:

.
(7.1.1)

Обозначим
через
множество всех линейных операторов,
действующих из линейного пространства

в линейное пространство .
Два линейных оператора
и
из
называются равными,
если

.

(7.1.2)

Множество
будет линейным пространством над полем
,
если определить сумму

операторов


и произведение

оператора


на число

соотношениями

(7.1.3)

(7.1.4)

Нулевым
вектором пространства
будет нулевой
оператор
из
в,
т.е. оператор, переводящий любой вектор

линейного пространства
в нулевой вектор линейного пространства
.

В
случае, когда ,
линейный оператор

называется линейным преобразованием
пространства .

Пусть
–
оператор из ,
и пусть и
–
фиксированные базисы линейных пространств
исоответственно.
Разложим векторы
по базису :

,

,
(7.1.5)

.

Из
коэффициентов этих разложений составим
–
матрицу

.

(7.1.6)

Матрица

называется матрицей
линейного оператора

в паре базисов и
.
Заметим, что столбцами матрицы
служат столбцы координат векторов
в базисе ,
т.е. строки коэффициентов из разложений
(7.1.5).

Если

,
то при нахождении матрицы линейного
оператора фиксируются векторы одного
базиса ,
по которому раскладываются .
Записанные столбцами коэффициенты
разложений образуют квадратную матрицу

порядка .

Равные
линейные операторы в одном и том же
базисе имеют одинаковые матрицы.

Матрицей
суммы линейных операторов в фиксированных
базисах является сумма матриц слагаемых
операторов в тех же базисах.

При
умножении линейного оператора на число
его матрица умножается на то же число.

Если

и

–
соответственно,
–
и
–
мерное линейные пространства над одним
полем
,
то линейное пространство

изоморфно
линейному пространству
–
матриц с элементами из
с
операциями сложения матриц и умножения
их на числа из поля
.

Пример
1.
Оператор
называется
тождественным
(единичным)
оператором,
если

.

(7.1.7)

Покажите
линейность оператора
и постройте его матрицу в базисе .

Решение.
В силу того, что

,

убеждаемся
в линейности тождественного оператора.
Поскольку

получаем,
что

.

В
любом базисе тождественный оператор
имеет единичную матрицу.

Пример
2.
Докажите, что преобразование

пространства

линейно и найдите его матрицу в
каноническом базисе.

Решение.
Пусть

и

– произвольные векторы из .
Тогда

т.
е. преобразование
пространства
линейно. Канонический базис линейного
пространства
составляют векторы

.
Из определения оператора
вытекает, что

Таким
образом,

Пример
3.
Покажите, что умножение квадратных
матриц второго порядка слева на данную
матрицу
является линейным преобразованием
пространства
и найдите матрицу этого преобразования
в базисе, состоящем из матриц

Решение.
По определению преобразования
для любых матриц
и любых чисел
имеем:

.

Перейдем
к построению матрицы оператора
в данном базисе. В силу того, что

получаем:

.

7.1.1.
Какую матрицу имеет нулевой оператор
в любых базисах пространств
и ?

7.1.2.
Линейное пространство
является прямой суммой подпространств

и .
Докажите, что оператор
пространства ,
который каждому вектору
с разложением ,
где ,
ставит в соответствие вектор
этого разложения, является линейным.
Оператор
называется оператором
проектирования
пространства
на
параллельно .

Найдите
матрицу этого оператора в базисе,
полученном объединением базисов
подпространств
и .

7.1.3.
Линейное пространство
является прямой суммой подпространств

и .
Докажите, что оператор ,
который каждому вектору
с разложением ,
где ,
ставит в соответствие вектор ,
является линейным. Оператор
называется отражением
пространства
в
параллельно .

Найдите
матрицу этого оператора в базисе,
полученном объединением базисов
подпространств
и .

7.1.4.
Докажите, что всякий линейный оператор,
действующий в одномерном пространстве,
сводится к умножению всех векторов
пространства на фиксированное (для
данного оператора) число.

7.1.5.
Верно ли, что линейный оператор переводит:

а)
линейно зависимую систему векторов в
линейно зависимую;

б)
линейно независимую систему векторов
в линейно независимую?

7.1.6.
Выясните, какие из следующих преобразований
пространства
линейны, и в случае линейности найдите
их матрицы в каноническом базисе:

а)

б)

в)

г)

7.1.7.
Укажите, какие из приведенных преобразований
пространства
являются линейными операторами, и
найдите их матрицы в базисе .
Каждое преобразование описывается
своим действием на произвольный многочлен
:

а)

б)

в)
,
где
и
– фиксированные числа, причем ;

г)

Этот оператор в дальнейшем называется
оператором
дифференцирования.

7.1.8.
Какова матрица оператора дифференцирования,
действующего в линейном пространстве
,
в базисе ,
где
– действительное число?

7.1.9.
Покажите, что умножение квадратных
матриц второго порядка справа на данную
матрицу
является линейным преобразованием
пространства ,
и найдите матрицу этого преобразования
в базисе, состоящем из матриц :

7.1.10.
Проверьте линейность оператора ,
заданного формулой ,
где
и постройте матрицу этого оператора в
базисах

и

7.1.11.
В пространстве
фиксирован базис, состоящий из матриц

(в
указанном порядке). Запишите в этом
базисе матрицу оператора транспонирования,
т.е. оператора, который каждой матрице

ставит в соответствие транспонированную
матрицу.

Как
изменится эта матрица, если в базисе
поменять местами векторы
и ?

Соседние файлы в папке Задачник-2

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Матрица линейного оператора примеры

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем , ,…, . Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

.

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

.

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x₁ = 1, x₂ = 0, а затем x₁ = 0, x₂ = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

.

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. .

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).

Матрица линейного оператора:

.

2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.

Если задана система из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть – матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы – это векторы , а столбцы матрицы – векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

в систему векторов .

Здесь , , , и получаем:

.

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .

Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и . Построим матрицу одного из этих операторов, . Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.

.

Аналогично, ,

.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: .

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :

.

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы , , ,…, .

, , , аналогично получим ,…, .

Матрица этого линейного оператора:

Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 – | 7588 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз с вектором-образом

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B – два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством .

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

и обозначим через A, B и C – соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

где A – m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B – mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Cej= Aej+ Bej=	n	(aij+bij) ej
∑
j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

Ядро и образ линейного отображения

Ядром линейного отображения называется множество таких векторов , что , т.е. множество векторов из , которые отображаются в нулевой вектор пространства . Ядро отображения обозначается:

Образом линейного отображения называется множество образов всех векторов из . Образ отображения обозначается или

Заметим, что символ следует отличать от — мнимой части комплексного числа.

Примеры ядер и образов линейных отображений

1. Ядром нулевого отображения является все пространство , а образом служит один нулевой вектор, т.е.

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору n-мерного линейного пространства его координатный столбец относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства , поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец . Образ преобразования совпадает со всем пространством , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства ).

3. Рассмотрим отображение , которое каждому вектору n-мерного евклидова пространства ставит в соответствие алгебраическое значение его проекции на направление, задаваемое единичным вектором . Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение — множество векторов, ортогональных . Образом является все множество действительных чисел .

4. Рассмотрим отображение , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения является подпространством: .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:

Следовательно, множество является линейным подпространством пространства .

2. Образ любого линейного отображения является подпространством: .

В самом деле, докажем, например, замкнутость множества по отношению к операции умножения вектора на число. Если , то существует вектор такой, что . Тогда , то есть .

Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейными подпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.

Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: , а рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства , то . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы отображения, т.е. рангу матрицы: .

4. Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: .

Действительно, образом нулевого вектора служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение сюръективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения равна размерности пространства прообразов:

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве базис и дополним его векторами до базиса всего пространства . Покажем, что векторы образуют базис подпространства .

Во-первых, , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. , что равносильно (9.3).

Следствие. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).

Действительно, для обратимости преобразования (см. свойство 6) его матрица (размеров ) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , т.е. матрица — квадратная n-го порядка и невырожденная , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Линейные операторы

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

где A – m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B – mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Cej= Aej+ Bej=	n	(aij+bij) ej
∑
j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=yadro-i-obraz-linyeinogo-otobrazheniya

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-operator.php

[/spoiler]

Определение. Пусть даны два пространства и . Если по закону каждому вектору поставлен в соответствие вектор , то говорят, что задан оператор (функция, отображение), отображающий в и пишут .

Обозначение: ; – образ, – прообраз.

Определение. Если для любых и из и любых вещественных чисел и имеет место , то оператор называется линейным.

Произвольные отображения линейных пространств изучаются в курсе математического анализа. В курсе линейной алгебры изучаются лишь линейные отображения.

Пример 6. Оператор действует из в по закону , где , и – фиксированный вектор, например, . Оператор переводит вектор из в другой вектор из . Докажем, что он линейный: . Здесь воспользовались свойствами векторного произведения.

Пример 7. Линеен ли оператор , где произвольный вектор, а вектор – фиксированный?

Решение. , так как , . Следовательно, оператор – нелинейный.

Пусть даны два пространства и и оператор , действующий из в . Пусть в есть базис , а в – базис .

Подействовав оператором на базисные векторы пространства , получим векторы из , которые можно разложить по базису с коэффициентами линейных комбинаций :

Строим матрицу таким образом, чтобы в ее столбцах стояли координаты образов базисных векторов пространства относительно базисных векторов пространства :

.

Матрица называется матрицей линейного оператора , действующего из в . Таким образом, если оператор , то матрица этого оператора имеет размер , то есть у нее строк и столбцов.

Замечание. Если в и выбрать другие базисы, то в этих базисах матрица линейного оператора будет иметь другой вид.

Из определения матрицы линейного оператора следует, что, зная закон (оператор), по которому вектору сопоставляется вектор , можно построить матрицу, и наоборот, любой матрице соответствует некоторый линейный оператор.

Пример 8. Построить матрицу линейного оператора, действующего из в по закону , где векторы и заданы относительно канонического базиса.

Решение. Подействуем оператором на базисные векторы :

;

;

.

Таким, образом, – искомая матрица.

Пример 9. Пусть в выбран базис , , , а в выбран базис , . Найти матрицу линейного оператора, действующего из в по закону , где .

Решение. ; ;

; .

Пример 10. Дана матрица . Найти линейный оператор (закон, по которому действует оператор).

Решение. Матрица – это матрица линейного оператора, действующего из в . Пусть в базис , в базис . Так как в столбцах матрицы стоят координаты векторов относительно базиса , то

(1)

Пусть произвольный вектор из , где – координаты этого вектора в базисе , тогда . Действуя оператором на вектор и учитывая линейность оператора, получим: .

Учитывая (1), имеем:

.

Таким образом, оператор действует по закону

.

Зная матрицу оператора , результат его действия на вектор можно найти в матричной форме. Пусть известна матрица оператора размера с элементами . В этом случае оператор с такой матрицей действует из в . Если – любой вектор из , то результат действия оператора на вектор можно найти по формуле:

,

Где – координаты вектора .

Пример 11. Операторы и действуют в пространстве по законам , , где ; ( – скалярное произведение векторов и ). Найти координаты вектора в каноническом базисе.

Решение. Координаты вектора можно найти двумя способами:

А) найдем матрицу .

Строим матрицу в каноническом базисе:

; ;

.

.

Строим матрицу в каноническом базисе:

; ;

.

;

.

.

Этот способ решения называется матричным;

Б) операторный способ.

. Подействуем оператором на вектор :

, теперь на полученный вектор подействуем оператором :

.

Для самостоятельной работы.

1. Оператор действует по закону:

.

Найти его матрицу в каноническом базисе.

Ответ: .

2. Оператор действует в плоскости и осуществляет зеркальное отражение относительно прямой . Доказать, что он линейный и найти его матрицу в каноническом базисе.

Ответ: .

3. Дана матрица .

А) Найти оператор, матрицей которого является матрица .

Б) Найти образ вектора .

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >

Пример 4.3 более глубок, чем это может показаться с первого взгляда. Фактически любой линейный оператор можно интерпретировать как линейный оператор, описанный в этом примере, т.е. действие линейного оператора сводится к умножению столбца координат вектора на матрицу. Поясним это подробнее.

Пусть задан линейный оператор А: L → L, т.е. линейное преобразование n-мерного линейного пространства L в себя. Выберем базис b = (b₁ … b_n) в L. Действие линейного оператора полностью определено, если известны образы векторов базиса. Действительно, если вектор х имеет координаты х = (x₁ … х_n)^T , то

Ах = A(x₁b₁ + … + х_nb_n) = x₁(Ab₁) +… + х_n(Аb_n),

т.е., зная векторы Ab_i, мы можем найти образ любого вектора x линейного пространства L.

Рассмотрим действие линейного оператора А на векторы базиса b. Обозначим столбцы координат векторов Ab_ix в базисе через а_i, a_i = (а_1i … а_in) , i = 1,n. Тогда

Ab_i = ba_i, i = 1,n.

Определение 4.4. Матрицу А = (а₁ … a_n), составленную из координатных столбцов векторов Ab₁, … , Ab_n в базисе b = (b₁ … b_n) называют матрицей линейного оператора А в базисе b.

Матрица линейного оператора А: L → L является квадратной, ее порядок совпадает с размерностью линейного пространства L.

Рассмотрим несколько примеров линейных операторов и их матриц.

Пример 4.7. Матрицей нулевого оператора Θ: L → L независимо от выбора базиса является нулевая матрица соответствующего типа. Действительно, образом любого вектора в случае нулевого оператора является нулевой вектор. Поэтому матрица нулевого оператора в любом базисе должна состоять из нулевых столбцов.

Пример 4.8. Матрица тождественного оператора I также не зависит от выбора базиса и в любом базисе является единичной. Действительно, взяв произвольный базис b = (b₁ … b_n), заключаем, что при i = 1,n

где единица в последнем столбце стоит на i-м месте. Видно, что столбец координат вектора Ib_i является i-м столбцом единичной матрицы.

Теорема 4.3. Пусть А: L → L – линейный оператор. Тогда столбец у координат вектора у = Ах в данном базисе b линейного пространства L равен произведению Ах матрицы А оператора А в базисе b на столбец х координат вектора x в том же базисе: у = Ах.

◄ Выберем произвольный вектор х = х₁b₁ + … + х_nb_n. Его образом будет вектор

у = Ах = A(x₁b₁ + … + x_nb_n) = x₁(Ab₁) + … + х_n(Аb_n) = x₁(a₁₁b₁ + … + a_n1b_n) + … + x_n(a_1nb₁ + … + a_nnb_n) =
(а₁₁x₁ + … + a_1nx_n)b₁ + … + (a_n1x₁ + … + a_nnx_n)b_n.

Столбец координат вектора Ax в базисе b имеет вид

Запись у = Ах из формулировки теоремы 4.3 удобно называть матричной формой записи действия линейного оператора А в базисе b.

Замечание 4.1. Выкладки, приведенные в доказательстве теоремы, можно упростить, если использовать матричные обо-значения и правила выполнения матричных операций. Полагая, что строка образов базисных векторов (Ab₁ … Ab_n) получается “умножением” строки векторов b слева на оператор А:

(Аb₁ … Аb_n) = Аb,

получаем

Ab = (Ab₁ … Ab_n) = (ba₁ … ba_n) = b(a₁ … а_n) = bА,

так как ba_i – матричная запись разложения вектора Ab_i по базису b, i = 1,n. Здесь мы использовали технику операций с блочными матрицами.

Взяв произвольный вектор х = bх, получаем

Ах = А(bх) = (Аb)х = (bА)х = b(Ах).

Это означает, что столбец Ах является столбцом координат вектора Ах.

Пример 4.9. Рассмотрим отображение А: V₃ → V₃, которое каждый вектор х преобразует в его векторное произведение Ах = х × i на орт i оси Ох. В силу свойств векторного произведения это отображение – линейный оператор. Найдем матрицу А этого линейного оператора в (правом) ортонорми- рованном базисе i, j, k. Для этого надо найти образы базисных векторов и разложить их по тому же базису. Поскольку Ai = i × i = 0, то первый столбец в матрице А нулевой. Далее получаем второй столбец матрицы А:

Затем третий столбец:

Итак, матрица А имеет вид

Действие линейного оператора А на вектор х можно теперь записать как умножение столбца координат (х у z)^T вектора х слева на матрицу оператора:

Матрица линейного оператора полностью характеризует линейный оператор. В то же время, какую бы квадратную матрицу порядка n мы ни взяли, она будет матрицей некоторого линейного оператора в заданном базисе n-мерного линейного пространства (см. пример 4.3). Таким образом, между линейными операторами, действующими в данном n-мерном линейном пространстве L и квадратными матрицами порядка n существует соответствие, которое является взаимно однозначным, что и утверждает следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть b – произвольный базис в n-мерном линейном пространстве L. Различным линейным операторам А и В, действующим в пространстве L, соответствуют и различные матрицы в базисе b. Любая квадратная матрица А порядка n является матрицей некоторого линейного оператора, действующего в линейном пространстве L.

◄ Если матрицы А и В операторов А и В в базисе b совпадают, то, согласно теореме 4.3, для любого вектора х со столбцом координат х

Ах = bАх = bВх = Вх,

т.е. образы произвольного вектора при двух отображениях совпадают. Следовательно, совпадают и сами отображения.

Пусть А = (a_ij) – произвольная квадратная матрица порядка n. Определим отображение А: L → L согласно формуле А(х) = bАх, где х – столбец координат вектора х. Несложно проверить, что заданное таким образом отображение является линейным оператором. Действительно, для любых векторов х,у ∈ L и любых действительных чисел λ, μ

А(λx + μу) = bА(λх + μу) = λ(bАx) + μ(bАу) = λА(х) + μА(у).

В этой выкладке мы использовали теорему 1.3 и свойства умножения матриц. Вычислив для i = 1,n столбец координат образа i-го вектора из базиса b

где единица стоит в i-й строке, убеждаемся, что он совпадает с i-м столбцом матрицы А и поэтому матрица заданного линейного оператора совпадает с исходной матрицей А. ►

Теорема 4.5. Ранг матрицы линейного оператора А: L → L совпадает с рангом этого оператора.

◄ Образ imA линейного оператора А представляет собой линейную оболочку системы векторов Ab₁, …, Ab_n, где b₁, …, b_n – некоторый базис линейного пространства L. Размерность линейного подпространства imA, представляющая собой ранг оператора, совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в системе Ab₁, … , Ab_n и равна
максимальному количеству линейно независимых столбцов в матрице А, составленной из столбцов координат этих векторов. Но матрица А является матрицей оператора А. Значит, dim imA совпадает с рангом матрицы оператора А в указанном базисе. Поскольку понятие ранга линейного оператора не зависит от выбора базиса, то и ранг его матрицы в любом базисе один и тот же. ►

Замечание 4.2. Связь между линейными операторами и матрицами, вскрытая доказанными теоремами, позволяет дать геометрическую интерпретацию системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если СЛАУ записать в матричной форме Ах = b, то матрицу А можно связать с некоторым линейным оператором А, а столбцы х и b интерпретировать как столбцы координат векторов x и b. Мы приходим к операторному уравнению, Ах = b, решение которого означает определение вектора х по его образу b. В частном случае b = 0 СЛАУ однородна, а решение операторного уравнения означает определение ядра оператора. Отметим, что тривиальное решение х = 0 однородной СЛАУ Ах = 0 соответствует нулевому вектору, всегда входящему в ядро оператора.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ

Линейные операторы

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

1. A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂.
2. A(λx)=λAx.

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

где A – m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

(5)

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2,…,m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2,…n с коэффициентами a_ij i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B – mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Cej=Aej+Bej=	n	(aij+bij)ej
∑
j=1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2,…m, j=1,2,…n, т.е.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).