Как составить матрицу смежности ребер - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Все, что познается, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него – Пифагор

В этой статье:

Матрица смежности

Матрица инцидентности

Список смежности (инцидентности)

Взвешенный граф (коротко)

Итак, мы умеем задавать граф графическим способом. Но есть еще два способа как можно задавать граф, а точнее представлять его. Для экономии памяти в компьютере граф можно представлять с помощью матриц или с помощью списков.

Матрица является удобной для представления плотных графов, в которых число ребер близко к максимально возможному числу ребер (у полного графа).

Другой способ называется списком. Данный способ больше подходит для более разреженных графов, в котором число ребер намного меньше максимально возможного числа ребер (у полного графа).

Перед чтением материала рекомендуется ознакомится с предыдущей статьей, о смежности и инцидентности, где данные определения подробно разбираются.

Матрица смежности

Но тем кто знает, но чуть забыл, что такое смежность есть краткое определение.

Смежность – понятие, используемое только в отношении двух ребер или в отношении двух вершин: два ребра инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными.

Матрица (назовем ее L) состоит из n строк и n столбцов и поэтому занимает n^2 места.

Каждая ячейка матрицы равна либо 1, либо 0;

Ячейка в позиции L (i, j) равна 1 тогда и только тогда, когда существует ребро (E) между вершинами (V) i и j. Если у нас положение (j, i), то мы также сможем использовать данное правило. Из этого следует, что число единиц в матрице равно удвоенному числу ребер в графе. (если граф неориентированный). Если ребра между вершинами i и j не существует, то ставится 0.

Для практического примера возьмем самый обыкновенный неориентированный граф:

А теперь представим его в виде матрицы:

Ячейки, расположенные на главной диагонали всегда равны нулю, потому что ни у одной вершины нет ребра, которое и начинается, и заканчивается в ней только если мы не используем петли. То есть наша матрица симметрична относительно главной диагонали. Благодаря этому мы можем уменьшить объем памяти, который нам нужен для хранения.

С одной стороны объем памяти будет:

Но используя вышеописанный подход получается:

Потому что нижнюю часть матрицы мы можем создать из верхней половины матрицы. Только при условии того, что у нас главная диагональ должна быть пустой, потому что при наличии петель данное правило не работает.

Если граф неориентированный, то, когда мы просуммируем строку или столбец мы узнаем степень рассматриваемой нами вершины.

Если мы используем ориентированный граф, то кое-что меняется.

Здесь отсутствует дублирование между вершинами, так как если вершина 1 соединена с вершиной 2, наоборот соединена она не может быть, так у нас есть направление у ребра.

Возьмем в этот раз ориентированный граф и сделаем матрицу смежности для него:

В виде матрицы:

Если мы работаем со строкой матрицы, то мы имеем элемент из которого выходит ребро, в нашем случаи вершина 1 входит в вершину 2 и 8. Когда мы работаем со столбцом то мы рассматриваем те ребра, которые входят в данную вершину. В вершину 1 ничего не входит, значит матрица верна.

Объем памяти:

Если бы на главной диагонали была бы 1, то есть в графе присутствовала петля, то мы бы работали уже не с простым графом, с каким мы работали до сих пор.

Используя петли мы должны запомнить, что в неориентированном графе петля учитывается дважды, а в ориентированном – единожды.

Матрица инцидентности

Инцидентность – понятие, используемое только в отношении ребра и вершины: две вершины (или два ребра) инцидентными быть не могут.

Матрица (назовем ее I) состоит из n строк которое равно числу вершин графа, и m столбцов, которое равно числу ребер. Таким образом полная матрица имеет размерность n x m. То есть она может быть, как квадратной, так и отличной от нее.

Ячейка в позиции I (i, j) равна 1 тогда, когда вершина инцидентна ребру иначе мы записываем в ячейку 0, такой вариант представления верен для неориентированного графа.

Сразу же иллюстрируем данное правило:

В виде матрицы:

Сумма элементов i-ой строки равна степени вершины.

При ориентированным графе, ячейка I (i, j) равна 1, если вершина V (i) начало дуги E(j) и ячейка I (i, j) равна -1 если вершина V (i) конец дуги E (j), иначе ставится 0.

Ориентированный граф:

В виде матрицы:

Одной из особенностей данной матрицы является то, что в столбце может быть только две ненулевых ячейки. Так как у ребра два конца.

При суммировании строки, ячейки со значением -1, могут складываться только с ячейками, также имеющими значение -1, то же касается и 1, мы можем узнать степень входа и степень выхода из вершины. Допустим при сложении первой вершины, мы узнаем, что из нее исходит 1 ребро и входят два других ребра. Это является еще одной особенностью (при том очень удобной) данной матрицы.

Объем памяти:

Список смежности (инцидентности)

Список смежности подразумевает под собой, то что мы работаем с некоторым списком (массивом). В нем указаны вершины нашего графа. И каждый из них имеет ссылку на смежные с ним вершины.

В виде списка это будет выглядеть так:

Неважно в каком порядке вы расположите ссылку так как вы рассматриваете смежность относительно первой ячейки, все остальные ссылки указывают лишь на связь с ней, а не между собой.

Так как здесь рассматривается смежность, то здесь не обойдется без дублирования вершин. Поэтому сумма длин всех списков считается как:

Объем памяти:

Когда мы работаем с ориентированным графом, то замечаем, что объем задействованной памяти будет меньше, чем при неориентированном (из-за отсутствия дублирования).

В виде списка:

Сумма длин всех списков:

Объем памяти:

Со списком инцидентности все просто. Вместо вершин в список (массив) вы вставляете рёбра и потом делаете ссылки на те вершины, с которыми он связан.

К недостатку списка смежности (инцидентности) относится то что сложно определить наличие конкретного ребра (требуется поиск по списку). А если у вас большой список, то удачи вам и творческих успехов! Поэтому, чтобы работать максимальной отдачей в графе должно быть мало рёбер.

Взвешенность графа

Взвешенный граф – это граф, в котором вместо 1 обозначающее наличие связи между вершинами или связи между вершиной и ребром, хранится вес ребра, то есть определённое число с которым мы будем проводить различные действия.

К примеру, возьмем граф с весами на ребрах:

И сделаем матрицу смежности:

В ячейках просто указываем веса ребра, а в местах где отсутствует связь пишем 0 или -∞.

Более подробно данное определение будет рассмотрено при нахождении поиска кратчайшего пути в графе.

Итак, мы завершили разбор представления графа с помощью матрицы смежности и инцидентности и списка смежности (инцидентности). Это самые известные способы представления графа. В дальнейшем мы будем рассматривать и другие матрицы, и списки, которые в свою очередь будут удобны для представления графа с определёнными особенностями.

Если заметили ошибку или есть предложения пишите в комментарии.

Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

На каком языке программирования проводить операции с графами

21.28%
Использовать оба
10

Проголосовали 47 пользователей.

Воздержались 8 пользователей.

Источник

Матрица
смежности S –
это
квадратная матрица, в которой и число
строк, и число столбцов равно n –
числу вершин графа. В ячейки матрицы
смежности записываются некоторые числа
в зависимости от того, соединены
соответствующие вершины рёбрами или
нет, и от типа графа.

Матрица
смежности для неориентированного графа

Элемент
матрицы смежности sij неориентированного
графа определяется следующим образом:

–
равен единице, если вершины vi и vj смежны;

–
равен нулю, если вершины vi и vj не
смежны.

Если
на диагонали матрицы стоят 1, то это
показывает наличие петель.

Пример
5. Составить матрицу
смежности для
графа, представленного на рисунке
ниже.

Пример
6. Или
составить граф, или составить матрицу.

Таким
образом, матрица
смежности неориентированного
графа симметрична относительно главной
диагонали.

Матрица
смежности для ориентированного графа

Элемент
матрицы смежности sij ориентированного
графа определяется следующим образом:

–
равен единице, если из вершины vi в
вершину vj входит
дуга;

–
равен нулю, если из вершины vi в
вершину vj дуга
не входит.

Если
на диагонали матрицы стоят 1, то это
показывает наличие петель.

Пример
7. Составить матрицу
смежности для
графа, представленного на рисунке
ниже.

Пример
8. Составить матрицу
смежности для
графа, представленного на рисунке
ниже. Или наоборот, построить граф по
матрице смежности.

Таким
образом, матрица
смежности ориентированного
графа не симметрична.

9.4. Список ребер

Пример
1.а. Составить
список ребер для графа

(1,е1,2),

(1,е5,5),

(2,е6,5),

(2,е2,3),

(5,е4,4),

(3,е3,4),

(4,е7,6).

9.1-9.4

Пример
1. (москинова). Задать
матрицами инцидентности и смежности,
а также списком ребер графы G1
и G3.

Матрицы
инцидентности Матрицы
смежности Список ребер графа
G3

9.5. Матрица достижимости

Матрица
достижимости простого ориентированного
графа G=(V,E) — бинарная матрица замыкания
по транзитивности отношения E (оно
задаётся матрицей смежности графа).
Таким образом, в матрице достижимости
хранится информация о существовании
путей между вершинами орграфа.

Возведение
в степень матрицы смежности орграфа
показывает, за сколько шагов (величина
степени) можно достичь некой вершины.

Способы
построения матрицы достижимости:

Перемножение
матриц
Алгоритм
Уоршелла
Связанные
понятия

Пример
1. Перемножение матриц. (википедия)

Дан
простой связный ориентированный граф.

Он
имеет матрицу

смежности
вида:

Найдем
булевы степени этой матрицы Е²,
Е³,
Е⁴.

Матрица
E¹
показывает, в какие вершины мы можем
попасть за 1 шаг.

Матрица
E²
показывает, в какие вершины мы можем
попасть за 2 шага.

Матрица
E³
показывает, в какие вершины мы можем
попасть за 3 шага.

Матрица
E⁴
показывает, в какие вершины мы можем
попасть за 4 шага.

Если
посмотреть, то за второй шаг мы попадаем
во все вершины, в которые не попали за
первый шаг.

Получим матрицу
достижимости.
Она показывает, есть ли путь из вершины
a
в
вершину b.

Если
просто взять и сложить найденные
четыре матрица Е, Е²,
Е³,
Е⁴,
то получим матрицу, которая показывает
количество путей длины от 1 до 4 между
вершинами орграфа.

Пример
2.(мой). Составить
матрицу достижимости и контрдостижимости.

Источник

1. Представление матрицы смежности
2. Пример матрицы смежности
3. Плюсы матрицы смежности
4. Минусы матрицы смежности
5. Код матрицы смежности
6. Матрица смежности в C++
7. Матрица смежности в Java
8. Матрица смежности в Python

Матрица смежности

– это способ представления графа G = {V, E} в виде матрицы логических значений.

Представление матрицы смежности

Размер матрицы VxV, где V – количество вершин в графе, а значение записи Aij равно 1 или 0, в зависимости от того, существует ли ребро от вершины i до вершины j.

Пример матрицы смежности

Изображение ниже показывает график и его эквивалентную матрицу смежности.

В случае неориентированного графа матрица симметрична относительно диагонали, потому что у каждого ребра (i, j) также есть ребро (j, i).

Плюсы матрицы смежности

Основные операции, такие как добавление ребра, удаление ребра и проверка наличия ребра от вершины i до вершины j, являются чрезвычайно эффективными по времени операциями. Операциями с постоянным временем.

Если граф плотный и число ребер велико, матрица смежности должна стать первым выбором. Даже если граф и матрица смежности разрежены, мы можем представить ее, используя структуры данных для разреженной матрицы.

Однако самое большое преимущество исходит от использования матриц. Последние достижения в области аппаратного обеспечения позволяют нам выполнять даже дорогостоящие матричные операции на графическом процессоре (GPU).

Выполняя операции над смежной матрицей, мы можем получить важную информацию о природе графа и взаимосвязи между его вершинами.

Минусы матрицы смежности

Из-за требования к пространству матрицы смежности VxV может быть недостаточно памяти. Но обычно графы не имеют слишком много соединений, и это главная причина, почему списки смежности являются лучшим выбором для большинства задач.

Хотя базовые операции просты, такие операции, как inEdges и outEdges, дороги при использовании представления матрицы смежности.

Код матрицы смежности

Если вы знаете, как создавать двумерные массивы, значит вы также знаете, как создать матрицу смежности.

Матрица смежности в C++

#include <iostream>
using namespace std;
class Graph {
private:
      bool** adjMatrix;
      int numVertices;
public:
      Graph(int numVertices) {
            this->numVertices = numVertices;
            adjMatrix = new bool*[numVertices];
            for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
                  adjMatrix[i] = new bool[numVertices];
                  for (int j = 0; j < numVertices; j++)
                        adjMatrix[i][j] = false;
          }
    }

      void addEdge(int i, int j) {
                  adjMatrix[i][j] = true;
                  adjMatrix[j][i] = true;
    }

      void removeEdge(int i, int j) {
                  adjMatrix[i][j] = false;
                  adjMatrix[j][i] = false;
    }

      bool isEdge(int i, int j) {
                  return adjMatrix[i][j];
    }
    void toString() {
      for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
                  cout << i << " : ";
                  for (int j = 0; j < numVertices; j++)
                        cout << adjMatrix[i][j] << " ";
                  cout << "n";
      }
    }

    ~Graph() {
            for (int i = 0; i < numVertices; i++)
                  delete[] adjMatrix[i];
            delete[] adjMatrix;
    }
};
int main(){
        Graph g(4);

        g.addEdge(0, 1);
        g.addEdge(0, 2);
        g.addEdge(1, 2);
        g.addEdge(2, 0);
        g.addEdge(2, 3);
        g.toString();
        /* Outputs
           0: 0 1 1 0 
           1: 1 0 1 0 
           2: 1 1 0 1 
           3: 0 0 1 0 
          */
}


  Матрица смежности в Java

 
public class Graph {
      private boolean adjMatrix[][];
      private int numVertices;

      public Graph(int numVertices) {
          this.numVertices = numVertices;
          adjMatrix = new boolean[numVertices][numVertices];
    }

      public void addEdge(int i, int j) {
                adjMatrix[i][j] = true;
                adjMatrix[j][i] = true;
    }

      public void removeEdge(int i, int j) {
                adjMatrix[i][j] = false;
                adjMatrix[j][i] = false;
    }

      public boolean isEdge(int i, int j) {
                  return adjMatrix[i][j];
    }
    public String toString() {
        StringBuilder s = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < numVertices; i++) {
            s.append(i + ": ");
            for (boolean j : adjMatrix[i]) {
                s.append((j?1:0) + " ");
            }
            s.append("n");
        }
        return s.toString();
    }
    public static void main(String args[])
    {
        Graph g = new Graph(4);

        g.addEdge(0, 1);
        g.addEdge(0, 2);
        g.addEdge(1, 2);
        g.addEdge(2, 0);
        g.addEdge(2, 3);

        System.out.print(g.toString());
        /* Outputs
           0: 0 1 1 0 
           1: 1 0 1 0 
           2: 1 1 0 1 
           3: 0 0 1 0 
          */
    }
}


  Матрица смежности в Python

 
class Graph(object):
    def __init__(self, size):
        self.adjMatrix = []
        for i in range(size):
            self.adjMatrix.append([0 for i in range(size)])
        self.size = size
    def addEdge(self, v1, v2):
        if v1 == v2:
            print("Same vertex %d and %d" % (v1, v2))
        self.adjMatrix[v1][v2] = 1
        self.adjMatrix[v2][v1] = 1
    def removeEdge(self, v1, v2):
        if self.adjMatrix[v1][v2] == 0:
            print("No edge between %d and %d" % (v1, v2))
            return
        self.adjMatrix[v1][v2] = 0
        self.adjMatrix[v2][v1] = 0
    def containsEdge(self, v1, v2):
        return True if self.adjMatrix[v1][v2] > 0 else False
    def __len__(self):
        return self.size

    def toString(self):
        for row in self.adjMatrix:
            for val in row:
                print('{:4}'.format(val)),
            print

def main():
        g = Graph(5)
        g.addEdge(0, 1);
        g.addEdge(0, 2);
        g.addEdge(1, 2);
        g.addEdge(2, 0);
        g.addEdge(2, 3);

        g.toString()

if __name__ == '__main__':
   main()

Источник

Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы.

Определение[править | править код]

Матрица смежности графа с конечным числом вершин (пронумерованных числами от 1 до ) — это квадратная целочисленная матрица размера , в которой значение элемента $a_{i,j}$ равно числу рёбер из -й вершины графа в -ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из -й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента ${displaystyle a_{i,i}}$ в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг -й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных рёбер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Матрица смежности двудольного графа[править | править код]

Матрица смежности двудольного графа, доли которого имеют и вершин, может быть записана в следующем виде

${displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}mathbf {0} _{r,r}&mathbf {B} \mathbf {B} ^{T}&mathbf {0} _{s,s}end{pmatrix}},}$

где является матрицей, а ${displaystyle mathbf {0} _{r,r}}$ и ${displaystyle mathbf {0} _{s,s}}$ представляют и нулевые матрицы. В этом случае меньшая матрица единственным образом представляет граф, а оставшиеся части матрицы можно отбросить. иногда называется матрицей бисмежности.

Формально, пусть будет двудольным графом с долями ${displaystyle U={u_{1},dots ,u_{r}}}$ и ${displaystyle V={v_{1},dots ,v_{s}}}$ . Бисопряжённая матрица является 0–1 матрицей , в которой ${displaystyle b_{i,j}=1}$ тогда и только тогда, когда ${displaystyle (u_{i},v_{j})in E}$ .

Если является двудольным мультиграфом или взвешенным графом, то элементами ${displaystyle b_{i,j}}$ будет число рёбер между вершинами или веса рёбер ${displaystyle (u_{i},v_{j})}$ соответственно.

Примеры[править | править код]

Граф	Матрица смежности
	${displaystyle {begin{pmatrix}1&1&0&0&1&0\1&0&1&0&1&0\0&1&0&1&0&0\0&0&1&0&1&1\1&1&0&1&0&0\0&0&0&1&0&0end{pmatrix}}}$

Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.

Свойства[править | править код]

Матрица смежности неориентированного графа симметрична, а значит обладает действительными собственными значениями и ортогональным базисом из собственных векторов. Набор её собственных значений называется спектром графа, и является основным предметом изучения спектральной теории графов.

Два графа $G_{1}$ и $G_{2}$ с матрицами смежности ${displaystyle mathbf {A} _{1}}$ и ${displaystyle mathbf {A} _{2}}$ являются изоморфными тогда и только тогда, когда существует перестановочная матрица , такая что

${displaystyle mathbf {P} mathbf {A} _{1}mathbf {P} ^{-1}=mathbf {A} _{2}}$

Из этого следует, что матрицы ${displaystyle mathbf {A} _{1}}$ и ${displaystyle mathbf {A} _{2}}$ подобны, а значит имеют равные наборы собственных значений, определители и характеристические многочлены. Однако обратное утверждение не всегда верно — два графа с подобными матрицами смежности могут быть неизоморфны (это бывает в случае, если матрица не является перестановочной, например, матрицы ${displaystyle {begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}}$ и ${displaystyle {begin{pmatrix}0&2\0&0end{pmatrix}}}$ являются подобными, но соответствующие им графы не изоморфны).

Степени матрицы[править | править код]

Если — матрица смежности графа , то матрица ${displaystyle mathbf {A} ^{m}}$ обладает следующим свойством: элемент в -й строке, -м столбце равен числу путей из -й вершины в -ю, состоящих из ровно ребер.

Структура данных[править | править код]

Матрица смежности и списки смежности являются основными структурами данных, которые используются для представления графов в компьютерных программах.

Использование матрицы смежности предпочтительно только в случае неразреженных графов, с большим числом рёбер, так как она требует хранения по одному биту данных для каждого элемента. Если граф разрежён, то большая часть памяти напрасно будет тратиться на хранение нулей, зато в случае неразреженных графов матрица смежности достаточно компактно представляет граф в памяти, используя примерно $n^{2}$ бит памяти, что может быть на порядок лучше списков смежности.

В алгоритмах, работающих со взвешенными графами (например, в алгоритме Флойда-Уоршелла), элементы матрицы смежности вместо чисел 0 и 1, указывающих на присутствие или отсутствие ребра, часто содержат веса самих рёбер. При этом на место отсутствующих рёбер ставят некоторое специальное граничное значение (англ. sentinel), зависящее от решаемой задачи, обычно 0 или infty .

См. также[править | править код]

Список рёбер
Матрица инцидентности

Литература[править | править код]

Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4.

Ссылки[править | править код]

Матрица смежности графа. Код программ на Паскаль и C++

Источник

В чем особенности представления графа матрицей смежности

Содержание:

Матрица смежности для графов
- В чем особенности представления
Списки смежности и списки ребер, плюсы и минусы
Классификация графов
Способы представления графа, алгоритмы обхода
Как построить граф по матрице смежности

Матрица смежности для графов

Матрица смежности графа является квадратной матрицей с элементами, каждый из которых имеет одно из двух значений: 0 или 1.

Простой пример матрицы смежности изображен на рисунке.

Простой пример матрицы смежности изображен на рисунке

Источник: kvodo.ru

Данная матрица является двоичной квадратной, то есть количество строк в единичном случае соответствует количеству столбцов, а также строки и столбы имеют значения либо 1, либо 0. Первая строка и первый столбец, не состоящие в матрице, а записанные для легкости восприятия, содержат номера, на пересечении которых расположен каждый из элементов, и они определяют индексное значение последних. Достаточно просто выполнить построение матрицы данного типа, зная соответствующий ей граф.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Достаточно просто выполнить построение матрицы данного типа

Источник: kvodo.ru

В левой стороне на рисунке представлена аналогичная матрица смежности с размерностью 4х4. Числа, выделенные синим цветом, допустимо рассматривать в виде вершин смешанного графа, записанного в правой стороне – того, представлением которого является матрица.

Отобразить граф можно путем вычисления по матрице смежности числа его вершин и применения специального правила. В том случае, когда из одной вершины в другую проход свободен, то есть имеется ребро, в ячейку записывают 1, в противном случае – 0. Таким образом:

если из i в j существует ребро, то (A[i][j]:=1), в противном случае (A[i][j]:=0.)

Заметим, что для элементов, расположенных на главной диагонали, характерно нулевое значение. Это является следствием отсутствия у графа петель. Однако, в информатике нет ограничений для записи некоторых или всех элементов на главной диагонали в виде единиц.

В чем особенности представления

В программе матрицу смежности задают с помощью обычного двумерного массива. Его размерность соответствует n x n, где n является числом вершин графа.

В программе матрицу смежности задают с помощью обычного двумерного массива

Источник: kvodo.ru

В том случае, когда граф неизвестен заранее, а определен пользователем, необходимо вводить двумерный массив вручную. Это объясняется условиями работы конкретного языка программирования. При необходимости предоставления графа в виде матрицы смежности требуется (O(|V|^{2})) памяти, так как ее размер соответствует квадрату числа всех вершин.

Если количество ребер графа в сравнении с числом вершин является небольшим, значения многих элементов матрицы смежности будут соответствовать нулю. Таким образом, применение рассматриваемой методики нецелесообразно, в связи с наличием для подобных графов наиболее эффективных способов представления.

Списки смежности и списки ребер, плюсы и минусы

Относительно памяти, списки смежности менее требовательны по сравнению с матрицами смежности. Объем памяти для их хранения составляет (O(|V|+|E|)). Такой перечень целесообразно представить как таблицу с двумя столбцами и строками в количестве, не превышающем число вершин в графе. Для примера можно рассмотреть граф смешанного типа:

Для примера можно рассмотреть граф смешанного типа

Источник: kvodo.ru

В данном случае, граф состоит из 6 вершин (|V|) и 5 ребер (|E|). Из последних 2 ребра являются направленными и 3 ненаправленными. При этом из каждой вершины выходит, как минимум одно ребро в другую вершину. Таким образом, список смежности рассматриваемого графа содержит |V| строк.

Таким образом, список смежности рассматриваемого графа содержит |V| строк

Источник: kvodo.ru

В i строке и 1 столбце указана вершина выхода, а в i строке и 2 столбце – вершина входа. Например, из вершины 5 выходят два ребра, входящие в вершины 1 и 4.

В процессе программной реализации списка смежности число вершин и ребер задают с помощью клавиатуры. Можно установить лимиты, то есть задать пару констант, одна из которых определяет максимально допустимое число вершин (Vmax), другая – ребер (Emax). Затем следует использовать три одномерных целочисленных массива:

terminal[1..Emax] – для хранения вершин, содержащих ребра;
next [1..Emax] – включает указатели на элементы массива terminal;
head[1..Vmax] – состоит из указателей на начало подсписков, то есть такие вершины, записанные в массив terminal, с которых начинается процесс перечисления всех вершин, смежных одной i-ой вершине.

Примечание

Допустимым действием является выделение в программе двух ключевых частей. К ним относят ввод ребер для дальнейшего добавления их в список смежности и вывод полученного списка смежности на экран.

В первую очередь выполняют запрос на ввод суммы вершин (n) и ребер (m) графа (данная информация должна быть у пользователя). Следующим шагом является запуск цикла ввода ребер, то есть смежных вершин. Условие в этом цикле нужно для того, чтобы узнать, какое введено ребро.

Если введено направленное ребро, то функция add вызывается 1 раз, иначе – 2, тем самым внося сведения, что есть ребро как из вершины v в вершину u, так и из u в v. По окончанию формирования списка смежности происходит его отображение программой на экране.

По окончанию формирования списка смежности происходит его отображение программой на экране.

Источник: kvodo.ru

Код

Источник: kvodo.ru

Вывод на экран осуществляется:

по циклу от 1 до n, где n – является количеством вершин;
согласно вложенному в него циклу, который прекращает свою работу тогда, когда указатель на следующий элемент для i-ой вершины отсутствует, то есть все смежные ей вершины уже выведены.

Функция add производит добавление ребер в изначально пустой список смежности:

(Add(v, u))

(k:=k+1)

(terminal[k]:=u)

(next[k]:=head[v])

(head[v]:=k)

Действия реализуются, согласно алгоритму с формальными параметрами, вспомогательной переменной k и тремя одномерными целочисленными массивами:

значение переменной k увеличивается на 1;
в k-ый элемент массива terminal добавляют конечную для какого-либо ребра вершина (u);
в строке №3 для k-ого элемента массива next определяется адрес следующего элемента массива terminal;
массив head заполняют указателями на стартовые элементы, которые являются началом подсписка (строки в таблице) смежных вершин с некоторой i-ой вершиной.

В ячейке, где пересекаются i-ая строка и 2-ой столбец, могут быть записи нескольких элементов в соответствии с несколькими смежными вершинами. Можно обозначить каждую строку из списка смежности его подсписком. В результате выведенный список смежности будет включать элементы подсписков, отсортированные в обратном порядке. Обычно порядок вывода смежных вершин (в подсписках) не имеет принципиального значения.

Список со строками, содержащими запись двух смежных вершин и вес ребра, которое их соединяет, называют списком ребер графа. В качестве примера можно рассмотреть связный граф G=(V, E). Множество ребер E следует сгруппировать следующим образом:

d – подмножество, включающее только неориентированные ребра графа G;
k – подмножество, включающее только ориентированные ребра графа G.

Допустим, какая-либо величина p равна количеству всех ребер, которые включены в подмножество d, а s – то же самое относительно k. Тогда для графа G высотой списка ребер будет являться величина:

s+p*2

Таким образом, число строк из списка ребер в любом случае должно соответствовать величине, определенной по итогам сложения ориентированных ребер с неориентированными, умноженными на 2. Рассматриваемый способ представления графа предполагает хранение в каждой строке пары смежных вершин, а неориентированное ребро, которое соединяет вершины v и u, идет как из v в u, так и из u в v.

Например, имеется некий граф смешанного типа с 5 вершинами и 4 ребрами, каждому из которых соответствует определенное целое значение (для наглядности оно составлено из номеров вершин):

для наглядности оно составлено из номеров вершин

Источник: kvodo.ru

Граф содержит 3 направленных ребра и 1 ненаправленное. Путем подстановки значений в формулу можно определить высоту списка ребер: 3+1*2=5

Путем подстановки значений в формулу можно определить высоту списка ребер

Источник: kvodo.ru

На рисунке изображен список ребер для рассматриваемого графа. Таблица в размерах составляет n×3, где n= s+p*2=3+1*2=5. Элементы в первом столбце расположены по возрастанию, во втором – порядок расположения элементов определен первым, а в третьем – зависит от двух предыдущих.

Список ребер реализуется программой. Процесс схож с операциями при реализации списка смежностей. В первую очередь организуют ввод данных, которые с помощью особой функции распределяются среди массивов. Затем происходит вывод полученного списка смежности на экран. В связи с необходимостью в использовании дополнительного массива, функция добавления ребер организована по-другому.

В связи с необходимостью в использовании дополнительного массива, функция добавления ребер организована по-другому

Источник: kvodo.ru

Код программы

Источник: kvodo.ru

Максимально допустимое число вершин в графе определено с помощью константы Vmax, а количество ребер – Emax. Вторая константа инициализируется формулой Vmax*(Vmax-1)/2, вычисляющей количество ребер в полном графе при известном числе вершин.

Далее, в программах описываются 5 массивов:

terminal – массив вершин, включающий ребра;
weight – массив весов ребер;
head[i]=k – для хранения i-ой вершины номер k-ого элемента массивов terminal и weight, где terminal[k] – является первой вершиной, смежной с i-ой, а weight[k] – вес инцидентного ей ребра;
last[i]=k – для хранения i-ой вершины номер k-ого элемента массивов terminal и weight, где terminal[k] – является последней вершиной, смежной с i-ой, а weight[k] – вес инцидентного ей ребра;
point[i]=k – хранит для i-ой вершины номер k-ого элемента массивов terminal и weight, где terminal[k] – следующая вершина, смежная с i-ой, а weight[k] – вес инцидентного ей ребра.

По результатам ввода числа вершин (n) и ребер (m) графа будет запущен цикл, каждый этап которого сопровождается вводом пользователем с клавиатуры пары смежных вершин и веса ребра, расположенного между ними. Если ребро ориентированное, функция записи в список ребер (Add) вызывается единожды, при неориентированном ребре – дважды. Суммарное количество вызовов функции определяется по формуле:

s+(p*2)

где s – является ориентированными ребрами графа

p – неориентированные ребра

По итогам формирования списка ребер следует умножить на 2 переменную m. Это связано с тем, что при чисто неориентированном графе высота списка составляет:

0+(m*2)

Завершающим этапом является отображение на экране результирующей конструкции. В связи с тем, что на номер первой вершины, смежной с i-ой вершиной, указывает элемент head[i], каждая новая итерация внешнего цикла начинается с взятия этого номера (k=head[i]). Внутренний цикл прекращает реализацию в том случае, когда отсутствует смежная с i-ой вершины (k станет равной нулю), а внешний – по окончанию вывода списка ребер.

Ключевые действия, включая добавление ребра, удаление ребра, проверку наличия ребра от вершины i до вершины j, отличаются высокой эффективностью и являются операциями с постоянным временем. В том случае, когда граф плотный, а количество ребер большое, матрица смежности представляет собой наиболее целесообразное решение. Даже когда граф и матрица смежности разрежены, можно представить ее с помощью структур данных для разреженной матрицы.

Главное достоинство методики заключается в применении матриц. Благодаря передовым разработкам в сфере аппаратного обеспечения, представляется возможным реализовывать даже дорогостоящие матричные операции на графическом процессоре (GPU). В процессе выполнения операций со смежной матрицей можно получить ценные данные о природе графа и том, как связаны его вершины.

К минусам матрицы смежности можно отнести риски возникновения недостатка объема памяти по причине наличия требований к пространству матрицы смежности VxV. Однако, зачастую графы не обладают чрезмерно большим числом соединений, что является основным поводом выбрать списки смежности для решения распространенных задач.

С другой стороны, несмотря на простоту базовых операций, существуют такие операции, как inEdges и outEdges, которые отличаются дороговизной при использовании для представления матрицы смежности.

Классификация графов

Ярким примером графа является схема метро или некий другой маршрут. Программисты знакомы с компьютерной сетью, которая также представляет собой граф. Общим в этих примерах является наличие точек, соединенных линиями.

В случае компьютерной сети точками являются отдельные серверы, а линиями – разные типы электрических сигналов. В метрополитене точки можно принять за станции, а линии – за туннели, проложенные между станциями. Согласно теории графов, точки представляют собой вершины или узлы, а линии – ребра или дуги.

Граф является совокупностью вершин, которые соединены ребрами.

В математике преимущественно рассматривают не содержание, а структуру вещей, отделяя ее от всего остального. Данный прием позволяет определять какие-либо объекты, как графы. В случае компьютерной сети можно отметить наличие определенной топологии и возможности условного представления в виде некоторого количества компьютеров и соединительных путей. На рисунке изображена полносвязная топология:

На рисунке изображена полносвязная топология

Источник: kvodo.ru

Фактически такая топология является графом. Пять компьютеров представляют собой вершины, а соединения или пути передачи сигналов являются ребрами. Ели выполнить замену компьютеров на вершины, то в результате получится математический объект или граф с 10 ребрами и 5 вершинами. Нумерацию вершин допустимо выполнять произвольно.

В рассматриваемом примере не используются петли, то есть такие ребра, которые выходят из вершины и сразу же водят в нее. В теории графов существует ряд обозначений:

G=(V, E), здесь G – граф, V – его вершины, E – ребра;
|V| – порядок (число вершин);
|E| – размер графа (число рёбер).

Применительно к рисунку:

|V|=5, |E|=10.

Классификация графов:

связные, в которых между какой-либо парой вершин расположено от одного и более путей;
несвязные – хотя бы с одной вершиной, не связанной с другими.

В том случае, когда из любой вершины доступна другая вершина, граф является неориентированным и связным. При невыполнении данного условия для связного графа, его называет ориентированным или орграфом.

Примечание

Степень вершины определяется числом ребер, которые соединяют ее с другими вершинами.

В сумме все степени графа соответствуют удвоенному количеству всех его ребер. К примеру, на рисунке изображен граф со суммой степеней, равной 20:

К примеру, на рисунке изображен граф со суммой степеней, равной 20

Источник: kvodo.ru

Орграф отличается от неориентированного графа возможностью перемещаться из вершины h в вершину s без промежуточных вершин лишь тогда, когда ребро выходит из h и входит в s, но не наоборот. Форма записи ориентированного графа:

G=(V, A)

где V – является вершинами, A – определяет направленные ребра.

К третьему типу относят смешанные графы. Такие графы включают направленные и ненаправленные ребра. Формальная запись смешанного графа:

G=(V, E, A)

Формальная запись смешанного графа

Источник: kvodo.ru

На рисунке изображен граф с направленными [(e, a), (e, c), (a, b), (c, a), (d, b)] и ненаправленными [(e, d), (e, b), (d, c)…] дугами. Предположим, что имеются два графа:

Предположим, что имеются два графа

Источник: kvodo.ru

Данные графы эквиваленты друг другу, так как без изменений в структуре одного графа можно построить второй. Такие графы являются изоморфными, то есть обладают следующим свойством: какая-либо вершина с определенным числом ребер в одном графе имеет тождественную вершину в другом. На приведенном выше рисунке изображена пара изоморфных графов.

В случае, когда каждое ребро графа соответствует некоторому значению в виде веса ребра, граф является взвешенным. При решении задач можно встретить примеры, когда за вес принимают длину, цену маршрута и другие виды измерений. При графическом изображении графа принято указывать весовые значения около ребер.

Путь – последовательность вершин, каждая из которых связана с последующей с помощью ребра.

При совпадении первой и последней вершины путь называют циклом. Длина пути равна количеству составляющих его ребер. К примеру, на рисунке путь является последовательностью [(e), (a), (b), (c)]. Этот путь представляет собой подграф, так как к нему применимо определение последнего, а именно: граф G’=(V’, E’) является подграфом графа G=(V, E), только тогда когда V’ и E’ принадлежат V, E.

Способы представления графа, алгоритмы обхода

Граф, как и другие распространенные типы математических объектов, можно представить на компьютере, то есть сохранить в его памяти. Наиболее известные способы интерпретации графов:

матрица смежности;
матрица инцидентности;
список смежности;
список ребер.

Первые два метода заключаются в хранении графа в виде двумерного массива или матрицы. Размеры этих массивов определяются числом вершин и/или ребер в определенном графе. Таким образом, размер матрицы смежности – n×n (где n – число вершин), а матрицы инцидентности – n×m (n – число вершин, m – число ребер в графе).

В процессе решения многих задач с применением графов требуется обходить все вершины и ребра, то есть дуги. Обойти граф – значит, пройти все его вершины точно по одному разу. Алгоритмы обхода:

в глубину;
в ширину.

Реализация алгоритма обхода заключается в последовательном посещении вершин и исследовании ребер. Не посещенную вершину называют новой. После посещения вершину считают открытой до момента исследования всех инцидентных ей ребер. По итогу манипуляций вершина становится закрытой.

Обход в глубину выполняют, согласно следующим правилам:

при нахождении в вершине х следует перемещаться в какую-либо другую вершину, не посещенную ранее, с одновременным запоминанием первой дуги;
в том случае, когда невозможно переместиться в ранее не посещенную вершину из вершины х, требуется вернуться в вершину z, из которой впервые удалось попасть в х, и продолжить обход в глубину из вершины z.

Примечание

Поиск в ширину отличается тем, что за активную принимается такая открытая вершина, которая была посещена последней. В том случае, когда выполняется обход в глубину, чем позднее будет посещена вершина, тем раньше она будет использована.

В качестве примера можно рассмотреть неориентированный граф, изображенный на рисунке:

В качестве примера можно рассмотреть неориентированный граф, изображенный на рисунке

Источник: pandia.ru

Обход следует начинать со стартовой вершины 1. Она является активной и единственной, которая открыта. Другие вершины: 2,3,4,5,6 – новые. Вершина 1 обладает тремя инцидентными ребрами – 1–2, 1–4 и 1–6. Можно начать с ребра 1–2. В результате его прохождения открывается вершина 2. Она обладает одним инцидентным ребром 2–1, которое просмотрено. Вершина 2 была просмотрена, в результате чего она преобразуется в закрытую.

Затем по ребру 2–1 можно вернуться в вершину 1. По ребру 1– 4 легко попасть в вершину 4, которая становится открытой. Вершина 4 обладает четырьмя инцидентными ребрами: 4–1, 4–3, 4–5, 4–6. Таким образом, ребро 4–1 просмотрено.

Далее следует рассмотреть ребро 4–3. С его помощью удобно попасть в вершину 3, которая в результате становится открытой. Вершина 3 обладает одним инцидентным ребром 3–4. Данная вершина просмотрена. В результате вершина 3 закрыта, а по ребру 3–4 можно вернуться в вершину 4. Затем следует рассмотреть ребро 4 – 5.

Вершина 5 обладает двумя инцидентными ей ребрами: просмотренным (4–5) и ребром 5–6, по которому можно попасть в вершину 6. Вершина 6 обладает тремя инцидентными ей ребрами: просмотренным 6–5, 6–1 и 6–4. С помощью ребра 6–1 можно попасть в просмотренную вершину 1. По ребру 6–4 просто попасть в просмотренную вершину 4. В результате все вершины графа просмотрены. Порядок посещения вершин: 1, 2, 4, 3, 5, 6.

Основной особенностью и отличием поиска в ширину является выбор в виде активной вершины – такой, которая посещалась раньше, чем остальные. Таким образом, можно сформулировать ключевое свойство обхода в ширину: чем ближе вершина к старту, тем раньше она будет посещена.

Вершина используется путем просмотра одновременно всех вершин, которые ранее не были просмотрены и являются смежными с рассматриваемой вершиной. В результате поиск реализуют по всем вероятным направлением сразу. В первую очередь посещается вершина А, далее смежные с ней вершины, удаленные от А на 1.

Затем посещаются вершины, которые расположены на расстоянии 2 от А, и так далее. Чем ближе вершина к стартовой вершине, тем раньше она будет посещена. Поиск в ширину направлен на определение наиболее короткого из возможных путей.

В качестве примера можно рассмотреть неориентированный граф, изображенный на рисунке:

В качестве примера можно рассмотреть неориентированный граф, изображенный на рисунке

Источник: pandia.ru

Обход следует начать со стартовой вершины 1, которая является просмотренной. Вершины 2, 4, 6 и стартовая вершина – смежные. Данные вершины можно отметить, как просмотренные, и поместить в очередь. При рассмотрении вершины 2 можно заметить, что она не обладает смежными вершинами.

Затем нужно рассмотреть вершину 4 с двумя смежными вершинами 3 и 5. Их можно поместить в очередь и отметить, как просмотренные. В результате просмотрены все вершины графа. Порядок посещения вершин: 1, 2, 4, 6, 3, 5.

Как построить граф по матрице смежности

Данная методика отличается удобством, что позволяет представлять плотные графы с количеством ребер (|E|), которое приблизительно соответствует числу вершин в квадрате (|V|2). В процессе требуется заполнить матрицу размером |V| x |V| следующим образом:

A[i][j] = 1 (Если существует ребро из i в j)

A[i][j] = 0 (Иначе)

Метод допустим к применению в случае ориентированных и неориентированных графов. Во втором варианте матрица A имеет вид симметричной, то есть A[i][j] == A[j][i]. Это объясняется тем, что при существовании ребра между i и j, оно является и ребром из i в j, и ребром из j в i. С помощью данного свойства сокращают практически вдвое объем требуемой памяти, в связи с тем, что элементы хранятся лишь в верхней части матрицы, над главной диагональю.

С помощью данного свойства сокращают практически вдвое объем требуемой памяти

Источник: habrastorage.org

Источник

9.4. Список ребер

9.5. Матрица достижимости

Представление матрицы смежности

Пример матрицы смежности

Плюсы матрицы смежности

Минусы матрицы смежности

Код матрицы смежности

Матрица смежности в C++

Матрица смежности в Java

Матрица смежности в Python

Определение[править | править код]

Матрица смежности двудольного графа[править | править код]

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Степени матрицы[править | править код]

Структура данных[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

В чем особенности представления графа матрицей смежности

Матрица смежности для графов

В чем особенности представления

Списки смежности и списки ребер, плюсы и минусы

Классификация графов

Способы представления графа, алгоритмы обхода

Как построить граф по матрице смежности

Вам также может понравиться

Как женщине найти свое предназначение книга

Что делать если помутнела банка с огурцами как это исправить

Warface потеряно соединение с сервером как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ