Как составить матрицу метода ранга

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Найти ранг матрицы:

А=-11-1-202260-443111-7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка -1122=(-1)×2-1×2=4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С33×С53=15!3!(5-3)!= 10 штук. 

-11-12264311=(-1)×2×11+1×6×4+(-1)×2×3-(-1)×2×4-1×2×11-(-1)×6×3=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1-22604111=(-1)×6×1+(-1)×0×4+(-2)×2×11-(-2)×6×4-(-1)×2×1-(-1)×0×11=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1026-4411-7=(-1)×6×(-7)+(-1)×(-4)×4+0×2×11-0×6×4-(-1)×2×(-7)-(-1)×(-4)×11=0

1-1026-4311-7=1×6×(-7)+(-1)×(-4)×3+0×2×11-0×6×3-(-1)×2×(-7)-1×(-4)×11=0

1-2020-431-7=1×0×(-7)+(-2)×(-4)×3+0×2×1-0×0×3-(-2)×2×(-7)-1×(-4)×1=0

-1-2060-4111-7=(-1)×0×(-7)+(-2)×(-4)×11+0×6×1-0×0×11-(-2)×6×(-7)-(-1)×(-4)×1=0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Rank (A) = 2.

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор Mok(k+1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору Mok , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Найти ранг матрицы:

А=120-13-2037134-21100365

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М=2-141

Записываем все окаймляющие миноры:

12-1-207341,20-10374-21,2-13071411,12-1341006,20-14-21036,2-13411065.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А=210-134210-12111-40024-14

Как решить?

Поскольку элемент а11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2142=2×2-1×4=02041=2×1-0×4=2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2041.

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их(4-2)×(5-2)=6 штук).

210421211=0; 20-1410211=0; 20341-121-4=0;210421002=0; 20-1410024=0; 20341-102-14=0

Ответ: Rank(A) = 2.

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411

Как решить?

Поскольку элемент а11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1а11=12:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~А(1)=112-13300-11-12-75-24-1572-411~А(2)==112-133+1(-3)0+12(-3)0+(-1)(-3)-1+3(-3)1+1(-3)-1+12(-3)2+(-1)(-1)-7+3(-1)5+1(-5)-2+12(-5)4+(-1)(-5)-15+3(-5)7+1(-7)2+12(-7)-4+(-1)(-7)11+3(-7)=

=112-130-323-100-323-100-929-300-323-10

Элемент а22(2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А(2) на 1а22(2)=-23:

А(3)=112-1301-22030-323-100-929-300-323-10~А(4)=112-1301-22030-32+1323+(-2)32-10+203×320-92+1929+(-2)92-30+203×920-32+1323+(-2)32-10+203×32==112-1301-2203000000000000

• К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 32;
• к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 92;
• к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 32.

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank (A(4))=2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Лекция №6 Ранг матрицы и ранг системы векторов.

Основные понятия темы:

1.Ранг матрицы и ранг системы векторов.

2.Методы вычисления ранга матрицы.

3.Ортогональные системы векторов.

1. Понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу порядка m x n

Если в ней взять произвольные k строк и k столбцов ( k m, k n ), то на их пересечении расположена квадратная матрица k–го порядка. Ее определитель называется минором Mk матрицы A, k- порядок минора.

Определение. Рангом матрицы A называется наивысший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля.

Или по-другому, рангом матрицы r(A)

называется такое число r, что у матрицы имеется по крайней мере один минор Mr r–го порядка, отличный от 0, а все миноры (r+1)–го и высших порядков равны 0.

Например, ранг матрицы

равен 3, т.к. матрица имеет минор 3-го порядка, отличный от 0:

00 4

Аминор 4-го порядка равен нулю:

Других миноров 4-го порядка у матриц нет. Принимая условно, что ранг нулевой матрицы равен 0, очевидно, что ранг может принимать

значения 0 r(A) min(m, n) .

Свойства ранга матрицы:

при последующих преобразованиях матрицы, называемых элементарными, ранг матрицы не меняется:

1) при транспонировании матрицы (замена строк столбцами, не меняя их порядка)

2)при перестановке строк и столбцов

3)при умножении любой строки (или столбца) на отличный от нуля множитель

4)при прибавлении к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любой множитель, отличный от нуля

5)при вычеркивании нулевой строки (или нулевого столбца)

6)при вычеркивании строки (столбца), являющейся линейной комбинацией других строк (столбцов); в частности строки (столбца), пропорциональной другой строке (столбцу).

Методы вычисления ранга матрицы.

На элементарных преобразованиях матрицы основан первый метод нахождения ранга матрицы – метод элементарных преобразований. По этому методу с помощью элементарных преобразований данная матрица А преобразовывается в другую матрицу B, ранг который равен рангу матрицы А. Такая матрица В называется эквивалентной матрице А.( A B )

Теорема 1. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

Применяя последовательно элементарные преобразования, преобразовывают матрицу постепенно к ступенчатой, которая имеет следующий вид:

Теорема 2. Ранг ступенчатой матрицы B равен r, r(B)=r, т.е. числу ненулевых строк.

Метод окаймления для нахождения ранга матрицы.

Метод окаймления основан на следующей теореме.

Теорема 3. Если у матрицы существует минор r –го порядка Mr, отличный от 0, а все миноры

(r +1) – го порядка Mr+1, содержащие Mr , отличный от 0, (окаймляющие миноры), равны

0, то ранг матрицы равен r.

По второму методу окаймления сначала вычислим минор второго порядка M2, расположенный на пересечении первых двух строк и столбцов матрицы. Если равен 0, то переходим к вычислению других миноров второго порядка. Если все миноры второго

порядка (их очевидно у матрицы будет Cn2 Cm2 штук) равны 0, то r(A) = 1. Если хотя бы один

минор M 2 0 , то далее составляем миноры M3 третьего порядка, содержащие M2 (окаймляющие миноры). Если все окаймляющие миноры M3 равны 0, то r(A) = 2.

Если хотя бы один минор M3 0 то составляют миноры 4-го порядка, окаймляющие M3 т.д. Процесс нахождения ранга заканчивается тогда, когда найдется минор Mr (r-го порядка),

отличный от 0, а все миноры Mr+1, окаймляющие отличный от 0 минор Mr, равны

0, то ранг матрицы А равен r.

Понятие базисного минора. Теорема о базисном миноре матрицы.

Определение. Любой отличный от нуля, минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.

• Определители второго и третьего порядков и их свойства
• Метод Гаусса – определение и вычисление
• Прямая линия на плоскости и в пространстве
• Плоскость в трехмерном пространстве
• Кратный интеграл
• Ряды в математике
• Дифференциальные уравнения с примерами
• Обратная матрица – определение и нахождение

Содержание

Ранг — это неотрицательное целое число!

Понятие ранга возникает естественным образом при решении систем линейных уравнений.

П

Пример. Решить систему уравнений

$$
left{
begin{array}{rrrl}
2x_1&-3x_2&-x_3=&3 \
4x_1&-3x_2&-5x_3=&6 \
6x_1&-6x_2&-6x_3=&9.
end{array}
right.
$$
Наблюдательный читатель сразу обратит внимание на «излишнесть» последнего уравнения: оно получается суммой двух первых, т.е. является их следствием. Таким образом, это уравнение можно спокойно выбросить из системы без ущерба для задачи. Приведенный пример тривиален, ситуации могут оказаться не такими очевидными.

П

Пример. Решить систему уравнений

$$
left{
begin{array}{rrrrl}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \
2x_1&+3x_2&+x_3&+x_4&=1 \
3x_1&+2x_2&+x_3&-x_4&=1 \
2x_1&+2x_2&+2x_3&-x_4&=1 \
5x_1&+5x_2&+2x_3& &=2. \
end{array}
right.
$$
Система является переопределенной: число неизвестных меньше числа определяющих их уравнений. Как правило, подобные системы решений не имеют (несовместны). Попробуем убедиться в этом применив для решения системы метод Гаусса.
$$
rightarrow
left{
begin{array}{rrrrr}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \
&-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \
&-4x_2&-8x_3&+2x_4&=-2 \
&-2x_2&-4x_3&+x_4&=-1 \
&-5x_2&-13x_3&+5x_4 &=-3 \
end{array}
right.
quad rightarrow
$$
$$
rightarrow quad
left{
begin{array}{rrrrr}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \
&-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \
&&12x_3&-10x_4&=2 \
&&6x_3&-5x_4&=1 \
&&12x_3&-10x_4 &=2 \
end{array}
right.
$$
Получившаяся система эквивалентна исходной (либо обе несовместны, либо обе имеют одинаковые решения). Однако в новой системе очевидно три последних уравнения фактически совпадают, и, таким образом, два из них можно безнаказанно выбросить из системы, не испортив ее множество решений. Получается, что исходная переопределенная система на самом деле «маскирует» систему «недоопределенную»:
$$
left{
begin{array}{rrrrr}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4=&1 \
&-x_2&-5x_3&+3x_4=&-1 \
&&6x_3&-5x_4=&1,
end{array}
right.
$$
состоящую из уравнений в количестве меньшем, чем определяемые ими неизвестные. Как правило, такие системы совместны и имеют бесконечное множество решений. Так оно и получается в нашем примере. Фактически, мы привели уже систему к трапециевидному виду и осталось только извлечь из этого вида все множество решений обратным ходом метода Гаусса. Ответом в примере является множество¹⁾
$$
x_1=frac{1+5t}{6}, x_2=frac{1-7t}{6}, x_3=frac{1+5t}{6},x_4=t quad npu quad forall t in mathbb R .
$$
Мы однако, обратим сейчас внимание на другое обстоятельство. Оказалось, что исходная система может быть сокращена на «излишние» уравнения — без ущерба для ее множества решений. Похоже, что в этой системе «реальных» уравнений всего три, а два оставшихся должны являться их следствиями. Так оно и есть: если сложить первое и третье уравнения системы, то поучится удвоенное четвертое, а если сложить второе и третье — получится пятое. Вывод: четвертое и пятое уравнения системы оказываются лишними.

♦

Задача. Для заданной системы линейных уравнений
$$
left{
begin{array}{lllll}
a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\
a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\
dots & & & dots & \
a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ ldots&+a_{mn}x_n &=b_m.
end{array} right.
$$
определить сколько в ней будет существенных уравнений.

Это искомое число и будет называться рангом. На самом деле, поставленная задача тут же усложняется: во-первых, интересует какие именно уравнения можно из системы выбросить, а какие нельзя, и, во-вторых, сколькими параметрами можно описать множество решений этой системы — если это множество бесконечно (как было в предыдущем примере). Оказывается, на оба эти вопроса тоже помогает ответить понятие ранга — как некоторой целочисленной характеристики системы уравнений.

К тому же понятию можно подойти с другой стороны.

П

Пример. Рассмотрим систему из последнего примера и перепишем ее в виде:

$$
x_1 underbrace{left( begin{array}{r} 1 \ 2 \ 3 \ 2 \ 5
end{array} right)}_{A_{[1]}} +
x_2 underbrace{left( begin{array}{r} 2 \ 3 \ 2 \ 2 \ 5
end{array} right)}_{A_{[2]}}+
x_3 underbrace{left( begin{array}{r} 3 \ 1 \ 1 \ 2 \ 2
end{array} right)}_{A_{[3]}} +
x_4 underbrace{left( begin{array}{r} -1 \ 1 \ -1 \ -1 \ 0
end{array} right)}_{A_{[4]}} =
underbrace{left( begin{array}{r} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 2
end{array} right)}_{mathcal B} .
$$
Задачу решения системы уравнений можно переформулировать «на языке столбцов»: при заданных столбцах $ A_{[1]}, A_{[2]}, A_{[3]}, A_{[4]} $ и $ {mathcal B} $ подобрать такие числа $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ чтобы сумма $ x_1 A_{[1]}+ x_2 A_{[2]}+ x_3 A_{[3]}+ x_4 A_{[4]} $ оказалась равной $ {mathcal B} $. Хотя это и нелегко увидеть, но тем не менее можно формально проверить, что столбец $ A_{[1]} $ можно выразить через $ A_{[2]}, A_{[3]}, A_{[4]} $ по формуле:
$$ A_{[1]} =frac{7}{5}A_{[2]}- A_{[3]}- frac{6}{5}A_{[4]} . $$
В результате система уравнений переписывается в виде
$$
left( x_2 + frac{7}{5} x_1 right) A_{[2]} + left( x_3 – x_1 right) A_{[3]}+
left( x_4 – frac{6}{5} x_1 right) A_{[4]} = mathcal B ,
$$
и получается, что она реально содержит только 3 переменные, именно
$$
y_2= x_2 + frac{7}{5} x_1, y_3=x_3 – x_1, y_4 = x_4 – frac{6}{5} x_1 .
$$
Если новая система
$$ y_2A_{[2]} + y_3 A_{[3]}+ y_4 A_{[4]}= mathcal B $$
имеет хотя бы одно решение относительно неизвестных $ y_2,y_3,y_4 $, то исходная система тоже будет совместной и иметь бесконечное число решений (за счет того, что при обратном переходе к неизвестным $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ появляется неоднозначность за счет отсутствия ограничений на $ x_1 $).

♦

Задача. Для заданной системы линейных уравнений
$$
left{
begin{array}{lllll}
a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\
a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\
dots & & & dots & \
a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ ldots&+a_{mn}x_n &=b_m.
end{array} right.
$$
определить сколько в ней будет существенных неизвестных.

Это искомое число тоже будет называться рангом. Единство в названии разных объектов оказывается оправданным: это два подхода к одному и тому же понятию (в приведенных выше решениях примера именно так и оказалось — число существенных уравнений системы совпало с числом существенных переменных).

Для доказательства этого факта обратим сначала внимание на то обстоятельство, что мы, фактически действовали над коэффициентами системы уравнений, привлекая переменные только на самом последнем этапе. Так, в первом решении мы действовали только над строками матрицы коэффициентов, а во втором решении — только над ее столбцами.

В настоящем и последующих пунктах мы будем рассматривать примеры и формулировать утверждения, ориентируясь на случай вещественных чисел, в частности, коэффициенты уравнений и искомые решения будем представлять во множестве $ mathbb R_{} $. Следует понимать, что все результаты будут справедливыми и для случая комплексных чисел.

В настоящем пункте мы, на время, отвлечемся от систем уравнений и рассмотрим множества строк ( $ 1 times N $-матриц) и столбцов ($ Ntimes 1 $-матриц) с числовыми (вещественными) элементами. Поскольку принципиальная разница между этими двумя объектами несущественна, мы будем говорить
обобщенно о рядах, имея в виду каждый раз что-то определенное: либо строки
$ A^{[1]}, A^{[2]},dots $ либо столбцы $ A_{[1]}, A_{[2]}, dots $

Рассмотрим систему²⁾ $ n_{} $ рядов (строк или столбцов)
$$
{ A_1,dots,A_n } .
$$

Выражение
$$
alpha_1A_1+dots+alpha_nA_n
$$
при фиксированных числах $ alpha_1,dots,alpha_n $ называется линейной комбинацией рядов $ A_1,dots,A_n $. Множество всевозможных линейных комбинаций рядов $ A_1,dots,A_n $ называется их линейной оболочкой:
$$
mathcal L(A_1,dots,A_n)=left{ alpha_1A_1+dots+alpha_nA_n big| {alpha_1,dots,alpha_n} subset mathbb R right}.
$$

Система рядов $ { A_1,dots,A_n } $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа
$ alpha_1,dots,alpha_n $, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что
$$
alpha_1A_1+dots+alpha_nA_n=mathbb O .
$$
Если же последнее равенство возможно только при $ alpha_1=0,dots, alpha_n=0 $,
то система рядов называется линейно независимой (л.н.з.).

Т

Теорема 1. а) Если система $ { A_1,dots,A_n } $ содержит хотя бы один нулевой ряд, то она л.з.

б) Если система $ { A_1,dots,A_n } $ л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При $ n>1 $ система $ { A_1,dots,A_n } $ л.з. тогда и только тогда,
когда по меньшей мере один ее ряд линейно выражается через остальные,
т.е. существуют $ jin mathbb N $ и константы $ gamma_1,dots,gamma_{j-1},
gamma_{j+1},dots,gamma_{n} $ такие, что
$$ A_j=gamma_1A_1+dots+gamma_{j-1}A_{j-1}+
gamma_{j+1}A_{j+1}+dots + gamma_{n}A_{n} .$$

П

Пример. Найти все значения параметра $ color{Red}{lambda} $, при которых строка $ B=(7,-2,{color{Red}{lambda}} ) $ выражается через строки

$$A_1=(2,3,5), A_2=(3,7,8), A_3=(1,-6,1) .$$

Решение. Составим уравнение
$ B=gamma_1A_1+gamma_2A_2+gamma_3A_3 $
и попытаемся подобрать неопределенные параметры $ gamma_j $ ему удовлетворяющие.
$$
left{
begin{array}{rrrrr}
2gamma_1&+3gamma_2&+gamma_3=&7 \
3gamma_1&+7gamma_2&-6gamma_3=&-2 \
5gamma_1&+8gamma_2&+gamma_3=& color{Red}{lambda}
end{array}right.
$$
Мы получили систему линейных уравнений для определения неизвестных постоянных $ gamma_1,gamma_2, gamma_3 $. Решаем ее по методу Гаусса:
$$
left{
begin{array}{rrrrc}
gamma_1&+4gamma_2&-7gamma_3=&-9, \
&gamma_2&-3gamma_3=&-5, \
&&0=&{color{Red}{lambda}} -15.
end{array}right.
$$
Последнее уравнение обращается в истинное равенство только при $ lambda=15 $. При этом значении параметра система уравнений будет совместна. Например, одним из решений будет
$ gamma_1=6, gamma_2=-2,gamma_3=1 $.

Ответ. $ {color{Red}{lambda}} =15 $.

Т

Теорема 2. Если каждый из рядов системы $ { A_1,dots,A_n } $ линейно
выражается через ряды системы $ {B_1,dots,B_k } $ и при этом во второй системе рядов меньше, чем в первой, т.е. $ k<n $, то первая система будет линейно зависимой.

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

Рангом системы рядов $ { A_1,dots,A_n } $ называется число рядов в ее максимальной линейно независимой подсистеме:
$$mathfrak{r}=operatorname{rank} { A_1,dots,A_n } ;$$
дополнительно полагают, что ранг системы, состоящей только из нулевых рядов, равен нулю:
$$ operatorname{rank} {mathbb O,dots,mathbb O} = 0 . $$

Т

Теорема 3. Ранг системы рядов $ { A_1,dots,A_n } $ равен $ mathfrak{r}ge 1 $ тогда и только тогда, когда в этой системе существует $ mathfrak{r} $ линейно независимых рядов, через которые выражается каждый ряд системы.

Эта теорема позволяет дать другое определение ранга.

Рангом системы рядов $ { A_1,dots,A_n } $ называется число $ mathfrak{r}_{} $
таких линейно независимых рядов системы, через которые линейно выражается каждый ряд системы.
Любая совокупность $ mathfrak{r} $ линейно независимых рядов
системы $ { A_1,dots,A_n } $ ранга $ mathfrak{r}ne 0 $ называется базисом этой системы.

Т

Теорема 4. При фиксированном базисе системы $ { A_1,dots,A_n } $ любой ряд из ее линейной оболочки $ mathcal L(A_1,dots,A_n) $ представúм в виде линейной комбинации базисных рядов и такое представление единственно.

Доказательство первой части тривиально. Докажем единственность представления. Предположим, для упрощения записи индексов, что базисными рядами являются первые $ mathfrak r_{} $ рядов системы, т.е.
$ {A_1,dots, A_{mathfrak r_{}} } $. Если какой-то ряд $ X in mathcal L(A_1,dots,A_n) $ имеет два представления в виде линейной комбинации базисных рядов:
$$ X=x_1A_1+dots+ x_{mathfrak r_{}}A_{mathfrak r_{}}=y_1A_1+dots+ y_{mathfrak r_{}}A_{mathfrak r_{}} , $$
то получаем
$$ (x_1-y_1)A_1+dots+ (x_{mathfrak r_{}}-y_{mathfrak r_{}})A_{mathfrak r_{}}= mathbb O . $$
Первая возможность: ряды $ {A_1,dots, A_{mathfrak r_{}} } $ линейно зависимы, но тогда это противоречит предположению. Следовательно, остается единственная возможность:
$$ x_1=y_1,dots, x_{mathfrak r_{}}=y_{mathfrak r_{}} . $$

♦

Представление ряда $ X in mathcal L(A_1,dots,A_n) $ в виде линейной комбинации базисных рядов
$ {A_{j_1},dots, A_{j_{mathfrak r_{}}} } $
называется разложением ряда по данному базису; числа из линейной комбинации
$$X= x_1A_{j_1}+dots+ x_{mathfrak r_{}} A_{j_{mathfrak r_{}}} $$
называются координатами ряда $ X_{} $ в данном базисе. Предыдущая теорема утверждает, что при фиксированном базисе, координаты любого ряда $ X in mathcal L(A_1,dots,A_n) $ определяются единственным образом. Справедливо и обратное: задав набор (ряд) чисел $ {x_j} $ в количестве, совпадающем с количеством базисных рядов, мы однозначно определим ряд из $ mathcal L(A_1,dots,A_n) $.

Т

Теорема 5. Любую линейно независимую подсистему

$$
{ A_{i_1},A_{i_2},dots,A_{i_k} }
$$
системы рядов $ { A_1,dots,A_n } $ можно дополнить до базиса этой системы.

П

Пример. Найти какой-нибудь базис системы строк

$$A_1=(5,2,-3,1), A_2=(4,1,-2,3), A_3=(1,1,-1,-2), A_4=(3,4,-1,2)$$
и все строки системы, не входящие в этот базис, выразить через
базисные.

Решение. Воспользуемся предыдущей теоремой. Строка $ A_1 $ ненулевая,
возьмем ее в качестве первой строки искомого базиса и попытаемся дополнить
оставшимися строками до базиса. Если $ operatorname{rank}=1 $, то
все оставшиеся строки должны линейно выражаться через $ A_1 $, в частности
$ A_2=gamma A_1 $ при подходящем числе $ gamma $. Однако система линейных
уравнений
$$4=5 gamma, 1=2gamma, -2=-3gamma, 3=gamma$$
несовместна, так что предположение неверно. Итак, $ mathfrak{r}>1 $ и строки $ A_1,A_2 $
л.н.з.

Если $ operatorname{rank}=2 $, то строки $ A_3,A_4 $ должны линейно выражаться
через $ A_1,A_2 $. Из двух составленных систем уравнений:
$$
left{
begin{array}{rrrr}
5gamma_1&+4gamma_2=&1 \
2gamma_1&+ gamma_2=&1 \
-3gamma_1&-2gamma_2=&-1 \
gamma_1&+3gamma_2=&-2
end{array}right. quad u quad
left{
begin{array}{rrrr}
5gamma_1&+4gamma_2=&3 \
2gamma_1&+ gamma_2=&4 \
-3gamma_1&-2gamma_2=&-1 \
gamma_1&+3gamma_2=&2
end{array}right.
$$
первая совместна и имеет решение $ gamma_1=1,gamma_2=-1 $; вторая же
несовместна. Итак, $ operatorname{rank} >2 $ и строки $ A_1,A_2,A_4 $ л.н.з.

В системе осталась только одна строка $ A_3 $, но поскольку уже установлена
ее линейная зависимость от $ A_1,A_2 $, то ее включение в уже построенную
подсистему не может увеличить ранга.

Ответ. Базис системы составляют, например, строки $ A_1,A_2,A_4 $;
при этом $ A_3=A_1-A_2 $.

Установим теперь, какие действия над системой не изменяют ее ранга.

Т

Теорема 6. Если систему дополнить
рядом, линейно выражающимся через ряды системы, то ранг системы
не изменится. Точно так же ранг системы не меняется при удалении
ряда, линейно выражающегося через остальные ряды системы.

=>

Если каждый из рядов системы $ { A_1,dots,A_n } $ линейно
выражается через ряды системы $ {B_1,dots,B_k } $, то
$$operatorname{rank} { A_1,dots,A_n }le operatorname{rank} { B_1,dots,B_k } , . $$

Результат последней теоремы можно усилить, введя следующее определение.

Элементарными преобразованиями системы рядов
называются следующие

• перестановка местами двух любых рядов;

• умножение ряда на число $ cne 0 $;

• прибавление к одному ряду любого другого ряда.

Т

Теорема 7. Элементарные преобразования не меняют ранга системы рядов.

определяется для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A_{} $ как наибольший порядок ее отличных от нуля миноров. Иначе говоря: $ operatorname{rank} (A)_{} ={mathfrak r}in {mathbb N} $ тогда и только тогда, когда существует ее минор порядка $ {mathfrak r}_{} $, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Кроме того, полагают: $ operatorname{rank} ({mathbb O}_{mtimes n}) = 0_{} $.

Матрицу $ A_{} $ порядка $ mtimes n_{} $ можно рассматривать как состоящую из набора своих строк или набора своих столбцов. Так, например:
$$
A= left[ A_{[1]}mid A_{[2]} mid dots mid A_{[m]} right] quad npu quad
A_{[j]}=left(begin{array}{c} a_{1j} \ a_{2j} \ vdots \ a_{mj} end{array} right) ;
$$
здесь $ mid_{} $ означает конкатенацию. В следующем пункте мы покажем тождественность определения ранга матрицы определению ранга системы составляющих ее рядов (строк или столбцов).

Очевидно, что если все миноры порядка $ mathfrak{r}+1 $ для матрицы $ A_{m times n} $ равны нулю,
то и все миноры бóльшего порядка должны быть равны нулю. Но, оказывается,
для проверки условия $ operatorname{rank} (A) =mathfrak{r} $ нет необходимости вычислять и
все миноры порядка $ mathfrak{r}+1 $.

Для произвольного минора матрицы $ A_{} $ порядка $ k< min (m,n) $
$$Aleft( begin{array}{llll}
alpha_1 & alpha_2 & dots & alpha_k \
beta_1 & beta_2 & dots & beta_k
end{array}
right) npu
quad
left{begin{array}{lllll}
1le &alpha_1 <&alpha_2 <& dots < alpha_k & le m \
1le &beta_1 <&beta_2 <& dots < beta_k & le n.
end{array}
right.
$$
его окаймляющим минором называется минор $ (k+1)_{} $-го порядка, получающийся приписыванием еще одной строки и одного столбца:
$$Aleft( begin{array}{lllll}
alpha_1 & alpha_2 & dots & alpha_k & alpha_{k+1}\
beta_1 & beta_2 & dots & beta_k & beta_{k+1}
end{array}
right) npu
quad alpha_{k+1}ne alpha_{j}, beta_{k+1}ne beta_{j} .
$$

П

Пример. Для $ 6times 7 $-матрицы окаймление минора с элементами, выделенными зелеными звездами ( т.е. при $ alpha_1=2, alpha_2=3 $ , $ alpha_3=6, beta_1=3,beta_2=4,beta_3=6 $),

возможно любым из способов, отраженным на схеме красными квадратами:

Т

Теорема [Кронекер]. Если матрица $ A_{} $ имеет некоторый минор порядка $ mathfrak r $ отличным от нуля, а все окаймляющие этот минор миноры порядка
$ mathfrak r+1 $ равны нулю, то $ operatorname{rank} (A) =mathfrak{r} $.

Доказательство

☞

ЗДЕСЬ.

Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы

1.

Ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы $ a_{jk}^{} $), отличный от нуля (если такого нет, то $ operatorname{rank} (A)=0_{} $);

2.

ищем минор второго порядка, содержащий $ a_{jk}^{} $ и отличный от нуля:
$$ A left( begin{array}{cc}
j & j_2 \
k & k_2
end{array}
right)=
left| begin{array}{cc}
a_{jk} & a_{jk_2} \
a_{j_2k} & a_{j_2k_2}
end{array}
right| $$
(если такого нет, то $ operatorname{rank} (A)=1_{} $ );

3.

продолжаем процесс окаймления до тех пор, пока не найдем такой минор $ mathfrak{r}_{} $-го порядка, который сам отличен от нуля, а все окаймляющие его $ (mathfrak{r}+1)^{} $-го порядка равны нулю. Тогда $ operatorname{rank} (A)=mathfrak{r}^{} $.

=>

Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (и рангу системы ее столбцов).

Доказательство. Пусть $ operatorname{rank} (A)=mathfrak{r} $. Тогда, по определению, существует
по крайней мере один минор $ mathfrak{r} $-го порядка, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка (если такие имеются) равны нулю. Отсюда, в частности, следует, что все миноры $ (mathfrak{r}+1) $-го порядка,
окаймляющие данный, равны нулю. По теореме Кронекера ранг системы
строк (столбцов) равен $ mathfrak{r} $, т.е. равен $ operatorname{rank} (A) $.

П

Пример. Вычислить ранг матрицы

$$
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & -1 &5& -2 \
1 & 5 & -2 &3& 4 \
2 & -1 & 1 &2& 3 \
3 & -7 & 4 &1& -7 \
0 & 11 & -5 &4& -4
end{array}
right).
$$

Решение. Для проверки условия $ mathfrak{r}_{}>0 $ достаточно найти хотя бы один ненулевой элемент матрицы:
$$
left( begin{array}{rrrrr}
3 & * & * &*& * \
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& *
end{array}
right) .
$$
Далее, для проверки условия $ mathfrak{r}_{}>1 $ пытаемся подобрать ненулевой
минор второго порядка, окаймляя выбранный минор первого порядка:
$$
left( begin{array}{rrrrrr}
3 & 4 & & * &*& * \
1 & 5 & & * &*& * \
ast & * & & * &*& * \
ast & * & &* &*& * \
ast & * & &* &*& *
end{array}
right).
$$
Из всех окаймляющих этот минор миноров третьего порядка:
$$
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & -1 &*& * \
1 & 5 & -2 &*& * \
2 & -1 & 1 & * &*\
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& *
end{array}
right),
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & -1 &*& * \
1 & 5 & -2 & * & * \
ast & * & * &*& * \
3 & 7 &4 &*& * \
ast & * & * &*& *
end{array}
right),
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & -1 &*& * \
1 & 5 & -2 & * & * \
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& * \
0 & 11 & -5 & * &* \
end{array}
right),
$$
$$
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & * &5& * \
1 & 5 & * &3& * \
2 & -1 & * &2 & * \
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& *
end{array}
right),
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & * &5& * \
1 & 5 & * &3& * \
ast & * & * &*& * \
3 & -7 & * &1& * \
ast & * & * &*& *
end{array}
right),
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & * &5& * \
1 & 5 & * &3& * \
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& * \
0 &11 & * & 4& * \
end{array}
right),
$$
$$
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & * &*& -2 \
1 & 5 & * &*&4 \
2 & -1 & * &*&3 \
ast & * & * & * & * \
ast & * & * & * & *
end{array}
right),
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & * &* & -2 \
1 & 5 & * &* &4 \
ast & * & * & *& * \
3 & -7 & * &*&-7 \
ast & * & * & * & *
end{array}
right),
left( begin{array}{rrrrr}
3 & 4 & * &*& -2 \
1 & 5 & * &*&4 \
ast & * & * &*& * \
ast & * & * &*& * \
0 & 11 & * &*&-4 \
end{array}
right)
$$
два последних отличны от нуля. (Подчеркнем: нас интересовал
хотя бы один отличный от нуля минор; если бы нам повезло его угадать
сходу, то не нужно было бы вычислять все остальные миноры третьего
порядка.) Это означает, что $ mathfrak{r}_{}ge 3 $.
Окаймляем какой-нибудь из ненулевых миноров третьего порядка.
Оказывается, что все $ 4_{} $ минора четвертого порядка равны нулю.

Ответ. Ранг матрицы равен $ 3_{} $.

?

Найти ранги матриц

$$
{mathbf a)} left( begin{array}{ccccc}
color{Red}{alpha} & 1 & 1 & 1 & 1\
1 & color{Red}{alpha} & 1 & 1 & 1\
1 & 1 & color{Red}{alpha} & 1 & 1\
1 & 1 & 1 & color{Red}{alpha} & 1
end{array}
right) , quad {mathbf b)} left( begin{array}{rrrrr}
color{Red}{alpha} & 1 & 3 & 4 & 1\
1 & color{Red}{alpha} & -1 & 1 & 5\
lambda & color{Red}{alpha} & 4 & 3 & -4\
1 & 1 & 7 & 7 & -3
end{array}
right)
$$
в зависимости от значений параметра $ color{Red}{alpha} $.

Ответ.

$ {mathbf a)} mathfrak{r}_{}=1 $ при $ color{Red}{alpha} =1 $, и $ mathfrak{r}_{}=4 $ при $ color{Red}{alpha} ne 1 $;

$ {mathbf b)} mathfrak{r}_{}=3 $ при $ color{Red}{alpha} =1 $ или $ color{Red}{alpha} =1/4 $, и $ mathfrak{r}_{}=4 $ при $ color{Red}{alpha} ne 1 $ или $ color{Red}{alpha} ne 1/4 $.

Любой отличный от нуля минор матрицы $ A $ порядка $ mathfrak{r}= operatorname{rank} (A) $ называется базисным минором этой матрицы. Строки (столбцы) матрицы $ A $, из элементов которых этот минор составлен, образуют базис системы строк (столбцов) матрицы.

Этот метод основан на последней теореме из

☞

ПУНКТА: элементарные преобразования системы строк матрицы не изменяют ее ранга. Поэтому имеет смысл преобразовать исходную систему к такому виду, для которого величина ранга будет очевидна.

1.

Ищем ненулевой элемент матрицы $ a_{jk}^{} $ (если такого нет, то $ operatorname{rank} (A_{})=0 $);

2.

перестановкой строк и столбцов матрицы, добиваемся, чтобы ненулевой элемент $ a_{jk}^{} $ попал в левый верхний угол;

3.

применяя метод исключения Гаусса, добиваемся, чтобы все элементы первого столбца полученной матрицы, кроме верхнего, обратились в нуль;

4.

к полученной в результате исключения подматрице порядка $ (m-1)times (n-1) $ применяем процедуры пунктов

1-3

.

Процесс заканчивается, когда матрица оказывается приведенной к виду:
$$
left( begin{array}{lllllll}
b_{11} & b_{12} & dots & b_{1{mathfrak r}} & b_{1,{mathfrak r}+1} & dots & b_{1n} \
0 & b_{22} & dots & b_{2{mathfrak r}} & b_{2,{mathfrak r}+1} & dots & b_{2n} \
vdots & & ddots & & & & vdots \
0 & 0 & dots & b_{{mathfrak r}{mathfrak r}} & b_{{mathfrak r},{mathfrak r}+1} & dots &
b_{{mathfrak r}n} \
0 & 0 & dots & 0 & 0 & dots & 0 \
vdots & & & & & & vdots \
0 & 0 & dots & 0 & 0 & dots & 0
end{array}
right) quad npu quad b_{11}ne 0,b_{22}ne 0,dots,b_{{mathfrak r}{mathfrak r}}ne 0.
$$
Тогда $ operatorname{rank} ={mathfrak r}_{} $ (числу оставшихся ненулевых строк).

П

Пример. Вычислить ранг матрицы
$$
left( begin{array}{rrrrr}
2 & 3 & 5 &-3& -2 \
3 & 4 & 3 &-1& -3 \
5 & 6 & -1 &3& -5
end{array}
right).
$$

Решение. Элементарными преобразованиями строк матрицы, приводим ее к трапециевидной (ступенчатой):
$$
rightarrow
left( begin{array}{rrrrr}
2 & 3 & 5 &-3& -2 \
1 & 1 & -2 &2& -1 \
5 & 6 & -1 &3& -5
end{array}
right) rightarrow
left( begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & -2 &2& -1 \
2 & 3 & 5 &-3& -2 \
5 & 6 & -1 &3& -5
end{array}
right) rightarrow
$$
$$
rightarrow
left( begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & -2 &2& -1 \
0 & 1 & 9 &-7& 0 \
0 & 1 & 9 &-7& 0
end{array}
right)
rightarrow
left( begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & -2 &2& -1 \
0 & 1 & 9 &-7& 0 \
0 & 0 & 0 &0& 0
end{array}
right).
$$
Получили две ненулевые строки.

Ответ. Ранг матрицы равен $ 2_{} $.

?

Найти ранги матриц по методу элементарных преобразований:

$$
{mathbf a)} left( begin{array}{rrrr}
17 & 51 & 27 & 31\
93 & 25 & 14 & 121\
94 & 27 & 15 & 120\
18 & 53 & 28 & 30
end{array}
right), quad
{mathbf b)}
left( begin{array}{rrrrrr}
8 & 5 & 3 & 7 & 1& 2\
4 & 6 & 7 & 9 & 11& 12\
3 & 0 & -1 & 2 & 7& 1\
15 & 11 & 9 & 13 & 19& 15\
17 & 10 & 2 & -5 & 6& 3
end{array}
right) .
$$

Простейшими ненулевыми матрицами являются матрицы ранга $ 1_{} $ или одноранговые матрицы. Вид их довольно прост: все их столбцы (строки) должны быть пропорциональны.

П

Пример.

$$
left(begin{array}{rrr}
1 & -5 & – 3 \
2 & -10 & -6 \
-1 & 5 & 3 \
1/2 & -5/2 & -3/2
end{array}
right) ; quad
left(begin{array}{rrrr}
1 & -5 & – 3 & -18\
0 & 0 & 0 & 0\
-2 & 10 & 6 & 36
end{array}
right) ; quad
left(begin{array}{rrrr}
0 & 1 \
0 & 0
end{array}
right) .
$$

Т

Теорема. $ operatorname{rank}(A_{mtimes n}) = 1 $ тогда и только тогда, когда матрицу $ A_{} $ можно представить в виде произведения

$$ A= left(begin{array}{c}
u_1\
u_2\
vdots \
u_m
end{array}
right) (v_1,dots,v_n)=left[u_jv_kright]_{j=1,dots,m;k=1,dots,n} $$
при хотя бы одной паре индексов $ j_{} $ и $ k_{} $ таких, что $ u_jne 0, v_k ne 0 $.

Т

Теорема. Любая матрица ранга $ mathfrak r_{} $ может быть представлена в виде суммы $ mathfrak r_{} $ матриц ранга $ 1_{} $, но не может быть представлена в виде суммы меньшего числа матриц ранга $ 1_{} $.

П

Пример. Представить матрицу

$$
left(begin{array}{rrr}
3 & 2 & 5 \
2 & 3 & 4 \
-5 & 0 & -7 \
1 & 4 & 1
end{array}
right)
$$
в виде суммы матриц ранга $ 1_{} $.

Решение.
$$
left(begin{array}{rrr}
3 & 2 & 5 \
2 & 3 & 4 \
-5 & 0 & -7 \
1 & 4 & 1
end{array}
right) =
left(begin{array}{rrr}
3 & 2 & 5 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
end{array}
right)+
left(begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \
2 & 3 & 4 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
end{array}
right)+left(begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
-5 & 0 & -7 \
0 & 0 & 0
end{array}
right)+
left(begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
1 & 4 & 1
end{array}
right)
$$
и каждая матрица в правой части имеет ранг $ 1_{} $. Ранг исходной матрицы равен $ 3_{} $, с ненулевым минором
$$
left|begin{array}{rrr}
3 & 2 & 5 \
2 & 3 & 4 \
1 & 4 & 1
end{array}
right| .
$$
Следовательно третья строка матрицы может быть выражена в виде линейной комбинации оставшихся:
$$
(-5, 0, -7)=-3cdot (3,2,5)+2 cdot (2,3,4) .
$$
Поэтому
$$
left(begin{array}{rrr}
3 & 2 & 5 \
2 & 3 & 4 \
-5 & 0 & -7 \
1 & 4 & 1
end{array}
right) =
left(begin{array}{rrr}
3 & 2 & 5 \
0 & 0 & 0 \
-9 & -6 & -15\
0 & 0 & 0
end{array}
right)+
left(begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \
2 & 3 & 4 \
4 & 6 & 8 \
0 & 0 & 0
end{array}
right)+
left(begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
1 & 4 & 1
end{array}
right) .
$$

♦

Рассмотрим снова общую систему линейных уравнений
$$
left{
begin{array}{lllll}
a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\
a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\
dots & & & dots & \
a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ ldots&+a_{mn}x_n &=b_m.
end{array} right.
$$
Матрица, получающаяся конкатенацией матрицы $ A_{} $ и столбца правых частей $ {mathcal B}_{} $ этой системы, т.е.
$$
[A|{mathcal B}] =
left(
begin{array}{rrrrl}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} & b_1 \
a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} & b_2 \
dots &&& & dots \
a_{m1} & a_{m2} & dots & a_{mn} & b_m
end{array}
right)_{mtimes (n+1)}
$$
называется расширенной матрицей системы линейных уравнений.

Т

Теорема [Кронекер, Капелли]. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:

$$ operatorname{rank}(A) = operatorname{rank} [A|{mathcal B}] . $$
При выполнении этого условия, система имеет единственное решение, если число неизвестных $ n_{} $ совпадает с общим значением ранга $ mathfrak r_{} $, и бесконечное множество решений, если $ n > mathfrak r_{} $.

§

Более подробно изложено

☞

ЗДЕСЬ

Т

Теорема 1. Для любых матриц $ A_{} $ и $ B_{} $ одинакового порядка имеет место неравенство:

$$
operatorname{rank} (A + B) le operatorname{rank} (A) + operatorname{rank} (B) .
$$

Т

Теорема 2. Для любых матриц
$ A_{mtimes n}^{} $ и $ B_{ntimes ell}^{} $ имеет место неравенство Сильвестра:

$$
operatorname{rank} (A) + operatorname{rank} (B) – n le operatorname{rank} (AB) le min (operatorname{rank} (A), operatorname{rank} (B)) .
$$

=>

Если $ A_{} $ и $ B_{} $ — квадратные матрицы $ n_{} $-го
порядка и $ det B ne 0_{} $, то

$$ operatorname{rank} (AB) = operatorname{rank} (A)^{} , .$$

[1]. Бохер М. Введение в высшую алгебру. М.-Л. ГТТИ, 1933

[2]. Kronecker L. Bemerkungen zur Determinanten-Theorie. J. reine angew. Math. Bd. 72, 1870, S. 152-175